社会保险基金精算(第一章)寿险精算基础(2)

习题： 习题： 1、 P.35 习题 、3、4。 、 习题2、 、 。 2、 推导期首付年金现值与期末付年金现值的关系，解释其 、 推导期首付年金现值与期末付年金现值的关系， 期首付年金现值与期末付年金现值的关系 意义。 意义。
an
（2）计算该现值在 年后 ）计算该现值在n年后 的累积额 年金终值） （=年金终值） 年金终值
sn
=
=
a n ⋅ (1 + i)n
1 − vn (1+ i)n −1 ⋅ (1+ i)n = i i
万元购房， 【例1.3】某人贷款 万元购房，还款期 年，假定贷款 】某人贷款20万元购房 还款期30年 利率5%，如果从贷款第二年开始每年等额还款，求每年的 利率 ，如果从贷款第二年开始每年等额还款， 还款额。 还款额。
( Is) n
( Ia) n
1 2 3
L
n-2
n-1
n
付款额 时间
0
1
2
3
L
n-2
n-1
n
( Is) n
=
( Ia) n ⋅ (1 + i)n
=
a n − nv n ⋅ (1 + i)n i
=
Sn − n i
【例1.4】某年金第一年末收付 】某年金第一年末收付1000元，以后每隔 元 一年收付额比前一年增加100元，如果年利率为 一年收付额比前一年增加 元 5%，求第 年末的年金终值。 年末的年金终值 ，求第10年末的年金终值。
n
n
=
1− vn i
年金的终值 （4） 期末付年金的终值 (FV) ） 期末付年金的
• n年内每年 元的期末付年金终值的计算 年内每年1元的期末付年金终值的计算 年内每年 元的期末付年金终值
(1 + i) n
sn
a
1 - v = n i
n
1 0 1
1
1
L
1
1
1
付款额 时间
2
3
L
n-2
n-1
n
思路
（1）计算年金的现值 ）
如购物分期付款、住房按揭、养老金给付等。 如购物分期付款、住房按揭、养老金给付等。 (1) 期首付年金 期首付年金
1 1 1 1
L
1
1
付款额
n
0
1
2
3
L
L
n-2
n-1
时间
(2) 期末付年金 期末付年金
1 1 1 1 1 1
付款额 时间
0
1
2
3
L
n-2
n-1
n
年金的现值 （1） 期首付年金的现值 (PV) ） 期首付年金的
• n 年内每年收付 m 次，每次 1/m 元的期首付年金现值 元的期首付年金现值 期首付年金
1 m v m 1 m v m
1
2
− 1 ( n −1) + mm 1 1 v = v m m
mn −1 m
1/m 0
1/m
1/m
1/m
1/m 1
1 m
L
1/m n
付款额 时间
L
2 m
付款额 时间
L
(2) 等比递增年金（期首付） 等比递增年金（期首付） 年金
1 1+j (1+j)2 (1+j)3
L
(1+j)n-2
(1+j)n-1
付款额
n
0
1
2
3
L
来自百度文库n-2
n-1
时间
等差递增年金的 （1）期末付等差递增年金的现值 (PV) ）期末付等差递增年金的现值
n ⋅ vn
2 ⋅ v2
v
1
2
3
L
480
PV 20
480×1.02 480 × 1.02 2
L
480 × 1.02 39
付款额
FV
21
L
40年
59
60
年岁
FV = PV ⋅ (1 + i ) n = PV ⋅ (1 + 0.04) 40
PV = 480(1 + 1.02v + 1.02 2 v 2 + L + 1.02 39 v 39 )
(1 + i) n
sn
L
1 n-2 1 n-1 n
a
1 - v = n d
n
1 0
1 1
1 2
1 3
付款额 时间
L
思路2 思路
（1）计算年金的现值 ）
an
（2）计算该现值在 年后 ）计算该现值在n年后 的累积额 年金终值） （=年金终值） 年金终值
sn
=
=
a n ⋅ (1 + i)n
1− vn (1+ i)n −1 ⋅ (1+ i)n = d d
年金的现值 （3） 期末付年金的现值 (PV) ） 期末付年金的
• n 年内每年 1 元的期末付年金现值的计算 元的期末付年金现值 期末付年金现值的计算
v2
vn
v
1 0 1
1
1
L
1
1
1
付款额 时间
2
3
L
2
n-2
n-1
n
PV = v + v + L + v
an
1− v = v ⋅ 1− v
an
a∞ a∞
=
1− v i
n → ∞
n
=
lim a n
1 i
=
lim∞ 1 − v n → i
n
=
3 变额年金
定义：每次收付额不等的年金。 定义：每次收付额不等的年金。 收付额不等的年金
(1) 等差递增年金（期末付） 等差递增年金（期末付） 年金
n n
1 0 1
2 2
3 3
L
n-2 n-2
n-1 n-1
10
付款额
L
+
时间
FV
=
900 ⋅ S 10
100 ⋅ ( Is ) 10
+
=
(1 + i ) 10 − 1 900 ⋅ i
S 10 − 10 100 ⋅ i
年金的现值 （2） 期首付等比递增年金的现值 (PV) ） 期首付等比递增年金的
(1 + j ) n −1 ⋅ v n −1
(1 + j ) 2 ⋅ v 2
(1 + i) n
(1 + i ) 2
(1 + i )
1 0
1 1
1 2
1 3
L
1 n-2
1 n-1 n
付款额 时间
L
思路1 思路
sn
= (1 + i ) + (1 + i ) 2 + L + (1 + i ) n
1 − (1 + i) n 1 + i (1 + i) n − 1 (1 + i) n − 1 s n = (1 + i) ⋅ = ⋅ = 1 − (1 + i) i 1 d
PV =20
x
0 1
x
2
x
3
L
x
28
x
29
x
付款额
30
L
a 30
时间
PV = x ⋅ a 30
PV ⋅ i x = 1 − v 30
1 − v 30 = i
=
2 00000 × 0 .05 1 30 1− （ ） 1 + 0 .05
=
13010.29
2 永续年金
收付时期无限（ 的年金，如一些奖励基金等。 收付时期无限（ n = ∞）的年金，如一些奖励基金等。
1000
0 1
1100 1200
2 3
L
1700
8
1800
9
1900
10
付款额
L
时间
900 100
0 1
900 200
2
900 300
3
L
900 800
8
900 900
9
900 1000
10
付款额
L
时间
900
900 200
2
900 300
3
100
0 1
L
900 800
8
900 900
9
900 1000
1 1 1 1 PV = + v + v + L + v m m m m
mn −1 m
a
(m ) n
=
1 1 − vn ⋅ 1 m 1− vm
=
1− vn d (m)
年金的终值 （2） 期首付年金的终值 (FV) ） 期首付年金的
• n 年内每年 1 元的期首付年金终值的计算 元的期首付年金终值 期首付年金终值的计算
寿险精算基础（ 第一章 寿险精算基础（2）
§1.1 利息理论
累积函数、实际利率与实际贴现率、名 累积函数、实际利率与实际贴现率、 义利率与名义贴现率、 义利率与名义贴现率、年金
§1.2 生命表
生命函数、生命表、多减因表（自学） 生命函数、生命表、多减因表（自学）
1.1.2 年金
1 年金现值与终值
何谓年金？ 何谓年金？ 按相等间隔收付款（方式或款项） 相等间隔收付款（方式或款项） 收付款
n-2
n-1
n
付款额 时间
0
1
2
3
L
n-2
n-1
n
PV = ( Ia) n = v + 2v 2 + L + nv n (1 + i )( Ia) n = 1 + 2v + 3v L + nv
2 n −1
（1）
（2）
（2）-（1）得 ） （ ）
i ⋅ ( Ia) n = 1 + v + v L + v
1 (1 + i ) n −1
1 (1 + i ) 2 1 (1 + i )
1 0
1 1
1 2
1 3
L
1 n-2
1 n-1 n
付款额 时间
L
1 1 1 PV = 1 + + +L + 2 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) n −1
或者表示为： 或者表示为：
PV = 1 + v + v 2 + L + v n −1
(1 + j ) ⋅ v
1
1+j
(1+j)2 (1+j)3
L
(1+j)n-2
(1+j)n-1
付款额
n
0
1
2
3
L
n-2
n-1
时间
PV = 1 + (1 + j ) ⋅ v + (1 + j ) 2 ⋅ v 2 + L + (1 + j ) n −1 v n −1
1 − [(1 + j ) ⋅ v]n PV = 1 − (1 + j ) ⋅ v
2
n −1
− nv
n
= a n − nv n
a n − nv ( Ia ) n = i
n
对于期首付等差递增年金来说， 对于期首付等差递增年金来说， 期首付等差递增年金来说
a n − nv ( Ia ) n = d
n
期末付等差递增年金的终值 期末付等差递增年金的终值 (FV) 等差递增年金的
(1 + i) n
【例1.5】我国城镇职工基本养老金保险采取社会统筹与个人 】
账户相结合的方法，个人账户以工资的 计入。 账户相结合的方法，个人账户以工资的8%计入。如果某职工 计入 岁参加个人账户保险， 从20岁参加个人账户保险，当年工资 岁参加个人账户保险 当年工资6000元，工资年增长 元 2%，个人账户的年利率 岁退休时， ，个人账户的年利率4%，求他 岁退休时，其个人账户 ，求他60岁退休时 的累积额。 的累积额。
n 期 1 单位期首付年金的现值，用符号 单位期首付年金的现值，
an
表示，所以， 表示，所以，
a n = 1 + v + v 2 + L + v n −1
a
1-v 1-v = = n 1-v d
n
n
小课题： 小课题： （1） 等比级数求和； ） 等比级数求和； 的推导。 （2） d=1-v 的推导。 ）