二次函数的解析式的确定

二次函数的学习必然离不开二次函数解析式的确定，因为求解二次函数的解析式是二次函数知识的实际运用中的必不可少的一环．本讲主要讲解利用二次函数的一般式、顶点式和交点式，以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解析式的方法，重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法，从而快速准确的确定二次函数的解析式．

1、 一般式2y ax bx c =++（0a ≠）

（1）任何二次函数都可以整理成一般式2y ax bx c =++（0a ≠）的形式；

（2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式． 二次函数解析式的确定 内容分析

知识结构

模块一：一般式y = ax 2 + bx + c ( a ≠0 ) 知识精讲

【例1】 已知二次函数的图像经过点A （1-，5-）、B （0，4-）和C （1，1）．

求这个二次函数的解析式．

【难度】★

【答案】2234y x x =+-．

【解析】设二次函数为2y ax bx c =++，把A 、B 、C 代入二次函数解析式，可得：

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1a b c c a b c -+=-⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，解得234a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩． 所以这个二次函数的解析式：2234y x x =+-． 【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组．

【例2】 已知二次函数2y ax bx c =++图像经过点（0，3）、（3，0）、（2-，5-）．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求这个二次函数的最值．

【难度】★★

【答案】（1）223y x x =-++；（2）函数有最大值，最大值为4y =．

【解析】（1）把（0，3）、（3，0）、（2-，5-）代入二次函数解析式，可得： 3930425c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩

，解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以这个二次函数的解析式：223y x x =-++；

（2）2223(1)4y x x x =-++=--+，则当1x =时，函数有最大值，最大值为4y =．

【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组．

例题解析

【例3】 已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （2，3）、B （0，3）、C （4，5-）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当x 为何值时，3y >？

【难度】★★

【答案】（1）223y x x =-++；（2）03x <<．

【解析】（1）把A （2，3）、B （0，3）、C （4，5-）代入二次函数解析式，可得： 42331645a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪++=-⎩

，解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．所以抛物线的解析式为：223y x x =-++； 方法二：也可以利用AB 关于直线1x =对称，设二次函数解析式为2(1)y a x k =-+求解．

（2）利用图像性质可得，当抛物线与直线3y =交于点(03)(23)，，，，

故03x <<时，3y >． 【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组以及根据图像求自变量范围．

【例4】 已知二次函数的图像经过点（0，3）、（3-，0）、（2，5-），且与x 轴交于A 、

B 两点．

（1）试确定该二次函数的解析式；

（2）判定点P （2-，3）是否在这个图像上，并说明理由； （3）求PAB ∆的面积．

【难度】★★

【答案】（1）223y x x =--+；（2）在；（3）6．

【解析】（1）设二次函数为2y ax bx c =++，把（0，3）、（3-，0）、（2，5-）代入二

次函数解析式，可得：4253930a b c c a b c ++=-⎧⎪=⎨⎪-+=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩．

所以二次函数的解析式为：223y x x =--+；

（2）把2x =-代入解析式，可得：222233y =-+⋅+=，所以点P （2-，3）在函数图像上．

（3）(30)(10)A B -，、，，可得144362

ABP AB S ∆==⨯⨯=，． 【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组和简单数形结合三角形面积求解．

1、 顶点式：()2y a x m k =++（0a ≠）

（1）任何二次函数经过配方都可以整理成()2y a x m k =++（0a ≠）的形式，这叫做二次函数的顶点式，而（m -，k ）为抛物线的顶点坐标；

（2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式；

（3）对于任意的二次函数2y ax bx c =++，都可以配方为：22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的形式．

【例5】 抛物线22y x bx c =++的顶点坐标是（1，2-），则b = ______，c = ______．

【难度】★

【答案】-4；0．

【解析】设抛物线解析式为22()y x m k =++，因为顶点坐标为（1，2-）

，所以12m k =-=-，， 所以222(1)2240y x x x =--=-+．故b = -4，c = 0．

【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式，以及解方程．

模块二：顶点式y = a ( x + m )2 + k ( a ≠0 ) 知识精讲

例题解析

【例6】 已知抛物线的顶点坐标为（4，1-），与y 轴交于点（0，3），求这条抛物线的解 析式．

【难度】★ 【答案】21234y x x =

-+． 【解析】设抛物线解析式为2()y a x m k =++，因为顶点坐标为（4，1-）

，所以41m k =-=-，， 所以2(4)1y a x =--，再把（0，3）代入，即得14

a =

． 所以抛物线的解析式为：21234y x x =-+． 【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式，以及解方程．

【例7】 如果0a >，0b >，0c >，240b ac ->，那么抛物线2y ax bx c =++经过第 __________象限．

【难度】★★

【答案】一二四．

【解析】根据0a >，可得开口向上；根据0b >，可得对称轴在y 轴左侧，根据0c >，可得

与y 轴交于正半轴，由240b ac ->，可得与x 轴有两个交点，所以大致图像如下：

【总结】考查学生根据顶点式以及系数与0大小关系判断图像．