解析几何第四版复习重点第二章轨迹与方程

第二章 轨迹与方程

§2.1平面曲线的方程

1.一动点M 到A )0,3(的距离恒等于它到点)0,6(-B 的距离一半，求此动点M 的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？

解：动点M 在轨迹上的充要条件是MB MA 21=

。设M 的坐标),(y x 有 2222)6(2

1)3(y x y x ++=+- 化简得36)6(22=+-y x 故此动点M 的轨迹方程为36)6(22=+-y x

此轨迹为椭圆

2.有一长度为a 2a (＞0）的线段，它的两端点分别在x 轴正半轴与y 轴的正半轴上移动，

是求此线段中点的轨迹。A ，B 为两端点，M 为此线段的中点。 解：

如图所示 设(,),A x o (,)B o y .则(,)22x y M .在Rt AOB 中有

222()(2)x y a +=.把M 点的坐标代入此式得: 222()x y a +=(0,0)x y ≥≥.∴此线段中点的轨迹为222()x y a +=

3. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值2m ,求此动点的轨迹. 解:设两定点的距离为2a ,并取两定点的连线为x 轴, 两定点所连线段的中垂线为y 轴.现有:2AM BM m ⋅=.设(,)M x y 在Rt BNM 中 2

22()a x y AM ++=(1)

在Rt BNM 中222()a x y BM -+=.(2) 由(1)(2)两式得: 22222244

()2()x y a x y m a +--=-. §2.2 曲面的方程

2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：

（1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹；

（2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹；

（3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；

（4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。

解：（1）取二定点的连线为x 轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为m ，二定点的距离为a 2，则二定点的坐标为)0,0,(),0,0,(a a -，设动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则

222222)()(),,(z y a x m z y a x C z y x M +++=++-⇔∈

亦即])[()(2222222z y a x m z y a x +++=++-

经同解变形得：0)1()1(2))(1(2222222=-++-++-a m x m a z y x m

上式即为所要求的动点的轨迹方程。

（2）建立坐标系如（1），但设两定点的距离为c 2，距离之和常数为a 2。设动点),,(z y x M ，要求的轨迹为C ， 则a z y c x z y c x C z y x M 2)()(),,(222222=++++++-⇔∈ 亦即222222)(2)(z y c x a z y c x +++-=++-

两边平方且整理后，得：)()(2222222222c a a z a y a x c a -=++- （1） 222c a b c a -=∴>令

从而（1）为22222222b a z a y a x b =++

即：22222222b a z a y a x b =++

由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。

（3）建立如（2）的坐标系，设动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ， 则a z y c x z y c x C z y x M 2)()(),,(222222±=++++++-⇔∈

类似于（2），上式经同解变形为：122

2222=--c

z b y a x 其中 )(222a c a c b >-= （*） （*）即为所求的轨迹的方程。

（4）取定平面为xoy 面，并让定点在z 轴上，从而定点的坐标为),0,0(c ，再令距离之比为m 。

设动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则

z m z y x C z y x M =++⇔

∈222),,( 将上述方程经同解化简为：02)1(22222=+--++c cz z m y x （*）

（*）即为所要求的轨迹方程。