人教版九年级数学圆的专题复习

第二十四章 圆的专题复习专题一、与圆的切线有关的计算与证明1．如图， I 是△ABC 的内心，∠ 1＋∠2＝65°，求∠ BAC 的度数．2．(黄石中考 )如图，⊙ O 的直径 AB ＝4，∠ ABC ＝30°， BC 交⊙O 于D ，D 是BC 的中点．(1) 求 BC 的长；(2) 过点 D 作 DE ⊥ AC ，垂足为 E ，求证：直线 DE 是⊙ O 的切线．3．如图， AB ＝BC ，以 AB 为直径的⊙ O 交 AC 于点 D ，过 D 作DE ⊥ BC ，垂足为 E. (1)求证： DE 是⊙O 的切线；(2)作 DG ⊥ AB 交⊙ O 于G ，垂足为 F ，若∠ A ＝30°， AB ＝8，求弦 DG 的长．分别交于 A ，D 两点，过 C 作CE ⊥BD 于点 E. (1)求证： CE 是⊙ O 的切线；(2)若∠ D ＝30°，BD ＝2＋2 3，求⊙ O 的半径 r.(1)如图 1，当直线 l 与⊙ O 相切于点 C 时，若∠ DAC ＝30°，求∠ BAC 的大小；(2)如图 2，当直线 l 与⊙ O 相交于点 E ，F 时，若∠ DAE ＝ 18°，求∠ BAF 的大小．4．如图所示， MN 是⊙ O 的切线， B 为切点， BC 是⊙ O 的弦且∠ CBN ＝ 45°，过 C 的直线与⊙ O ，MN 5．已知直线 l 与⊙O ，AB 是⊙O 的直径， AD ⊥l 于点 D.6．如图，⊙ O 是边长为 6 的等边△ ABC 的外接圆，点 D 为BC 的中点，过点 D 作 DE ∥BC ，DE 交 AC 的 延长线于点 E ，连接 AD ，CD.(1)DE 与⊙O 的位置关系是 ________(2)求△ ADC 的内切圆半径 r.7．(桂林中考 )如图，四边形 ABCD 是⊙ O 的内接正方形， AB ＝4，PC ，PD 是⊙ O 的两条切线， C ，D 为 切点．(1)如图 1，求⊙ O 的半径；(2)如图 1，若点 E 是 BC 的中点，连接 PE ，求 PE 的长度；(3) 如图 2，若点 M 是 BC 边上任意一点 (不含 B ， C)，以点 90°，交直线 CP 于点 N ，求证： AM ＝MN.专题二、证明切线的两种常用方法类型 1 直线与圆有交点方法归纳： 直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需 “连半径，证垂直，得切线 ”．“ 证垂 直” 时通常利用圆中的关系得到 90°的角，如直径所对的圆周角等于 90°等．【例 1】 如图，AB ＝AC ，AB 是⊙ O 的直径，⊙ O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M.求证： DM 与⊙ O 相切．M 为直角顶点，在 BC 的上方作∠ AMN ＝1．(朝阳中考)如图，AB 是⊙ O的弦，OA ⊥OD，AB ，OD交于点C，且CD＝BD. (1)判断BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；(2)当OA＝3，OC＝1时，求线段BD 的长．2．(德州中考)如图，已知⊙ O的半径为1，DE是⊙ O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD 的中点，AE 交⊙ O于B点，四边形BCOE 是平行四边形．(1)求AD 的长；(2)BC 是⊙O 的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．3．(毕节中考)如图，以△ ABC 的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC 边交于点E，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交BC 于F，AC ＝FC.(1)求证：AC 是⊙ O 的切线；(2)已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF 的长．类型 2 不确定直线与圆是否有公共点方法归纳：直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”．证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等．如图，AB＝AC，D为BC中点，⊙ D与AB切于E点．求证：AC与⊙ D相切．4．如图， O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O 为圆心， OA 长为半径的⊙ O 与 BC 相切于点 M ， 与 AB ，AD 分别相交于点 E ，F.求证： CD 与⊙O 相切．5．如图，在 Rt △ABC 中，∠ B ＝90°，∠ BAC 的平分线交 BC 于点 D ，E 为 AB 上的一点， DE ＝ DC ，以D 为圆心， DB 长为半径作⊙ D ，AB ＝5，EB ＝3.(1)求证： AC 是⊙ D 的切线；(2)求线段 AC 的长．【例 3】 (人教版九年级上册教材第 90页第 14 题)如图， A ，P ，B ，C 是⊙ O 上的四个点， ∠ APC ＝∠ CPB ＝ 60°，判断△ ABC 的形状，并证明你的结论．变式练习1．如图，延长 BP 至 E ，若∠ EPA ＝∠ CPA ，判断△ ABC 的形状并证明你的结论．2．如图，四边形ABCD 是⊙ O 的内接四边形， DB ＝ DC.求证： AD 是△ABC 外角∠ EAC 的平分线．3．如图，A，P，B，C 是半径为8 的⊙ O上的四点，且满足∠ BAC ＝∠ APC ＝60 (1)求证：△ ABC 是等边三角形；(2)求圆心O 到BC 的距离OD.4．如图，△ ABC 内接于⊙ O，P 为弧AB 上异于A， B 两点的一动点时，当△ ABC 满足什么条件时，PA 能否平分∠ BPC 的外角∠ CPE.若能，请证明，若不能，请说明理由．5．(1)如图1，△ABC内接于⊙ O，AD为∠BAC的平分线，过D作DE垂直于AB于E，AE与△ABC 的两边AB ，AC 有怎样的关系呢？(2)如图2，若AD 为△ABC 的外角∠ CAG 的平分线时，AE 与△ ABC 的两边AB，AC 又有怎样的关系呢？6．如图，平面直角坐标系中，O′为y 轴上一点，⊙ O′交x 轴于A，B 两点，交y 轴于C， D 两点．直线AE交⊙O′于F点，连接FC.过C作CH垂直AF交其延长线于H.试问：当点F在弧AC上运动时，FB－FA 与FH 的比值是否为定值？并说明理由．2特殊的，如图 3，当 ∠ C ＝ 90°时， a ＋b －c r ＝ 7．如图， △ ABC 的三个顶点均在⊙ O 上，∠BAC 与∠ABC 的平分线相交于点 连接 BD ，DC.(1)求证： BD ＝DC ＝DI ；(2)若⊙ O 的半径为 10 cm ，∠ BAC ＝ 120°，求△ BDC 的面积．专题四、切线长的变式与应用类型 1 “单个 ” 切线长定理方法归纳： 通常利用切线长相等以及圆外这点与圆心的连线平分两切线的夹角解决问题．1．(曲靖中考 )如图， PA ，PB 是⊙ O 的切线， A ，B 为切点， AC 是⊙O 的直径， AC ，PB 的延长线相交于 点 D.(1)若∠ 1＝ 20°，求∠ APB 的度数；(2)当∠ 1 为多少度时， OP ＝OD ，并说明理由．类型 2 “两个 ” 切线长定理 方法归纳： 常常利用圆心与圆外两点构成直角三角形解决问题．2．已知：如图， AB ，BC ，CD 分别与⊙ O 相切于 E ，F ，G ，且 AB ∥CD ，BO ＝ 6，CO ＝ 8，求 OF 的长．类型 3 “三个 ” 切线长定理方法归如图 1 中，有结论 △PDE 的周长＝ 2PA ＝如图 2中，有结论 AE ＝AF ＝b ＋2c －a ；BF ＝BD ＝a ＋c 2－b ；CD ＝CE ＝a ＋2b －c .I ，延长 AI 交⊙ O 于点 D ，3．如图， AD ，AE 分别是⊙ O 的切线， D ，E 为切点， BC 切⊙O 于 F ，交 AD ，AE 于点 B ，C ，若 AD ＝8.则△ ABC 的周长是 ( )52，求 AD ，CE ，BD 的长．5．如图， Rt △ABC 的内切圆⊙ O 与 AB ，BC ，AC 分别切于点 D ，E ，F ，且 AC ＝13，AB ＝12，∠ABC ＝90°，求⊙ O 的半径长． 类型 4 “四个 ” 切线长定理方法归圆的外切四边形的两组对边的和相等．6．⊙ O 是四边形 ABCD 的内切圆，切点分别为 E ，F，G ，H.已知 AD ＝10，BC ＝7，求四边形 ABCD 的 周长．7．如图，⊙ O 是四边形 ABCD 的内切圆，切点为 E ，F ，G ，H ，已知 AD ∥BC ，AB ＝CD ，DO ＝6 cm ， CO ＝8 cm.求四边形 ABCD 的周长．A ． 8B ． 104．如图，△ ABC 中，⊙ O 是三角形的内切圆，点 D ，E ，F 分别为切点，已知 AC ＝34， AB ＝48， BC ＝专题五、物体滚动中的圈数或者路线长类型 1 直线上的滚动方法归纳： 滚动中物体上某点走的路径长，实际上就是弧的长度．因此找准圆心角和半径是解决问题 的关键．【例 1】 （黄冈中考改编 ）如图，矩形 ABCD 中， AB ＝4，BC ＝3，边 CD 在直线 l 上，将矩形 ABCD 沿直 线l 作无滑动翻滚，当点 A 第一次翻滚到点 A 1位置时，求点 A 经过的路线长．变式练习1．（恩施中考 ）如图，半径为 5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线 b ，然后把半圆沿直线 b 进行 无滑动滚动，使半圆的直径与直线 b 重合为止，则圆心 O 运动路径的长度等于 _________ ．2．如图所示， Rt △ ABC 的边 BC 位于直线 l 上，AC ＝ 3，∠ ACB ＝90°，∠ A ＝30°，若 Rt △ABC 由现 在的位置向右无滑动地翻转，当点 A 第 3 次落在直线 l 上时，点 A 所经过的路线长为 _____________ ． （结果 用含 π的式子表示 ）5．如图，边长为 2 的正六边形 ABCDEF 在直线 l 上按顺时针方向作无滑动的翻滚． （1）当正六边形绕点 F顺时针旋转 __________________________ 度时， A 落在点 A 1 位置；（2）当点 A 翻滚到点 A 2的位置时，求点 A 所经过的路径长．3．（恩施中考 ）如图，在直角坐标系中放置一个边长为 1的正方形 ABCD ，将正方形 ABCD 沿 x 轴的正方向无滑动的在 x 轴上滚动， 的面积为 （ ）当点 A 离开原点后第一次落在 x 轴上时，点 A 运动的路径线与 x 轴围成图形 π1 A. ＋A. 2 ＋ 2 D ．π＋124．如图所示，扇形 经过的路线长为 OAB ) 的圆心角为 4B.3π 60°，半径为 1，将它向右滚动到扇形O ′ A ′的B 位′置，点 O 到 O ′所 D ． 2π＋1 B. C.53类型 2 折线上的滚动方法归纳： 转动整数圈时，圆面上的所有点走的路程相同，通常将圆心所走的路程作为突破口解决问 题．注意：拐角处， 圆心走的路程分类讨论． 拐角为钝角时， 圆心走的路程是线段＋线段； 拐角为锐角时， 圆心走的路程为线段＋弧线＋线段．【例 2】 如图，一个等边三角形的边长和与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向 从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动滚动，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了 ( )A ．4 圈B ．3 圈C ．5圈D ．3.5圈变式练习6．如图，⊙P 的半径为 r ，正方形 ABCD 的边长为 2πr ，⊙P 在正方形外部沿正方形的边无滑动地滚动． 如 果⊙P 从点A 的正上方出发，沿正方形的边无滑动地滚动，⊙ P 至少自转 ________ 周后再次回到点 A 的正 上方．7．如图，⊙ P 的半径为 r ，长方形 ABCD 的周长为 8πr ，如果⊙ P 从点 A 的正上方出发，沿长方形的边无 滑动地滚动，⊙ P 至少自转 ______ 周后再次回到点 A 的正上方．8．如图，⊙ P 的半径为 r ，任意四边形 ABCD 的周长为 8πr ，如果⊙ P 从点A 的正上方出发，沿长方形的 边无滑动地滚动，⊙ P 至少自转 ________ 周后再次回到点 A 的正上方．9．(芜湖中考 ) 一个小朋友在粗糙不滑动的 “Z ”字型平面轨道上滚动一个半径为10 cm 的圆盘，如图所示，AB 与 CD 是水平的， BC 与水平面的夹角为 60°，其中 AB ＝60 cm ，CD ＝40 cm ，BC ＝40 cm ，请你作出 该小朋友将圆盘从 A 点滚动到 D 点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度．专题六、求阴影部分的面积方法归纳：求阴影部分（或不规则图形）的面积时，常用图形割补的方法（图形变换），或用几个特殊图形的面积和或差来求．【例1】（盐城中考）如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°，AB ＝5 cm，AC＝2 cm，将△ ABC 绕顶点C 按顺时针方向旋转45°至△ A1B1C的位置，求线段AB 扫过区域（图中阴影部分）的面积．2．（重庆中考）如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，AC ＝8，BD＝6，以AB 为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为（）3．（乐山中考）如图，正方形ABCD 的边长为3，以A 为圆心，2为半径作圆弧，以D为圆心，3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别为___________________________ S1，S2，则S1－S2＝．4．（河南中考）如图，在菱形ABCD 中，AB＝1，∠DAB ＝60°.把菱形ABCD 绕点 A 顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D，′其中点 C 的运动路径为CC′，则图中阴影部分的面积为______5．（南通中考）如图，PA，PB分别与⊙ O相切于A，B两点，∠ ACB ＝60 （1）求∠ P 的度数；（2）若⊙ O 的半径长为 4 cm，求图中阴影部分的面积．6．（丽水中考）如图，在△ ABC 中，AB＝AC，以AB 为直径的⊙ O 分别与BC，作⊙O 的切线DF，交AC 于点 F.（1）求证：DF⊥AC ；（2）若⊙ O 的半径为4，∠ CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．7．(本溪中考)如图，点 D 是等边△ ABC 中BC 边的延长线上一点，且AC＝CD，以AB 为直径作⊙ O，分变式练习1．（泰安中考）如图，半径为 2 cm，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以中阴影部分的面积为（）π2A．（2－1）π2 2B．（2＋1）cm2C．1 cm2OA ，OB 为直径作半圆，则图D.π2 cm225π25πA ．25π －6 B. 2－6 C. 6－6D.25π－6第1题第2题第3题第 4 题别交边AC ，BC 于点E，点 F.(1)求证：AD 是⊙ O 的切线；(2)连接OC，交⊙ O 于点G，若AB ＝4，求线段CE、CG 与G︵E围成的阴影部分的面积S.8．(襄阳中考)如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△ BEC 绕点 B 逆时针旋转90°后，点 E 落在CB 的延长线上点 F 处，点 C 落在点 A 处．再将线段AF 绕点 F 顺时针旋转90 °得线段FG ，连接EF ，CG.(1)求证：EF∥ CG；(2)求点C，点 A 在旋转过程中形成的A︵C，A︵G与线段CG 所围成的阴影部分的面积．专题七、圆中的分类讨论(多解问题)一、由于点与圆的位置关系的多样性引起的不唯一性方法归纳：点与圆有三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外，但圆上的点具有唯一性．所以，只考虑点在圆内和点在圆外两种情况．【例1】已知点 A 到⊙ O 的最近距离和最远距离分别是 3 cm 和9 cm，求⊙ O 的半径．变式练习1．点 A 到圆的最近距离是a，最远距离是b，则该圆的直径是_________ ．二、由于圆的对称性引起的不唯一性方法归纳：平行弦位于圆心O 的同侧时，平行弦之间的距离等于弦心距之差；平行弦位于圆心O 的异侧时，平行弦之间的距离等于弦心距之和．【例2】已知，⊙ O 的直径是10 cm，弦AB∥CD，AB＝6 cm，CD＝8 cm，求AB 与CD 之间的距离．变式练习2．如图，⊙ O 的半径为17 cm，弦AB ∥ CD ，AB ＝30 cm，CD＝16 cm，圆心O 位于AB，CD 的上方，则AB 和CD 的距离为_______ ．3．在半径为 5 cm的⊙ O中，如果弦CD＝8 cm，直径AB ⊥ CD，垂足为E，那么AE 的长为______ ．4．如图，已知PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 分别为切点，C为⊙ O上不与A，B重合的另一点，若∠ACB ＝120°，则∠ APB ＝．5．在半径为 1 的⊙O 中，弦AB ＝2，AC＝3，那么∠ BAC ＝ _________ ．三、由于一弦对二弧而引起的不唯一性方法归纳：一弧对一圆心角和一圆周角，但一弦却对一圆心角和二圆周角，且同弦所对两圆周角互补．【例3】弦AB 的长等于半径，则AB 所对的圆周角等于多少度？变式练习6．⊙ O 为△ ABC 的外接圆，∠ BOC ＝100°，则∠ A ＝_____四、由于动点问题而引发的直线与圆位置关系的不唯一性方法归由于动点的移动而导致的图形整体运动，要抓住在图形变化时几种特殊静态位置的素．从而分类型以静态位置的条件达到解题的目的．3例4】如图，P为正比例函数y＝2x 图象上的一个动点，⊙ P 的半径为3，设点P 的坐标为(x ，y) ．求⊙P与直线x＝2 相切时点P的坐标．变式练习7．(无锡期中)如图，已知直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD ＝24 cm，BC＝26 cm，AB 为⊙ O的直径，动点P从点A开始沿AD 边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB 边向点 B 以 3 cm/s的速度运动．P，Q分别从点A，C 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s，问：(1)t 为何值时，P，Q 两点之间的距离为10 cm?(2)t 分别为何值时，直线PQ 与⊙O 相切？相离？相交？。