社会保险基金精算(第一章)寿险精算基础(2)
寿险精算习题及答案
习题第一章人寿保险一、n 年定期寿险【例4.1】设有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为3%。
I 、如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人，计算赔付支出； II 、根据93男女混合表，计算赔付支出。
解：I表4–1 死亡赔付现值计算表根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：48.13468)03.1503.1403.1303.1203.11(100054321=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯-----（元）则每张保单未来赔付的精算现值为134.68元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。
解：II表4–2 死亡赔付现值计算表根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：86.9124)03.103.103.103.103.1(1000540|4440|3340|2240|11402=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯-----q q q q q （元）则每张保单未来赔付的精算现值为91.25元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。
【例4.2】某人在40岁时投保了10000元3年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。
根据93男女混合表计算：I 、单位趸缴纯保费；II 、单位赔付现值期望的方差；III 、（总）趸缴纯保费； 解：I 、单位趸缴纯保费为，)()(424023414024040|2340|1240240|11|3:40q p v q p v vq q v q v vq q v Ak k k ++=++=⨯=∑=+]05.1001993.0)001812.01()00165.01(05.1001812.0)00165.01(05.100165.0[32⨯-⨯-+⨯-+=00492793.0=（元）。
II 、单位赔付现值期望的方差为，00444265.0)()()()(21|3:4040|2640|1440221|3:40240|)1(221|3:401|3:402=-++=-⨯=-∑=+A q v q v q v A q v AAk k k III 、趸缴纯保费为，28.49100001|3:40=⨯A （元） 【例4.3】某人在50岁时投保了100000元30年期定期寿险，利率为8%。
保险精算学课件(第二部分内容)-
又由条件概率公式和定理1.3.2，有
u|t qx P(T (x) t u,T (x) u)
P(T (x) u) P(T (x) t u | T (x) u)
§1.3.2 一些国际通用精算表示法
P(T (x) u) P(T (x u) t) u px t qxu ; u|t qx P(T (x) t u,T (x) u)
§1.3.2 一些国际通用精算表示法
□定理1.3.3 （1）生存概率
t
px
s(x t) s(x)
（2）对t 0,u 0, 生存概率与死亡概率有如下
的关系：
t qx 1t px , u|t qx u px t qxu , u|t qx u px ut px
（3）对 0 h t ，有 t px h px th pxh
(x
t)
fT (x) (t)
d dt
[FT (x) (t)]
d dt
[sT (x) (t)]
t
fT (x) (t)
( xu )du
e 0
(x
t)
t
px
(x
t)
§1.3.2 一些国际通用精算表示法
其次，对关系式（1.3.6）两边对t求导数，有
d dt
(
fT (x) (t)
fX (x t) , s(t)
t 0;
生存分布为
t
sT
(x)
(t)
e
0
( xs)ds
;
（1.3.3） （1.3.4）
寿险基本原理及精算基础
华夏“英才一期”培训班·北京
保险基本原理
投连型终身寿险（变额终身寿险）
保费固定，保额可变（通常要保证一个最低限额）； 有专项账户，与公司的一般账户是分开的； 投保人通常可以选择账户投向； 保额随着投资组合和投资业绩的情况而变动。
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保险基本原理
万能寿险 保费灵活 保额可调 万能寿险由于其特有的灵活性而提供了一种可能，即一个人一 生需要的惟一的寿险保单就是万能寿险。
寿险基本原理及精算基础
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1 2 3 4 5
寿险基本原理及盈利模式
寿险产品定价和利润测试
准备金、现金价值与偿付能力 内含价值 再保险
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保险基本原理
保险的雏形
古罗马：“丧葬互助会” 古巴比伦：征收赋金以备救济火灾及其他天灾损失 中国夏周时期：“积谷防饥” 中国古代：镖局组织
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保险基本原理
年金保险
被保险人，张先生，今年28周岁，为自己投保某养老年金保险 （分红型），年交保费1万元，交费期间10年，选择60岁开始领取20 年。可获得如下收益： 客户从60岁年生效对应日开始每年领取10260元直至79周岁年生 效对应日，20年共计领取205200元，是所交保费的2.05倍；若在本 合同约定的养老年金领取期间身故，按约定领取期限内尚未领取的 各期养老年金之和一次性给付身故保险金，本合同终止。
短期险：一次性缴费，保障高，无返还，费用率低（20%）。
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保险基本原理
人身保险的缴费方式
每年可更新的定期寿险方法 一次缴清（趸交）保险费方法 均衡保险费方法
1、社会保障精算(第一章)寿险精算基础(3)
死亡率
0.003500 0.003000 0.002500 0.002000 0.001500 0.001000 0.000500 0.000000
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
0
4
8
年龄
1.2.1 基本函数（生命表的基本内容） 基本函数（生命表的基本内容）
已知： 已知： 求： 解：
1|
l20 = 1000
1|
l21 = 998
l22 = 992
q 20
d 20 +1 d 21 l 21 − l 22 = = = l 20 l 20 l 20
998 − 992 = = 0 . 006 1000
q 20
q 20
1|
已知40岁的死亡率为0.04，41岁的死亡率 已知40岁的死亡率为0.04，41岁的死亡率 40岁的死亡率为0.04 0.06，42岁的人生存到43岁的概率为0.92。 岁的人生存到43岁的概率为0.92 为0.06，42岁的人生存到43岁的概率为0.92。如果 40岁生存人数为100人 岁生存人数为100 43岁时的生存人数 岁时的生存人数。 40岁生存人数为100人，求43岁时的生存人数。
0
x
定义式
死亡 时点
ω −1
105
时间
s( x) = Pr( X > x)
s ( 0) = 1
s (105) = 0
lx s( x) = l0
s ( x ) = x p0
s( x) = 1 − F ( x)
岁的人在0～ 之间存活的概率 之间存活的概率） （表示0岁的人在 ～x之间存活的概率） 表示 岁的人在
寿险精算学(第3版)习题答案2
【解2.1】（1）可以被写成=(90−p(r200)18000，又由于达到极限寿命时=0，故=90。
（2）证明：因为，0=1；其次，达到极限寿命=90时，有90=0；且，的导数−110−218000<0,>0。
由此，生存函数的三个条件都被满足。
（3）93333.0)0()10(00010==S S p （4）(030−050)020（5）=−0'(p/0==110+218000−110−2因此，40=0.015833。
【解2.2】作为生存函数的基本属性有：(0)1,S =函数是单调递减的，同时lim ()0x S x →∞=。
（1）由于()exp[0.7(21)](10.72ln 2)xxS x x '=---⨯⨯，(0)0.51480S '=>，说明该函数不满足单调递减的性质。
所以，它不能作为生存函数。
（2）由于(0)1S =,3()2(1)0S x x -'=-+<，21lim ()lim0(1)x x S x x →∞→∞==+。
该函数可以作为生存函数。
（3）由于(0)1S =，()2()(2)0x S x ex -'=-<，lim ()0x S x →∞=。
该函数可以作为生存函数。
【解2.3】（1）4320751001)75(1)75(=--=-=S F （2）20017510040175)()75(=-==-=x x S dx d f （3）501412001)75()75()75(===S f μ【解2.4】(40)40(40)(40)40(40)(40)60(),060(40)60(40)1(),060(40)601()(),06060T t T T t T S t tS t p t S S t t t S t tf x p t t μμ+-===<≤'+=-=<≤+-==<≤【解2.5】()18)100(9)100(6)100(3100)100()100(2)]([2)]([3100)100()100()]([)100()100(222210002221000100022100022x x x x dt x t x t x T E dt p t x T Var xdt x t x dt p x T E x t x l l p xxx t xxx tx t x x t -=---=⎪⎭⎫⎝⎛------=-=-=---==---==⎰⎰⎰⎰----+【解2.6】所有表达式均为非负，因此需要验证是否满足0∞B =∞，使得0)(=∞S （1）∞==∞∞⎰0ln C BC dx BC xx，可以（2）∞=+=+∞∞-⎰001)ln()(x b a dx x b a ，可以（3）21)1(21)1(023=+-=+∞∞-⎰x dx x ，不可以【解2.7】把30.250x q +=代入120.170x q +=式中，得11232120.1700.680x x x x x x q p p q p p ++++++=⋅⋅=⇒=上式与已知条件11210.090x x x q p q+++=⋅=联立求解，解出10.770x p +=，20.117x q +=最后得1212(1)0.230.1170.347x x x x q q p q +++++=-+=+=【解2.8】由()1xS x ω=-，可知~(0,)X U ω，且有(20)~(0,20)T U ω-则[()]2x E T x ω-=，2()[()]12x Var T x ω-=已知020e 40=，即20401002ωω-=⇒=所以2(20)Var[T(20)]533.312ω-==【解2.9】首先计算K 的生存函数k012197k p +1015415则210414()09715151502210422()(21)13509715151513422()()[()]225E K p k k E K k p k k Var K E K E K ==++=∑==+⋅=⋅+⋅+⋅=∑==-=【解2.10】证明：（1）x t x x x t q t T t T p -=<-=≥=1)Pr(1)Pr(（2）xu t x t x x x x ut p p u t T t T u t T t q +-=+≥-≥=+≤≤=)Pr()Pr()Pr(（3）()()()tx u x t t x x x ut p p u T t T p ++⋅=≥⋂≥=Pr 【解2.11】（1）证明：110111111111+∞+∞+-∞∞+=+≤⋅+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x t x x t x t x t x t x e dt p dtp p dt p dt p dt p dt p e （2）证明：由于是关于的递减函数，因此有K1B≥所以xk x k k k kx tx t x e p dtp dt p e =≥==∑∑⎰⎰∞=+∞=+∞101【解2.12】证明：()()()()()()()t x t x x t S x t f x t S x t x t p p t t S x S x S x μμ+∂∂++-++====∂∂【解2.13】318.02005exp 20025exp 20015exp )5()25()15(200exp 100exp )(2225101020=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎰S S S q x dt t x S x 【解2.14】[][]8684284p =其中86l 已知，而[][][][][]2848484184841(1)(1)p p p q q ++==--由已知条件推导出[][][]85841848483144508030360.3225550803343640050800.20644556400q q q q q ++-=⋅=⋅=-==⋅⋅=⋅=【解2.15】(1)7[76]=83[76]=1192816608=0.718208(2)6|275+1=82−8475+1=0.084631【解2.16】40+1=40(1−40),40+2=402p [40],43=40+2−40∗2|40,46=43−40+1∗2|340+1.因此343=46/43=1−(1−40)2|340+1/(2p [40]−2|40)=1−(1−0.01608)×0.08964/(0.95977-0.02383)=0.905765【解2.17】151025:2525152540015100.040.04150.06015.40667t t tte p dt p p dtedt eedt--⨯-=+=+=⎰⎰⎰⎰【解2.18】(1)0.752.5=1−53.252.5=1−0.853+0.2540.552+0.553=0.0068381.7|1.252.5=54.2−55.452.5=0.854+0.255−0.655−0.4560.552+0.553=0.022690(2)0.752.5=1−0.5p 52.50.2p 53=1−520.5530.2=0.0068351.7|1.252.5=1.7p 52.51−1.2p 54.2=0.5p 52.5530.2p 541−0.8p 54.20.4p 55=520.553540.21−540.8550.4=0.022668【解2.19】因为{}10102102221exp ()=1exp 2()1exp ()1()1(1)2x x x x x q x t dt x t dt x t dt p q q q μμμ⎡⎤''=--+⎢⎥⎣⎦⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-=--=-⎰⎰⎰由此推出2x xq q '<。
保险精算基础 (2)
复利计算公式：
• 复利积累值
• 积累值 = A (1+i)计息期间 = A (1+i)t
•
（1+i)t
复利计算公式：
• 复利现值
• 现值= 积累值/（1+i)t
名义利率与实际利率
• 名义利率
当在一个度量期中利息支付不止一次 或多个度量期支付一次利息时，我们称相 应的一个度量期的利率为名义利率。名义 利率又叫合同利率或挂牌利率。 实际利率
• 现值和终值是以时间点区分的， 是相对概念。
单利计算公式：
• 本金 A • 利率 i • 计息期间 t
• 单利积累值 • 利息 = 本金×利率×计息期间 • 积累值 = 本金+利息 • 积累值 = A+ A×i×t = A×(1 + i×t)
单利计算公式：
• 单利现值 • 现值 =积累值/（1+i×t)
以前产生的利息也加入到原始的本金，所以本金 在增加，俗称“利滚利”。
• 现值 • 未来的货币价值按照一定的利率换算成现在时
刻的价值，现在这个价值叫现值。
• 终值 • 终值又叫积累值 • 把以前的或者现在的货币价值按照一定利率积
累到将来某个时候的价值，将来的那个值叫终值， 所以积累值是本金与利息之和。
• 利率在实际当中有各种各样的情况 • 基准利率 • 市场利率
• 利率是金融领域的基础，也就是经济关系
运行的基础就是利率。
第二节 利率的度量
• 利率的度量就是计算利息的方式，常分为两种： • 单利 • 计算利息时，在计息期间仅对本金进行计算。 • 复利 • 计算利息时，在计息期间不仅对本金进行计算，
相对名义利率来说，利息支付只在度量 期初或期末支付。
file社会保险基金
《社会保险基金精算》课程教学大纲一、课程基本信息1. 课程代码： 0306152. 课程名称：社会保险基金精算 / Actuarial Principle of Social Insurance3. 课程性质：专业特色课4. 适用专业：劳动与社会保障专业5. 总学时： 326. 总学分： 27. 预修课程：社会保障概论、概率论、高等数学8. 推荐教材：王晓军.社会保险精算原理与实务[M].北京：中国人民大学出版社，2009.9. 参考书目：•宋世斌、申曙光《社会保险精算，中国劳动社会保障出版社，2007.8;•李秀芳等《保险精算》（第二版）, 中国人民大学出版社，2008.2；•张思锋《社会保障精算理论与应用》,人民出版社，2006.8；•Bowers etal. Actuarial Mathematics。
二、课程简介《社会保险基金精算》是劳动与社会保障专业的特色课程。
社会保险精算是一门以概率论、保险学、人口学和金融学等学科为基础、运用数学、统计学等工具，对社会保障领域涉及的风险问题进行评价和数量化处理的综合学科。
目前我国已建立起适合本国国情的社会保障制度与体系，保险精算在社会保障制度的运行过程中发挥着重要作用。
通过对年老、疾病、工伤、失业和生育等使经济收入失去保障的风险事件进行评价，对社会保险的成本与债务、社会保险基金的长期精算平衡状况等进行估计与预警，以保证社会保障制度的稳定性。
本课程注重保险精算原理和基本方法在社会保障领域的具体应用，尽量避免烦琐的数学推导；尤其将重点置于养老保险和医疗保险精算原理与实务的阐述和案例分析上。
本课程以Excel、Matlab作为教学支持软件。
三、课程设置目标通过本课程学习，使学生理解和掌握社会保险精算的基本原理与方法；学会灵活使用Excel、Matlab软件进行保险精算；能够运用所学理论和方法处理社会保障领域的精算问题；能够计算社会保障的成本与债务；能够估计社会保障基金的长期精算平衡和财务稳定性；使学生具有进一步学习和应用保险精算理论与方法的基础，形成一定的分析问题与解决问题的能力，并使这种能力在其专业领域中得到充分发挥。
社会保障精算--人寿与年金保险精算PPT课件
1、早期皮肌炎患者，还往往 伴有全身不适症状，如-全身肌肉 酸痛，软弱无力，上楼梯时感觉 两腿费力；举手梳理头发时，举 高手臂很吃力；抬头转头缓慢而 费力。
2 定期寿险
实用公式
3 两全保险
A1 x:n
Mx
M xn Dx
两全保险 = n 年定期寿险 + n 年纯生存保险
纯生存保险： n年期满后，如果被保险人仍存活， 赔付保险金。赔付现值的随机变量 Z 为：
vn
(k n, n 1,, )
Z
0
(k 0,1,2,, n 1)
11
纯生存保险的精算现值为
A 1 x:n
k0 v xlx
Ax
Mx Dx
8
2 定期寿险
A1x:n
投保时点
v k 1
1
k
死亡
赔付时点
0
x
x k x k 1 xn
时间
理论公式
n1
A1 x:n
E(Z )
v k 1 k| q x
k 0
vK1 (k 0,1,2,, n 1)
Z 0
(k n, n 1,, )
9
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
理论公式
Ax E(Z )
v t
0
t
px
xt dt
15
对于1单位元的终身寿险，赔付现值随机变量为
Z vT (t 0)
实用公式
Ax
i
Ax
i ln(1
i)
Ax
其中， 称为利息力，是衡量确切时点上年利率水平的指标。
寿险精算知识点
寿险精算知识点寿险精算是指利用数学、统计学和金融学等理论与方法，对寿险业务进行风险评估、保费定价、赔付准备金计提等工作的过程。
它是寿险行业中的核心技术之一，具有重要的意义。
本文将从寿险精算的基本概念、核心任务以及一些常见的精算方法等方面进行介绍。
我们来了解一下寿险精算的基本概念。
寿险精算是指寿险公司通过对历史数据进行分析和建模，利用数学和统计学的方法，对寿险业务进行风险评估和保费定价的过程。
它主要包括风险评估、保费定价、赔付准备金计提以及风险管理等方面的工作。
寿险精算的核心任务之一是风险评估。
风险评估是指对寿险业务的风险进行测算和评估，主要包括寿险产品的死亡率、残疾率、疾病率等指标的测算和预测。
通过对风险的评估，可以帮助寿险公司合理确定保费水平，确保寿险公司的盈利能力和偿付能力。
保费定价是寿险精算的另一个核心任务。
保费定价是指根据寿险产品的风险特征和市场需求，确定合理的保费水平。
在进行保费定价时，需要考虑到寿险公司的风险承受能力、保险产品的竞争力以及客户的支付能力等因素。
通过合理的保费定价，可以保证寿险公司的盈利能力和可持续发展。
赔付准备金计提是寿险精算的另一个重要任务。
赔付准备金是指寿险公司为支付未来赔款而预先计提的资金。
在进行赔付准备金计提时，需要考虑寿险产品的赔付率、赔付期限、赔付模式等因素。
通过合理的赔付准备金计提，可以确保寿险公司的偿付能力，保障客户的权益。
在寿险精算的实践中，还存在一些常见的精算方法。
例如，死亡率分析是寿险精算中常用的方法之一。
通过对历史死亡率数据的分析和建模，可以预测未来的死亡率，从而为保费定价和赔付准备金计提提供依据。
此外，寿险精算还可以运用生命表、经验法、模型法等方法进行风险评估和保费定价。
寿险精算是寿险行业中的核心技术之一，它通过利用数学、统计学和金融学等理论与方法，对寿险业务进行风险评估、保费定价、赔付准备金计提等工作。
寿险精算的核心任务包括风险评估、保费定价、赔付准备金计提以及风险管理等方面的工作。
寿险精算概述课件
寿险精算第一课
寿险精算概述
一.精算的概念
➢精算的定义：一般地说法是，利用数学、经 济学、统计学、寿险、非寿险、人口学、养 老基金、投资等理论，对金融、投资等行业 中的风险问题提出数量化意见，使未来价值 的可能性数量化。
➢精算工作主要是由精算师承担的。
一.精算的概念
➢精算师的作用：“在给金融投资等问题提供 专家的、恰如其分的解答方面，尤其是解释 不确定的未来事件方面，发挥精算行业的作 用并提高它的声誉。” ——摘自英国精算行业业务报告
➢ 利息理论虽然是保险精算专业的基础，但它所提供的方 法具有极为广泛的适用性，其应用范围远远超出了保险 精算领域，在投资分析、财务管理等方面都很有参考价 值。
➢ 利息理论的内容主要包括： 利息的度量方法 基本的复利函数，例如年金现值 等。
利息理论在投资分析和财务管理等领域的广泛应用， 还包括投资收益分析、债务偿还方法、证券价值分析、 利率风险的度量和防范。
寿险公司可以根据产品的不同、地域的不同、受保人群 的不同、公司核保技术的不同或者市场策略的需要，采 用不同的生命表。
生命表举例 生命表的思想和方法可以用于许多领域
五. 保费厘定 ➢ 寿险定价的三要素：利率、死亡率、费用率。 ➢ 毛保费 ＝ 净保费 ＋ 费用 ➢ 保单中净保费的计算可从下面的净保费价值方程中
七. 利润测算
公司预期年末净现金流量总额，也就是每年收入与 支出之间的差额。考虑到保除之后的预期净现金 流量。
➢ 每年年初我们将建立的准备金作为资产，将在该年获得 利息，这利息将作为利润收入计入现金流量。
➢ 在来年年底通过考虑当时的有效保单的保单价值，在该 年年底建立新的准备金。这就意味着每年年底的准备金 将有所变化。这种变化将产生新的现金流量。如果来年 所需的准备金数额增加了，那么该项现金流量显然为负 值，否则就为正值。
保险精算1-5章答案(第二版)李秀芳
第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。
社会保险精算
3、失业保险精算主要内容
（1）失业保险基金收入预测和计算 失业保险参保人数、缴
费基数、缴费比例和利
（2）失业保险基金支出预测和计算
率等指标 失业保险待遇享受人数、
失业保险金和失业保险
（3）失业保险基金收支平衡精算 金领取期限等指标
对失业保险基金收支的短期平衡和长期动态平衡状况加以度 量，以加强失业保险基金的动态管理
所以：i (12) 1.71%
i (12 ) 12 （2）根据： i ) (1 (1 ) 12
可得：i 1.72%
假设每个计息周期内的 实际贴现率为 ，单位时间内贴现 次，m 2 k m
单利贴现： m (1 m k ) Am (1 d (m) ) A
d ( m) k m
I 那么：1 A1 A0 1020 1000 20 , I 2 A2 A1 10501020 30
所以： i I1 20 2.00%, i I 2 30 2.94% 1 2 A0 1000 A1 1020
i1 i2 d1 1.96%, d 2 2.86% 1 i1 1 i2
第三节 社会保险精算的基本原理
收支平衡
统筹地区社会保险费总额与社会保险金和各项经
营费用总额保持基本平衡或略有结余。
第一章 社会保险精算概述
本章学习目标
了解精算学概念、社会保险精算的主要内容 理解社会保险精算的基本原理 掌握社会保险精算的概念
第一节 利息理论
第二节
生命表理论 第三节 保费厘定 第四节 责任准备金 第五节 应用案例分析
复利贴现： m (1 k )m Am (1 d ) A
( ddm()m) m m d d -11 ) ) 1 - 1 ( ( m m
社会保险精算原理第一章 寿险精算基础
nLx x岁的人在x~x+n岁生存的人年数
dx x岁的人群未来累积生存人年数
2021/7/3
社会保险精算原理
9
1.2.2生存分布
生存函数
• x岁余寿的生存函数 • x岁整值余寿的概率函数 • 死亡力 • 整值平均余寿与中值余寿
2021/7/3
社会保险精算原理
10
生存函数
• 生命表描述了人口在整数年龄上存活和死亡的规律，但实际上年龄是人出生后存活 时间的度量，它是一个连续随机变量，如果设新生儿未来存活时间或者说新生儿的 死亡年龄为X，它是一个连续的随机变量，其分布函数为： F(x)=Pr(X≤x) ；s(x)=1- F(x)=Pr(X>x) （x≥0） 它是新生儿活到x岁的概率，以概率表示为xp0，s(x)称为生存函数。
• 中值余寿是(x)的余寿T(x)的中值，（x）在这一年龄之前死亡和之后死亡的概率均等于5 0 %，以m(x)表示x岁的中值余寿，则Pr[T(x)≤m(x)]= Pr[T(x)>m(x)]=1/2
寿险精算第一章(word版)
第一章 生存分布与生命表学习目标□了解常有生命表函数的概率意义、函数表达式及相互关系 □了解生存分布与生命表之间的关系□了解寿险生命表的特点与构造原理，掌握分数年龄生命表函数的计算方法1.1 引言寿险精算的主要研究都建立在生命个体（如被保险人）的生存情况的基础上。
精算学的发展始于对生存分布和生命表的研究。
在开始生存分布和生命表的讨论之前，我们先介绍几个基本的概念和符号。
首先，我们用符号（x ）表示x 岁的生命，用T （x ）表示（x ）从现在直到死亡之间的时间长度。
显然，（x ）在何时死亡是未知的、是不确定的，因此T （x ）不是一个确定的数，而是一个随机变量，我们称T （x ）为（x ）的未来生命时间长度随机变量。
用X 表示（x ）死亡时的年龄。
显然，X 也是一个随机变量，并且有T （x ）=X-x 。
称X 为（x ）的寿险随机变量。
如果（x ）=（0），即一个新生婴儿，那么很显然，新生婴儿的未来生命时间长度恰好等于其寿命，即T （0）=X 。
既然X 和T （x ）均为随机变量，所以，我们可以研究他们的概率分布情况。
基于概率统计的基础知识，我们记X 的分布函数为x F （x ），于是()()x r F x P X x =≤ 0x ≥ （1—1）显然，{X x ≤} 表示新生儿将于x 岁之前死亡的随机事件。
于是，概率分布函数()x F x 对应的是一种死亡概率。
与上述死亡概率对应，我们可以定义函数()X S x 为：()1()Pr()X X S x F x X x =-=≥ 0x ≥ （1--2）显然，{}X x ≥表示新生儿将于x 岁之后死亡——即新生儿将在x 岁还生存的随机事件，所以()X S x 为新生儿将在x 岁仍然活着的概率。
基于此，我们称()X S x 为生存函数，为方便起见，有时省略下标记为()X S x 。
注意到分布函数x F （x ）和生存函数()X S x 之间的简单关系，可以知道这二者对于相应的随机变量X 的意义和地位，它们有相同的作用！因此，基于概率统计的经验，我们知道，为了研究随机变量X ，研究分布函数x F （x ）或生存函数()X S x二者中之一即可。
《寿险精算》试题及答案
《寿险精算》试题及答案（解答仅供参考）第一套一、名词解释1. 寿险精算：寿险精算是运用数学、统计学、经济学等理论和方法，对人寿保险业务中的风险进行量化分析和评估，以确定保险费率、准备金、利润分配等关键参数的学科。
2. 生命表：生命表是一种记录某一地区或群体在不同年龄阶段死亡率的统计表格，是寿险精算中计算保费和评估风险的重要工具。
3. 保险费率：保险费率是指保险公司为提供保险保障而向被保险人收取的费用比例，它是根据预期损失和运营成本等因素计算得出的。
4. 预定利率：预定利率是指保险公司为未来支付保险金而预先设定的利息率，它是计算保险产品现金价值和准备金的重要参数。
5. 保险准备金：保险准备金是指保险公司为了应对未来的保险责任和赔付风险，按照规定提取并储备的资金。
二、填空题1. 寿险精算的主要任务包括确定______、评估风险、管理资产和负债等。
答案：保险费率2. 在寿险精算中，______是预测未来死亡率的重要工具。
答案：生命表3. 保险产品的现金价值是根据______和已缴保费计算得出的。
答案：预定利率4. 保险公司提取的保险准备金主要包括未到期责任准备金和______。
答案：未决赔款准备金5. 在人寿保险中，______是一种可以在保险期间内改变保险金额和保险费的保险产品。
答案：可变寿险三、单项选择题1. 下列哪一项不属于寿险精算的主要任务？A. 确定保险费率B. 评估风险C. 管理资产和负债D. 制定营销策略答案：D. 制定营销策略2. 生命表中的死亡率通常表示为：A. 每千人的死亡人数B. 每百人的死亡人数C. 每年的死亡人数D. 每年的死亡概率答案：D. 每年的死亡概率3. 下列哪种保险产品的现金价值通常会随着投资收益的变化而变化？A. 定期寿险B. 终身寿险D. 年金保险答案：C. 变额寿险4. 在计算保险准备金时，未决赔款准备金通常是按照以下哪种方法提取的？A. 逐笔认定法B. 平均估算法C. 总和估算法D. 预期损失法答案：A. 逐笔认定法5. 下列哪种保险产品的保险金额和保险费可以在保险期间内进行调整？A. 定期寿险B. 终身寿险C. 变额寿险D. 全残保险答案：C. 变额寿险四、多项选择题1. 下列哪些因素会影响保险费率的确定？A. 预期损失B. 运营成本C. 投资收益D. 市场竞争答案：A、B、C、D2. 下列哪些保险产品具有现金价值？A. 定期寿险C. 变额寿险D. 年金保险答案：B、C、D3. 下列哪些因素可能影响生命表的编制？A. 地理位置B. 种族背景C. 性别D. 社会经济状况答案：A、B、C、D4. 下列哪些保险准备金属于长期准备金？A. 未到期责任准备金B. 未决赔款准备金C. 长期健康保险准备金D. 养老保险准备金答案：C、D5. 下列哪些保险产品具有投资功能？A. 定期寿险B. 终身寿险C. 变额寿险D. 年金保险答案：B、C、D五、判断题1. 寿险精算师只需要具备数学和统计学知识即可。
社会保险精算
普通高等学校人文社会科学重点研究基地
社会保险精算的主要内容
养老保险精算 医疗保险精算 失业保险精算 工伤保险精算 生育保险精算
普通高等学校人文社会科学重点研究基地
一、社会保险费的计算基础
（一）利息理论 在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值。
相关概念
利息：产生于资本的借贷行为，奴隶制社会就存在。对资 本借出者来说是报酬，对资本借入者来说是获取资本使用 权的代价。 本金：指初始转让或投入的资本金额。 终值：又称积累值，指本金经转让后，经过一定时期收回 时的本息总金额。积累值-本金=利息 现值：指一定数额的终值采取某个利率换算成本金的数额。 利息率：一定时期内（通常为1年）的利息与本金的比例， 反映单位时期内资本增值的能力。
衡量资金生息水平的指标是利息率，它表示单位本金在单 位时间内所滋生的利息。
如果利息计算时期与基本时间单位相同，此时的利息率就
是实际利率，以 in 表示第n个基本计息时间单位的实际利
率，有
in
an 1
An An 1 An 1
如果单位时间为一年，一年内一单位本金的利息就是实际
年利息率。i1
a 1
1
1
lim
m
1
i
1 m
1
1
δ=ln（1+i）或 (1 i)t
m
与利息力相对应，贴e 现1力 i 是名义贴现率当结算次数趋
于无穷大时的值，可以证明贴现力与利息力相等。
普通高等学校人文社会科学重点研究基地
（二）年金
1.年金的概念
年金：按相等的时间间隔支付的一系列款项的付款行为或付款额。 例如，按年交或按月交的房租，按揭贷款的月付款。 年金的分类：（时间与付款） 根据付款的时间，分为期初付年金和期末付年金 根据是否延期付款，分为即期年金和延期年金 根据有无期限，分为有限期年金和无限期年金（永续年金） 根据每次支付款项数额是否相等，分为固定数额年金和变额年金
寿险精算
.0596 .0652 .0714 .0781 .0855 .0936 .1024
66 67 68 69 70 71 72
例
假定有两位老人今年都是65岁。甲老人是今 年刚刚体检合格购买的保险，乙老人是10年 前购买的保险，至今仍在保障范围内。使用 上面给出的选择－终极生命表估计两位老人 分别能活到73岁的概率。
x5 .0175 .0249 .0313 .0388 .0474 .0545 65
q[ x ]
q[ x ]1
q[ x ] 2 q[ x ] 3
q[ x ] 4
qx 5
.0191 .0209 .0228 .0249 .0273 .0298 .0326
.0272 .0297 .0324 .0354 .0387 .0424 .0464
3、 30.5 UDD
q30 1 1 0.5q30 69.5
69 ) 70 q30 1 30.5 Balducci p30 0.5q30 69.5
30.5 CF ln( p30 ) ln(
二、选择-终极生命表
在对被保险人依一定的健康标准加以选择后，一组被保险人的死亡率不仅 随年龄而变动，而且随已投保年限长短变动。以 q[ x ] n 表示 x岁加入保险， 经过n年在x n岁的死亡概率，有 q[ x ] q[ x 1]1 q[ x 2 ] 2 这一差异可以忽略不计。
死亡均匀分布假设
t qx y
S0 ( x y ) S0 ( x y t ) tqx S0 ( x y ) 1 yqx
(0≤t≤１, 0≤y≤１,0≤t+y≤１)
x t
S0 '( x t ) S0 ( x) S0 ( x 1) qx S0 ( x t ) S0 ( x) t[ S0 ( x) S0 ( x 1)] 1 tqx
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n −1
− nv
n
= a n − nv n
a n − nv ( Ia ) n = i
n
对于期首付等差递增年金来说， 对于期首付等差递增年金来说， 期首付等差递增年金来说
a n − nv ( Ia ) n = d
n
期末付等差递增年金的终值 期末付等差递增年金的终值 (FV) 等差递增年金的
(1 + i) n
(1 + i) n
(1 + i ) 2
(1 + i )
1 0
1 1
1 2
1 3
L
1 n-2
1 n-1 n
付款额 时间
L
思路1 思路
sn
= (1 + i ) + (1 + i ) 2 + L + (1 + i ) n
1 − (1 + i) n 1 + i (1 + i) n − 1 (1 + i) n − 1 s n = (1 + i) ⋅ = ⋅ = 1 − (1 + i) i 1 d
1000
0 1
1100 1200
2 3
L
1700
8
1800
9
1900
10
付款额
L
时间
900 100
0 1
900 200
2
900 300
3
L
900 800
8
900 900
9
900 1000
10
付款额
L
时间
900
900 200
2
900 300
3
100
0 1
L
900 800
8
900 900
9
900 1000
10
付款额
L
+
时间
FV
=
900 ⋅ S 10
100 ⋅ ( Is ) 10
+
=
(1 + i ) 10 − 1 900 ⋅ i
S 10 − 10 100 ⋅ i
年金的现值 （2） 期首付等比递增年金的现值 (PV) ） 期首付等比递增年金的
(1 + j ) n −1 ⋅ v n −1
(1 + j ) 2 ⋅ v 2
n
n
=
1− vn i
年金的终值 （4） 期末付年金的终值 (FV) ） 期末付年金的
• n年内每年 元的期末付年金终值的计算 年内每年1元的期末付年金终值的计算 年内每年 元的期末付年金终值
(1 + i) n
sn
a
1 - v = n i
n
1 0 1
1
1
L
1
1
1
付款额 时间
2
3
L
n-2
n-1
n
思路
（1）计算年金的现值 ）
• n 年内每年收付 m 次，每次 1/m 元的期首付年金现值 元的期首付年金现值 期首付年金
1 m v m 1 m v m
1
2
− 1 ( n −1) + mm 1 1 v = v m m
mn −1 m
1/m 0
1/m
1/m
1/m
1/m 1
1 m
L
1/m n
付款额 时间
L
2 m
an
（2）计算该现值在 年后 ）计算该现值在n年后 的累积额 年金终值） （=年金终值） 年金终值
sn
=
=
a n ⋅ (1 + i)n
1 − vn (1+ i)n −1 ⋅ (1+ i)n = i i
万元购房， 【例1.3】某人贷款 万元购房，还款期 年，假定贷款 】某人贷款20万元购房 还款期30年 利率5%，如果从贷款第二年开始每年等额还款，求每年的 利率 ，如果从贷款第二年开始每年等额还款， 还款额。 还款额。
寿险精算基础（ 第一章 寿险精算基础（2）
§1.1 利息理论
累积函数、实际利率与实际贴现率、名 累积函数、实际利率与实际贴现率、 义利率与名义贴现率、 义利率与名义贴现率、年金
§1.2 生命表
生命函数、生命表、多减因表（自学） 生命函数、生命表、多减因表（自学）
1.1.2 年金
1 年金现值与终值
何谓年金？ 何谓年金？ 按相等间隔收付款（方式或款项） 相等间隔收付款（方式或款项） 收付款
如购物分期付款、住房按揭、养老金给付等。 如购物分期付款、住房按揭、养老金给付等。 (1) 期首付年金 期首付年金
1 1 1 1
L
1
1
付款额
n
0
1
2
3
L
L
n-2
n-1
时间
(2) 期末付年金 期末付年金
1 1 1 1 1 1
付款额 时间
0
1
2
3
L
n-2
n-1
n
年金的现值 （1） 期首付年金的现值 (PV) ） 期首付年金的
n-2
n-1
n
付款额 时间
0
1
2
3
L
n-2
n-1
n
PV = ( Ia) n = v + 2v 2 + L + nv n (1 + i )( Ia) n = 1 + 2v + 3v L + nv
2 n −1
（1）
（2）
（2）-（1）得 ） （ ）
i ⋅ ( Ia) n = 1 + v + v L + v
PV =20
x
0 1
x
2
x
3
L
x
28
x
29
x
付款额
30
L
a 30
时间
PV = x ⋅ a 30
PV ⋅ i x = 1 − v 30
1 − v 30 = i
=
2 00000 × 0 .05 1 30 1− （ ） 1 + 0 .05
=
13010.29
2 永续年金
收付时期无限（ 的年金，如一些奖励基金等。 收付时期无限（ n = ∞）的年金，如一些奖励基金等。
【例1.5】我国城镇职工基本养老金保险采取社会统筹与个人 】
账户相结合的方法，个人账户以工资的 计入。 账户相结合的方法，个人账户以工资的8%计入。如果某职工 计入 岁参加个人账户保险， 从20岁参加个人账户保险，当年工资 岁参加个人账户保险 当年工资6000元，工资年增长 元 2%，个人账户的年利率 岁退休时， ，个人账户的年利率4%，求他 岁退休时，其个人账户 ，求他60岁退休时 的累积额。 的累积额。
付款额 时间
L
(2) 等比递增年金（期首付） 等比递增年金（期首付） 年金
1 1+j (1+j)2 (1+j)3
L
(1+j)n-2
(1+j)n-1
付款额
n
0
1
2
3
L
n-2
n-1
时间
等差递增年金的 （1）期末付等差递增年金的现值 (PV) ）期末付等差递增年金的现值
n ⋅ vn
2 ⋅ v2
v
1
2
3
L
(1 + j ) ⋅ v
1
1+j
(1+j)2 (1+j)3
L
(1+j)n-2
(1+j)n-1
付款额
n
0
1
2
3
L
n-2
n-1
时间
PV = 1 + (1 + j ) ⋅ v + (1 + j ) 2 ⋅ v 2 + L + (1 + j ) n −1 v n −1
1 − [(1 + j ) ⋅ v]n PV = 1 − (1 + j ) ⋅ v
n 期 1 单位期首付年金的现值，用符号 单位期首付年金的现值，
an
表示，所以， 表示，所以，
a n = 1 + v + v 2 + L + v n −1
a
1-v 1-v = = n 1-v d
n
n
小课题： 小课题： （1） 等比级数求和； ） 等比级数求和； 的推导。 （2） d=1-v 的推导。 ）
年金的现值 （3） 期末付年金的现值 (PV) ） 期末付年金的
• n 年内每年 1 元的期末付年金现值的计算 元的期末付年金现值 期末付年金现值的计算
v2
vn
v
1 0 1
1
1
L
1
1
1
付款额 时间
2
3
L
2
n-2
n-1
n
PV = v + v + L + v
an
1− v = v ⋅ 1− v
an
a∞ a∞
=
1− v i
n → ∞
n
=
lim a n
1 i
=
lim∞ 1 − v n → i
n
=
3 变额年金
定义：每次收付额不等的年金。 定义：每次收付额不等的年金。 收付额不等的年金
(1) 等差递增年金（期末付） 等差递增年金（期末付） 年金
n n
1 0 1
2 2
3 3
L
n-2 n-2
n-1 n-1