第四讲力矩平衡

a
a
aG
甲
aA F
F 乙
解法一：
G（1.5a cos 30?－ 0.5a sin30?）
＝Fa cos 30? ，
a
a
aA
aG
F
F
甲
乙
G
解法二：
Gcos 30?? 1.5a
＝Fa cos 30? ＋G sin30?? 0.5a
a
a
aA
aG
F
F
甲
乙
G
例4:有四根相同的刚性长薄片 A、B、C、D，质量均 为m，相互交叉成井字形，接触点均在各薄片的中点， 放置在一只水平的碗口边（俯视图如图所示），并在 D 薄片右端的 N点放上质量也为 m的小物体，那么 D薄片中 点受到的压力为 _____________ 。
F
F1
?
L F2
M＝F1L＝FL sin ?
练习：如图所示，直杆 OA可绕 O点转动，图中虚线
与杆平行，杆端 A点受四个力 F1、F2、F3、F4的作用， 力的作用线与 OA杆在同一竖直平面内，它们对转轴 O的
力矩分别为 M1、M2、M3、M4，则它们力矩间的大小关
系是（
）
O'
（A）M1＝M2＞M3＝M4，
C
A x1 O 2m 30?
G1
G2
BA
C
FT
O x2 30? B
2m G2G1
例2：一杆秤如图，杆及钩的总重为 G，秤砣重为 P， 已知秤钩与杆的重心到提纽的距离 OA和OG，求：（ 1） 零刻度的位置，（ 2）证明刻度是均匀的，（ 3）讨论若 秤砣换成 2P，某刻度的读数是否为原来的两倍？
A GO B
sin ?
M＝G2 ?
a 2
sin
?
＋
G 4
百度文库a sin ?
a
G
?
a
?
G/2 G/4
3．力矩的方向： 力分解法：
F1
F
F2
二．平衡与平衡条件： 1．平衡状态：静止或匀速转动。 2．平衡条件：合外力矩为零。
M顺＝M逆
三．力矩平衡条件的应用： 解题步骤： （1）选取研究对象， （2）受力分析（转动轴上的受力不用分 析）， （3）对无明显转动轴的物体还要选取转 动轴 （4）确定力臂、力矩方向，
A
C
B
解： G?
L 2
＋G? L ＝F?
2L F
A
A
C
B
C
GB
2G
G
2．均匀杆，每米长重 30 N，支于杆的左端，在离 左端0.2 m处挂一重为 300 N的重物，在杆的右端加一竖 直向上的拉力 F，杆多长时使杆平衡所需加的拉力 F最 小，此最小值为多大？
F
解： Fx＝G1x/2＋G2l ＝?x2/2＋G2l
A G OC'
A G OC' B'
G 2P
G
2P
W
解：G? OG＝2P? OC' C'比C点更左些
W? OA＋G? OG＝2P? OB' ＝2P? OC'＋2P? C'B'
W? OA＝2P? C'B' C'B' 为CB的一半
A G O C' C B'
B
P G
1.如左图匀质直角尺重为 2G，C端为水平轴，不计 摩擦，当 BC部分处于水平静止时，试求加在 A端的最小 作用力。
D
P
解：G? OG＝P? OC
W? OA＋G? OG＝P? OB ＝P? OC ＋P? CB
W? OA＝P? CB
A G OC GP
A G OC B
G
P
W
解： G? OG＝2P? OC' C'比C点更左些
W? OA＋G? OG＝2P? OB' ＝2P? OC'＋2P? C'B'
W? OA＝2P? C'B' C'B' 为CB的一半
（B）M2＞M1＝M3＞M4，
F2 F3 F4
O
（C）M4＞M2＞M3＞M1， F1 （D）M2＞M1＞M3＞M4。 A' A
2．力矩计算的两种常用等效转化方法：
（2）重力矩的两种计算方法：
M＝G
a 2
sin ?
a
G
?
a
?
G
2．力矩计算的两种常用等效转化方法：
（2）重力矩的两种计算方法：
M＝G
a 2
（5）列方程解。
例1：均匀板重 300 N，装置如图， AO长4 m，OB 长8 m，人重500 N，绳子能承受的最大拉力为 200 N， 求：人能在板上安全行走的范围。
C
A
O 2m 30? B
4m
8m
解: G1x1＝G2? 2
G1x2＋G2? 2 ＝FT sin 30??8 x1＝1.2m x2＝0.4m
力矩分别为 M1、M2、M3、M4，则它们力矩间的大小关
系是（
）
（A）M1＝M2＞M3＝M4，
（B）M2＞M1＝M3＞M4， （C）M4＞M2＞M3＞M1， F1
F2
F3
F4
（D）M2＞M1＞M3＞M4。A'
O' O
A
2．力矩计算的两种常用等效转化方法：
（1）将力分解后求力矩，
F
?
L
M＝FL sin ?
有固定转动轴 物体的平衡
一．力矩： M＝FL 1．力臂：
（1）转动轴到力的作用线的垂直距离，
（2）最大可能值为力的作用点到转动轴 的距离。
练习：如图所示，直杆 OA可绕 O点转动，图中虚线
与杆平行，杆端 A点受四个力 F1、F2、F3、F4的作用， 力的作用线与 OA杆在同一竖直平面内，它们对转轴 O的
F＝15x＋60/x，
因为15x? 60/x为常数
所以15x＝60/x时
即x＝2m时
F
F有最小值。 Fmin ＝60N。
G2 G1
3．如图，重为 G、边长为 a的均匀正方形板与长为 2a的轻杆相连，支于轻杆中点，在杆的右端施一竖直向 下的力F，使杆水平，求力 F的大小，若为使杆与水平方 向成30?角，力 F 又应多大？
FNB? 2L＝FNA? L＋mg? L
C
2FNB＝FNA＋mg
B
F NB
A
D
N
mg
A
F NA
F NA
mg mg
F ND
FNB? 2L＝FNA? L＋mg? L 2FNB＝FNA＋mg
C
2FNC＝FNB＋mg
B
D
N
2FND＝FNC＋mg
A
FNA? 2L＝mg? 2L＋FND? L＋mg? L
2FNB＝FNA＋mg 2FNC＝FNB＋mg 2FND＝FNC＋mg 2FNA＝FND＋3mg
设板向上运动而棒 AB匀速转动，则木板对棒的弹力说法
正确的是
（）
（A）逐渐变大， （B）先变大后变小，
（C）先变小后变大， （D）逐渐变小。
GLG ＋? FNLf ＝FNLN
15FND＝17mg
FND＝17mg/15
4FNB＝2FNA＋2mg 8FNC＝4FNB＋4mg 16FND＝8FNC＋8mg 2FNA＝FND＋3mg
C
B
D
N
FNA? 2L＝mg? 2L＋FND? L＋mg?L A
四．动态平衡：
例：如图所示，一根均匀直棒 AB，A端用光滑铰链
固定于顶板上， B端搁在一块表面粗糙的水平板上，现