八年级数学第六单元专训2 巧用勾股定理求最短路径的长

专训2巧用勾股定理求最短路径的长名师点金：求最短距离的问题，第一种是通过计算、比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)．

用计算法求平面中的最短问题

1．如图，A，B两块试验田相距200 m，C为水源地，AC＝160 m，BC＝120 m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．

甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到试验田A，B；

乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到线段AB上的H处，再从H分别向试验田A，B修筑水渠．

(1)试判断△ABC的形状，并说明理由．

(2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．

(第1题)

用平移法求平面中的最短问题

2．如图，小明在广场上先向东走10 m，又向南走40 m，再向西走20 m，又向南走40 m，再向东走70 m．则小明到达的终点与原出发点的距离是________．

(第2题)

3．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则

AF的长是________．

4．某岛争端持续，我国海监船加大对该岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA ＝45海里，OB＝15海里，该岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向此岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．

(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；

(2)求我国海监船行驶的路程BC的长．

(第4题)

5．高速公路的同一侧有A ，B 两城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为AA′＝2 km ，B B′＝4 km ，A′B′＝8 km .要在高速公路上A′，B′之间建一个出口P ，使A ，B 两城镇到P 的距离之和最短．求这个最短距离．【导学号：42282077】

(第5题)

用展开法求立体图形中的最短问题

类型1 圆柱中的最短问题

6．如图，已知圆柱体底面圆的半径为6

π

，高为8，AB ，CD 分别是两底面的

(第6题)

直径．若一只小虫从A 点出发，沿圆柱侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路程是________．

类型2 圆锥中的最短问题

7．如图，观察图形解答下面的问题： (1)此图形的名称为________．

(2)请你与同伴一起做一个这样的图形，并把它沿AS 剪开，铺在桌面上，则它的侧面展

开图是一个________．

(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？

(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．【导学号：42282078】

(第7题)

类型3长方体中表面的最短问题

8．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃．求小虫爬行的最短路程．

(第8题)

类型4长方体容器壁的最短问题

9．有一个如图所示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深为AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．

(1)小虫应该走怎样的路线才能使爬行的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．

(2)求小虫爬行的最短路线长．

(第9题)

答案

1．解：(1)△ABC 是直角三角形．理由如下：

因为AC 2＋BC 2＝1602＋1202＝40 000，AB 2＝2002＝40 000，所以AC 2＋BC 2＝AB 2. 所以△ABC 是直角三角形． (2)甲方案所修的水渠较短．

因为△ABC 是直角三角形，由题可知∠ACB ＝90°，CH ⊥AB ， 所以△ABC 的面积＝12AB·CH ＝12AC·BC.

所以CH ＝AC·BC AB ＝160×120

200

＝96(m )．

因为AC ＋BC ＝160＋120＝280(m )，CH ＋AH ＋BH ＝CH ＋AB ＝96＋200＝296(m )， 所以AC ＋BC

2．100 m 点拨：如图，作AC ⊥BC 于C ，连接AB.因为AC ＝40＋40＝80(m )，BC ＝70－10＝60(m )，所以AB 2＝602＋802＝1002，则AB ＝100 m .

(第2题)

3．10

4．解：(1)如图，连接AB ，作AB 的垂直平分线与OA 交于点C ，C 点即为所求． (2)连接BC ，设BC ＝x 海里，则CA ＝x 海里， 在Rt △OBC 中，BO 2＋OC 2＝BC 2， ∴152＋(45－x)2＝x 2. 解得x ＝25.

∴我国海监船行驶的路程BC 的长为25海里．

(第4题)

5．解：如图，作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点P ，则点P 即为所建的出口．此时A ，B 两城镇到出口P 的距离之和最短，最短距离为AC 的长．作AD ⊥BB′于点D ，在Rt △ADC 中，AD ＝A′B′＝8 km ，DC ＝6 km .所以AC 2＝AD 2＋DC 2＝100，所以AC ＝10 km .所以这个最短距离为10 km .