(完整版)高等数学第七章向量

第七章 空间解析几何与向量代数§7.1 空间直角坐标系§7.2 向量及其加减法、向量与数的乘法一、判断题。

1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。

（ ） 2． 任何向量都有确定的方向。

（ ） 3． 任二向量b a ,=.则a =b 同向。

( ) 4． 若二向量b a ,+,则b a ,同向。

（ ）5． 若二向量b a ,满足关系b a -=a +b，则b a ,反向。

（ ）6． 若ca b a +=+,则c b =( ) 7． 向量ba ,满足=，则ba ,同向。

（ ） 二、填空题。

1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。

4． 设向量a 与b 有共同的始点，则与b a ,共面且平分a 与b 的夹角的向量为 5． 已知向量a 与b 方向相反，且||2||a b =，则b 由a 表示为b = 。

6．设b a ,有共同的始点，则以b a ,为邻边的平行四边形的两条对角线的向量分别为 。

三、选择题。

1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ）225)3(+-（C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 2．已知梯形OABC 、CB //OA 且21a ，OC =b ，则AB = （A ）21b a - （B ）b a 21- （C ）a b -21 （D ）a b 21-3．设有非零向量b a ,，若a ⊥ b ，则必有（A+（B+-（C+<-（D+>-三、试证明以三点A（4，1，9）、B（10，-1，6）、C（2，4，3）为顶点的三角形为等腰直角三角形。

四、在yoz平面上求与三个已知点A（3，1，2）、B（4，-2，-2）、C（0，5，1）等距离的点D。

六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。

§7.3 向量的坐标一、判断题1．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。

( ） 2．零向量在任一轴上投影为零。

（ ） 3．设向量a 的方向角α=0,则a 必垂直于yoz 面。

（ ） 4．若α、β、γ是向量a 的方向角，则{cos α,cos β,cos γ}是单位向量。

（ ） 5．若a ={z y x a a a ,,}，则平行于向量a 的单位向量为||a x ，||a a ||a z }。

（ ）二、填空题1，a 与轴l 的夹角为6π，则al prj =2.已知向量a ={4，-4，7}的终点坐标为（2，-1，7），则a 的始点坐标为 3．设三角形的三个顶点A （2，-1，4）、B （3，2，-6）、C （-5，0，2），则AB 边的中点坐标为 ，∆ABC 的重心坐标为 。

4．已知平行四边形ABCD 的两个顶点A （2，-3，-5）、B （-1，3，2）。

以及它的对角线交点E （4，-1，7），则顶点C 的坐标为 ，则顶点D 的坐标为 。

5．设向量a 与坐标轴正向的夹角为α、β、γ，且已知α =60，β=120。

则γ= 6．设a 的方向角为α、β、γ，满足cos α=1时，a 垂直于 坐标面。

三、设A （4，2 ，1）、B （3，0，2），求AB 的方向余弦及与AB 反向的单位向量。

五、已知OA ={2，-3，6}，OB ={-1，2，-2}。

OD 为AOB ∠的平分线，在OD 上求一长度为342的向量。

五、设1F ={2，3，-5}2F ={-5，1，3}3F ={1，-2，4}。

这三个力作用于点P （1，1，1），它们的合力为F =PQ ，求：（1）点Q 的坐标。

（2）PQ 的大小。

（3）PQ 的方向余弦。

§ 7.4 数量积 向量积 混合积一、判断题1．222)(b a b a ⋅=⋅ （ ） 2．a（b a ⋅）=2a b⋅ （ ） 3．若a ⨯b=c a ⨯且0≠a ，则c b=。

（ ） 4．若b a==1，则b a⨯=1 （ ）5+=222b b a a +⋅+（ ） 6．a b b a⨯=⨯ （ ）7．[c b a⋅⋅]=][a c b ⋅⋅ （ ） 8．当a=3b 时，[c b a ⋅⋅ ]=0 （ ） 9．若c b a 、、满足a c b c b a ⨯=⨯=,，则c b a、、两两垂直。

（ ） 10．设非零向量b a,的方向角分别为111,,γβα和222,,γβα则cos b a ,(∠=212121cos cos cos cos cos cos γγββαα++ （ ） 二、填空题1．设)(b a ∧=3π，,8,5==b a 则b a-= 。

2．若24,19,13=+==b a b a 。

则b a-= 。

3．若32)(π=∧b a，且2,1==b a。

则b a ⨯= 。

4．已知72,26,3=⨯==b a b a，则b a ⋅= 。

5．三向量c b a ,,的混合积],,[c b a的几何意义是 。

6．设}1,2,2{},4,3,4{=-=b a，则Prj a b = 。

7．设}4,6,4{},2,3,2{--=-=b a，则)(b a ∧= 。

8．设b a ,为不共线向量，则当λ= 时。

b a P5+=λ与b a Q -=3共线。

三、选择题1．设空间三点的坐标分别为M （1，-3，4）、N （-2，1，-1）、P （-3，-1，1）。

则MNP ∠=（A ）、π （B ）、43π （C ）、2π （D ）、4π2．下列结论正确的是（A ）、2a = （B ）、若0=⋅b a 则必0 =a 或0=b（C ）、c a b a c b a -=-)( （D ）、若0 ≠a ，且c a b a =则c b = 3．设}.4,4,1{},2,3,{-==b x a 若b a//，则（A ）、x=0.5 y=6 (B)、x=-0.5 y=-6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3四、设}1,3,1{1},1,1,2{-=-=b a ，求与b a、均垂直的单位向量。

五、设向量}2,1,2{}3,2,1{}1,3,2{=-=-=c b a 、、,向量d 与b a,均垂直，且在向量.14d c，求向量上的投影是六、应用向量证明：当、332211b a b a b a ==时，2332211232221232221)())((b a b a b a b b b a a a ++=++++七、设AD 为∆ABC 中BC 边上的高，记..a C B c A B==证明：c a c a SABD⨯⋅=∆§7.5 曲面及其方程一、填空题1．设点P （1，-1，a ）在曲面x 2+y 2+z 2-2x+4y=0上，则a= .2．以原点为球心，且过点Ｐ（１，１，１）的球面方程是 。

３．设球面的方程为x 2+y 2+z 2-2x-4y+2z=0，则该球面的球心坐标是 ，球面的 半径 为 。

４．将zox 面上的抛物线z 2=5x,绕ox 轴旋转而成的曲面方程是 。

５．圆锥为x 2+y 2=3z 2的半顶角α＝ 。

６．方程y 2=z 表示的曲面是曲线平行与 轴的 柱面。

７．方程y=x+1在平面解析几何中表示 。

而在空间解析几何中表示 。

二、选择题１．设球面的方程是x 2+y 2+z 2+Ｄx+Ey+Fz+G=0,若该球面与三个坐标系都相切，则方程 的系数应满足条件 。

（Ａ）、Ｄ＝Ｅ＝Ｆ＝０ （Ｂ）、Ｄ２+Ｅ２+Ｆ２＝６Ｇ（Ｃ）、Ｄ２+Ｅ２+Ｆ２+６Ｇ＝０ （Ｄ）Ｇ＝０２．XOZ 坐标面上的直线x=z-1 绕oz 轴旋转而成的圆锥面的方程是 。

（Ａ）x 2+y 2＝z-1 （Ｂ）2z ＝x 2+y 2+１ (Ｃ）2)1(-z = x 2+y 2 ( D )2)1(+x =y 2+z 2 3．方程x=2在空间表示 。

（Ａ）、ＹＯＺ坐标面。

（Ｂ）、一个点。

（Ｃ）、一条直线。

（Ｄ）、与ＹＯＺ面平行的平面。

4．下列方程中 表示母线平行与oy 轴的双曲柱面。

（Ａ） x 2－y 2＝１ （Ｂ） x 2 +z 2＝１ （Ｃ） x 2+z=1 (D) xz=1二、已知两点Ａ（５，４，０）、Ｂ（－４，３，４）=，求点Ｐ的轨迹方程。

四、说明下列旋转曲面是怎样形成的。

１．Ｚ＝２（ x 2+y 2） 2. 4x 2+9y 2+9z 2=36五．画出下列各曲面的图形。

１． Y 2=2px (p>0) 2．由 x+y=1 x 2+y 2=1和z=0所围立体的表面。

§７.６ 空间曲线及其方程一、填空题 １．方程组{1532+=-=x y x y 在平面解析几何中表示 ，在空间解析几何表示 。

２．曲面x 2+y 2-92z =0与平面z=3的交线圆的方程是 ，其圆心坐标是 ，圆的半径为 。

３．曲线{1122222)1()1(=+=++--y x z y x 在ＹＯＺ面上的投影曲线为 。

４．螺旋线x=acos θ,y=asin θ,z=b θ在ＹＯＺ面上的投影曲线为 。

５．上半锥面Ｚ＝22y x +（０1≤≤z ）在ＸＯＹ面上的投影为 ，在ＸＯＺ面上的投影为 ，在ＹＯＺ面上的投影为 。

6．曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==+=1212t z t y t x 的一般式方程为 。

二、选择题 １．方程{19422=+=yx zy 在空间解析几何中表示 。

（Ａ）、椭圆柱面 （Ｂ）、椭圆曲线 （Ｃ）、两个平行平面 （Ｄ）、两条平行直线 ２．已知曲线{2222=++=++z y x az y x 在ＹＯＺ坐标面上的投影曲线为{122=++=z y yz x ，则a ＝ 。

（Ａ）、－１ （Ｂ）、０ （Ｃ）、１ （Ｄ）、２ ４．参数方程⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 的一般方程是 。

（Ａ）、x 2+y 2=a 2(B)、x=acos b z (C)、y=asin b z (D)、{cos sin b za x bz a y == 三、化曲线{9222=++=z y x xy 为参数方程。

五．画出下列曲线在第一卦限内的图形。

１．{12==x y ２。

{222222ay x az x =+=+§７.７ 平面及其方程一、填空题１．过点Ｍ（３，０，１）且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程 。

２．三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=3的交点坐标是 。

３．过点（２，－５，３）且平行与ＸＯＺ平面的平面方程是 。

４．过点Ｍ１（４，０，－２）和Ｍ２（５，１，７）且平行于ＯＸ轴的平面方程是 。

５．点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 。