(完整版)高等数学第七章向量

第七章 空间解析几何与向量代数

§7.1 空间直角坐标系

§7.2 向量及其加减法、向量与数的乘法

一、判断题。

1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。 （ ） 2． 任何向量都有确定的方向。 （ ） 3． 任二向量b a ,

=.则a =b 同向。 ( ) 4． 若二向量b a ,

+

,则b a ,同向。 （ ）

5． 若二向量b a ,满足关系b a -=a +b

，则b a ,反向。 （ ）

6． 若

c

a b a +=+,则

c b =

( ) 7． 向

量

b

a ,满

足

=

，则

b

a ,同向。

（ ） 二、填空题。

1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是

2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。

4． 设向量a 与b 有共同的始点，则与b a ,共面且平分a 与b 的夹角的向量为 5． 已知向量a 与b 方向相反，且||2||a b =，则b 由a 表示为b = 。 6．设b a ,有共同的始点，则以b a ,为邻边的平行四边形的两条对角线的向量分别为 。 三、选择题。

1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ）

225)3(+-

（C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 2．已知梯形OABC 、CB //

OA 且

2

1

a ，OC =

b ，则AB = （A ）

2

1

b a - （B ）b a 21- （C ）a b -21 （D ）a b 21-

3．设有非零向量b a ,，若a ⊥ b ，则必有

（A+（B+-

（C+<-（D+>-

三、试证明以三点A（4，1，9）、B（10，-1，6）、C（2，4，3）为顶点的三角形为等腰直

角三角形。

四、在yoz平面上求与三个已知点A（3，1，2）、B（4，-2，-2）、C（0，5，1）等距离的

点D。

六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。

§7.3 向量的坐标

一、判断题

1．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。 ( ） 2．零向量在任一轴上投影为零。 （ ） 3．设向量a 的方向角α=0,则a 必垂直于yoz 面。 （ ） 4．若α、β、γ是向量a 的方向角，则{cos α,cos β,cos γ}是单位向量。 （ ） 5．若a ={z y x a a a ,,}，则平行于向量a 的单位向量为|

|a x ，

|

|a a |

|a z }。（ ）

二、填空题

1

，a 与轴l 的夹角为

6

π，则a

l prj =

2.已知向量a ={4，-4，7}的终点坐标为（2，-1，7），则a 的始点坐标为 3．设三角形的三个顶点A （2，-1，4）、B （3，2，-6）、C （-5，0，2），则AB 边的中点坐标为 ，∆ABC 的重心坐标为 。 4．已知平行四边形ABCD 的两个顶点A （2，-3，-5）、B （-1，3，2）。 以及它的对角线交点E （4，-1，7），则顶点C 的坐标为 ，则顶点D 的坐标为 。 5．设向量a 与坐标轴正向的夹角为α、β、γ，且已知α =

60，β=

120。则γ= 6．设a 的方向角为α、β、γ，满足cos α=1时，a 垂直于 坐标面。

三、设A （4，2 ，1）、B （3，0，2），求AB 的方向余弦及与AB 反向的单位向量。

五、已知OA ={2，-3，6}，OB ={-1，2，-2}。OD 为AOB ∠的平分线，在OD 上求一长度

为342的向量。

五、设1F ={2，3，-5}2F ={-5，1，3}3F ={1，-2，4}。这三个力作用于点P （1，1，1），它们的合力为F =PQ ，求：（1）点Q 的坐标。（2）PQ 的大小。（3）PQ 的方向余弦。

§ 7.4 数量积 向量积 混合积

一、判断题

1．2

2

2)(b a b a ⋅=⋅ （ ） 2．a

（b a ⋅）=2

a b

⋅ （ ） 3．若a ⨯b

=c a ⨯且0

≠a ，则c b

=。 （ ） 4．若b a

==1，则b a

⨯=1 （ ）

5+=2

2

2b b a a +⋅+

（ ） 6．a b b a

⨯=⨯ （ ）

7．[c b a

⋅⋅]=][a c b ⋅⋅ （ ） 8．当a

=3b 时，[c b a ⋅⋅ ]=0 （ ） 9．若c b a 、、满足a c b c b a ⨯=⨯=,，则c b a

、、两两垂直。 （ ） 10．设非零向量b a

,的方向角分别为111,,γβα和222,,γβα则

cos b a ,(∠=212121cos cos cos cos cos cos γγββαα++ （ ） 二、填空题

1．设)(b a ∧

=3π，,8,5==b a 则b a

-= 。

2．若24,19,13=+==b a b a 。则b a

-= 。

3．若32)(π=

∧

b a

，且2,1==b a

。则b a ⨯= 。 4．已知72,26,3=⨯==b a b a

，则b a ⋅= 。

5．三向量c b a ,,的混合积],,[c b a

的几何意义是 。 6．设}1,2,2{},4,3,4{=-=b a

，则Prj a b = 。 7．设}4,6,4{},2,3,2{--=-=b a

，则)(b a ∧= 。

8．设b a ,为不共线向量，则当λ= 时。b a P

5+=λ与b a Q -=3共线。

三、选择题

1．设空间三点的坐标分别为M （1，-3，4）、N （-2，1，-1）、P （-3，-1，1）。则MNP ∠=