高中一年级数学平面向量知识点及典型例题解析
高一数学平面向量的概念试题答案及解析
高一数学平面向量的概念试题答案及解析1.已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，则向量表示（）A．向东南航行km B．向东南航行2kmC．向东北航行km D．向东北航行2km【答案】A【解析】根据题意由于向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，那么可知向量表示向东南航行km ，故选A.【考点】向量的物理意义点评：主要是考查了向量的物理意义的运用，属于基础题。
2.在平行四边形ABCD中, + +等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】结合图形，+ += + += ，故选A。
【考点】本题主要考查平面向量的线性运算。
点评：简单题，在平行四边形中，由平行四边形法则。
注意相等向量及相反向量。
3.已知点，向量，且，则点的坐标为。
【答案】【解析】设点的坐标为（x,y）,则由得，（x-2,y-4）=2(3,4),所以x-2=6,y-4=8，所以x=8,y=12，即点的坐标为。
【考点】本题主要考查平面向量的概念及其坐标运算。
点评：简单题，注意若A（a,b）,B(c,d),则。
4.作用于原点的两个力F1 ="(1,1)" ,F2 ="(2,3)" ,为使得它们平衡，需加力F3=【答案】(-3,-4)【解析】F3=-(F1+F2)=-(3,4)=(-3,-4).5.下列判断正确的是 ( )A．若向量与是共线向量，则A,B,C,D四点共线；B．单位向量都相等；C．共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；D．模为0的向量的方向是不确定的。
【答案】D【解析】解：因为A.若向量与是共线向量，则A,B,C,D四点共线；可能构成四边形。
B.单位向量都相等；方向不一样。
C.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；不一定。
D.模为0的向量的方向是不确定的，成立6.下列命题中正确的是（）A．若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合.B．模相等的两个平行向量是相等向量.C．若和都是单位向量,则.D．两个相等向量的模相等.【答案】D【解析】根据向量相等的定义易知两个相等向量的模相等，故选D相等向量只需要模相同，方向相同，所以（1）错；模相等的平行向量有可能方向相反，所以（2）错；都是单位向量，向量的模不一定相同，所以两个向量不一定相等，所以（3）错；相等向量是模相同，方向相同的向量，所以（4）对．解：对于（1），相等向量只需要模相同，方向相同，所以（1）错；对于（2）模相等的平行向量有可能方向相反，所以（2）错；对于（3），都是单位向量，向量的模不一定相同，所以两个向量不一定相等，所以（3）错；对于（4），相等向量是模相同，方向相同的向量，所以（4）对．故选C7.给出下列命题：①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②两个单位向量是相等向量；③若, ,则；④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；⑤若,则。
高中平面向量知识点详细归纳总结(附带练习)
向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,()0a a +-=.(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3. a b =的充要条件是( )A.a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥ []l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )A.AD BC =B.AD BC ∥且AB CD ∥C.AB DC =且AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。
平面向量知识点+例题+练习+答案
五、平面向量1．向量的概念①向量 既有大小又有方向的量。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。
(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
高一数学平面向量知识点及典型例题解析
高一数学 第八章 平面向量第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念①向量：既有大小又有方向的量。
几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。
向量的模（长度），记作|AB |.即向量的大小，记作｜a|。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，规定0平行于任何向量。
（与0的区别） ③单位向量｜a｜＝1。
④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b⑤相等向量记为b a=。
大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =a ，BC =b ，则向量叫做a 与b的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=特殊情况：(1)BBabba +AABC C)2()3(向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”。
②向量减法： 同一个图中画出a b a b +-、要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. （3）实数与向量的积3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ。
二．【典例解析】题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)ba ==则 (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a =，c b =，则c a =；(7)若b a //，c b //，则c a// (8) b a =的充要条件是||||b a =且b a //；(9) 若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ==,A练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的 A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律 例2 化简)()(BD AC CD AB ---=练习1.下列命题中正确的是 A ．OA OB AB -= B ．0AB BA +=C ．00AB ⋅=D ．AB BC CD AD ++=2.化简AC -BD +CD -AB 得 A ．AB B ．DA C ． D ．03．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0题型三: 结合图型考查向量加、减法例3在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是( )A ．13B ．12C ．23D ．34例4重心、垂心、外心性质练习: 1．如图，在ΔABC 中，D 、E 为边AB 的两个三等分点，CA →=3a ，CB → =2b ，求CD → ，CE → ． 2已知a b a b+-=求证a b ⊥3若O 为ABC ∆的内心，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆的形状为（ ）A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.钝角三角形4．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB → 5．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|等于________．6．已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则( )A ．点P 在△ABC 外部B ．点P 在线段AB 上C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在线段AC 上ABDE7．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( ) A.23 B.13 C ．－13 D ．－23 题型四: 三点共线问题例 4 设21,e e 是不共线的向量,已知向量2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=,若A,B,D 三点共线,求k 的值例5已知A 、B 、C 、P 为平面内四点， A 、B 、C 三点在一条直线上 PC → =mPA → +nPB →，求证： m+n=1．练习：1．已知：2121212 ,B),(3e e e +=-=+=，则下列关系一定成立的是（ ）A 、A ，B ，C 三点共线 B 、A ，B ，D 三点共线 C 、C ，A ，D 三点共线 D 、B ，C ，D 三点共线2．(原创题)设a ，b 是两个不共线的向量，若AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于________．第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示 一．【要点精讲】1．平面向量的基本定理如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的_单位向量_ i 、j 作为基底a ，有且只有一对实数x 、y ，BC AOM D使得a xi yj =+…………○1，把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =…………○2其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示与a 相等的向量的坐标也为,(y x 特别地，(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)=特别提醒：设yj xi +=，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示3．平面向量的坐标运算（1）若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +=1212(,)x x y y ++，a b -= 1212(,)x x y y --（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB = （3）若(,)a x y =和实数λ，则a λ=(,)x y λλ4．向量平行的充要条件的坐标表示：设a=(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) 其中b ≠aa ∥b (b≠)的充要条件是12210x y x y -=二．【典例解析】题型一. 利用一组基底表示平面内的任一向量[例1] 在△OAB 中，21,41==，AD 与BC 交于点M ，设OA =a ，OB =b ，用a ,b 表示OM .练习:1．若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( ) A ．1e 与—2e B ．31e 与22e C ．1e ＋2e 与1e —2e D ．1e 与21e 2．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.题型二: 向量加、减、数乘的坐标运算 例 3 已知A （—2,4）、B （3,—1）、C （—3,—4）且3=,2=,求点M 、N 的坐标及向量的坐标.练习:1. (2008年高考辽宁卷)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．(2，72)B ．(2，－12) C ．(3,2) D ．(1,3)2．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 12MP =MN , 求P 点的坐标；3．若M(3, -2) N(-5, -1)，点P 在MN 的延长线上，且 12MP MN =,求P 点的坐标；4.(2009年广东卷文)已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）， 则向量+a b ( )A 平行于x 轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线5．在三角形ABC 中，已知A (2,3)，B (8，－4)，点G (2，－1)在中线AD 上，且AG →＝2GD →， 则点C 的坐标是( )A ．(－4,2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4,2)6．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)7．已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a 等于( ) A ．2 B ．1 C.45 D.53 题型三: 平行、共线问题例4已知向量(1sin ,1)θ=-a ，1(,1sin )2θ=+b ，若a ∥b ，则锐角θ等于（ ）A ．30︒B ． 45︒C ．60︒D ．75︒例5．（2009北京卷文）已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-， 如果//c d 那么( )A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向练习：1．若向量a=(-1,x)与b =(-x, 2)共线且方向相同，求x2．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及AB t OA OP +=，求(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限。
高一平面向量知识点及典例
高一平面向量知识点及典例平面向量是高一数学学习中的重要内容，它不仅在数学中有着广泛的应用，还在物理、工程等领域发挥着重要作用。
本文将介绍高一平面向量的基本概念、性质和典型例题，希望能帮助同学们更好地理解和应用平面向量。
一、平面向量的概念平面向量是由大小和方向共同确定的有向线段，通常用大写字母表示。
平面向量AB可以记作→AB，其中A称为起点，B称为终点。
平面向量还可以用坐标表示，例如向量→AB可以表示为AB的坐标 (x, y)。
二、平面向量的性质1. 平面向量的加法与减法给定两个平面向量→AB和→CD，可以进行向量的加法和减法运算。
向量加法的结果是一个新的向量→EF，满足→EF = →AB +→CD；向量减法的结果是一个新的向量→GH，满足→GH =→AB - →CD。
2. 平面向量的数量积平面向量→AB和→CD的数量积记作→AB·→CD，表示两个向量的数量积等于向量→AB的模长乘以向量→CD在→AB上的投影长度。
若→AB·→CD = 0，则称向量→AB与→CD垂直。
3. 平面向量的数量积性质平面向量的数量积具有以下性质：交换律（→AB·→CD =→CD·→AB）、分配律（→AB·(→CD +→EF) = →AB·→CD +→AB·→EF）以及数量积与平移无关等。
三、平面向量的典型例题1. 例题一已知向量→AB = (3, 4)，→CD = (5, -2)，求→AB +→CD的坐标。
解：向量→AB +→CD的坐标为(3+5, 4+(-2)) = (8, 2)。
2. 例题二设向量→AB = (2, -3)，→CD = (4, 1)，求→AB·→CD的值。
解：→AB·→CD = (2*4)+(-3*1) = 5。
3. 例题三如图所示，在△ABC中，向量→AB = (2, 3)，向量→BC = (4, 1)，求向量→AC的坐标。
高一数学平面向量试题答案及解析
高一数学平面向量试题答案及解析1.已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是；【答案】【解析】略2.已知平面向量，且∥，则（）A．-3B．-9C．9D．1【答案】B【解析】由两向量平行坐标间的关系可知【考点】向量平行的性质3.（12分）已知向量，令且的周期为．（1）求函数的解析式；（2）若时，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】（1）本题考察的是求函数解析式，本题中根据平面向量的数量积，再结合辅助角公式进行化简，又的周期为，可以求出从而求出的解析式．（2）本题考察的是求参数的取值范围问题，本题中根据所给的定义域求出的值域，再根据不等式恒成立问题即可求出参数的取值范围．试题解析：（1）∵的周期为∴（2），则【考点】（1）辅助角公式（2）三角函数的值域4.在边长为的正三角形中，设，，若，则的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知可得：D为BC中点，，又因为在边长为的正三角形中，所以，故解得，故选择D【考点】平面向量的线性运算5.若向量满足：，，，则 .【答案】【解析】【考点】向量垂直与向量的坐标运算6.设，向量，，且，∥，则______________．【答案】【解析】因为，∥，所以有即，，所以【考点】向量坐标运算7.向量a=，b=，则A．a∥bB．C．a与b的夹角为60°D．a与b的夹角为30°【答案】B【解析】根据两向量平行坐标表示公式“”可得A错误；根据两向量垂直的坐标表示公式“”可得B正确；根据B可知两向量夹角为，所以C，D错误，故选择B【考点】向量线性关系8.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，故选择A【考点】向量的加减法运算9.设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】,,,,则动点的轨迹一定通过的垂心．故C正确．【考点】1向量的加减法;2数量积;3向量垂直．10.已知向量则x=【答案】6【解析】由题意可得,解得．【考点】向量共线．11.（2015秋•友谊县校级期末）已知△ABC和点M满足+=﹣，若存在实数m使得m+m=成立，则m等于（）A．B．2C．D．3【答案】C【解析】作出图象，由向量加法的平行四边形法则可知M是△ABC的重心，故，代入m+m=可解出m．解：以MB，MC为邻边作平行四边形MBEC，连结ME交BC于D，如图．则，∵+=﹣，∴M在线段AD上，且|MA|=2|MD|，∵D是BC中点，∴=2=3，∵m+m=，∴3m=，∴m=．故选C．【考点】平面向量的基本定理及其意义．12.已知点（1）求证：恒为锐角；（2）若四边形为菱形，求的值【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】（1）只需证明且三点不在一条直线上即可；（2）利用菱形的定义可求得坐标，进而求出所求的值.试题解析：（1）∵点∴∴.若A，P，B三点在一条直线上，则，得到，此方程无解，∴∴∠APB恒为锐角．（2）∵四边形ABPQ为菱形，∴，即，化简得到解得设Q（a，b），∵，∴，∴【考点】平面向量数量积的运算13.如图所示，是的边上的中点，则向量= （填写正确的序号）．①，②，③，④【答案】①【解析】．故选A．【考点】向量的线性运算．【名师】在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．14. O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以AB为斜边的直角三角形C．以AC为底边的等腰三角形D．以AC为斜边的直角三角形【答案】C【解析】将条件式展开化简，两边同时加上，根据向量的线性运算的几何意义即可得出答案．解：∵（﹣）•（+﹣2）=0，∴+﹣2=+﹣2．即﹣2=﹣2．两边同时加，得（）2=（）2，即AB2=BC2．∴AB=BC．∴△ABC是以AC为底边的等腰三角形．故选：C．【考点】平面向量数量积的运算．15.已知，，，则=（）A．﹣8B．﹣10C．10D．8【答案】B【解析】向量的数量积的运算和向量的模即可求出．解：，，，∴=+|+2=16+25+2=21，∴=﹣10，故选：B．【考点】平面向量数量积的运算．16.已知||=1，||=2，∠AOB=150°，点C在∠AOB的内部且∠AOC=30°，设=m+n，则=（）A．B．2C．D．1【答案】B【解析】可画出图形，由可得到，根据条件进行数量积的运算便可得到，从而便可得出关于m，n的等式，从而可以求出．解：如图，由的两边分别乘以得：；∴；∴得：；∴；∴．故选：B．【考点】向量在几何中的应用．17.已知正方形的边长为2，点是边上的中点，则的值为（）A．1B．2C．4D．6【答案】B【解析】以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，.【考点】向量数量积的坐标表示.18.=（2，3），=（﹣3，5），则在方向上的投影为．【答案】【解析】由已知向量的坐标求出与，代入投影公式得答案．解：∵=（2，3），=（﹣3，5），∴，，则=．故答案为：．【考点】平面向量数量积的运算．19.已知向量，满足||＝1，||＝2，与的夹角为120°．(1) 求及＋；(2)设向量＋与－的夹角为θ，求cosθ的值．【答案】(1);;(2).【解析】(1)根据向量的数量积的运算公式；以及；（2）根据公式，根据数量积公式，再根据公式试题解析：解析：(1)＝||||cos 120°θ＝1×2×(－)＝－1，所以|＋|2＝(＋)2＝2＋2＋2＝12＋22＋2×(－1)＝3.所以|＋|＝(2)同理可求得|－|＝.因为(＋)(－)＝2－2＝12－22＝－3，所以cosθ＝＝＝－．所以向量＋与－的夹角的余弦值为－．【考点】向量数量积20.（1）在直角坐标系中，已知三点，当为何值时，向量与共线？（2）在直角坐标系中，已知为坐标原点，，，当为何值时，向量与垂直？【答案】（1）；（2）.【解析】首先根据向量减法的线性运算得到向量与的坐标，当与共线时坐标交叉积的差等于零，当与垂直是数量积等于零，从而列出的方程，即可求得满足条件的的值.试题解析：（1）∵，又向量与共线，∴,解得（2）,当向量与垂直时，，即，解得【考点】向量的线性运算及平行与垂直的坐标表示.21.已知a，b为非零向量，且｜a＋b｜＝|a|＋|b|，则一定有（）A．a＝b B．a∥b，且a，b方向相同C．a＝－b D．a∥b，且a，b方向相反【答案】B【解析】根据向量加法的几何意义， a，b方向相同，方向相同即是共线向量.【考点】向量加法的几何意义．22.已知向量．（1）若点三点共线，求的值；（2）若为直角三角形，且为直角，求的值.【答案】（Ⅰ）-19；（Ⅱ）1.【解析】（Ⅰ）根据向量的减法运算和向量平行的充要条件即可解得；（Ⅱ）根据向量的减法运算和向量垂直的充要条件即可解得.试题解析：解：（Ⅰ）∴，.（Ⅱ），则，∴，【考点】向量的减法运算；向量平行和垂直的充要条件.23.平面内有一个和一点，线段的中点分别为的中点分别为，设.（1）试用表示向量；（2）证明线段交于一点且互相平分.【答案】（1），，；（2）证明见解析.【解析】（1）根据向量的加法、数乘的几何意义，以及向量加法的平行四边形法则，并进行向量的数乘运算便可得到，从而同理可以用分别表示出；（2）设线段、的中点分别为，用分别表示出，从而可得，即证得线段交于一点且互相平分．试题解析：（1），.（2）证明：设线段的中点为，则，设中点分别为，同理：，，∴，即其交于一点且互相平分.【考点】1、向量的三角形法则；2、向量的线性运算．【方法点睛】本题考查向量加法、数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及向量的数乘运算，三角形中位线的性质，平行四边形的判定，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分，考查学生逻辑推理能力，属于中档题．另一种解法：（1）；同理，；（2）证明：如图，连接，则，且，，且，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴线段交于一点且互相平分，同理，线段交于一点且互相平分，∴线段交于一点且互相平分．24.已知是两个非零向量，当的模取最小值时.①求的值；②已知与共线且同向，求证：与垂直.【答案】①；②证明见解析.【解析】（1）设出两个向量的夹角，表示出两个向量的模长，对于模长形式，通常两边平方，得到与已知条件有关的运算，整理成平方形式，当底数为零时，结果最小；（2）本题要证明两个向量垂直，这种问题一般通过向量的数量积为零来证明，求两个向量数量积，根据上一问做出的结果，代入数量积的式子，合并同类项，得到数量积为零．得到垂直．试题解析：①令，则.当时，.②证明：与共线且同向，,,,.【考点】（1）向量的模；（2）数量积判断两个向量的垂直关系.【方法点晴】本题主要考查模长形式，通常两边平方以及证明两个向量垂直，这种问题一般通过向量的数量积为零来证明，因为在本题中主要是数学符号的运算，所以对学生的运算能力要求较高，属于难题.启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．25.已知，在方向上的投影为，则（）A．3B．C．2D．【答案】B【解析】由在方向上的投影为，则，所以，故选B.【考点】向量的数量积及向量的投影的应用.26.给出下列命题：（1）若，则；（2）向量不可以比较大小；（3）若则；（4）．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由题意得，（1）中，例如，此时，但，所以不正确；（2）中，向量是既有大小又有方向的量，所示向量不能比较大小，所以（2）是正确的；（3）中，根据相等向量的概念，可得“若则”是正确的；（4）中，由，则是成立的，但由，则与是相等向量或相反向量，所以不正确，综上所述，正确命题的个数为个，故选B.【考点】向量的基本概念.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的基本的概念——向量的模、相等向量、向量的概念、共线向量及相反向量的概念，其中牢记平面向量的基本概念是判断此类问题的关键，试题很容易出错，属于易错题，本题的解答中，（4）中，，容易忽视相反向量的概念，造成错解，应牢记向量是既有大小又有方向的量这一基本概念，防止出错.27.已知向量，若，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，．故选A．【考点】数量积的坐标运算．28.已知向量,．（1）若四边形ABCD是平行四边形，求的值；（2）若为等腰直角三角形，且为直角，求的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）根据四边形为平行四边形，利用，即可求解的值；（2）利用为等腰直角三角形，且为直角，则且，列出方程，即可求解的值．试题解析：（1），，由得x=-2,y=-5．（2），若为直角，则，∴，又，∴，再由，解得或．【考点】向量的运算及向量的垂直关系的应用．29.（1）已知，，且与的夹角为60°，求的值；（2）在矩形中，,点为的中点，点在边上，若,求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用向量模的平方等于向量的平方，即可化简，即可求解的值；（2）设，利用，求得的值，又由，，即可运算的值．试题解析：（1） =169，得；（2）矩形ABCD中，∵点F在边CD上，∴设，，本小题也可建坐标系，用平面向量坐标运算解决．【考点】向量的模的计算及向量数量积的运算．30.已知三角形△ABC中，角A,B,C的对边分别为，若，则 =（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】向量的坐标运算31.已知向量与的夹角为，||=2,||=3,记,（1）若，求实数k的值。
高一向量知识点加例题(含答案)
向量复习题知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u ur u u u r =AC u u u r（1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差。
③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a； （Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a 的方向相反；当0 时，0a ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b =a6、平面向量基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示 ,分别为与x 轴，y 轴正方向相同的单位向量 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a r 可表示成a xi yj r rr，记作a r=(x,y)。
2平面向量的坐标运算：（1）若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y rr （2）若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r（3）若a r =(x,y)，则 a r =( x, y) （4）若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr （4）若 1122,,,a x y b x y r r ，则1212a b x x y y rr ，若a b r r ，则02121 y y x x 三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为 ，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos叫做a r 与b r的数量积（或内积） 规定00a r r2向量的投影：︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： a r ·b r 等于a r的长度与b r 在a r 方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：22||a a a a r rr r5乘法公式成立：2222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a ba ab b r r r r r r 222a a b b r r r r6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a r r r r②对实数的结合律成立：a b a b a b R r r r r r r③分配律成立： a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r特别注意：（1）结合律不成立： a b c a b c r r r r r r；（2）消去律不成立a b a cr r r r 不能得到b c r r（3）a b r r =0不能得到a r =0r 或b r =0r7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r ，则a r ·b r=1212x x y y 8向量的夹角：已知两个非零向量a r 与b r ，作OA uu u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB= （001800 ）叫做向量a r 与b r 的夹角cos =cos ,a ba b a b • •r r r r r r当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800，同时0r 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b＝O2121 y yxx 平面向量数量积的性质11 注意取等条件（共线）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知两点 3,2M ， 5,5N ，12MP MN u u u r u u u u r，则P 点坐标是 （ ）A ． 8,1B ．31,2C ．31,2D ． 8,1 2．下列向量中，与向量(1,1)a r平行的向量是（ ）A ．(0,2)b rB ．(2,0)c rC ．(2,2)d u rD ．(2,2)f u r3．a (2,1) ，b 3,4 ，则向量a 在向量b 方向上的投影长度为 （ ） A ．25 B ．2 C ．5 D ．10 4．在三角形ABC 中，C=450， a=5 ,b=4, 则 CA BC（ ）A ．102B ．202C ．210D ．-2025．已知b a b a ,),5,2(),3,( 的夹角为钝角，则 的范围是 （ ）A ．215B ．215C ．56D ．566．一只鹰正以水平方向向下300角飞行直扑猎物，太阳光从头上直射下来，鹰在地面上影子的速度为40m/s ，则鹰飞行的速度为 （ ） A ．20m/s B ．3380m/s C ．20m/s D ．80m/s 7．O 为平面中一定点，动点P 在A 、B 、C 三点确定的平面内且满足（OA OP ）·（AC AB ） =0，则点P 的轨迹一定过△ABC 的 （ ） A.外心B.内心C.重心D.垂心8.已知OA a,OB b u u u r r u u u r r ，C 为AB u u u r上距A 较近的一个三等分点，D 为CB u u u r 上据C 较近的一个三等分点，用a,b r r 表示OD的表达式为 （ ）A.4a 5b 9 r rB.9a 7b 16 r rC.2a b 3 r rD.3a b 4r r9．已知ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，且AB PC PB PA ，则点P 与ABC 的位置关系是（ ）A ．P 在ABC 内部B ．P 在ABC 外部C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上或其延长线上10. 若i = (1,0), j =(0,1)，则与2i +3j 垂直的向量是 ( )A ．3i +2jB ．－2i +3jC ．－3i +2jD ．2i －3j11.对于菱形ABCD ，给出下列各式：①AB BC u u u r u u u r ；②||||AB BC u u u r u u u r ；③||||AB CD AD BC u u u r u u u r u u u r u u u r ；④22||||4||AC BD AB u u u r u u u r u u u r 2其中正确的个数为 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个12．在平面直角坐标系中，已知两点A （cos80o ,sin80o ）,B(cos20o ,sin20o),则｜AB ｜的值是（ ）A ．12BC D ．1二、填空题13.已知A(2,1),B(3,2),C(-1,5),则△ABC 的形状是 .14.已知实数x,y ，向量,a b r r不共线，若（x+y-1）a r +（x-y ）b r =0r ，则x= ,y=15．若三点(1,2),(2,4),(,9)P A B x 共线，则x =16．在ABC 中，有命题：①AB AC BC u u u r u u u r u u u r ；②AB BC CA u u u r u u u r u u u r0；③若()()0AB AC AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC 为等腰三角形；④若0AC AB u u u r u u u r，则ABC 为锐角三角形.其中正确的命题序号是 .（把你认为正确的命题序号都填上） 三、解答题17.（满分12分）设两个非零向量1e u r 和2e u u r不共线.(1)如果2121212,3,2e e e e e k e ，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.(2) 若||1e =2，||2e =3，1e u r 与2e u u r 的夹角为60o，是否存在实数m ，使得m 1e u r 2e u u r 与1e u r 2e u u r 垂直？并说明理由. 18．（12分）已知向量)1,0(),0,1(,4,23212121e e e e b e e a 其中；求（1）b a b a ;的值；（2）a 与b 的夹角的正弦值．19．（本小题满分12分）在,中ABC 设,,AB a BC b AC c u u u r r u u u r r u u u r r ， 060,3,4 ABC BC AB ，求：（1）2a b r r ; （2）2a b a b r r r r ; （3）cos ,;20. （本小题满分12分）已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a 1,2 .（1） 若 c c //a ，求c 的坐标；（2） 若b 1,m 0m 且a +2b 与a -2b 垂直，求a 与b 的夹角 .21．（本小题满分12分） 已知向量(2,1),(1,7),(5,1),OP OA OB X OP u u u r u u u r u u u r 设是直线上的一点（O 为坐标原点），求XA XB u u u r u u u r 的最小值．22．（本小题满分14分）已知点A 、B 、C 的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cos α,sin α),α∈(2 ,23). （I ）若||=||，求角α的值；（II ）若·=-1，求tan 12sin sin 22 的值.BDBCA BDA DC CD 4．CCABC 0135cos 45,cos 2105．Ab a ,为钝角,0 b a 且b a ,不反向.6．B设鹰飞行的速度为v ，其在地面上的影子的速度为1v4030cos 03380. 二.填空13.锐角三角形 14. 0.5，0.5 15.17616.③三.解答17. 证明：（1）Q AD u u u r AB +BC +CD =（1e u r +2e u u r ）+（128e u r 2e u u r ）+（133e u r 2e u u r）=6（1e u r +2e u u r）=6 （2分）//AD u u u r AB 且AD u u u r与AB 有共同起点 （3分） A 、B 、D 三点共线 （4分）（2）假设存在实数m ，使得m 1e u r 2e u u r 与1e u r 2e u u r垂直，则（m 1e u r 2e u u r ） （1e u r 2e u u r）=0221122(1)0me m e e e u r u r u u r u u r （6分）Q ||1e =2，||2e =3，1e u r 与2e u u r的夹角为60o22114e e u r u r ，22229e e u u r u u r ，1212cos 23cos603e e e e o u r u u r u r u u r43(1)90m m 6m故存在实数6m ，使得m 1e u r 2e u u r 与1e u r 2e u u r垂直．18．解：显然a =3（1，0）—2（0，1）=（3，—2），b =4（1，0）+（0，1）=（4，1）；易得：①b a =3×4+（—2）×1=10； b a =（3，—2）+（4，1）=（7，—1），b a =22)1(7 =25。
高一数学平面向量的概念及几何运算试题答案及解析
高一数学平面向量的概念及几何运算试题答案及解析1.若向量、满足，，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设与的夹角为。
因为，所以。
因为，所以。
因为，所以。
故C正确。
【考点】1两向量夹角的范围；2向量的数量积公式。
2.两个大小相等的共点力F1、F2，当它们间的夹角为90°时合力大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为【答案】【解析】根据题意，当夹角为90°时，，因为，所以则当夹角为120°时，它们的合力大小为【考点】向量的加法法则3.已知|a|=6，|b|=3， =，则向量a在向量b方向上的投影是（）A．B．4C．D．2【答案】A【解析】根据投影的定义可知，|a|=6，|b|=3， =，则向量a在向量b方向上的投影是，故可知答案为-4，选A.【考点】投影的定义点评：此题考查了向量的模，两向量的夹角公式，向量b在向量a的方向上的投影的定义．4.若平行四边形的3个顶点分别是（4，2），（5，7），（3，4），则第4个顶点的坐标不可能是（）A．（12，5）B．（-2，9）C．（3，7）D．（-4，-1）【答案】C【解析】设第4个顶点坐标为D（m,n），记A（4,2），B（5,7），C（-3,4），∵四边形ABCD 为平行四边形，∴或或，∴或或，∴点D为（-4，-1）或（-2,9）或（12,5），故第4个点坐标不可能为（3，7），故选C【考点】本题考查了向量相等的概念点评：平行四边形的性质，建立平面直角坐标系，数形结合，分类讨论是解题的关键．5.如图，正六边形ABCDEF中，= ( )A．B．C．D．【答案】D.【解析】.【考点】向量的加法和减法运算，向量相等.点评：本小题根据向量相等的定义可知,从而可得,问题得解。
向量相等：方向相同，长度相等的两个向量是相等向量。
6.定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的向量，令，给出下面四个判断：①若与共线，则；②若与垂直，则；③；④.其中正确的有（写出所有正确的序号）.【答案】①④【解析】①若,则,即,正确.②由①知错.③错.④,正确.7.已知下列命题：①若向量∥，∥，则∥；②若＞，则＞；③若，则=或=；④在△中，若，则△是钝角三角形；⑤. 其中正确命题的个数是（）.A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】时①不正确；向量不能比较大小，②不正确；，③不正确；为锐角，不能判断△的形状，④不正确；，⑤不正确.8.下列四式不能化简为的是（▲）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：利用向量的加减法来进行判定。
高一数学平面向量 PPT课件 图文
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0） 求λ和μ，使 c =λa +μb.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修4
2.6《平面向量-复习》
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析
巩固练习
制作：曾毅 审校：王伟
知识结构
平面向量 复习
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课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算 实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点 例题解析 巩固练习
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(完整版)高中数学平面向量讲义
平面向量 (学生专用 )专题六平面向量一. 基本知识【1】向量的基本看法与基本运算（1）向量的基本看法：①向量：既有大小又有方向的量向量不能够比较大小，但向量的模能够比较大小．②零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行③单位向量：模为 1 个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量uuur r uuur r r uuur uuur uuur（2）向量的加法：设AB a, BC b ，则a+ b = AB BC = AC① 0 a a 0 a ；②向量加法满足交换律与结合律；uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC CD L PQ QR AR ，但这时必定“首尾相连”．（3）向量的减法：①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与b的差，③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向a的终点的向量（ a 、b有共同起点）（4）实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0 时，λ a 的方向与 a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 ，方向是任意的（5）两个向量共线定理：向量b与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b= a （6）平面向量的基本定理：若是e1, e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任向来量 a ，有且只有一对实数 1 ,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【2】平面向量的坐标表示第1页（1） 平面向量的坐标表示 ：平面内的任向来量rr r rr 。
a 可表示成 axi yj ，记作 a =(x,y) （2）平面向量的坐标运算：rrr rx 1 x 2 , y 1 y 2①若 ax 1 , y 1 , bx 2 , y 2 ，则 a buuur②若 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1r =(x,y) ，则 r x, y)③若 a a =(r r r r x 1 y 2 x 2 y 1 0④若 ax 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a // b r r r r y 1 y 2⑤若 a x 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a b x 1 x 2r r y 1 y 2⑥若 a b ，则 x 1 x 2【3】平面向量的数量积（1）两个向量的数量积：已知两个非零向量r rr r r rr ra 与b ，它们的夹角为 ，则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱ cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积）r r规定 0 arr rrr= a b（2）向量的投影： ︱ b ︱ cosr ∈ R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称| a |为射影（3）数量积的几何意义：r r r r ra ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积（4）向量的模与平方的关系：r r r 2 r 2 a a a | a |（5）乘法公式成立：r r rrr 2 r 2 r 2 r 2 r r 2 r 2r r r 2r 2 r r r 2a b a ba b ab ； a ba 2ab ba2a b b（6）平面向量数量积的运算律：①交换律成立：rrr r a bb a②对实数的结合律成立： r r r r r r Ra ba b a b③分配律成立：r r r r r r r r r r a b c a cb c c a b第 2页特别注意：（ 1）结合律不成立：r r r r r r ab c a b c ；r rrrr r （ 2）消去律不成立 a ba c 不能够获取b c（rr=0r r r r3） a b 不能够获取 a =0 或 b=0（7）两个向量的数量积的坐标运算：rrrry 1 y 2已知两个向量 a ( x 1, y 1), b ( x 2 , y 2 ) ，则 a · b= x 1 x 2r r uuur r uuur r （ 8 ） 向 量 的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b ， 作 OA = a ,OB = b , 则 ∠ AOB= （0 0180 0 ） 叫做 向量r 与 r 的夹角abr r r rx 1 x 2 y 1 y 2a ? bcos= cosa ,br r = 2222a ? bx 1y 1x 2y 2当且仅当两个非零向量rrr rra 与b 同方向时， θ =0 ，当且仅当 a 与 b 反方向时θ=180 ，同时 0 与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r 0则称 r r r r （9）垂直 ：若是 a 与 b 的夹角为 90 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b（ 10）两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥ ba ·b ＝ Ox xy y20 平面向量1 21数量积的性质二. 例题解析【模块一】向量的基本运算【例 1】给出以下六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；rr r r ②若 a b ，则 ab ③在平行四边形 ABCD 中必然有uuur uuurAB DC ；ur r r ur ur ur r r r r r r④若 m n, n p ，则 m p ； ⑤若 a // b ， b // c , 则 a // cr r r r r r r⑥任向来量与它的相反以下不相等. ⑦已知向量 a 0 ，且 a b 0 ，则 b 0r r r r r r r r r r r r⑧ a b 的充要条件是 a b 且 a // b ；⑨若 a 与 b 方向相同，且 a b ，则 ab ；⑩由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； 其中正确的命题的序号是第 3页r rr r ruur【例 2】已知向量 a, b 夹角为 45 ，且 a 1, 2a b10 ；求 b 的值 .uur uur r rr r【变式 1】若 a 2 ， b 3 ， a b3 求 a b 的值 .【变式 2】设向量 a ， b 满足 | a|=|b |=1 及 | 3a-2 b|=3 ，求 | 3a+b| 的值r r r rrr r r【例 3】已知向量 a 、 b 的夹角为 60o ， |a| 3， | b |2 ，若 (3a 5b) (ma b) ，求 m 的值.rrr r r r【例 4】若向量 a1,2 ， b1, 1 求 2a b 与 a b 的夹角 .【 变 式】 设 x, y R, 向 量 a x,1 ,b 1, y , c2, 4 , 且 a c,b // c, 则 a b_______（）A ． 5B ． 10C ． 2 5D ． 10【例 5】已知两个非零向量r rr r rra,b 满足 a ba b ，则以下结论必然正确的选项是（ ）r r r rr r DA a // bB a b Ca br r r r a b a b【变式 1】设 a , b 是两个非零向量 . （）A ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则 a ⊥ bB ．若 a ⊥b , 则| a +b |=| a |-| b |C ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则存在实数 λ, 使得 a =λbD ．若存在实数 λ, 使得 a =λb , 则| a +b |=| a |-| b |第 4页r r r r r r【变式 2】若平面向量a, b满足 : 2a b 3 ;则 agb 的最小值是_____【例 6】设0,rcosr13 2， a,sin ，b,22r r r r （1）证明 a b a b ；（2）r r r r的值 .当 2a b a2b时求角r rr ra b）【例 7】设a、b都是非零向量 , 以下四个条件中 , 使r r成立的充足条件是（| a ||b |r r r r r r r rr r A．a b B．a // b C．a 2b D．a // b且| a | | b |【模块二】向量与平面几何【例 1】在△ ABC中， A 90o AB 1, ACuuur uuur 2 ,设P、Q满足 AP AB ，uuur1uuurRuuur uuur2 ，则AQ AC ，BQ CP=（）A 1B2C4D2 333第5页AB2uuur uuur uuur uuur 【变式 1】已知△ ABC为等边三角形，设 P、Q满足AP AB AQ 1AC，，uuur uuur 3，则R BQ CP=（）2A 1B12C 1 10D 3 2 2222uuur uuur【例 2】在△ ABC中 ,AB=2,AC=3,ABgBC = 1则 BC ___ .（）A．3B．7C．2 2D．23uuur uuur uuur【变式 1】若向量BA2,3 , CA4,7 ,则 BC（）A．2, 4B．2,4C．6,10D．6, 10【例 3 】若等边ABC 的边长为2 3 ，平面内一点M 满足CM 1CB2CA ,则63MA? MB________.第6页平面向量 (学生专用 )uuur r uuur r r r r r2 ,则【例 4】ABC 中, AB 边上的高为 CD ,若CB a,CA b, a b0,| a |1,|b | uuurAD（）A．1r1rB．2r2rC．3r3rD．4r4r a b a b a b5a b 3333555uuur3【例5】在平面直角坐标系中,O (0,0), P(6,8) ,将向量 OP按逆时针旋转后 , 得向量4 uuurOQ ，则点 Q 的坐标是（）A．( 7 2,2) B． (72,2)C．( 4 6, 2)D．( 46, 2)uuur uuur【例 6】在ABC中, M是 BC的中点, AM=3, BC=10,则AB AC =______________.【例 7】在平行四边形中, ∠A= 3, 边、的长分别为2、1.若、分别是边、ABCD AB AD M N BC CD上的点,且满足| BM|| CN | ,则AM AN 的取值范围是_________ .| BC || CD |,【例 8】如图 ,在矩形 ABCD 中, AB 2 ，BC2，点E为 BC 的中点,点F在边 CD uuur uuur uuur uuur上, 若AB g AF 2 ,则 AE g BF 的值是____.第7页平面向量 (学生专用 )9 】已知正方形ABCD 的边长为1, 点 E 是 AB 边上的动点uuur uuur【例, 则DE CB的值为uuur uuur________; DE DC 的最大值为________.【例 10】已知直角梯形ABCD 中，AD// BC ,ADC 900, AD2, BC 1 , P 是腰uuur uuurDC 上的动点，则PA3PB 的最小值为___________uuur uuur uuur【例 11】如图，在VABC中，AD AB , BC 3 BD ,AD 1 ,uuur uuur3.则 AC gAD【例 12】 (15)uuur uuur1uuur1uuur3uuur 在四边形 ABCD中，AB = DC =（ 1，1），uuur BA uuur BC uuur BD ，BA BC BD则四边形ABCD的面积是第8页平面向量 (学生专用 ) uuur uuur【例 13】在VABC中，若AB2,3 , AC 6, 4 ，则 VABC 面积为【例 14】（ 2012 年河北二模）在VABC中，AB 边上的中线CD=6 ，点 P 为 CD 上（与 C,D ）uuur uuur uuur不重合的一个动点，则PA PB .PC的最小值是A 2B 0C -9D -18第9页。
高一必修四第二章《平面向量》重要知识点及重要题型
高一必修四第二章《平面向量》重要知识点及重要题型1、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连、⑵平行四边形法则的特点：共起点2、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向是减向量终点指向被减向量终点、如图：其中是减向量，是被减向量3、向量加减坐标运算：设，，，，⑷运算性质：①交换律：；②结合律：；③、若，则，（终点坐标减去起点坐标）①；②；③、，①、②当与同向时，；当与反向时，；或、③、，、则、①；②；③、、向量共线定理：1、向量与共线（），当且仅当有唯一一个实数，使、2、若，，向量共线判断方法：2设，，以上两种方法都可以判断两向量平行、两向量垂直：，，即⑶三角形不等式：（以下）（其中当）例：中，若,则是矩形。
特别注意的点：对角线相等的平行四边形是矩形投影：中点坐标公式：典型例题集1、以下说法错误的是（）A、零向量与任一非零向量平行B、零向量与单位向量的模不相等C、平行向量方向相同D、平行向量一定是共线向量2、下列四式不能化简为的是（）A、B、C、D、3、已知=（3，4），=（5，12），与则夹角的余弦为（）A、B、C、D、4、已知、均为单位向量,它们的夹角为60,那么|+3| =（）A、B、C、D、45、已知ABCDEF是正六边形，且＝，＝，则＝（）（A）（B）（C）＋（D）6、设，为不共线向量，＝+2,＝－4－,＝－5－3,则下列关系式中正确的是（）（A）＝（B）＝2 （C）＝－（D）＝－27、设与是不共线的非零向量，且k＋与＋k共线，则k的值是（）（A）1 （B）－1 （C）（D）任意不为零的实数8、已知向量＝（3,4），＝（sinα，cosα），且∥，则tanα等于( )A、B、C、D、9、已知且与平行，则( )(A)(B)(C)1 (D)210、若是非零向量，且=1），=（，k），且∥，则实数k的值为( )13、在四边形ABCD中，＝，且＝0，则四边形ABCD是（）（A）矩形（B）菱形（C）直角梯形（D）等腰梯形14、已知M（－2，7）、N（10，－2），点P是线段MN上的点，且＝－2，则P点的坐标为（）（A）（－14，16）（B）（22，－11）（C）（6，1）（D）（2，4）15、已知＝（1，2），＝（－2，3），且k+与－k垂直，则k ＝（）（A）（B）（C）（D）16、若平面向量和互相平行，其中、则（）A、或0；B、；C、2或；D、或、17、下面给出的关系式中正确的个数是（）① ②③④⑤(A)0 (B)1 (C)2 (D)318、已知向量若时，∥；时，，则A、B、C、D、二、填空题(5分5=25分):1、若Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为、2、已知，则、3、已知向量，且，则的坐标是_________________、4、ΔABC中，A(1,2),B(3,1),重心G(3,2)，则C点坐标为________________5、若有以下命题：① 两个相等向量的模相等；② 若和都是单位向量，则；③ 相等的两个向量一定是共线向量；④ ，，则；⑤ ②；⑥ 两个非零向量的和可以是零。
高一数学平面向量知识点及典型例题解析汇报
高一数学 第八章 平面向量第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念①向量：既有大小又有方向的量。
几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。
向量的模（长度），记作|AB |.即向量的大小，记作｜a|。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，规定0平行于任何向量。
（与0的区别） ③单位向量｜a｜＝1。
④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b⑤相等向量记为b a=。
大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =a ，BC =b ，则向量叫做a 与b的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=特殊情况：(1)BBabba +AABC C)2()3(向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”。
②向量减法： 同一个图中画出a b a b +-、要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. （3）实数与向量的积3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ。
二．【典例解析】题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)==则 (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a =，c b =，则c a =；(7)若b a //，c b //，则c a // (8) b a =的充要条件是||||b a =且b a //；(9) 若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ==,A练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律 例2 化简)()(---=练习1.下列命题中正确的是 A ．OA OB AB -= B ．0AB BA +=C ．00AB ⋅=D ．AB BC CD AD ++=2.化简AC -BD +CD -AB 得A ．AB B ．C ．D ．3．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( ) A.AD →＋BE →＋CF →＝0 B.BD →－CF →＋DF →＝0 C.AD →＋CE →－CF →＝0 D.BD →－BE →－FC →＝0题型三: 结合图型考查向量加、减法例3在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是( )A ．13B ．12C ．23D ．34例4重心、垂心、外心性质练习: 1．如图，在ΔABC 中，D 、E 为边AB 的两个三等分点，CA →=3a ，CB → =2b ，求CD → ，CE → ． 2已知a b a b+-=求证a b ⊥3若O 为ABC ∆的内心，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆的形状为（ ）A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.钝角三角形4．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →ABDE5．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|等于________．6．已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则( )A ．点P 在△ABC 外部B ．点P 在线段AB 上C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在线段AC 上7．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23 题型四: 三点共线问题例 4 设21,e e 是不共线的向量,已知向量2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=,若A,B,D 三点共线,求k 的值例5已知A 、B 、C 、P 为平面内四点， A 、B 、C 三点在一条直线上 PC → =mPA → +nPB → ，求证： m+n=1．练习：1．已知：2121212 ,B),(3e e e +=-=+=，则下列关系一定成立的是（ ）A 、A ，B ，C 三点共线 B 、A ，B ，D 三点共线 C 、C ，A ，D 三点共线 D 、B ，C ，D 三点共线2．(原创题)设a ，b 是两个不共线的向量，若AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于________．第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示 一．【要点精讲】1．平面向量的基本定理如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对BC AOM D实数21,λλ使：2211e e a λλ+=其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的_单位向量_ i 、j 作为基底任作一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj =+…………○1，把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =…………○2其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示与a 相等的向量的坐标也为,(y x 特别地，(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)=特别提醒：设yj xi +=，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示3．平面向量的坐标运算（1）若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +=1212(,)x x y y ++，a b -= 1212(,)x x y y --（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB = （3）若(,)a x y =和实数λ，则a λ=(,)x y λλ4．向量平行的充要条件的坐标表示：设a=(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) 其中b ≠aa ∥b (b≠)的充要条件是12210x y x y -=二．【典例解析】题型一. 利用一组基底表示平面内的任一向量[例1] 在△OAB 中，21,41==，AD 与BC 交于点M ，设OA =a ，OB =b ，用a ,b 表示OM .练习:1．若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A ．1e 与—2eB ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e 2．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.题型二: 向量加、减、数乘的坐标运算 例 3 已知A （—2,4）、B （3,—1）、C （—3,—4）且CA CM 3=,CB CN 2=,求点M 、N 的坐标及向量MN 的坐标.练习:1. (2008年高考辽宁卷)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．(2，72)B ．(2，－12) C ．(3,2) D ．(1,3)2．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 12MP =MN , 求P 点的坐标；3．若M(3, -2) N(-5, -1)，点P 在MN 的延长线上，且 12MP MN =,求P 点的坐标；4.(2009年广东卷文)已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）， 则向量+a b ( )A 平行于x 轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线5．在三角形ABC 中，已知A (2,3)，B (8，－4)，点G (2，－1)在中线AD 上，且AG →＝2GD →， 则点C 的坐标是( )A ．(－4,2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4,2)6．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)7．已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a 等于( )A ．2B ．1 C.45 D.53题型三: 平行、共线问题例4已知向量(1sin ,1)θ=-a ，1(,1sin )2θ=+b ，若a ∥b ，则锐角θ等于（ ）A ．30︒B ． 45︒C ．60︒D ．75︒例5．（2009北京卷文）已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-， 如果//c d 那么( )A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向练习：1．若向量a=(-1,x)与b =(-x, 2)共线且方向相同，求x2．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及AB t OA OP +=，求(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限。
高一数学平面向量试题答案及解析
高一数学平面向量试题答案及解析1.一物体受到相互垂直的两个力f1、f2的作用，两力大小都为5N，则两个力的合力的大小为()A．10N B．0NC．5N D．N【答案】C【解析】根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为×5＝5 (N)．2.河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A．10m/s B．2m/sC．4m/s D．12m/s【答案】B【解析】设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1.∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝＝＝＝2.3.在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是()A．B．C．D．【答案】C【解析】由＋＋＝，得＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．故＝＝.4.．已知向量a，e满足：a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则()A．a⊥e B．a⊥(a－e)C．e⊥(a－e)D．(a＋e)⊥(a－e)【答案】C【解析】由条件可知|a－te|2≥|a－e|2对t∈R恒成立，又∵|e|＝1，∴t2－2a·e·t＋2a·e－1≥0对t∈R恒成立，即Δ＝4(a·e)2－8a·e＋4≤0恒成立．∴(a·e－1)2≤0恒成立，而(a·e－1)2≥0，∴a·e－1＝0.即a·e＝1＝e2，∴e·(a－e)＝0，即e⊥(a－e)．5.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与 ()A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直【答案】A【解析】＋＋＝＋＋＋＋－＝＋＋－－－＝ (－)＋＝＋＝－，故选A.6.在▱ABCD中，＝a，＝b，＝4，P为AD的中点，则＝()A．a＋b B．a＋bC．－a－b D．－a－b【答案】C【解析】如图，＝－＝－＝－ (＋)＝b－ (a＋b)＝－a－b.7.已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是() A．B．C．－3D．0【答案】D【解析】∵＝－，＝－.∴＝－－＝－－.∴＝－，∴＝－.又＝r＋s，∴r＝，s＝－，∴r＋s＝0.8.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝()A．150°B．120°C．60°D．30°【答案】B【解析】∵|a|＝|b|＝|c|≠0，且a＋b＝c∴如图所示就是符合题设条件的向量，易知OACB是菱形，△OBC和△OAC都是等边三角形．∴〈a，b〉＝120°.9.如右图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是()A．·B．·C．·D．·【答案】A【解析】设正六边形的边长是1，则·＝1××cos30°＝；·＝1×2×cos60°＝1；·＝1××cos90°＝0；·＝1×1×cos120°＝－.10. (2010·湖南理，4)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于()A．－16B．－8C．8D．16【答案】D【解析】因为∠C＝90°，所以·＝0，所以·＝(＋)·＝||2＋·＝AC2＝16.11.已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为()A．B．C．D．【答案】C【解析】根据向量数量积的意义，a·b＝|a|·|b|·cosθ＝4cosθ＝2及0≤θ≤π，可得θ＝，选C.12. (09·天津文)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝______________.【答案】-2【解析】∵＝＋，∴＝－＝－，＝－＝－.∴·＝－ 2－ 2＋·＝－×12－×12＋×12×＝－2.13.已知|a|＝，|b|＝3，a与b夹角为45°，求使a＋λb与λa＋b的夹角为钝角时，λ的取值范围．【答案】<λ<且λ≠－1.【解析】由条件知，cos45°＝，∴a·b＝3，设a＋λb与λa＋b的夹角为θ，则θ为钝角，∴cosθ＝<0，∴(a＋λb)(λa＋b)<0.λa2＋λb2＋(1＋λ2)a·b<0，∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，∴<λ<.若θ＝180°时，a＋λb与λa＋b共线且方向相反，∴存在k<0，使a＋λb＝k(λa＋b)，∵a，b不共线，∴，∴k＝λ＝－1，∴<λ<且λ≠－1.本题易忽视θ＝180°时，也有a·b<0，忘掉考虑夹角不是钝角而致误．14. (2010·烟台市诊断)已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x的值是()A．6B．－6C．9D．12【答案】A【解析】∵a∥b，∴＝，∴x＝6.15. (2010·湖南长沙)已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．垂心C．内心D．重心【答案】D【解析】设＋＝，则可知四边形BACD是平行四边形，而＝λ表明A、P、D三点共线．又D在BC的中线所在直线上，于是点P的轨迹一定通过△ABC的重心．16.(09·广东文)已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线【答案】C【解析】a＋b＝(0,1＋x2)，由1＋x2≠0及向量的性质可知，C正确．17.已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．【答案】或【解析】由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.由⇒.又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B或.18.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝α＋β，其中α、β∈R且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝5B．3x＋2y－11＝0C．2x－y＝0D．x＋2y－5＝0【答案】D【解析】解法1：设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1，3)．由＝α＋β得(x，y)＝(3α，α)＋(－β，3β)＝(3α－β，α＋3β)．于是由(3)得β＝1－α代入(1)(2)消去β得，.再消去α得x＋2y＝5，即x＋2y－5＝0.∴选D.解法2：由平面向量共线定理，当＝α＋β，α＋β＝1时，A、B、C三点共线．因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程得＝，即x＋2y－5＝0.∴选D.19.已知平面向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，c＝(3，－5)，则用a，b表示向量c为() A．2a－b B．－a＋2bC．a－2b D．a＋2b【答案】C【解析】设c＝xa＋yb，∴(3，－5)＝(x－y，－x＋2y)，∴，解之得，∴c＝a－2b，故选C.20.已知＝(2，－1)，＝(－4,1)，则的坐标为________．【答案】(－6,2)【解析】＝－＝(－6,2)．21.已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB、AC分别交于点E、F，＝α，＝β，则＋的值为________．【答案】3【解析】连结AG并延长交BC于D，∵G是△ABC的重心，∴＝＝ (＋)，设＝λ，∴－＝λ(－)，∴＝＋，∴＋＝＋，∵与不共线，∴，∴，∴＋＝3.22.已知△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M、N是AB、AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求.【答案】(1.75,2)．【解析】因为A(7,8)，B(3,5)C(4,3)所以＝(－4，－3)，AC＝(－3，－5)．又因为D是BC的中点，有＝ (＋)＝(－3.5，－4)，而M、N分别为AB、AC的中点，所以F为AD的中点，故有＝＝－＝(1.75,2)．[点评]注意向量表示的中点公式，M是A、B的中点，O是任一点，则＝(＋)．23.如图所示，在▱ABCD中，已知＝，＝.求证：B、F、E三点共线．【答案】略【解析】设＝a，＝b.则＝＋＝a＋b.∵＝b－a，∴＝＝(b－a)．∴＝＋＝a＋ (b－a)＝a＋b－a＝a＋b＝.∴＝.∴向量与向量共线，它们有公共点B.∴B、F、E三点共线．24.已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M为圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程．【答案】所求的轨迹方程为x2＋y2＝1.【解析】设M(x0，y)，N(x，y)，由＝2，得(1－x0,1－y)＝2(x－1，y－1)，所以，又∵M(x0，y)在圆C上，把x0、y代入方程(x－3)2＋(y－3)2＝4，整理得x2＋y2＝1，所以所求的轨迹方程为x2＋y2＝1.25.下列说法正确的是()①向量与是平行向量，则A、B、C、D四点一定不在同一直线上②向量a与b平行，且|a|＝|b|≠0，则a＋b＝0或a－b＝0③向量的长度与向量的长度相等④单位向量都相等A．①③B．②④C．①④D．②③【答案】D【解析】对于①，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以是重合的，故①错．对于②，由于|a|＝|b|≠0，∴a，b都是非零向量，∵a∥b，∴a与b方向相同或相反，∴a＋b＝0或a－b＝0.对于③，向量与向量方向相反，但长度相等．对于④，单位向量不仅仅长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等而且方向相同．选D. 26.给出下列各命题：(1)零向量没有方向；(2)若|a|＝|b|，则a＝b；(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；(6)若a＝b，b＝c，则a＝c；(7)若a∥b，b∥c，则a∥c；(8)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，＝.其中正确命题的序号是________．【答案】(5)(6)【解析】(1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定；(2)该命题不正确，|a|＝|b|只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同；(3)该命题不正确，单位向量只是模为单位长度1，而对方向没要求；(4)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；(5)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；(6)该命题正确．由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a＝c；(7)该命题不正确．因若b＝0，则对两不共线的向量a与c，也有a∥0,0∥c，但a∥\ c；(8)该命题不正确．如图所示，显然有≠，≠.27.已知A、B、C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.【解析】∵A、B、C不共线，∴与不共线，又∵m与、都共线，∴m＝0.28.如图所示，已知▱ABCD，▱AOBE，▱ACFB，▱ACGD，▱ACDH，点O是▱ABCD的对角线交点，且＝a，＝b，＝c.(1)写出图中与a相等的向量；(2)写出图中与b相等的向量；(3)写出图中与c相等的向量．【答案】略【解析】(1)在▱OAEB中，＝＝a；在▱ABCD中，＝＝a，所以a＝＝.(2)在▱ABCD中，＝＝b；在▱AOBE中，＝＝b，所以b＝＝.(3)在▱ABCD中，＝＝c；在▱ACGD中，＝＝c，所以c＝＝29.在水流速度大小为10km/h的河中，如果要使船实际以10km/h大小的速度与河岸成直角横渡，求船行驶速度的大小与方向．【答案】船行驶速度为20km/h，方向与水流方向成120°角【解析】如右图所示，OA表示水流方向，表示垂直于对岸横渡的方向，表示船行速度的方向，由＝＋易知||＝||＝10，又∠OBC＝90°，∴||＝20，∴∠BOC＝30°，∴∠AOC＝120°，即船行驶速度为20km/h，方向与水流方向成120°角．30.．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A．＝B．＋＝C．－＝D．＋＝0【答案】C【解析】A显然正确．由平行四边形法则知B正确．C中－＝，故C错误．D中＋＝＋＝0.。
高一平面向量知识点+例题+练习 含答案
1．向量的有关概念 名称 定义备注向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量 长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量 方向相同或相反的非零向量共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量 长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．减法 求两个向量差的运算三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(1)λ(μa )＝(λμ)a ；(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，a 与b 共线的充要条件是存在实数λ，使得b ＝λa . 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．( √ )1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等 .则所有正确命题的序号是________． 答案 ①解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误．2．如图所示，向量a －b ＝________(用e 1，e 2表示)．答案 e 1－3e 2解析 由题图可得a －b ＝BA →＝e 1－3e 2.3．(2015·课标全国Ⅰ改编)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则AD →＝______________(用AB →，AC →表示)． 答案 －13AB →＋43AC →解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.4．(教材改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)． 答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案 －13解析 由已知得a ＋λb ＝－k (b －3a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，3k ＝1.解得⎩⎨⎧λ＝－13，k ＝13.题型一 平面向量的概念例1 下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．答案 ④解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小． 思维升华 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是________． 答案 3解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.题型二 平面向量的线性运算命题点1 向量的线性运算例2 (1)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝________. (2)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝______________(用b ，c 表示)．答案 (1)AD →(2)23b ＋13c解析 (1)EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →. (2)∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋AB →，∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .命题点2 根据向量线性运算求参数例3 (1)在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝____________.(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是______________． 答案 (1)23(2)⎝⎛⎭⎫－13，0 解析 (1)∵AD →＝2DB →，即CD →－CA →＝2(CB →－CD →)， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.(2)设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →， ∴x ＝－y ，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0. 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为________． 答案 29解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知， AC →＝AB →＋AD →， ∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →) ＝λ⎝⎛⎭⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝29.题型三 共线定理的应用例4 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． (2)解 ∵k a ＋b 和a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB→＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 12解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →) ＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.10．方程思想在平面向量线性运算中的应用典例 (14分)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.思维点拨 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去求解．(2)既然OM →能用a 、b 表示，那我们不妨设出OM →＝m a ＋n b . (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解． 规范解答解 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b .AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .[3分]又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →， 即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎫－a ＋12b .[5分] ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ， 即m ＋2n ＝1.① [8分]又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线．[11分] ∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →， ∴⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝⎛⎭⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1. 消去t 1得，4m ＋n ＝1. ②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .[14分]温馨提醒 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A 、M 、D 三点共线和B 、M 、C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．[方法与技巧]1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1. [失误与防范]1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号是___________________．①a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四顶点；③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行． 答案 ③解析 由于零向量与任一向量都共线，所以命题①中的b 可能为零向量，从而不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，更不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以命题②不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以命题④不正确；对于命题③，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手考虑，假若a 与b 不都是非零向量，即a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与b 共线，其逆否命题正确，故命题③正确．综上所述，正确命题的序号是③.2．在△ABC 中，CA →＝a ，CB →＝b ，M 是CB 的中点，N 是AB 的中点，且CN 、AM 交于点P ，则AP →可用a 、b 表示为______________． 答案 －23a ＋13b解析 如图所示，AP →＝AC →＋CP →＝－CA →＋23CN →＝－CA →＋23×12(CA →＋CB →)＝－CA →＋13CA →＋13CB →＝－23CA →＋13CB →＝－23a ＋13b . 3.如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE →＝________(用AB →，AD →表示)． 答案 23AB →＋12AD →解析 BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－23AB →＋AD →，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12⎝⎛⎭⎫AD →－23AB → ＝23AB →＋12AD →. 4．已知平面内一点P 及△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则有关点P 与△ABC 的位置关系判断正确的是________(填序号)．①点P 在线段AB 上； ②点P 在线段BC 上； ③点P 在线段AC 上； ④点P 在△ABC 外部． 答案 ③解析 由P A →＋PB →＋PC →＝AB →得P A →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－P A →＝2AP →，所以点P 在线段AC 上．5．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于________． 答案 60°解析 由OA →＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 的重心，又∵O 为△ABC 外接圆的圆心，∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.6．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________． 答案 平行四边形解析 由OA →＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →，所以BA →＝CD →.所以四边形ABCD 为平行四边形．7．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.答案 2解析 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|可知，AB →⊥AC →，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM →|＝12|BC →|＝2. 8．(2015·北京)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.答案 12 －16解析 如图，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB → ＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16. 9.如图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b . AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →) ＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b . 10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．(1)证明 ∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →，∴AC →与CD →共线． 又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线．(2)解 AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线，∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43. B 组 专项能力提升(时间：15分钟)11．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是________．答案 －1解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.12．如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝____________(用a ，b 表示)．答案 12a ＋b 解析 连结CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a . 13．设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则B 的大小为________．答案 60°解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0.又GB →，GC →不共线，∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C ．根据正弦定理知b ＝a ＝c ， ∴△ABC 是等边三角形，则角B ＝60°.14．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝____________.(用a ，b 表示)答案 －14a ＋14b 解析 由AN →＝3NC →得AN →＝34AC →＝34(a ＋b )， AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM → ＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 15．如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________． 答案 3解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ， 从而⎩⎨⎧ －m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1m ＝3.。
高一数学向量知识点以及典型例题
平面向量知识点回顾一、 向量的概念（1）向量的基本要素：大小和方向.（2）向量的表示：几何表示法AB ；字母表示：a ；坐标表示法(,)x i y j x y α→→=⋅+⋅=. （3）向量的长度：即向量的大小，记作2a x y =+（4）特殊的向量：零向量a ＝O｜a ｜＝O . 单位向量a 为单位向量｜a ｜＝1.（5）相等的向量：大小相等，方向相同12112212(,)(,)x x x y x y y y =⎧=⇔⎨=⎩（6） 相反向量：0a b b a a b =−⇔=−⇔+=（7）平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量.二、向量的运算法则（1）加法a b b a +=+()()a b c a b c ++=++AB BC AC +=注：向量的加法口诀：首尾相连，首连尾，方向指向末向量。
（2）减法()a b a b −=+− （减法可以变成加法来计算，因此加法的相关运算法则减法也适用）AB BA =− OB OA AB −=注：向量的减法口诀：首首相连，尾连尾，方向指向被减向量。
（3）数乘()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+//a b a b λ⇔=注：1.a λ是一个向量,满足:a a λλ=；2.λ>0时, a λ与a 同向; λ<0时, a λ与a 异向; λ=0时,0a λ=.（4）数量积a b b a ⋅=⋅()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅()22a a =a b a b ⋅≤注：1.a b ⋅是一个数；2.00a b ==或时，0a b ⋅=；3. 00a b ≠≠且时，()cos ,,a b a b a b θθ⋅=是之间的夹角三、向量的直角坐标系运算法则 ()11,a x y =，()22,b x y =（1） 加法()1212,a b x x y y +=++（2） 减法()1212,a b x x y y −=−−（3） 数乘()11,a x y λλλ=（4） 数量积1212a b x x y y ⋅=+21a x y =+四、重要的定理以及公式（应用）（1）平面向量基本定理1e ，2e 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数12,λλ，使112a e e λλ=+.注：1.我们把不是共线的1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；2.基底不是唯一的，关键是不是共线；3.由定理可以将平面内任一a 在给出基底1e ，2e 的条件下进行分解；4.基底给定时，分解形式是唯一的，12,λλ是被a 、1e ，2e 唯一确定的数量。
高一向量知识点总结及例题
高一向量知识点总结及例题一、向量的概念1. 向量的定义：有向线段叫做向量向量的定义：具有大小和方向的量称为向量2. 向量的表示：一般用小写英文字母加上上方有箭头的符号表示向量，如a→（读作“a矢”）表示一个向量3. 特殊向量：零向量，单位向量零向量：方向任意，但模长为零的向量称为零向量，用0→表示单位向量：模长为1的向量称为单位向量4. 向量的性质：平行向量，共线向量二、向量的运算1. 向量的加法：平行四边形法则平行四边形法则：以向量的起点为顶点，则向量和为以这些向量为对角线的平行四边形的对角线。
2. 向量的减法：a-b=a+(-b)为a的负向量3. 向量的数乘：数c与向量a的积c倍c→4. 向量的夹角：若两向量a→和b→不共线，那么定义a→与b→的夹角α为0°≤α≤180°5. 向量的数量积：a•b=|a|•|b|•cosα6. 向量的数量积性质：（1）交换律：a•b=b•a（2）数量积的分配律：a•(b+c)=a•b+a•c（3）数量积的数乘结合律：(ca)•b=c(a•b)（4）|a•b|=|a|•|b|•cosα三、向量的坐标表示1，平面直角坐标系中的向量：（x1,y1）和（x2,y2）两点的向量为向量（x2-x1，y2-y1）2，向量的坐标与分解3，向量的坐标方向四、向量的应用1. 向量的应用：力，速度，位移2. 大小及方向的确定3. 用向量平行四边形的基本性质判定四边形的形状4. 向量的共线和共面例题：例1. 设向量a=(3,5)和向量b=(-2,4)，求向量a-b和向量b-a的坐标。
解：a-b=a+(-b)=（3,5）+(-2,-4) =(3-(-2),5-4)=(5,1)同理，b-a=b+(-a)=(-2,4)+(3,5)=(-2-3,4-5)=(-5,-1)例2：设a和b是非零向量，若|a•b|=|a|•|b|，则a、b的夹角取值为（）。
A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°解：|a•b|=|a|•|b|cosα ，|a•b|=|a|•|b|时，cosα=1，所以α=0°。
高一数学平面向量的几何应用试题答案及解析
高一数学平面向量的几何应用试题答案及解析1.已知：是不共线向量，，，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，故设，即，又是不共线向量，所以有，解得，故选择B.【考点】平面向量平行.2.设两个向量、，满足，，、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围.【答案】【解析】夹角为钝角可通过数量积为负来解决，但它们之间并不等价，简洁地说，数量积为负排除反向，即可保证夹角为钝角；数量积为正排除同向，即可保证夹角为锐角.不作排除，就要犯错. 试题解析：由已知得,，.∴()() 6分欲使夹角为钝角，需.得. 8分设()() 10分∴，此时. 11分即时，向量与的夹角为.∴夹角为钝角时，的取值范围是. 13分【考点】向量数量积的应用之一：求夹角.3.平面向量与的夹角为60°，，，则().A．9B．C．3D．7【答案】B【解析】因为平面向量与的夹角为60°，，所以，则.【考点】平面向量的模长公式.4.已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________.【答案】且.【解析】因为，，且与的夹角为锐角，所以，即，解得且.【考点】平面向量的夹角.5.在△中，已知，向量，，且．（1）求的值；（2）若点在边上，且，，求△的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：（1）先由平面向量的垂直关系得出，再利用三角形的三角关系求角A；（2）先由（1）中的三角关系得出三边关系，再利用余弦定理求出有关边长，进而利用三角形的面积公式求三角形的面积.规律总结：解三角形问题，往往要综合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式以及三角恒等变形等知识，综合性较强，主要思路是利用有关定理实现边、角的合理互化.试题解析：（1）由条件可得，（方法一）：由，A+B+C=π，所以，又，所以，所以，即（方法二）：因为，所以因为，所以,而，因此；（2）由（1）得,由正弦定理得，设，则，在中，由余弦定理，得，解得，所以;所以 .【考点】1.三角形的三角关系、三边关系、边角关系2.正弦定理；3.余弦定理.6.已知向量,则向量和的夹角为_________ ．【答案】.【解析】,因此【考点】向量的夹角.7.已知=（2，3），=（﹣1，2）当k为何值时，（Ⅰ）与垂直？（Ⅱ）与平行？平行时它们是同向还是反向？【答案】(1);(2).【解析】（1)当向量与是坐标形式给出时，若证明，则只需证明；（2）当是非坐标形式时，要把用已知的不共线的向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行证明；（3）利用向量垂直于平行的条件进行构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.(4),当时，和方向相同，当时，和方向相反.试题解析：解：=（2，3）+（﹣1，2）=（2﹣1，3+2），=（5，﹣3）（1）与垂直，得（）•（）=10﹣5﹣9﹣6=﹣11=0，=11（2）与平行，得15+10=﹣6+3，=﹣此时=（﹣，1），=（5，﹣3），所以方向相反．【考点】(1)平面向量垂直；（2）平面向量共线.8.如图，在平面上，点，点在单位圆上，（）（1）若点，求的值；（2）若，四边形的面积用表示，求的取值范围.【答案】（1）-3，（2）.【解析】（1）本小题从三角函数的定义出发，当且，可得，，而，因此有；（2）因为，且均可用或表示，则可用含的式子表示，利用辅助角公式可化为一种名称的三角函数，结合角的范围即可求得此函数的范围.试题解析：（1）由于，，所以，，于是 .（2），由于,，所以，，则（），由于，所以，所以.【考点】三角函数的定义，正切的半角公式，两角和的正切公式，辅助角公式，三角函数的定义域与值域问题，转化与化归思想.9.已知，若的夹角为，则= ．【答案】【解析】因为所以【考点】向量的模10.如图，平面直角坐标系中，已知向量，，且。
高一数学平面向量试题答案及解析
高一数学平面向量试题答案及解析1.已知向量a b则向量a在向量b方向上的投影为 ( )A．B．C．0D．1【答案】B【解析】略2.已知平面向量0)满足(1)当时，求的值；(2)当的夹角为时，求的取值范围。
【答案】解：(1) 即，化简得，即的值为……………………………………6分(2)如图，设，由题，的夹角为，因此，在△ABO中，∠OBA=，根据正弦定理，即的取值范围是。
…………………………………12分【解析】略3.在中，，是边上任意一点（与不重合），若，则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意画出相应的图形，如图所示：过A作AO⊥BC，交BC于点O，以BC所在的直线为x轴，AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，设A（0，a），B（b，0），C（c，0），D（d，0），∵|AB|2=|AD|2+|BD|×|DC|，∴a2+b2=a2+d2+（d-b）（c-d），即d2-b2+（d-b）（c-d）=0，∴（d+b）（d-b）+（d-b）（c-d）=0，即（d-b）（b+c）=0，∵D与B不重合，∴d≠b，即d-b≠0，∴b+c=0，即b=-c，∴B与C关于y轴对称，∴AB=AC，则△ABC为等腰三角形．得到∠B=∠C=75°4.已知中，点是的中点，过点的直线分别交直线于两点，若，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，三点共线，所以，．【考点】1．平面向量基本定理；2．三点共线；3．基本不等式求最值．5.（本小题满分12分）已知点（1）若，求的值；（2）若，其中为坐标原点，求的值。
【答案】（1）；（2）．【解析】（1）首先求的坐标表示，然后再用模的公式进行化简，最后解得；（2）根据向量的坐标表示向量的和，和向量的数量积的坐标表示，得到，最后两边平方，解得．试题解析：解：（1）A（1，0），B（0，1），，化简得（若，则，上式不成立）所以（2），，【考点】1．向量的坐标表示；2．三角函数的化简．6.已知平面向量，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B．【考点】（1）平面向量共线（平行）的坐标表示；（2）平面向量的坐标运算．7.已知为锐角，，且，则为．【答案】或【解析】因为，，故为或．【考点】平行向量的坐标表示8.已知是所在平面上一点，满足，则点（）A．在与边垂直的直线上B．在的平分线所在直线上C．在边的中线所在直线上D．以上都不对【答案】A【解析】移项得设AB边的中点为D，则所以O在与边垂直的直线上，选A．【考点】向量加减法的几何意义，数量积的性质．9.如果向量与的夹角为θ，那么我们称×为向量与的“向量积”，×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ，如果||=3，||=2，·=-2，则|×|=__________．【答案】【解析】由向量数量积知；所以．【考点】新定义问题、向量的运算．10.（本小题满分10分）已知向量，向量．（1）若向量与向量垂直，求实数的值；（2）当为何值时，向量与向量平行？并说明它们是同向还是反向．【答案】（1）；（2），同向．【解析】（1）本题考察的是平面向量的垂直问题，这类问题要写出两个向量的坐标表示，然后利用两向量的数量积等于0，即可得到所需答案．本题中分别写出向量与向量的坐标，两向量垂直数量积等于0，代入相关数值，即可求出实数的值．（2）本题考察的是两向量平行（共线）的问题，两向量平行，则．代入相关数值，即可求出实数的值，再利用向量共线定理即可得出是否同向．试题解析：，．（1）由向量与向量垂直，得，解得．（2），得，解得．此时，所以方向相同【考点】平面向量数量积的运算11.设的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，设与夹角为且为锐角，则：，且，解得且，所以实数的取值范围是，故选A．【考点】平面向量数量积的计算12.已知的顶点坐标为，，，点P的横坐标为14，且，点是边上一点，且.（1）求实数的值与点的坐标；（2）求点的坐标；（3）若为线段（含端点）上的一个动点，试求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由，根据向量共线，设出P点坐标即可得设出Q点坐标,根据可得一个方程，然后利用Q在AB上利用向量共线得另一个方程，解方程组可得Q点坐标。
高一数学第2讲 平面向量(知识点串讲)(解析版)
第2讲 平面向量（知识点串讲）知识整合1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模). (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1、判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( ) (2)BA →＝OA →－OB →.( )(3)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( )(4)已知a ，b 是两个非零向量，当a ，b 共线时，一定有b ＝λa (λ为常数)，反之也成立．( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ [跟踪训练]1、有下列命题：①两个相等向量，它们的起点相同，终点也相同；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|AB →|＝|DC →|，则四边形ABCD 是平行四边形；④若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C [对于①，两个相等向量，它们的起点相同，终点也相同，①正确；对于②，若|a |＝|b |，方向不确定，则a ，b 不一定相等，∴②错误；对于③，若|AB →|＝|DC →|，AB →，DC →不一定相等，∴四边形ABCD 不一定是平行四边形，③错误；对于④，若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ，④正确；对于⑤，若a ∥b ，b ∥c ，当b ＝0时，a ∥c 不一定成立，∴⑤错误；对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，∴⑥错误．综上，假命题是②③⑤⑥，共4个．] 知识整合2．向量的线性运算如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.例2、(2019·山东东营检测)如图所示，BC →＝3CD →，O 在线段CD 上，且O 不与端点C ，D 重合，若AO →＝mAB →＋(1－m )AC →，则实数m 的取值范围为________.【答案】⎝⎛⎭⎫－13，0 [设CO →＝kBC →，则k ∈⎝⎛⎭⎫0，13， ∴AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋kBC →＝AC →＋k (AC →－AB →)＝(1＋k )AC →－kAB →. 又AO →＝mAB →＋(1－m )AC →，∴m ＝－k . ∵k ∈⎝⎛⎭⎫0，13，∴m ∈⎝⎛⎭⎫－13，0.] [跟踪训练]2、(2019·山东潍坊调研)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A ．1B ．34C ．23D ．12【答案】B [∵E 为线段AO 的中点，∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12⎝⎛⎭⎫12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，∴λ＋μ＝12＋14＝34.] 知识整合4．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．(2)若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1.例3、(2019·山东青州月考)已知O 为△ABC 内一点，且2AO →＝OB →＋OC →，AD →＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】B [设线段BC 的中点为M ， 则OB →＋OC →＝2OM →.因为2AO →＝OB →＋OC →，所以AO →＝OM →， 则AO →＝12AM →＝14(AB →＋AC →)＝14⎝⎛⎭⎫AB →＋1t AD →＝14AB →＋14tAD →. 由B ，O ，D 三点共线，得14＋14t ＝1，解得t ＝13.][跟踪训练]3、设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．【答案】(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1. 知识整合5．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝x 2－x 12y 2－y 12.6．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.例4、(2019·山东潍坊检测)如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ． 12B ．－12C ．1D ．－1【答案】A [法一：由题意得AE →＝AD →＋12AB →＝BC →＋AB →－12AB →＝AC →－12AB →，∴λ＝－12，μ＝1，∴λ＋μ＝12.法二：利用坐标法，以A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)， 设正方形的边长为1，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12， 1，∴AE →＝⎝⎛⎭⎫12， 1，AB →＝(1,0)，AC →＝(1,1)，则⎝⎛⎭⎫12， 1＝λ(1,0)＋μ(1,1)，∴λ＋μ＝12.][跟踪训练]4、(2019·山东青岛调研)已知向量a ＝(－1,1)，b ＝(3，m )，若a ∥(a ＋b )，则m ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．3D ．－3【答案】D [向量a ＝(－1,1)，b ＝(3，m )，则a ＋b ＝(2，m ＋1)，a ∥(a ＋b )，则－(m ＋1)＝2，解得m ＝－3.] 知识整合7．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是：[0，π].8．平面向量的数量积9．①交换律：a ·b ＝b ·a ；②数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . (2)平面向量数量积运算的常用公式①(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. ②(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. ③(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2. 10．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.注：两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且a ，b 不共线．例5、(2018·天津卷)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( )A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A [如图，以D 为坐标原点建立直角坐标系．连接AC ，由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°，则D (0,0)，A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫32，32，C (0，3)．设E (0，y )(0≤y ≤3)，则AE →＝(－1，y )，BE →＝⎝⎛⎭⎫－32，y －32，∴AE →·BE →＝32＋y 2－32y ＝⎝⎛⎭⎫y －342＋2116，∴当y ＝34时，AE →·BE →有最小值2116.] [跟踪训练]5、(2018·天津卷)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0【答案】C [如图，连接MN .∵BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，∴AM AB ＝13＝AN AC ，∴MN ∥BC ，且MN BC ＝13，∴BC →＝3MN →＝3(ON →－OM →)， ∴BC →·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2) ＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6.]。
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高一数学 第八章 平面向量第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念①向量：既有大小又有方向的量。
几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。
向量的模（长度），记作|AB |.即向量的大小，记作｜a|。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，规定0平行于任何向量。
（与0的区别） ③单位向量｜a｜＝1。
④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b⑤相等向量记为b a =。
大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面任取一点A ，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=特殊情况：abab a+bbaa+b(1)平行四边形法则三角形法则CBDCBAAaabbba +ba +AABBC C)2()3(向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”。
②向量减法： 同一个图中画出a b a b +-、要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. （3）实数与向量的积3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ。
二．【典例解析】题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)ba b a ==则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a =，c b =，则c a =；(7)若b a //，c b //，则c a // (8) b a =的充要条件是||||b a =且b a //；(9) 若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ==,A练习. (省市一诊)在四边形ABCD 中，“AB→＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律 例2 化简)()(BD AC CD AB ---=练习1.下列命题中正确的是 A ．OA OB AB -= B ．0AB BA +=C ．00AB ⋅=D ．AB BC CD AD ++=2.化简AC -BD +CD -AB 得A ．AB B ．DAC ．BCD ．03．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( ) A.AD →＋BE →＋CF →＝0 B.BD →－CF →＋DF →＝0 C.AD →＋CE →－CF →＝0 D.BD →－BE →－FC →＝0题型三: 结合图型考查向量加、减法例3在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是( )A ．13B ．12C ．23D ．34例4重心、垂心、外心性质练习: 1．如图，在ΔABC 中，D 、E 为边AB 的两个三等分点，CA →=3a ，CB → =2b ，求CD → ，CE → ． 2已知a b a b+-=求证a b ⊥3若O 为ABC ∆的心，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆的形状为（ ）A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.钝角三角形4．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →ABCDE5．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|等于________．6．已知平面有一点P 及一个△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则( )A ．点P 在△ABC 外部B ．点P 在线段AB 上C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在线段AC 上7．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23 题型四: 三点共线问题例 4 设21,e e 是不共线的向量,已知向量2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=,若A,B,D 三点共线,求k 的值例5已知A 、B 、C 、P 为平面四点， A 、B 、C 三点在一条直线上 PC → =mPA → +nPB → ，求证： m+n=1．练习：1．已知：2121212CD ,B C),(3e e e e e e AB +=-=+=，则下列关系一定成立的是（ ）A 、A ，B ，C 三点共线 B 、A ，B ，D 三点共线 C 、C ，A ，D 三点共线 D 、B ，C ，D 三点共线2．(原创题)设a ，b 是两个不共线的向量，若AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于________．第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示 一．【要点精讲】1．平面向量的基本定理如果21,e e 是一个平面的两个不共线向量，那么对这一平面的任一向量a ，有且只有一对实数BC AOM D21,λλ使：2211e e a λλ+=其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面所有向量的一组基底.2．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的_单位向量_ i 、j 作为基底任作一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj =+…………○1，把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =…………○2其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示与a 相等的向量的坐标也为),(y x 特别地，(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)=特别提醒：设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标因此，在平面直角坐标系，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示3．平面向量的坐标运算（1）若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +=1212(,)x x y y ++，a b -= 1212(,)x x y y --（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB = （3）若(,)a x y =和实数λ，则a λ=(,)x y λλ4．向量平行的充要条件的坐标表示：设a=(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) 其中baa ∥b (b0)的充要条件是12210x y x y -=二．【典例解析】题型一. 利用一组基底表示平面的任一向量[例1] 在△OAB 中，OB OD OA OC 21,41==，AD 与BC 交于点M ，设OA =a ，OB =b ，用a ,b 表示OM .练习:1．若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A ．1e 与—2eB ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e2．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.题型二: 向量加、减、数乘的坐标运算 例 3 已知A （—2,4）、B （3,—1）、C （—3,—4）且CA CM 3=,CB CN 2=,求点M 、N 的坐标及向量MN 的坐标.练习:1. (2008年高考卷)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．(2，72)B ．(2，－12) C ．(3,2) D ．(1,3)2．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 12MP =MN , 求P 点的坐标；3．若M(3, -2) N(-5, -1)，点P 在MN 的延长线上，且 12MP MN =,求P 点的坐标；4.(2009年卷文)已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）， 则向量+a b ( )A 平行于x 轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线5．在三角形ABC 中，已知A (2,3)，B (8，－4)，点G (2，－1)在中线AD 上，且AG →＝2GD →， 则点C 的坐标是( )A ．(－4,2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4,2)6．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)7．已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a 等于( )A ．2B ．1 C.45 D.53题型三: 平行、共线问题例4已知向量(1sin ,1)θ=-a ，1(,1sin )2θ=+b ，若a ∥b ，则锐角θ等于（ ）A ．30︒B ． 45︒C ．60︒D ．75︒例5．（2009卷文）已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-， 如果//c d 那么( )A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向练习：1．若向量a=(-1,x)与b =(-x, 2)共线且方向相同，求x2．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及AB t OA OP +=，求(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限。