高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.4统计与统计案例课时练理

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2015届高三(理)一轮同步训练：第12单元《概率与统计、统计案例》(含答案)

第十二单元概率与统计、统计案例第66讲随机事件的概率、古典概型与几何概型1.(2013·安徽合肥市质检)在正四面体的6条棱中随机抽取2条，则其2条棱互相垂直的概率为( )A.34B.23C.15D.132.A ．0.12B ．0.21C ．0.15D ．0.283.从集合{1,2,3，…，10}中任取5个数组成集合A ，则A 中任意两个元素之和不等于11的概率为( )A.1945B.463C.863D.16634.在区间[0,9]上随机取一实数x ，则该实数x 满足不等式1≤log 2x ≤2的概率为______．5.已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{7,8}，现从A 、B 中各取一个数字，组成无重复数字的二位数，在这些二位数中，任取一个数，则恰为奇数的概率为________．6.某单位招聘员工，从400名报名者中选出200名参加笔试，再按笔试成绩择优取407.(2013·郑州市第一次质量预测)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 和曲线y ＝x 2围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是______．8.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12. (1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .记事件A 表示“a ＋b ＝2”，求事件A 的概率．9.设函数f(x)＝log2[x2－2(a－1)x＋b2]的定义域为D.(1)若a是从1,2,3,4四个数中任取的一个数，b是从1,2,3三个数中任取一个数，求使D ＝R的概率；(2)若a是从区间[0,4]任取的一个数，b是从区间[0,3]任取的一个数，求使D＝R的概率．第67讲互斥事件、独立事件与条件概率1.某商场在春节举行抽奖促销活动，规则是：从装有编为0,1,2,3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖，则中奖的概率是( )A.13B.23C.14D.342.(2013·太原市第一次模拟)甲乙两人各加工一个零件，若加工为一等品的概率分别是23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.14C.16D.5123.现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少一名义工，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为( )A.16B.56C.1027D.17274.在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为( ) A.14 B.34C.964D.27645.在一段时间内，甲去某地的概率为14，乙去此地的概率为15，假定两人的行动相互没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是________．6.甲乙两人向目标各射击一次(甲、乙相互没有影响)．甲的命中率为12，乙的命中率为710.已知目标被击中，则目标被甲击中的概率为________．7.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则：(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.8.一个袋子里装有大小、形状相同的3个红球和2个白球，如果不放回地依次抽取2个球，求：(1)第1次抽到红球的概率；(2)第1次和第2次都抽到红球的概率；(3)在第1次抽到红球的条件下，第2次抽到红球的概率；(4)抽到颜色相同的球的概率．9.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．(1)求甲以4比1获胜的概率；(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率．第68讲离散型随机变量的分布列、期望与方差1.若P (ξ≤x 2)＝1－β，P (ξ≥x 1)＝1－α，其中x 1<x 2，则P (x 1≤ξ≤x 2)等于( )A ．(1－α)(1－β)B ．1－(α＋β)C ．1－α(1－β)D ．1－β(1－α)2.若ξ～B (n ，p )且Eξ＝6，Dξ＝3，则P (ξ＝1)的值为( )A ．3×2－2B ．3×2－10C ．2－4D ．2－83.从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1件的概率是( )A.3235B.1235C.335D.2354.甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则Eξ为( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.55.某街头小摊，在不下雨的日子一天可赚到100元，在下雨的日子每天要损失10元，若该地区每年下雨的日子约为130天，则此小摊每天获利的期望值是(一年按365天计算)________元(结果保留2位小数)．6.已知随机变量ξ的分布列如表所示，则Dξ＝________.7.业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望EX ＝______.8.“低碳经济”是促进社会可持续发展的推进器．某企业现有100万元资金可用于投资，如果投资“传统型”经济项目，一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为35，15，15；如果投资“低碳型”经济项目，一年后可能获利30%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为a 和b (其中a ＋b ＝1)．(1)如果把100万元投资“传统型”经济项目，用ξ表示投资收益(投资收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的概率分布及均值(数学期望)Eξ；(2)如果把100万元投资“低碳型”经济项目，预测其投资收益均值会不低于投资“传统型”经济项目的投资收益均值，求a 的取值范围．9.受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．第69讲随机抽样、用样本估计总体、正态分布1.将参加夏令营的500名学生编号为：001,002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为( )A ．20,15,15B ．20,16,14C ．12,14,16D ．21,15,142.已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜2)等于( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.23.(2013·宁波市四中高三上期末)200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如下图所示，则时速不低于60 km/h 的汽车数量为( )A ．65辆B ．76辆C ．88辆D ．95辆4.设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104，x 5＝105，随机变量ξ1取值x 1、x 2、x 3、x 4、x 5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x 1＋x 22、x 2＋x 32、x 3＋x 42、x 4＋x 52、x 5＋x 12的概率也均为0.2.若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则( )A ．Dξ1＞Dξ2B ．Dξ1＝Dξ2C ．Dξ1＜Dξ2D ．Dξ1与Dξ2的大小关系与x 1、x 2、x 3、x 4的取值有关5.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市______家．6.在一次运动员的选拔中，测得7名选手身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示．已知记录的平均身高为174 cm ，但有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，那么x 的值为______.7.给出如下10个数据：根据这些数据制作频率分布直方图，其中[64.5,66.5)这组所对应的矩形的高为 .8.在某篮球比赛中，根据甲和乙两人的得分情况得到如图所示的茎叶图．(1)从茎叶图的特征来说明他们谁发挥得更稳定；(2)用样本的数字特征验证他们谁发挥得更好．9.某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表：(1)图；(2)若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率；(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．第70讲变量的相关性、回归分析和独立性检验1.在回归分析中，残差图中纵坐标为( )A ．残差B ．样本编号C.x － D ．y i2.(2013·湛江测试)已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为( )A ．y ＝1.23x ＋4B ．y ＝1.23x ＋5C ．y ＝1.23x ＋0.08D ．y ＝0.08x ＋1.233.在下列各图中，两个变量具有相关关系的图是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2)(4)D ．(2)(3)4.(2013·临沂市质量检测)为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随附：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过的0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”C ．最多有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”D ．最多有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”5.经调查某地若干户家庭的年收入x (万元)和年饮食支出y (万元)具有线性相关关系，并得到y 关于x 的线性回归直线方程：y ＝0.245x ＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加万元．6.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝0.7x ＋0.35，那么表中m 的值为7.20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，可以有 %的把握认为该学校15至K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d . 8.下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：(1)(2)你能从散点图中发现温度与卖出热茶的杯数近似成什么关系吗？(3)如果近似成线性相关关系，请求出线性回归方程来近似地表示这种线性相关关系；(4)如果某天的气温是－5 ℃时，用(3)的回归方程预测这天小卖部卖出热茶的杯数．9.电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．根据已知条件完成附：K 2＝n (ad －bc )(a ＋c )(b ＋d )(a ＋b )(c ＋d )，第十二单元概率与统计、统计案例第66讲随机事件的概率、古典概型与几何概型1．C 总的取法有15种，由正四面体的性质可知，对棱垂直，故互相垂直的有3种，所以所求概率为15，故选C.2．B 因为10＋13＋3x ＋x ＋15＋13＋12＋9＝100，得x ＝7，所以，第三组的频数3x＝21，于是，第三组的频率是21100＝0.21，故选B.3．C 分组考虑，和为11的有：(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6)，若A 中任意两个元素之和不等于11，则5个元素必须只有每组中的一个，故所求概率为P ＝25C 510＝863，故选C.4.29由1≤log 2x ≤2得2≤x ≤4，故所求概率为29.5.712由题意，所有无重复数字的两位数有3×2×2＝12个，其中奇数为17,71,27,81,83,37,73共7个，所以概率P ＝712.6．80 因为40200×20＝4，所以随机抽查了20名笔试者中的前4名进入面试，观察成绩统计表，预测参加面试所划的分数线是80分．7.13 阴影部分的面积S 1＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝(23x 32－13x 3)|10＝13，而正方形AOBC 的面积为1，故所求的概率为13.8．解析：(1)由题意可知：n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2.(2)不放回地随机抽取2个小球的所有等可能基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A 包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个，所以P(A)＝412＝13.9．解析：(1)定义域D ＝{x|x 2－2(a －1)x ＋b 2>0}．将取的数组记作(a ，b)，共有4×3＝12种可能．要使D ＝R ，则Δ＝4(a －1)2－4b 2<0，即|a －1|<|b |.满足条件的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)，(3,3)，共6个基本事件，所以P (D ＝R )＝612＝12. (2)全部试验结果Ω＝{(a ，b )|a ∈[0,4]，b ∈[0,3]}，事件A ＝{D ＝R }对应区域为A ＝{(a ，b )||a －1|<|b |}，则P (A )＝S 阴影S Ω＝3×4－12×1×1－12×3×33×4＝712，故D ＝R 的概率为712.第67讲互斥事件、独立事件与条件概率1．B 中一等奖的概率是1C 24＝16，中二等奖的概率是1C 24＝16，中三等奖的概率是2C 24＝13，所以中奖的概率为16＋16＋13＝23，故选B.2．D 设甲加工为一等品，乙加工为非一等品的事件为A ，乙加工为一等品，甲加工为非一等品的事件为B ，则两个零件中恰有一个一等品的概率为P (A )＋P (B )＝23×14＋13×34＝512，故选D. 3．B 甲、乙两人被分到同一社区的概率为A 33C 24A 33＝16，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为1－16＝56，故选B.4．C 设事件A 发生的概率为P ，事件A 不发生的概率为P ′，则有：1－(P ′)3＝6364⇒P ′＝14，故P ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×(14)2＝964，故选C. 5.25 至少有1人去此地包含有3个互斥事件，(1)甲去乙未去，(2)甲未去乙去，(3)甲、乙都去．所以至少有1人去此地的概率为14×(1－15)＋15×(1－14)＋14×15＝25.6.1017设“甲命中”为事件A ，“乙命中”为事件B ，“目标被击中”为事件C ，则P (A )＝12，P (C )＝1－P (A －)P (B －)＝1－(1－12)(1－710)＝1720，则P (A |C )＝P (A ∩C )P (C )＝P (A )P (C )＝1017. 7．(1)2π (2)14(1)S 圆＝π，S 正方形＝(2)2＝2，根据几何概型的求法有：P (A )＝S 正方形S 圆＝2π；(2)由∠EOH ＝90°，S △EOH ＝14S 正方形＝12，故P (B |A )＝S △EOH S 正方形＝122＝14.8．解析：设A ＝{第1次抽到红球}，B ＝{第2次抽到红球}，则第1次和第2次都抽到红球为事件AB .从第5个球中不放回地依次抽取2个球的事件数为n (Ω)＝A 25＝20，(1)由分步计数原理，n (A )＝A 13·A 14＝12，于是P (A )＝n (A )n (Ω)＝1220＝35.(2)P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝620＝310.(3)在第1次抽到红球的条件下，当第2次抽到红球的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12.(4)抽到颜色相同球的概率为P ＝P (两次均为红球)＋P (两次均为白球) ＝3×220＋2×120＝25.9．解析：(1)由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12，记“甲以4比1获胜”为事件A ，则P (A )＝C 34(12)3(12)4－312＝18.(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ，因为，乙以4比2获胜的概率为P 1＝C 35(12)3(12)5－312＝532，乙以4比3获胜的概率为P 2＝C 36(12)3(12)6－312＝532，所以P (B )＝P 1＋P 2＝516.第68讲离散型随机变量的分布列、期望与方差 1．B 由分布列性质可有：P (x 1≤ξ≤x 2)＝P (ξ≤x 2)＋P (ξ≥x 1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)，故选B.2．B Eξ＝np ＝6，Dξ＝np (1－p )＝3⇒p ＝12，n ＝12，所以P (ξ＝1)＝C 112(12)12＝3×2－10，故选B. 3．B 设随机变量X 表示取出次品的个数，则X 服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3，它的可能取值为0,1,2，所以所求概率为P (X ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，故选B.4．B ξ的可能取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 36C 33C 36C 36＝120，P (ξ＝1)＝C 16C 25C 23C 36C 36＝920，P (ξ＝2)＝C 26C 14C 13C 36C 36＝920，P (ξ＝3)＝C 36C 36C 36＝120，则Eξ＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝1.5，故选B.5．60.82 Eξ＝100×235365＋(－10)×130365≈60.82.6.1116 由题知a ＝1－12－14＝14，则Eξ＝0×12＋1×14＋2×14＝34，Dξ＝12×(0－Eξ)2＋14×(1－Eξ)2＋14×(2－Eξ)2＝1116.7.1116 因为P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×13，所以p ＝12. 随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×(12)2＋23×(12)2＝13；P (X ＝2)＝23×(12)2×2＋13×(12)2＝512，P (X ＝3)＝23×(12)2＝16.因此EX ＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.8．解析：(1)依题意，ξ的可能取值为20,0，－10， ξ的分布列为Eξ＝20×35＋0×15＋(－10)×15＝10(万元)．(2)设η表示100η的分布列为Eη＝30a －20b ＝50a －20，依题意要求50a －20≥10，所以35≤a ≤1.9．解析：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110. (2)依题意得，X 1X 2的分布列为(3)由(2)得，EX 1＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，EX 2＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)，因为EX 1＞EX 2，所以应生产甲品牌轿车．第69讲随机抽样、用样本估计总体、正态分布1．B 根据系统抽样特点，被抽到号码l ＝10k ＋3，k ∈N ，第353号被抽到，因此第二营区应有16人，所以三个营区被抽中的人数分别为20,16,14，故选B.2．C 由P (ξ＜4)＝0.8知P (ξ＞4)＝P (ξ＜0)＝0.2，故P (0＜ξ＜2)＝0.3，故选C.3．B 设时速不低于60 km/h 的汽车数量为n ，则n200＝(0.028＋0.010)×10＝0.38，所以n ＝0.38×200＝76.4．A Dξ1＝15[(x －－x 1)2＋…＋(x －－x 5)2]＝15(x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 25)－x －2， Dξ2＝15[(x －－x 1＋x 22)2＋…＋(x －－x 5＋x 12)2]＝15[(x 1＋x 22)2＋…＋(x 5＋x 12)2]－x －2＜15(x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 25)－x －2，所以Dξ1>Dξ2，故选A.5．20 n ＝100×400200＋400＋1400＝20.6．7 将所有数据都减去170，根据平均数的计算公式可得10＋11＋3＋x －2－17＝4，解得x ＝7.7.15 落在区间[64.5,66.5)的数据依次为65,66,66,65，共4个，则矩形的高等于频率组距＝41066.5－64.5＝15.8．解析：(1)茎叶图的直观形状像横放的频率分布直方图，且保留了所有原始数据的信息，所以从数与形的特征来看，甲和乙的得分都是对称的，叶的分布是“单峰”的，但甲全部的叶都集中在茎2上，而乙只有57的叶集中在茎2上，这说明甲发挥得更稳定．(2)x －甲＝20＋21＋25＋26＋27＋28＋287＝25，x －乙＝17＋23＋24＋25＋26＋29＋317＝25，s 2甲＝17[(20－25)2＋(21－25)2＋(25－25)2＋(26－25)2＋(27－25)2＋(28－25)2＋(28－25)2]≈9.14，s 2乙＝17[(17－25)2＋(23－25)2＋(24－25)2＋(25－25)2＋(26－25)2＋(29－25)2＋(31－25)2]≈17.43.因为x －甲＝x －乙，s 2甲<s 2乙，所以甲发挥得更好．9．解析：(1)合计100 1(2)误差不超过0.03 mm ，即直径落在[39.97,40.03]范围内，其概率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9. (3)整体数据的平均值约为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．第70讲变量的相关性、回归分析和独立性检验 1．A 联想残差图知纵坐标为残差，故选A.2．C 由题知斜率的估计值为1.23，排除D ；因为回归直线方程必过样本点的中心(x －，y －)，将点(4,5)代入A 、B 、C 检验可知，选C.3．D 图形应为散点图，且成带状分布．4．A 由公式可计算K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝200(70×60－30×40)2100×100×110×90≈18.18，即P (K 2>10.828)＝0.001，所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”，故选A.5．0.245 x 变为x ＋1，y ＝0.245(x ＋1)＋0.321＝0.245x ＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元．6．3 由题意可得x －＝3＋4＋5＋64＝92，所以y －＝0.7×92＋0.35＝3.5，所以2.5＋m ＋4＋4.54＝3.5，所以m ＝3.7．97.5 K 2＝20(4×12－3×1)25×7×13×15≈5.934＞5.024，所以可以有97.5%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系． 8．解析：(1)将表中的数据制成散点图，如图：(2)从散点图中发现气温与卖出热茶的杯数近似成线性相关关系．(3)线性回归方程是y ^＝－1.648x ＋57.557.(4)如果某天的气温是－5 ℃，用y ^＝－1.648x ＋57.557预测这天小卖部卖出热茶的杯数约为－1.648×(－5)＋57.557≈66.9．解析：由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：由2×2K 2＝n (ad －bc )2(a ＋c )(b ＋d )(a ＋b )(c ＋d )＝100×(30×10－45×15)275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030<3.841，所以，没有理由认为“体育迷”与性别有关．。

2013届高三数学第一轮复习第12章统计与概率

第十二章统计与概率本章知识要点【考纲要求】A级要求的考点为：抽样方法、总体分布的估计、变量的相关性、随机事件与概率、几何概型、互斥事件及其发生的概率；B级要求的考点为：总体特征数的估计、古典概型.【知识回顾】1．常见的三种抽样方法是、、.通常将、统称为简单随机抽样.2．总体分布的估计包括： ______ 表、 ______ 图与折线图、 _______ 图．3．总体特征数的估计包括：____________________________________________.4. 平均数公式：x= ；方差公式：2s= .5. 解决古典概型问题的基本步骤是：（1）明确所有基本事件有n个；（2）确认所有基本事件是___________的；（3）确定事件A包含的基本事件个数为m；（4）计算事件A发生的概率为=P_____________.)(A6. 解决几何概型问题的即基本步骤是：（1）确认在何区域内取点，即区域D；（2）确定所求概率的事件中的点所在区域d；（3）计算区域D和d的测度；（4）所求事件A发生的概率=(AP__________.)【方法回顾】例1．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下：甲的得分：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50；乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，59.（1）制作茎叶图，并对两名运动员的成绩进行比较；（2）计算上述两组数据的平均数和方差，并比较两名运动员的成绩和稳定性；（3）能否说明甲的成绩一定比乙好，为什么？例2. 5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：（1）甲中奖的概率；（2）甲、乙都中奖的概率；（3）只有乙中奖的概率；（4）乙中奖的概率.例3.已知等腰ABCRt∆中，0∠C.=90（1）在线段BC上任取一点M，求使0<∠CAM的概率；30（2）在CAB∠内任作射线AM，求使0∠CAM的概率.<3079．抽样方法【基础训练】1．某工厂生产产品，用传送带将产品传到下一工序，质检人员每隔5分钟在传送带上某一固定位置取一件产品检验，这种抽样方法是 .2．2005个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为 .3.某单位有职工100人，其中不到35岁的有45人，35岁到49岁的25人，50岁及以上的人为30人.现在抽取20人进行健康检查，用抽样方法，各年龄段抽取人数分别为、、．4. 采用系统抽样从个体数为83的总体中抽取一个样本容量为10的样本，那么每个个体入样的可能性为 .5.（2010重庆文数）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 .6.下列抽样中是系统抽样的是.①、从标有1~15号的15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点i,以后为i+5, i+10(超过15则从1再数起)号入样；②、工厂生产的产品，用传关带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验；③、搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止；④、电影院调查观众某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈.【例题分析】例1．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组.在参加活动的职工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％．登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％．为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.试确定（1）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；（2）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.例2.经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多人.例3.某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体，如果样本容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n.例4.（2010湖北理数）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为、、 .【拓展提升】例5.一个总体中的1000个个体编号为0，1，2，…，999，依次将其分为10个小组，组号为0，1，2，….，9，要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x+33k的后两位数.（1）当x=24时，写出所抽取样本的10个号码；（2）若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围.80．用样本估计总体【基础训练】1．有一笔统计资料，共有10个数据如下（不完全以大小排列）：２、４、４、５、５、６、７、８、９、x ,已知这组数据平均数为６，则这组数据的方差为 . 2．(2009山东卷理)某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98）， [98，100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为_________________．3. 某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则x y 的值为_____________．4. （2010山东文数）在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为、 . 5. 把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率为0.79，而剩下三组的频数成公比大于2的整数等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的频数是____________.6. 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11得分的情况用如图2位数分别为___________、_____________.【例题分析】例1．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497503506508507492496500501499 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g ～501.5g 之间的概率约为____________．例2.有同一型号的汽车100辆,为了解这种汽车每耗油1L所行路程的情况,现从中随即抽出10辆在同一条件下进行蚝油1L所行路程实验,得到如下样本数据（单位:km）:13.7,12.7,14.4,13.8,13.3,12.5,13.5,13.6,13.1,13.4，其分组如下:（2）根据上表,在给定坐标系中画出频率分布直线图,并根据样本估计总体数据落在[12.95,13.95）中的概率；（3）根据样本,对总体的平均值进行估计.例3.对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：甲：27，38，30，37，35，31；乙：33，29，38，34，28，36根据以上数据，试判断他们谁更优秀.例4. 某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），现随机地选择50位老人做调查，下表是50位老人日睡眠时间频率分布表：在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为______________【拓展提升】.例 5.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,]495，（495,]500，……（510,]515，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）（理）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．81．古典概型【基础训练】1．有红心1，2，3和黑桃4，5共5张扑克牌，现从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率为.2．盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是____________．3.口袋中装有形状大小都相同的1只白球和1只黑球，先摸出一只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出一只球，出现“一只白球、一只黑球”的概率是___________．4.一个密码箱的密码由5位数字组成，5个数字都可以任意设定为0～9中的任何一个数字，假设某人已经设定了5位密码．（1）此人忘了密码的所有数字，则他一次就能把锁打开的概率为．（2）若此人只记得密码的前4位数字，则他一次就能把锁打开的概率为．5.从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_______.6.甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为.【典型例题】例1．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问：（1）共有多少种不同的结果？（2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？（3）两数之和是3的倍数的概率是多少？例2.用红、黄、蓝三种不同的颜色给下图中的三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：（1）三个矩形颜色都相同的概率；（2）三个矩形颜色都不同的概率．例3.甲、乙两人参加有奖知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，填空题4道，甲乙两人依次各抽1题．（1）甲抽到选择题的概率是多少？（2）甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率是多少？（3）甲、乙两人中至少1人抽到选择题的概率是多少？例 4. 将一个面上均涂有颜色的正方体锯成3n（3n ）个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取1个，分别求下列事件的概率：（1）三面涂有颜色；（2）恰有两面涂有颜色；（3）至少有一面涂有颜色．【拓展提升】例5．小明、小华用4张扑克牌（分别是黑桃2、黑桃4，黑桃5、梅花5）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（1）若小明恰好抽到黑桃4，求小华抽出的牌的牌面数字比4大的概率．（2）小明、小华约定：若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大，则小明胜，反之，则小明负，你认为这个游戏是否公平，说明你的理由．82．几何概型【基础训练】1．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是__________.2．质点在数轴上的区间［0，2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间［0，1］上的概率为．3．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为.4.ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为 .5.在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为.6.有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，则有这个细菌的概率为__________.【例题分析】例1．有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？例2.街道旁边有一游戏：在铺满边长为9cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边，可重掷一次；若掷在正方形内，须再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获1元钱.试问：（1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？例3.在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？例4. 在ABC Rt ∆中，030=∠A ，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ，求使AM ＞AC 的概率.【拓展提升】例5.设关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=.⑴若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若a 是从区间[0，3] 任取的一个数，b 是从[0，2] 任取的一个数，求上述方程有实根的概率.83.本章回顾【基础训练】1．从1，2，…，9这九个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是．2．掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．3．从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为．4．一年按365天计算，2名同学在同一天过生日的概率为．5．以集合{2,4,6,7,8,11,12,13}A =中的任意两个元素分别作为一个分数的分子，分母，则这个分数为既约分数（分子和分母互质）的概率为．6．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标（m,n ），则点P 落在圆x 2+y 2=16内的概率是________．7．某人午觉醒来，发现钟表停了，于是打开电视机，想看看屏幕右上角显示的整点或半点时间，求他等待时间不超过15分钟的概率 _____ ．【典型例题】例1．袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率: （1）A：取出的两球都是白球；（2）B：取出的两球1个是白球，另1个是红球.例2.某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定:顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。

【拔高教育】2017高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.4统计与统计案例课时练理

2017高考数学一轮复习第十二章概率与统计 12.4 统计与统计案例课时练理时间：60分钟1.[2016·冀州中学期中]某市共有400所学校，现要用系统抽样的方法抽取20所学校作为样本，调查学生课外阅读的情况．把这400所学校编上1～400的号码，再从1～20中随机抽取一个号码，如果此时抽得的号码是6，则在编号为21到40的学校中，应抽取的学校的编号为( )A ．25B ．26C ．27D ．以上都不是答案 B解析系统抽样是把个体编号后，先抽取第一个，然后每次间隔相同的数依次抽取，本题中每次间隔20，第一个抽取的是6号，接下来应该抽取的是第26号，故选B.2．[2016·衡水中学仿真]在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差答案 D解析由题原来众数88变为90，中位数由86变为88，平均数增加2，所以每个数与平均数的差不变，即标准差不变．故选D.3．[2016·枣强中学预测]对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋…＋y 8)＝6，则实数a ^的值是( )A.116 B.18C.14D.12 答案 B解析依题意可知x ＝68，y ＝38，样本中心点为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，38，则38＝13×34＋a ^，解得a ^＝18.4.[2016·冀州中学一轮检测]为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m o ，平均值为x ，则( )A ．m e ＝m o ＝xB ．m e ＝m o <xC ．m e <m o <xD ．m o <m e <x 答案 D解析由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15个数和第16个数(分别为5,6)的平均数，即m e ＝5.5,5出现次数最多，故m o ＝5，x ＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030≈5.97.于是得m o <m e <x .故选D.5．[2016·武邑中学一轮检测]某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 C解析四类食品的每一种被抽到的概率为 2040＋10＋30＋20＝15，∴植物油类和果蔬类食品被抽到的种数之和为(10＋20)×15＝6.6．[2016·武邑中学月考]甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x －甲，x －乙，则下列判断正确的是( )A.x －甲>x －乙；甲比乙成绩稳定B.x －甲>x －乙；乙比甲成绩稳定C.x －甲<x －乙；甲比乙成绩稳定D.x －甲<x －乙；乙比甲成绩稳定答案 D解析由茎叶图可知x －甲＝17＋16＋28＋30＋345＝25，x －乙＝15＋28＋26＋28＋335＝26，∴x －甲<x －乙．又s 2甲＝15[(17－25)2＋(16－25)2＋(28－25)2＋(30－25)2＋(34－25)2]＝52，s 2乙＝15[(15－26)2＋(28－26)2＋(26－26)2＋(28－26)2＋(33－26)2]＝35.6，∴s 2甲>s 2乙，∴乙比甲成绩稳定．7.[2016·衡水中学热身]将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )A ．26,16,8B ．25,17,8C ．25,16,9D ．24,17,9 答案 B解析依题意及系统抽样可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300得k ≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495得1034<k ≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.所以第Ⅲ营区被抽中的人数为50－25－17＝8(人)．8．[2016·衡水二中热身]在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12 D ．1 答案 D解析由题设可知这组样本中的数据完全正相关，又都在y ＝12x ＋1上，故相关系数为1，故选D.9．[2016·武邑中学期末]甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：________．答案甲解析 x 甲＝x 乙＝9环，s 2甲＝15[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25，s 2乙＝15[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65>s 2甲，故甲更稳定，故填甲． 10．[2016·衡水二中预测]某中学2015年共91人参加高考，统计数据如下：)答案无关解析 2×2列联表如下：0计算K 2＝－255×36×50×41≈0.11.我们接受统计假设，故考生的户口形式对高考录取没有影响．11．[2016·枣强中学月考]某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[1000,1500)(单位：元)．(1)估计居民月收入在[1500,2000)的概率； (2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数．解 (1)由题意知，居民月收入在[1500,2000)的概率约为1－(0.0002＋0.0001＋0.0003＋0.0005×2)×500＝1－0.0016×500 ＝1－0.8＝0.2.(2)由频率分布直方图知，中位数在[2000,2500)中，设中位数为x ，则0.0002×500＋0.2＋0.0005(x －2000)＝0.5，解得x ＝2400.12.[2016·衡水二中猜题]以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用X 表示．(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵树的平均数与方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学植树总棵数为19的概率．解 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵树是8,8,9,10，所以平均数为x －＝8＋8＋9＋104＝354，方差为s 2＝14⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9－3542⎦⎥⎤＋⎝⎛⎭⎪⎫10－3542＝1116. (2)当X ＝9时，记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)， (A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)， (A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)， (A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)．用C 表示“选出的两名同学的植树总棵树为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们是(A 1，B 4)，(A 2，B 4)，(A 3，B 2)，(A 4，B 2)．由古典概型知，所求概率P (C )＝416＝14.能力组13.[2016·衡水二中一轮检测]某产品在某零售摊位上的零售价x (单位：元)与每天的销售量y (单位：个)的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a 中的b ＝－4，据此模型预计零售价定为15元时，每天的销售量为( )A ．48个B ．49个C ．50个D ．51个答案 B解析由题意知x －＝17.5，y －＝39，代入回归直线方程得a ^＝109,109－15×4＝49，故选B.14．[2016·冀州中学周测]某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为1∶2∶3，则购鞋尺寸在[39.5,43.5)内的顾客所占百分比为________．答案55%解析后两个小组的频率为(0.0375＋0.0875)×2＝0.25，所以前3个小组的频率为1－0.25＝0.75，又前3个小组的面积比为1∶2∶3，即前3个小组的频率比为1∶2∶3.所以第三小组的频率为31＋2＋3×0.75＝0.375，第四小组的频率为0.0875×2＝0.175，所以购鞋尺寸在[39.5,43.5)的频率为0.375＋0.175＝0.55＝55%.15．[2016·冀州中学热身]有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为7.(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，能否有95%的把握认为“成绩与班级有关系”？(3)按下面的方法从甲班的优秀学生中抽取一人．把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6号或10号的概率．附：K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.解(1)2×2(2)K2＝－255×50×30×75≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．(3)设“抽到6号或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x，y)，则所有的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36个．事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8个，∴P(A)＝836＝29.16．[2016·枣强中学周测]某百货公司1～6月份的销售量x 与利润y 的统计数据如下表：(1)根据2至5月份的数据，画出散点图，求出y 关于x 的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？解 (1)根据表中2至5月份的数据作出散点图，如图所示：计算得x －＝11，y －＝24，∑5i ＝2x i y i ＝11×25＋13×29＋12×26＋8×16＝1092，∑5i ＝2x 2i ＝112＋132＋122＋82＝498，则b ^＝∑5i ＝2x i y i －4x －y－∑5i ＝2x 2i －4x－2＝1092－4×11×24498－4×112＝187， a ^＝y －－b ^x －＝24－187×11＝－307.故y 关于x 的回归直线方程为y ^＝187x －307.(2)当x ＝10时，y ^＝187×10－307＝1507，此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪1507－22<2；当x ＝6时，y ^＝187×6－307＝787，此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪787－12<2.故所得的回归直线方程是理想的．。

2015届高三(文)一轮同步训练：第12单元《概率与统计、统计案例》(含答案)

第十二单元概率与统计、统计案例第64讲随机事件的概率1.下列事件中，随机事件的个数为( ) ①物体在重力的作用下会自由下落；②方程x 2＋2x ＋3＝0有两个不相等的实根；③某传呼台某天的某一时段内收到传呼要求10次； ④下周日会下雨． A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.分别写有数字1,2,3,4的4张卡片，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是( )A.14B.13C.12D.233.在正四面体的6条棱中随机抽取2条，则其2条棱互相垂直的概率为( ) A.34 B.23 C.15 D.134.从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为( )A ．0.3B ．0.5C ．0.8D ．0.75.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) A.49 B.13 C.29 D.196.某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为________．7.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 .8.一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取出两个球，求取出的两球中编号奇偶性相同的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球编号为n ，求n <m ＋2的概率．9.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．第65讲古典概型与几何概型1.如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )A ．7.68B ．8.68C ．16.32D ．17.32 2.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A.12B.13C.14D.163.已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落在区域A 内的概率为( )A.19B.29C.13D.494.在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12C.34D.235.从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．6.连掷骰子两次(骰子六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6)得到的点数分别记为a 和b ，则使直线3x －4y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝4相切的概率为________．7.在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 8.从含有两件正品和一件次品的3件产品中每次任取一件． (1)每次取出后不放回，连续取两次； (2)每次取出后放回，连续取两次．试分别求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．9.已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0x >0y >0内的随机点，记A ＝{y ＝f (x )有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1}，求事件A 发生的概率．第66讲抽样方法与总体分布的估计1.总体编号为01,02，…19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()C．02 D．012.某工厂生产滚珠，从某批产品中随机抽取8粒，量得直径分别为(单位：mm)：14.7,14.6,15.1,15.0,14.8,15.1,15.0,14.9，则估计该厂生产的滚珠直径的平均数为()A．14.8 mm B．14.9 mmC．15.0 mm D．15.1 mm3.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，抽取了总成绩介于350分到650分之间的10000名学生成绩，并根据这10000名学生的总成绩画了样本的频率分布直方图(如图)，则总成绩在[400,500)内共有()A．5000人B．4500人C．3250人D．2500人4.某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是()A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数5.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝()A．9 B．10C．12 D．136.样本总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________．7.抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：8.某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况，随机抽取了500户居民去年的月均用电量(单位：kW·h)，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如下，其中直方图从左到右前3个小矩形的面积之比为1∶2∶3，试估计：(1)该乡镇月均用电量在[39.5,43.5)内的居民所占百分比约是多少？(2)该乡镇居民月均用电量的中位数约是多少？(精确到0.01)9.为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.90.80.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41．60.5 1.80.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？第67讲变量的相关性、回归分析、独立性检验1.读自然科学史，有些物理学家也是数学家，如伟大的牛顿，说明数学成绩与物理成绩存在什么关系()A．正相关B．负相关C．无相关D．不确定2.下列结论正确的是()①函数关系是一种确定性关系②相关关系是一种非确定性关系③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④3.某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3000人，计算发现K2的观测值k＝6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是()A.90%C．97.5% D．99.5%4.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为()A．3 B．3.15C．3.5 D．4.55.某高校教“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况，具体数据如下表：为了判断据，得到k＝50×(13×20－10×7)2≈4.844，因为k>3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么23×27×20×30这种判断出错的可能性为________．6.经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方程：y＝0.245x＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加万元．7.某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，可以有________%的把握认为该学校15至K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .8.假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)，有统计数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3,4,5)．由资料知y 对x 呈线性相关，并且统计的五组数据得平均值分别为x －＝4，y －＝5.4，若用五组数据得到的线性回归方程y ＝bx ＋a 去估计，使用8年的维修费用比使用7年的维修费用多1.1万元．(1)求回归直线方程；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？9.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：(1) (2)在上述抽取的6人中选2人，求恰有1名女生的概率；(3)为了研究喜欢打篮球是否与性别有关，计算出K 2≈8.333，你有多大的把握认为是否喜欢打篮球与性别有关？第十二单元概率与统计、统计案例第64讲随机事件的概率1．B ①是必然事件，②是不可能事件，③④是随机事件．2．D 从写有数字1,2,3,4的4张卡片中随机抽取2张，有12,13,14,23,24,34共6种，取出的2张卡片上的数字之和为奇数的取法有12,14,23,34共4种，取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是46＝23.3．C 总的取法有15种，由正四面体的性质可知，对棱垂直，故互相垂直的有3种，所求概率为15，选C.4．D 由互斥事件概率加法公式知：重量在(40，＋∞)的概率为1－0.3－0.5＝0.2，又因为0.5＋0.2＝0.7，所以重量不小于30克的概率为0.7.5．D 两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，个位数为0的有5个，所以概率为545＝19.6．0.5 依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5. 7.1928中国队夺得女子乒乓球单打冠军包括两种情况：一是甲队员夺得单打冠军，二是乙队员夺得单打冠军，故P ＝37＋14＝1928.8．解析：(1)设“两球编号都是奇数”为事件A ，“两球编号都是偶数”为事件B ，则A 、B 为互斥事件．从袋中随机取两个球，其一切可能结果组成的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个．事件A 所含基本事件有(1,3)，共1个，事件B 所含的基本事件有(2,4)，共1个，故所求事件的概率P ＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝16＋16＝13.(2)依题设，一切可能结果(m ，n )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2), (3,3)，(3,4)，(4,1) (4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n ≥ m ＋2 的事件为(1,3) (1,4) (2,4)，共3个，所以满足条件n ≥ m ＋2 的事件的概率为P 1＝316，故满足条件n <m ＋2 的事件的概率为P ′＝1－P 1＝1－316＝1316.9．解析：(1)P (A )＝11000，P (B )＝101000＝1100，P (C )＝501000＝120.故事件A ，B ，C 的概率分别为11000，1100，120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .因为A 、B 、C 两两互斥，所以P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501000＝611000.故1张奖券的中奖概率为611000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－(11000＋1100)＝9891000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.第65讲古典概型与几何概型 1．C2．B 从1,2,3,4中任取2个不同的数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种，取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3)，(2,4)共2种，所以概率为13.3．B Ω表示的区域的面积为12×6×6＝18，A 表示的区域的面积为12×4×2＝4，故P＝29，选B. 4．C 5.15由树形图可知，从6名学生中任选2名有15种选法，从3名女同学中任选2名有3种选法，所以2名都是女同学的概率等于15.6.118连掷骰子两次总的试验结果有36种，要使直线3x －4y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝4相切，则|3a －4b |5＝2，即满足|3a －4b |＝10，符合题意的(a ，b )有(6,2)，(2,4)2个，由古典概型概率计算公式可得所求概率为118.7．1－π12点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球外．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P (A )＝23－12×4π3×1323＝1－π12. 8．解析：(1)用a 1，a 2和b 1表示两件正品和一件次品，则不放回地抽取两次，其一切可能的结果为：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，即基本事件的总数n ＝6.其中小括号内左边的字母表示第一次取出的产品，右边的字母表示第二次取出的产品，用A 表示“取出的两件产品中，恰好有一件次品”这一事件，则A 所含的结果为(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，事件A 包含的事件总数m ＝4.故P (A )＝46＝23.(2)若为有放回的抽取，其基本事件包含的结果为：(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)，即基本事件的总数n ＝9.用B 表示“恰有一件产品为次品”这一事件，则B 包含的结果为(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，事件B 包含的事件总数m ＝4.故P (B )＝49.9．解析：(1)因为函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba.要使函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a .若a ＝1，则b ＝－1；若a ＝2，则b ＝－1,1；若a ＝3，则b ＝－1,1. 记B ＝{函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数}，则事件B 包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5，所以P (B )＝515＝13.(2)依条件可知试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(a ，b )|⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0a >0b >0}，其面积S Ω＝12×8×8＝32，事件A 构成的区域为A ＝{(a ，b )|⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0a >0b >0f (1)<0}＝{(a ，b )|⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0a >0b >0a －4b ＋1<0}．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0a －4b ＋1＝0，得交点坐标为(315，95)．所以S A ＝12×(8－14)×315＝96140，所以事件A 发生的概率为P (A )＝S A S Ω＝9611280. 第66讲抽样方法与总体分布的估计1．D 从第5列和第6列选出的两位数依次为65,72,08,02,63,14,07,02,43,69,97,28,01,98，但编号必须不大于20的且不和前面重复的只能是08,02,14,07,01，选D.2．B 平均数x －＝18(14.7＋14.6＋15.1＋15.0＋14.8＋15.1＋15.0＋14.9)＝14.9(mm)． 3．B 由频率分布直方图可求得a ＝0.005，故[400,500)对应的频率为(0.005＋0.004)×50＝0.45，相应的人数为4500人．4．C 对A 选项，分层抽样要求男女生总人数之比＝男女生抽样人数之比，所以A 选项错．对B 选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B 选项错．对C 选项，男生方差为8，女生方差为6.所以C 选项正确．对D 选项，该班男生成绩的平均数不一定小于该班女生成绩的平均数．所以D 选项错．故选C.5．D 从甲、乙、丙三个车间依次抽取a ，b ，c 个样本，则120∶80∶60＝a ∶b ∶3⇒a ＝6，b ＝4，n ＝a ＋b ＋c ＝13.选D.6．63 因为m ＝6，k ＝7，所以m ＋k ＝13，它的个位为3，依题意第7组的号码为60,61,62，…，69.所以第7组抽取的号码应为63.7．2 根据平均数公式，运动员甲的平均数；x －甲＝15(87＋91＋90＋89＋93)＝90，运动员乙的平均数：x －乙＝15(89＋90＋91＋88＋92)＝90，根据方差公式，s 2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4， s 2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2，因为s 2甲>s 2乙，所以成绩较稳定的运动员为乙，他的训练成绩的方差为2.8．解析：(1)设直方图从左到右前3个小矩形的面积分别为P ,2P ,3P .由直方图可知，最后两个小矩形的面积之和为(0.0875＋0.0375)×2＝0.25.因为直方图中各小矩形的面积之和为1，所以P ＋2P ＋3P ＝0.75，即P ＝0.125.所以3P ＋0.0875×2＝0.55.由此估计，该乡镇居民月均用电量在[39.5,43.5)内的居民所占百分比约是55%.(2)显然直方图的面积平分线位于正中间一个矩形内，且该矩形在面积平分线左侧部分的面积为0.5－P －2P ＝0.5－0.375＝0.125，设样本数据的中位数为39.5＋x .因为正中间一个矩形的面积为3P ＝0.375，所以x ∶2＝0.125∶0.375，即x ＝23≈0.67. 从而39.5＋x ≈40.17，由此估计，该乡镇居民月均用电量的中位数约是40.17(kW·h)．9．解析：(1)设A 药观测数据的平均数为x －，B 药观测数据的平均数为y －，由观测结果可知，x －＝2.3，y －＝1.6，由以上计算结果可知x －>y －，因此可看出A 药的效果好．(2)从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，因此可看出A 药的效果好．第67讲变量的相关性、回归分析、独立性检验1．A 2.C3．C 因为k ＝6.023>5.024.4．A 由线性回归直线过样本点的中心(x －，y －)，x －＝4.5，得y －＝3.5，即2.5＋t ＋4＋4.54＝3.5，解得t ＝3.5．5% 因为k >3.841，所以P (K 2≥3.841)＝0.05.故这种判断出错的可能性为5%.6．0.245 x 变为x ＋1，y ＝0.245(x ＋1)＋0.321＝0.245x ＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元．7．97.5 K 2＝20(4×12－3×1)25×7×13×15≈5.934＞5.024，所以可以有97.5%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系．8．解析：(1)因为线性回归方程y ＝bx ＋a 经过定点(x －，y －)，将x －＝4，y －＝5.4代入回归方程得5.4＝4b ＋a ，又8b ＋a －(7b ＋a )＝1.1，解得b ＝1.1，a ＝1.所以线性回归方程是y ＝1.1x ＋1.(2)将x ＝10代入线性回归方程得y ＝12(万元)．所以线性回归方程为y ＝1.1x ＋1；估计使用年限为10年时，维修费用是12万元．9．解析：(1)在喜欢打篮球的学生中抽6人，则抽取比例为630＝15. 所以男生应该抽取20×15＝4人． (2)在上述抽取的6名学生中，女生有2人，男生有4人．女生2人记为A ，B ；男生4人记为c ，d ，e ，f ，则从6名学生中任取2名的所有情况为：(A ，B )、(A ，c )、(A ，d )、(A ，e )、(A ，f )、(B ，c )、(B ，d )、(B ，e )、(B ，f )、(c ，d )、(c ，e )、(c ，f )、(d ，e )、(d ，f )、(e ，f )共15种情况，其中恰有1名女生的情况有：(A ，c )、(A ，d )、(A ，e )、(A ，f )、(B ，c )、(B ，d )、(B ，e )、(B ，f )，共8种情况，故在上述抽取的6人中选2人，恰有1名女生的概率为P ＝815. (3)因为K 2≈8.333，且P (K 2≥7.879)＝0.005＝0.5%，那么，我们有99.5%的把握认为是否喜欢打篮球是与性别有关系的．。

高考数学一轮总复习第十二章概率与统计训练检测理新人教B版

（１）求甲的康复时间不少于１４天的概率；
人，Ａ组选出的人记为甲，Ｂ组选出的人记为乙．
假设所有病人的康复时间互相独立，从Ａ，Ｂ两组随机各选１
（３）当ａ为何值时，Ａ，Ｂ两组病人康复时间的方差相等？（结事件Ｂｊ为乙是Ｂ组的第ｊ个人，ｉ，ｊ＝１，２，由题意可知Ｐ（Ａｉ）＝Ｐ（Ｂｊ）＝１，ｉ，ｊ＝１，２，７，７．
２．解析㊀设事件Ａｉ为甲是Ａ组的第ｉ个人，
（１）由题意知，事件甲的康复时间不少于１４天等价于甲是不少于１４天的概率是Ｐ（Ａ５ ɣ Ａ６ ɣ Ａ７）＝Ｐ（Ａ５）＋Ｐ（Ａ６）＋Ｐ（Ａ７）＝３．７
，７．
Ａ组的第５人，或者第６人，或者第７人，所以甲的康复时间
６㊀８㊀８㊀６㊀４㊀３９㊀２㊀８㊀６㊀５㊀１７㊀５㊀５㊀２
６㊀４㊀２
３㊀３㊀４㊀６㊀９
２㊀４㊀５㊀５
Hale Waihona Puke 由题意知，Ｃ＝Ａ４Ｂ１ ɣ Ａ５Ｂ１ ɣ Ａ６Ｂ１ ɣ Ａ７Ｂ１ ɣ Ａ５Ｂ２ ɣ Ａ６Ｂ２ ɣ Ａ７Ｂ２ ɣＡ７Ｂ３ ɣＡ６Ｂ６ ɣＡ７Ｂ６．因此Ｐ（Ｃ）＝Ｐ（Ａ４Ｂ１）＋Ｐ（Ａ５Ｂ１）＋Ｐ（Ａ６Ｂ１）＋Ｐ（Ａ７Ｂ１）＋Ｐ（Ａ５Ｂ２）＋Ｐ（Ａ６Ｂ２）＋Ｐ（Ａ７Ｂ２）＋Ｐ（Ａ７Ｂ３）＋Ｐ（Ａ６Ｂ６）＋Ｐ（Ａ７Ｂ６）＝１０Ｐ（Ａ４Ｂ１）＝１０Ｐ（Ａ４）Ｐ（Ｂ１）＝１０．４９

高考数学大一轮复习专题12概率与统计课件理

①互斥事件研究的是两个（或多个）事件之间的关系；②所研究的事件是在一次试验中涉及的
8
9
10
600分基础考点&考法
考点70 古典概型与几何概型
考法3 求古典概型的概率
考法4 几何概型的概率计算
11
考点70 古典概型与几何概型
(1)任何两个基本事件是互斥的; 1.基本事件的特点 (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
1.频率与概率
2.互斥事件与对立事件 3.互斥事件与对立事件的概率公式
考法1 频率估计概率
事件 A发生的频率 f n A nA n
随着试验次数的增多，它在A 的概率附近摆动幅度越来越小
概率是频率的稳定值
在试验次数足够的情况下
利用频率估计概率
6
考法2 求互斥事件、对立事件的概率
1.求简单的互斥事件、对立事件的概率
分析该事件是互斥还是对立，然后代入相应的概率公式
2.求复杂的互斥事件的概率的方法
直接法将所求事件分解为彼此互斥的事件的和利用公式分别计算这些事件的概率运用互斥事件的概率求和公式计算概率间接法判断是否适合用间接法计算对立事件的概率运用公式P(A)＝1－P(A)求解把一个复杂事件分解为若干个互斥或相互独立的既不重复又不遗漏的简单事件是解决问题的关键. 7
考法1 求离散型随机变量的分布列
一般步骤
【说明】求概率和分布列时，要注意离散型随机变量分布列性质的应用，具体如下：
（1）利用“分布列中所有事件的概率和为1”
求某个事件的概率、求参数的值；（2）利用分布列求某些个事件的和的概率.
29
考法2 超几何分布的求解

高考数学(理)一轮资源库第十二章高考中的概率与统计问题

有当科目 A 成绩合格时，才可继续参加科目 B 的考试.已知每个科
目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书，现某人参加这项考试，科目 A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目 B 每次考试成绩合格的概率均为12，假设各次考试成绩合格与否
互不影响.
(1)求他不需要补考就可获得证书的概率.
数学苏（理）
专题七高考中的概率与统计问题
第十二章概率、随机变量及其概率分布
考点自测
题号
1 2 3 4
考点自测
自我检测查缺补漏
答案
③ V(ξ1)>V(ξ2)
3 4 3 5
高考题型突破
解析
练出高分
高考题型突破
题型一
求按科目 A 和科目 B 依次进行，只
考点自测
高考题型突破
考点自测
高考题型突破
练出高分
高考题型突破
题型一
求事件的概率
【例 1】某项专业技术认证考试按科目 A 和科目 B 依次进行，只
有分当别科为目事件A 成E，绩C合，格D时.则，P才(E可)＝继P续(A1参B1加＋科A1目AB2 )的考试.已知每个科
目＝只P(允A1许)P(有B1一)＋次P补( A考1 )P机( A会2 )，＝两23×个12科＋目13×成13＝绩49均，合格方可获得证书，现P(某C)人＝参P(加A1这B1项B2考＋试A1，B1科目B2 ＋A 每A1次A2考B1)试成绩合格的概率均为23，科
(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他分别
参加 2 次、3 次、4 次考试的概率.
考点自测
高考题型突破
练出高分
高考题型突破
题型一
求事件的概率

高考数学一轮复习概率与统计【配套文档】第十二章 12.3

§12.3 几何概型2014高考会这样考 1.以小题形式考查与长度或面积有关的几何概型；2.和平面几何、函数、向量相结合考查几何概型，题组以中低档为主．复习备考要这样做 1.准确理解几何概型的意义，会构造度量区域；2.把握与古典概型的联系和区别，加强与数学其他知识的综合训练．1．几何概型的定义事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积、体积)成正比，而与A 的位置和形状无关，满足上述条件的试验称为几何概型． 2．几何概型的概率公式P (A )＝μAμΩ，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA 表示子区域A 的几何度量．[难点正本疑点清源]1．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解． 2．几何概型的两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．1．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0，1]的概率为________．答案 13解析如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P ＝|CD ||AB |＝13.2．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．答案 23解析如图可设l AB＝1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是23.3．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2,3]，则直线在y 轴上的截距大于1的概率是________．答案 25解析区域D 为区间[－2,3]，d 为区间(1,3]，而两个区间的长度分别为5,2.故所求概率P ＝25. 4．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )A.15B.25C.35D.45答案 B解析以时间的长短进行度量，故P ＝3075＝25.5． (2012·湖北)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π答案 A解析方法一设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC . 不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2.所以P ＝π－2π＝1－2π.方法二连接AB ，由S 弓形AC ＝S 弓形BC ＝S 弓形OC 可求出空白部分面积．设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，令OA ＝2. 由题意知C ∈AB 且S 弓形AC ＝S 弓形BC ＝S 弓形OC ，所以S 空白＝S △OAB ＝12×2×2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2.所以P ＝S 阴影S 扇形OAB＝π－2π＝1－2π.题型一与长度有关的几何概型例1 在集合A ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx ＋34m ＋1＝0无实根}中随机地取一元素m ，恰使式子lg m 有意义的概率为________．思维启迪：通过转化集合A 和lg m 有意义将问题转化成几何概型．答案 45解析由Δ＝m 2－4⎝⎛⎭⎫34m ＋1<0得－1<m <4. 即A ＝{m |－1<m <4}．由lg m 有意义知m >0，即使lg m 有意义的范围是(0,4)，故所求概率为P ＝4－04－(－1)＝45.探究提高解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算．事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．答案1 2解析记事件A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长(此时F 为OE 中点)，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型公式得：P (A )＝12×22＝12.题型二与面积有关的几何概型例2 设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．思维启迪：(1)为古典概型，利用列举法求概率．(2)建立a －b 平面直角坐标系，将问题转化为与面积有关的几何概型．解设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.探究提高数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域．(2012·湖南)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与 x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．(1)若φ＝π6，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，332，则ω＝________；(2)若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为________．答案 (1)3 (2)π4解析 (1)∵f (x )＝sin(ωx ＋φ)，∴f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)．当φ＝π6时，f ′(x )＝ωcos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6. 又该函数过点P ⎝⎛⎭⎫0，332，故332＝ωcos π6.∴ω＝3.(2)设A (x 0,0)，则ωx 0＋φ＝π2，∴x 0＝π2ω－φω.又y ＝ωcos(ωx ＋φ)的周期为2πω，∴|AC |＝πω，C ⎝⎛⎭⎫π2ω－φω＋πω，0. 依题意曲线段ABC 与x 轴围成的面积为 S ＝－ʃπ2ω－φω＋πωπ2ω－φωωcos(ωx ＋φ)d x ＝2.∵|AC |＝πω，|y B |＝ω，∴S △ABC ＝π2.∴满足条件的概率为π4.题型三与角度、体积有关的几何概型例3 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．思维启迪：根据“在∠BAC 内作射线AM ”可知，本题的测度是角度．解因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°，在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.探究提高几何概型的关键是“测度”，如本题条件若改成“在线段BC 上找一点M ”，则相应的测度变成线段的长度．一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为( )A.18B.116C.127D.38答案 C解析由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303＝127.转化与化归思想在概率中的应用典例：(12分)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．审题视角 (1)向量a ∥b 转化为x ＝2y ，而x 、y 的值均为有限个，可以直接列出，转化为古典概型问题；(2)和(1)中条件类似，但x 、y 的值有无穷多个，应转化为几何概型问题．规范解答解 (1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；[3分]其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．则P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16.[5分](2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .[7分]基本事件空间为Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2－1≤y ≤1，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2－1≤y ≤12x ＋y <0x ≠2y ，[10分]则P (B )＝μB μΩ＝12×⎝⎛⎭⎫12＋32×23×2＝13，即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13.[12分]温馨提醒 (1)对含两个变量控制的概率问题，若两个变量取值有限个，可转化为古典概型；若取值无穷多个，则可转化为几何概型问题．(2)本题错误的主要原因是不能将问题化归为几何概型问题，找不到问题的切入点．所以要注意体会和应用转化与化归思想在解决几何概型中的作用.方法与技巧1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个． 2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．失误与防范1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·辽宁)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45答案 C解析设AC ＝x ，CB ＝12－x ，所以x (12－x )<32，解得x <4或x >8. 所以P ＝4＋412＝23.2． (2012·北京)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ( )A.π4B.π－22C.π6D.4－π4答案 D解析如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4.3．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17答案 C解析 ∵S 阴影＝ʃ10(x －x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 210 ＝23－12＝16，又S 正方形OABC ＝1， ∴由几何概型知，P 恰好取自阴影部分的概率为161＝16.4．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则sinπx 4的值介于－12与22之间的概率为 ( )A.14B.13C.23D.56答案 D解析 ∵－1≤x ≤1，∴－π4≤πx 4≤π4. 由－12≤sin πx 4≤22，得－π6≤πx 4≤π4，即－23≤x ≤1.故所求事件的概率为1＋232＝56. 二、填空题(每小题5分，共15分)5．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．答案 13解析如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为13.6．设p 在[0,5]上随机地取值，则方程x 2＋px ＋p 4＋12＝0有实根的概率为________．答案 35解析一元二次方程有实数根⇔Δ≥0，而Δ＝p 2－4⎝⎛⎭⎫p 4＋12＝(p ＋1)(p －2)，解得p ≤－1或p ≥2，故所求概率为P ＝[0，5]∩{(－∞，－1]∪[2，＋∞)}的长度[0，5]的长度＝35. 7．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为________．答案 34解析根据函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点得4a 2－4(π－b 2)≥0，即a 2＋b 2≥π，建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD 及其内部，使函数f (x )有零点的区域为图中阴影部分，且S 阴影＝4π2－π2＝3π2.故所求概率为P ＝S 阴影S 正方形＝3π24π2＝34. 三、解答题(共22分)8． (10分)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率．解如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1.设M －ABCD 的高为h ，则13×S ABCD ×h <16，又S ABCD ＝1，∴h <12，即点M 在正方体的下半部分，∴所求概率P ＝12V 正方体V 正方体＝12. 9． (12分)已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －8≤0x >0y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解因为函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2b a，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2b a≤1，即2b ≤a . 依条件，可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(a ，b )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0a >0b >0.构成所求事件的区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(a ，b )⎪⎪⎪ 2b a ≤1a >0b >0.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为⎝⎛⎭⎫163，83，所以所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13. B 组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( ) A.12 B.23 C.34 D.14 答案 C解析要使该函数无零点，只需a 2－4b 2<0，即(a ＋2b )(a －2b )<0.∵a ，b ∈[0,1]，a ＋2b >0，∴a －2b <0.作出⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b <0的可行域，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34. 2．如图所示，设M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长超过2R 的概率为( )A.15B.14C.13D.12 答案 D解析如图，在圆上过圆心O 作与OM 垂直的直径CD ，则MD ＝MC＝2R ，当点N 不在半圆弧CMD 上时，MN >2R ，故所求的概率P (A )＝πR 2πR ＝12. 3． (2012·陕西)如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入 ( )A ．P ＝N 1 000B ．P ＝4N 1 000C ．P ＝M 1 000D ．P ＝4M 1 000答案 D解析 ∵x i ，y i 为0～1之间的随机数，构成以1为边长的正方形面，当x 2i ＋y 2i ≤1时，点(x i ，y i )均落在以原点为圆心，以1为半径且在第一象限的14圆内，当x 2i ＋y 2i >1时对应点落在阴影部分中(如图所示)． ∴有N M ＝1－π4π4，N π＝4M －M π，π(M ＋N )＝4M ，π＝4M 1 000. 二、填空题(每小题5分，共15分)4．在区间[0,1]上随意选择两个实数x ，y ，则使x 2＋y 2≤1成立的概率为________．答案 π4解析 D 为直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝1围成的正方形区域，而由x 2＋y 2≤1，即x 2＋y 2≤1(x ≥0，y ≥0)知d 为单位圆在第一象限内部分(四分之一个圆)，故所求概率为14π×121×1＝π4. 5． (2011·江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不．在家看书的概率为________．答案 1316解析 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×(12)2π×12＝34，去打篮球的概率P 2＝π×(14)2π×12＝116， ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316. 6．如图所示，在单位圆O 的某一直径上随机地取一点Q ，则过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率是________．答案 1－32解析弦长不超过1，即|OQ |≥32，而Q 点在直径AB 上是随机的，事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P (A )＝32×22＝32. ∴弦长不超过1的概率为1－P (A )＝1－32. 三、解答题7． (13分)设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段，(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解 (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13. (2)设其中两条线段长度分别为x 、y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <60<y <60<6－x －y <6，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <60<y <60<x ＋y <6，所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形，则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >6－x －yx ＋6－x －y >y y ＋6－x －y >x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >3y <3x <3，所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.。

备战2020年高考数学一轮复习第12单元统计、统计案例与概率单元训练(A卷,文,含解析)(最新整理)

,从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为_____．
16．如图，在边长为2的正方形中，以的中点为圆心，以为半径作圆弧,交边于点，从正方形中任取一点，则该点落在扇形中的概率为_____．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（12分）已知某商品每件的生产成本（元）与销售价格（元）具有线性相关关系，对应数据如表所示：
（元）
5
6
7
8
（元）
15
17
21
27
（1）求出关于的线性回归方程；
（2）若该商品的月销售量（千件）与生产成本（元）的关系为，，
根据(1)中求出的线性回归方程，预测当为何值时，该商品的月销售额最大．
10．【答案】B
【解析】由观测值，对照临界值得4．844 3．841,
由于P（X2
≥3．841）≈0．05，∴认为选修理科与性别有关系出错的可能性为5%．故选B．
11．【答案】C
【解析】（甲送给丙、乙送给丁)、(甲送给丁，乙送给丙）、(甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况,
其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种，
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A)
第12单元统计、统计案例与概率
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．

高三数学第一轮复习第十二章《概率和统计》课件

• 探究2 等可能事件的概率，首先要弄清楚试验结果是不是“等可能”，其次要正确求出基本事件总数和事件A所包含的基本事件的个数．
• 思考题2 某汽车站每天均有3辆开往省城济南的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往济南办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．那么他乘上上等车的概率为__________．
4．一个坛子里有编号 1,2，…，12 的 12 个大小相同
的球，其中 1 到 6 号球是红球，其余的是黑球，若从中
任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号
码是偶数的概率为( )
1
1
A.22
B.11
3
2
C.22
D.11
解析分类：一类是两球号均为偶数且为红球，有 C32 种取法；另一类是两球号码是一奇一偶有 C31C31 种取法
• 思考题1 掷两颗均匀的普通骰子，两个点数和为x(其中 x∈N*)．
• ①记事件A：x＝5，写出事件A包含的基本事件，并求P(A)；
• ②求x≥10时的概率．
• 【分析】每一次试验得到的是两颗骰子的点数，所以每一个基本事件都对应着有序数对．
【解析】 ①每次试验两颗骰子出现的点数分别记为
m、n
最短路线的概率是( )
1
1
A.2
B.3
1
1
C.5
D.6
解析基本事件，等可能事件的概率． • 答案n＝3D×2＝6，m＝1. ∴P(A)＝16.
• 3则．剩有下五两答个个案数数字字1130都、是2、奇3数、的4、概5率中是，_若__随__机__取__出__三_(个结数果字用，数值表示解)析．任取的三个数字中有 2 个偶数，1 个奇数，

北师版高考总复习一轮理科数精品课件第12章概率解答题专项六概率与统计

附:相关系数 r=
∑ ( -)( -)
=1

∑ ( -) ∑ ( -)2
=1
2
=1
, 1.896≈1.377.
解:(1)依题意, =
0.6
=0.06,
10
=
3.9
=0.39,
10
0.6
故估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 10 =0.06,
3.9
及数学期望.
2
(
-
)
参考公式及数据:χ2=(+)(+)(+)(+),其中
n=a+b+c+d.
解:(1)∵在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6,
∴喜欢跑步的人数为200×0.6=120,
可得2×2列联表如下.
性别
男
女
总计
喜欢跑步
80
40
120
2
200×(80×20-60×40)
进一步点燃.正值寒假期间,嵩山滑雪场迎来了众多的青少年.某滑雪俱乐
部为了解中学生对滑雪运动是否有兴趣,从某中学随机抽取男生和女生各
3
50人进行调查,对滑雪运动有兴趣的人数占总人数的 4 ,女生中有5人对滑
雪运动没有兴趣.
(1)完成下面2×2列联表,并判断是否有99%的把握认为对滑雪运动是否有
兴趣与性别有关?
的准确度.
对点训练2(2020全国Ⅱ,理18)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改
善,野生动物数量有所增加,为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成
面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作
为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分别表示第i个样区

高考总复习理数(人教版)课时作业提升第12章算法初步统计统计案例第4节变量间的相关关系与统计案例

课时作业提升(七十三) 变量间的相关关系与统计案例(对应学生用书P 298) A 组夯实基础1．已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 2 3 ym35.57已求得关于y 与x 的线性回归方程y ^＝2.1x ＋0.85，则m 的值为( ) A ．1 B ．0.85 C ．0.7D ．0.5解析：选D 回归直线必过样本中心点(1.5，y －)，故y －＝4，m ＋3＋5.5＋7＝16，得m ＝0.5.2．已知某车间加工零件的个数x 与所花费时间y (h)之间的线性回归方程为y ^＝0.01x ＋0.5，则加工600个零件大约需要的时间为( )A ．6.5 hB ．5.5 hC ．3.5 hD ．0.3 h解析：选A 将600代入线性回归方程y ^＝0.01x ＋0.5中得需要的时间为6.5 h. 3．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D A 中由于回归方程中的x 系数为正，所以具有正的线性相关关系，A 正确；B 由线性回归方程的推导可知回归方程必过样本点的中心(x －，y －)，B 正确；C 中，身高增加1 cm ，则Δy ＝0.85(x ＋1)－85.71－(0.85x －85.71)＝0.85(kg)，C 正确．D 中，将170代入回归方程得y ＝58.79 kg ，这个值只能是一个推测的结果，和实际值允许有误差，D 错误．4．已知x ，y 的取值如下表：从所得散点图中分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则x ＝13时，y 等于( ) A ．1.45 B ．13.8 C ．13D ．12.8解析：选B 由题意，x －＝16×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，y －＝16×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25，∵y 与x 线性相关，且y ^＝0.95x ＋a ^，∴5.25＝0.95×4＋a ^，∴a ^＝1.45，从而当x ＝13时，有y ＝13.8.故选B ．5．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是( )A ．列联表中c 的值为30，b 的值为35B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50C ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 解析：选C 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c ＝20，b ＝45，选项A 、B 错误．根据列联表中的数据，得到K 2＝105×(10×30－20×45)255×50×30×75≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．6．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y ＝b x ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________.解析：x －＝10，y －＝40，回归方程过点(x －，y －)，∴40＝－2×10＋a ^.∴a ^＝60.∴y ^＝－2x ＋60. 令x ＝－4，∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68. 答案：687．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况，具体数据如下表：为了判断主修的数据，得到K 2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，因为K 2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________.解析：∵K 2≈4.844＞3.841，∴有95%的把握认为主修统计专业与性别有关系，即作出“主修统计专业与性别有关系”的判断，出错的可能性不超过5%.答案：5%8．考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x (cm)与肱骨长度y (cm)的线性回归方程为y ^＝1.197x －3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm 时，肱骨长度的估计值为________cm.解析：根据回归方程y ^＝1.197x －3.660，将x ＝50代入，得y ＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm.答案：56.199．(2018·菏泽质检)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程．预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)解：(1)由题设所给数据，可得散点图如图所示．(2)由对照数据，计算得：∑i ＝14x 2i ＝86，x －＝3＋4＋5＋64＝4.5(吨)，y －＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5(吨)．已知∑i ＝14x i y i ＝66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：b ^＝∑i ＝14x i y i －4x －·y－∑i ＝14x 2i －4x －2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，a ^＝y －－b ^x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35.因此，所求的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为： 90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．B 组能力提升1．(2018·重庆测试)为了判定两个分类变量X 和Y 是否有关系，应用独立性检验法算得K 2的观测值为5，又已知P (K 2≥3.841)＝0.05，P (K 2≥6.635)＝0.01，则下列说法正确的是( )A ．有95%的把握认为“X 和Y 有关系”B ．有95%的把握认为“X 和Y 没有关系”C ．有99%的把握认为“X 和Y 有关系”D ．有99%的把握认为“X 和Y 没有关系”解析：选A 依题意，K 2＝5，且P (K 2≥3.841)＝0.05，因此有95%的把握认为“X 和Y 有关系”，选A ．2．(2018·河南八市联考)某公司在2018年上半年的收入x (单位：万元)与月支出y (单位：万元)的统计资料如表所示：月份 1 2 3 4 5 6 收入x 12.3 14.5 15.0 17.0 19.8 20.6 支出y5.635.755.825.896.116.18根据统计资料，则( )A ．月收入的中位数是15，x 与y 有正线性相关关系B ．月收入的中位数是17，x 与y 有负线性相关关系C ．月收入的中位数是16，x 与y 有正线性相关关系D ．月收入的中位数是16，x 与y 有负线性相关关系解析：选C 月收入的中位数是15＋172＝16，由表可知收入增加，支出增加，故x 与y有正线性相关关系，故选C ．3．(2018·临沂质检)已知变量x 与y 之间的回归直线方程为y ^＝－3＋2x ，若∑i ＝110x i ＝17，则∑i ＝110y i 的值等于( )A ．3B ．4C ．0.4D ．40解析：选B 依题意x －＝1710＝1.7，而直线y ^＝－3＋2x 一定经过样本点的中心(x －，y －)，所以y －＝－3＋2x －＝－3＋2×1.7＝0.4，所以∑i ＝110y i ＝0.4×10＝4.4．(2018·河南八市联考)为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随机抽取了5天，其开业天数与每天的销售额的情况如下表所示：开业天数 10 2030 40 50 销售额/天(万元)62758189根据上表提供的数据，求得y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.67x ＋54.9，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为________.解析：设表中模糊看不清的数据为m .因为x －＝10＋20＋30＋40＋505＝30，又样本中心(x －，y －)在回归直线y ^＝0.67x ＋54.9上，所以y －＝m ＋3075＝0.67×30＋54.9，得m ＝68.答案：685．(2018·烟台质检)在2017年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－3.2x ＋40，且m ＋n ＝20，则其中的n ＝________.解析：x －＝9＋9.5＋m ＋10.5＋115＝8＋m 5，y －＝11＋n ＋8＋6＋55＝6＋n 5，回归直线一定经过样本点中心(x －，y －)，即6＋n5＝－3.2⎝⎛⎭⎫8＋m 5＋40，即3.2m ＋n ＝42. 又因为m ＋n ＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3.2m ＋n ＝42，m ＋n ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝10，故n ＝10.答案：106．(2018·沈阳质检)为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为25.(1)求2×2列联表中的数据x ，y ，A ，B 的值； (2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？(3)能够有多大把握认为疫苗有效？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(a ＋c )(c ＋d )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋dP (K 2≥k 0)0.05 0.01 0.005 0.001 k 03.8416.6357.87910.828解：(1)设“从所有试验动物中任取一只，取到‘注射疫苗’动物”为事件E ，由已知得P (E )＝y ＋30100＝25，所以y ＝10，B ＝40，x ＝40，A ＝60.(2)未注射疫苗发病率为4060＝23，注射疫苗发病率为1040＝14.发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到发病率，且注射疫苗的发病率小，故判断疫苗有效．(3)K 2＝100×(20×10－30×40)250×50×40×60＝503≈16.667＞10.828. 所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效．7．(2016·全国卷Ⅲ)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1—7分别对应年份2008—2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以证明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17，∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t)2∑i ＝1n(y i －y )2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a ^＝y －b ^t .解：(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得t ＝4，∑i ＝17(t i －t)2＝28, ∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，∑i ＝17 (t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，∴r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝2.8928≈0.103. a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．。

2020届高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.4统计教师用书(PDF,含解析)

一般地ꎬ茎是指中间的一列数ꎬ叶就是从茎的旁边生长出来
的数.
( ２) 用样本的数字特征估计总体的数字特征
①众数:一组数据中出现次数最多的数.
②中位数:将数据从小到大( 或从大到小) 排列ꎬ若有奇数个
数ꎬ则最中间的数是中位数ꎻ若有偶数个数ꎬ则中间两数的平均
数是中位数.
(
３)
平均数:ｘ
＝
ｘ
１
＋
ｘ
２
＋��＋ｎ
种常用方法.在线性回归模型ｙ＝ｂｘ＋ａ＋ｅ中ꎬ因变量ｙ的值由自
变量ｘ和随机误差ｅ共同确定ꎬ即自变量ｘ只能解释部分ｙ的变
化ꎬ在统计中ꎬ我们把自变量ｘ称为解释变量ꎬ因变量ｙ称为预报
变量.
４.回归方程
ｎ
∑ｘｉｙｉ－ｎｘｙ
ｙ＾＝ｂ＾ｘ＋ａ＾ ꎬ其中ｂ＾＝
样本数据的离散程度.
考点二变量的相关性
１.相关关系当自变量取值一定时ꎬ因变量的取值带有一定随机性的两
个变量之间的关系叫做相关关系. 与函数关系不同ꎬ相关关系是一种不确定关系.
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