第一章 多元正态分布 ppt课件
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多元正态分布
1 (2 )
p 2
12
1 1 exp ( x ) ( x ) 2
1
( 这里Σ=AA′,
1 1 1 ( AA ) ( A ) A )
§2.2 多元正态分布的定义
定义2.2.4 若 p 维随机向量X=(X1,X2…Xp)′的联合密 度函数为
⑤ 写出X=AU+μ的密度函数： 1 1 f X ( x) exp u u J (u x) p 2 (2 ) 2 1 1 2 1 1 1 exp [ A ( x )][ A ( x )] p 2 (2 ) 2
§2.2 多元正态分布的定义
1. 多元正态分布的定义
2. 多元正态分布的性质
§2.2 多元正态分布的定义
在一元统计中，若U～N(0,1),则U的任意线性变 换X=σU+μ～N(μ,σ2)。利用这一性质，可以从标准 正态分布来定义一般正态分布： 若U～N(0,1),则称X =σU+μ的分布为一般正态分 布,记为X ～N(μ, σ2 )。 此定义中，不必要求σ＞0,当σ退化为0时仍有意 义。把这种新的定义方式推广到多元情况，可得 出多元正态分布的第一种定义。
故 X2 0 2 0 1 Y X 3 ~ N ( 0 , 0 3 0 ). 2 1 0 1 X1
§2.2 多元正态分布的性质
(3) 设Z=2 X1-X2+3X3,试求随机变量Z的分布. Z=2 X1-X2+3X3 =(2,-1,3)X=CX 2 故有: z C x (2,1,3) 0 4 0 2 z C xC 1 1 0 2 2 (2,1,3) 1 2 0 1 1,0,9 1 0 0 3 3 3 29 所以 Z ~ N(4,29).
p 2
12
1 1 exp ( x ) ( x ) 2
1
( 这里Σ=AA′,
1 1 1 ( AA ) ( A ) A )
§2.2 多元正态分布的定义
定义2.2.4 若 p 维随机向量X=(X1,X2…Xp)′的联合密 度函数为
⑤ 写出X=AU+μ的密度函数： 1 1 f X ( x) exp u u J (u x) p 2 (2 ) 2 1 1 2 1 1 1 exp [ A ( x )][ A ( x )] p 2 (2 ) 2
§2.2 多元正态分布的定义
1. 多元正态分布的定义
2. 多元正态分布的性质
§2.2 多元正态分布的定义
在一元统计中，若U～N(0,1),则U的任意线性变 换X=σU+μ～N(μ,σ2)。利用这一性质，可以从标准 正态分布来定义一般正态分布： 若U～N(0,1),则称X =σU+μ的分布为一般正态分 布,记为X ～N(μ, σ2 )。 此定义中，不必要求σ＞0,当σ退化为0时仍有意 义。把这种新的定义方式推广到多元情况，可得 出多元正态分布的第一种定义。
故 X2 0 2 0 1 Y X 3 ~ N ( 0 , 0 3 0 ). 2 1 0 1 X1
§2.2 多元正态分布的性质
(3) 设Z=2 X1-X2+3X3,试求随机变量Z的分布. Z=2 X1-X2+3X3 =(2,-1,3)X=CX 2 故有: z C x (2,1,3) 0 4 0 2 z C xC 1 1 0 2 2 (2,1,3) 1 2 0 1 1,0,9 1 0 0 3 3 3 29 所以 Z ~ N(4,29).
正态分布ppt课件统计学
详细描述
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象
多元正态分布(新) ppt课件
2 22
EX1 1, EX 2 2 ,
(1 0,2 0, 1)
Var(
X
1
)
2 11VBiblioteka r(X2)
2 22
,
( X1, X 2 ) cov(X PPT课件1, X 2 ) 11 22
5
二元正态分布曲面(
2 11
1,
2 22
X i1 X1
11
§2多元正态分布的参数估计
一、多元样本及其样本数字特征
１．多元样本阵
X11 X12
X
X
21
X 22
X
n1
X n2
记
X(i) ( Xi1, Xi2 ,Xip )
X1p
X
2
p
X
np
i 1,2n
PPT课件
12
2、多元样本的数字特征
样本均值：
一、多元正态分布的定义 定义1：若p维随机向量 X (X1,X p) 的密度函数为：
f (x1,xp )
1
(2 ) p
1/ 2
exp
1 2
(x
μ)1( x
μ)
其中， x (x1,xp ), μ 是p维向量 是p阶
正定矩阵，则称X服从p维正态分布，记为 X ~ N p(μ,)
第一章 多元正态分布及其参数估计
PPT课件
1
§1多元正态分布的定义及其性质
多元正态分布的重要性： （1）多元统计分析中很多重要的理论和方法都是直接或间接
正态分布完整ppt课件
正态性检验
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
正态分布分布ppt课件
通过样本数据可以估计总体的均值、方差等 参数，进而对总体进行推断和分析。
假设检验
质量控制
在假设检验中，通常需要比较样本数据与某 个理论分布的差异，中心极限定理提供了理 论依据。
在工业生产等领域中，可以利用中心极限定 理对产品质量进行监控和预测。
03
正态分布在各领域应用举例
自然科学领域应用
1 2
描述自然现象的概率分布 正态分布可以描述许多自然现象的概率分布情况， 如身高、体重、智商等的分布情况。
根据显著性水平和自由度 确定t分布的临界值，进 而确定拒绝域。
将计算得到的t统计量与 拒绝域进行比较，若t统 计量落在拒绝域内，则拒 绝原假设，否则接受原假 设。
配对样本t检验原理及步骤
01
02
03
04
05
原理：配对样本t检验是 提出假设：设立原假设 用于比较同一组受试者 （H0）和备择假设 在两个不同条件下的测 （H1），原假设通常为 量值是否存在显著差异 两个测量值的均值相等。 的统计方法。它基于正 态分布假设和配对设计， 通过计算t统计量来推断 两个测量值的差异是否 显著。
设立原假设（H0）和备择假 设（H1），原假设通常为样 本均值等于总体均值。
计算t统计量，公式为t=(样 本均值-总体均值)/标准误， 其中标准误=样本标准差/根 号n。
根据显著性水平和自由度确 定t分布的临界值，进而确 定拒绝域。
将计算得到的t统计量与拒 绝域进行比较，若t统计量 落在拒绝域内，则拒绝原假 设，否则接受原假设。
06
非参数检验在处理非正态数据 时应用
非参数检验方法简介
非参数检验的概念
非参数检验是一种基于数据秩次的统计推断方法，它不依赖于总 体分布的具体形式，因此适用于处理非正态数据。
《多元正态分布》课件
度概率密度函数的乘积。
高维正态分布在机器学习中的应用
降维处理
高维正态分布可以用于降维处理，通过保留数据的主要特征，降低 数据的维度，提高数据的可解释性和处理效率。
特征选择
高维正态分布可以用于特征选择，通过分析特征之间的相关性，选 择与目标变量高度相关的特征，去除冗余和无关的特征。
概率模型
高维正态分布可以用于构建概率模型，通过估计数据的概率分布， 进行分类、回归和聚类等机器学习任务。
总结词
检验多元正态分布的协方差矩阵是否与预期 协方差矩阵一致。
详细描述
通过对比样本协方差矩阵与预期协方差矩阵 ，评估样本数据是否符合多元正态分布的假 设。常用的方法包括样本协方差矩阵与预期 协方差矩阵的差异检验、样本数据的散点图 和拟合曲线分析等。
多元正态分布的其他假设检验方法
总结词
其他用于检验多元正态分布的方法。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
02
二元正态分布
二元正态分布的定义
总结词
二元正态分布是多元正态分布在两个维度上的特例，其概率密度函数呈钟形， 且服从二维高斯分布。
详细描述
二元正态分布是一种连续概率分布，描述了两个随机变量之间的关系，当这两 个随机变量相互独立时，其联合概率分布是二元正态分布。它的概率密度函数 由均值向量和协方差矩阵决定，呈现出钟形曲线。
多元正态分布的均值向量和协方差矩阵决定了其 分布形态。
多元正态分布的应用场景
多元统计分析
多元正态分布在多元统计分析中 广泛应用，如主成分分析、因子 分析、聚类分析等。
机器学习
在机器学习中，多元正态分布用 于描述特征之间的相关性，以及 在隐含层节点中实现特征的映射 。
多元正态分布
专业课件讲义教材PPT文档 8
另，x1 和
1 x1 1 2 f1 ( x1 ) exp[ ( ) ] 21 2 1 2 1 1 x2 2 f 2 ( x2 ) exp 2 2 2 2 1
x2 的边际密度函数分别是
，其中 u ~ N 2 (0, I ) ，
1 0 ，则 X 的分布就是退化的三元正 A 0 1 1 1
态分布，即 x ~ N3 (0, ) ，其中
1 0 1 0 1 1 0 1 T AA 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 2 1 1
(2 )
p 2
1 2
1 T 1 exp (x ) (x ) 2
专业课件讲义教材PPT文档 4
设随机向量 u ~ N P (0, I ) ， 为 p 维常 数向量， A 是一个 p q 常数矩阵，则称 x Au 的分布为多元正态分布，仍记 T X ~ N ( , ) 作 ，其中 AA 。 P
专业课件讲义教材PPT文档 1
u 的均值和协方差矩阵分别为
E (u) E (u1 ),, E (u p )
V (u) E (uuT )
T
0
u12 u1u2 u1u p 1 0 0 2 u2u1 u2 u2u p 0 1 0 E I u u u u u2 0 0 1 p 2 p p 1 u 的分布称为均值为 0 ，协方差矩阵为 I 的多元正态分布，记作 u ~ N P (0, I )
第三章
第一节
多元正态分布
多元正态分布的定义
另，x1 和
1 x1 1 2 f1 ( x1 ) exp[ ( ) ] 21 2 1 2 1 1 x2 2 f 2 ( x2 ) exp 2 2 2 2 1
x2 的边际密度函数分别是
，其中 u ~ N 2 (0, I ) ，
1 0 ，则 X 的分布就是退化的三元正 A 0 1 1 1
态分布，即 x ~ N3 (0, ) ，其中
1 0 1 0 1 1 0 1 T AA 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 2 1 1
(2 )
p 2
1 2
1 T 1 exp (x ) (x ) 2
专业课件讲义教材PPT文档 4
设随机向量 u ~ N P (0, I ) ， 为 p 维常 数向量， A 是一个 p q 常数矩阵，则称 x Au 的分布为多元正态分布，仍记 T X ~ N ( , ) 作 ，其中 AA 。 P
专业课件讲义教材PPT文档 1
u 的均值和协方差矩阵分别为
E (u) E (u1 ),, E (u p )
V (u) E (uuT )
T
0
u12 u1u2 u1u p 1 0 0 2 u2u1 u2 u2u p 0 1 0 E I u u u u u2 0 0 1 p 2 p p 1 u 的分布称为均值为 0 ，协方差矩阵为 I 的多元正态分布，记作 u ~ N P (0, I )
第三章
第一节
多元正态分布
多元正态分布的定义
多元正态分布.ppt
(2)
令
Y
X X
2 3
X1
0 0 1
1 0 0
0 1 0
X1 X2 X3
BX
,
由性质1知,Y为3维正态随机向量,且
0 1 0 2 0
y
Bx
0 1
0 0
10 00
02
1
xp ap1u1 ..... appu p p
u A
x1 xp
u p
u p
AA 1 2 1 2
§2.2
故 J (u x) 1 1 2. J(x u)
§2.2
⑤ 写出X=AU+μ
fX
(x)
1
(2 ) p
B
fX (x)dx
B
以下来求Jacobi行列式J(u→x).
§2.2
④ 积分变换的Jacobi行列式J(u→x)可利用线性变换
x=Au+μ及J(x→u)来计算：
x1 xp
因
J (x u) x
u1
u1
x1
a11u1
.....
a1pu p
1
2 1
1 1 2
1
1
2
1
2 2
12 1
2
1
2 2
2
二元正态随机向量X
多元正态分布
混合模型
除了高斯混合模型，还有其他类 型的混合模型，如多项式混合模 型、泊松混合模型等。
扩展应用领域
多元正态分布在许多领域都有广 泛的应用，如心理学、经济学、 生物统计学等。
THANKS
感谢观看
02
联合分布的均值向量和协方差矩阵由各个分量的均 值和协方差决定。
03
当各分量之间相互独立时，其联合分布的协方差矩 阵为各分量协方差矩阵的线性组合。
04
多元正态分布的推断
参数估计
最大似然估计
01
通过最大化样本数据的似然函数来估计多元正态分布的参数，
包括均值向量和协方差矩阵。
最小二乘估计
02
将多元正态分布的均值向量作为回归系数，利用最小二乘法进
多元正态分布
• 多元正态分布概述 • 多元正态分布的参数 • 多元正态分布的性质 • 多元正态分布的推断 • 多元正态分布在统计和机器学习中的
应用 • 多元正态分布的扩展和变种
01
多元正态分布概述
定义与性质
定义
多元正态分布是多个连续随机变量的 概率分布，其概率密度函数是多元高 斯函数。
性质
多元正态分布具有旋转对称性、椭球 等高性、边缘分布的独立性和最大熵 等性质。
当其他维度固定时，该维度的边缘分 布是关于均值对称的，且方差与该维 度与其他维度的协方差成正比。
随机变量的线性变换
对于多元正态分布的随机变量，对其 进行线性变换后，新变量的分布仍然 是多元正态分布。
线性变换包括平移、旋转、缩放等， 这些变换不会改变变量的分布形态。
随机向量的联合分布
01
对于多元正态分布的随机向量，其各分量之间的联 合分布也是正态分布。
06
《多元统计分析》课件_第一章_多元正态分布
2024/12/17
11
§1.1.4 随机向量的数字特征
1、随机向量 X的均值
设 X (X1, X2, , X p )有 P个分量。若 E(Xi ) i (i 1, 2, p)
存在，我们定义随机向量X的均值为:
E
X
E E
E
x1 x2
xp
1 2 p
（4） d(x, y) d(x, z) d(z, y) x, y, z E
2024/12/17
27
§1.3 多元正态分布
多元正态分布是一元正态分布的推广。迄今 为止,多元分析的主要理论都是建立在多元正态 总体基础上的,多元正态分布是多元分析的基础。 另一方面，许多实际问题的分布常是多元正态分 布或近似正态分布，或虽本身不是正态分布，但 它的样本均值近似于多元正态分布。
距离是印度统计学家马哈拉诺比斯（Mahalanobis
）于1936年引入的距离，称为“马氏距离”。
2024/12/17
23
§1.2 统计距离和马氏距离
下面先用一个一维的例子说明欧氏距离与马氏距离在概 率上的差异。
设有两个一维正态总体
G1
:
(1
,
2 1
)和G2
:
(
2
,
2 2
。) 若有
一个样品，其值在A处，A点距离哪个总体近些呢？由
2024/12/17
21
x2
§1.2 统计距离和马氏距离
这时
AB 52 102 125
CD 102 12 101
显然AB比CD要长。
现在，如果 x2用mm作单位，x1 单位保持不变，
此时A坐标为（0，50），C坐标为（0，100），则
多元统计分析 第一章 多元正态分布
1、城镇居民消费水平通常用八项指标来描述，如人均粮食支出、人均副食 支出、人均烟酒茶支出、人均衣着商品支出、人均日用品支出、人均燃 料支出、人均非商品支出。这八项指标存在一定的线性关系。为了研究 城镇居民的消费结构，需要将相关强的指标归并到一起，这实际就是对 指标进行聚类分析。（经济学）
2、在企业经济效益的评价中，涉及到的指标往往很多，如百元固定资产原 值实现产值、百元固定资产原值实现利税、百元资金实现利税、百元工 业总产值实现利税、百元销售收入实现利税、每吨标准煤实现工业产值、 每千瓦时电力实现工业产值、全员劳动生产率、百元流动资金实现产值。 如何将这些具有错综复杂关系的指标综合成几个较少的因子，既有利于 对问题进行分析和解释，又能便于抓住主要矛盾做出科学的评价。可用 主成分分析和因子分析法。
3、某一产品是用两种不同原料生产的，试问此两种原料生产的产品寿命有 无显著差异？又比如，若考察某商业行业今年和去年的经营状况，这时 需要看这两年经营指标的平均水平是否有显著差异以及经营指标之间的 波动是否有显著差异。可用多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验。
4、按现行统计报表制度，农村家庭纯收入是指农村常住居民家庭总收入中 扣除从事生产和非生产经营用支出、税款和上交承包集体任务金额以后 剩余的、可直接用于进行生产的、非生产性建设投资、生产性消费的那 一部分收入。如果我们收集某年各个省、自治区、直辖市农民家庭人均 纯收入的数据，可以用相应分析，揭示全国农民人均纯收入的特征以及 各省、自治区、直辖市与各收入指标的关系。
预备知识
线性代数方面的知识——向量和矩阵是研究多元数据 的重要工具；（要掌握矩阵逆、矩阵特征值、特征向量的 求解）
初等数理统计的知识——多元分析是建立在一元统计 分析基础上的，其许多理论可由一元统计直接推广过来；
第一章 多元正态分布资料
★许多随机向量确实遵从正态分布，或近似 遵从正态分布；
★对于多元正态分布，已有一整套统计推断 方法，并且得到了许多完整的结果。
2020/11/11
3
第一章 多元正态分布
多元正态分布是最常用的一种多元
概率分布。除此之外，还有多元对数正 态分布，多项式分布，多元超几何分布， 多元 分χ布2 、多元 分布、多元指数
μ
.(1.6)
当 A 、B为常数矩阵时，由定义可立即推出如下性质：
(1) E(AX ) AE(X )
1.7
2020/11/11 (2) E( AXB) AE( X )B
(1.8) 12
§1.1.4 随机向量的数字特征
2、随机向量X 自协方差阵
Σ COV (X, X) E(X EX)(X EX)/ D(X)
分布等。本章从多维变量及多元分布的 基本概念开始，着重介绍多元正态分布 的定义及一些重要性质。
2020/11/11
4
§1.1多元分布的基本概念
§1.1.1 随机向量 §1.1.2 分布函数与密度函数 §1.1.3 多元变量的独立性 §1.1.4 随机向量的数字特征
2020/11/11
5
§1.1.1 随机向量
10
§1.1.3 多元变量的独立性
定义1.4：两个随机向量 X 和 Y 称为是相互独立的，若
P(X x, Y y) P(X x)P(Y y) (1.3)
对一切 (X , Y )成立。若 F(x, y) 为(X , Y ) 的联合分布函数
，GG((xx)) H ( y) 分别为X和Y的分布函数，则X与Y 独立X 当且仅
假定所讨论的是多个变量的总体，所研究的数
据是同时观测 p个指标（即变量），又进行了 n 次
★对于多元正态分布，已有一整套统计推断 方法，并且得到了许多完整的结果。
2020/11/11
3
第一章 多元正态分布
多元正态分布是最常用的一种多元
概率分布。除此之外，还有多元对数正 态分布，多项式分布，多元超几何分布， 多元 分χ布2 、多元 分布、多元指数
μ
.(1.6)
当 A 、B为常数矩阵时，由定义可立即推出如下性质：
(1) E(AX ) AE(X )
1.7
2020/11/11 (2) E( AXB) AE( X )B
(1.8) 12
§1.1.4 随机向量的数字特征
2、随机向量X 自协方差阵
Σ COV (X, X) E(X EX)(X EX)/ D(X)
分布等。本章从多维变量及多元分布的 基本概念开始，着重介绍多元正态分布 的定义及一些重要性质。
2020/11/11
4
§1.1多元分布的基本概念
§1.1.1 随机向量 §1.1.2 分布函数与密度函数 §1.1.3 多元变量的独立性 §1.1.4 随机向量的数字特征
2020/11/11
5
§1.1.1 随机向量
10
§1.1.3 多元变量的独立性
定义1.4：两个随机向量 X 和 Y 称为是相互独立的，若
P(X x, Y y) P(X x)P(Y y) (1.3)
对一切 (X , Y )成立。若 F(x, y) 为(X , Y ) 的联合分布函数
，GG((xx)) H ( y) 分别为X和Y的分布函数，则X与Y 独立X 当且仅
假定所讨论的是多个变量的总体，所研究的数
据是同时观测 p个指标（即变量），又进行了 n 次
多元正态分布 ppt课件
ppt课件
16
一元正态分布密度函数图形
f (x) O
0.5 1
2
图1 2 1
ppt课件
x
17
二元正态分布密度函数
f ( x1, x2 )
1
2 1 2
1
2
exp
1 2(1
2)
( x1 1 )2
2 1
2
x1 1 1
20
多元正态分布定义1
定义1.2.1 若 p维随机向量 X 的概率密度函数为
ppt课件
4
随机矩阵的数学期望
定义1.1.2
z11 z12
设Z
z21
z22
zp1 zp2
则Z的数学期望（均值）E(Z )为
z1q
z2q
为p
q阶随机矩阵
，
zpq
E(z11)
E(
Z
)
E
(
z21
)
E(zp1)
E(z12 ) E(z22 )
x2 2 2
( x2 2 )2
2 2
ppt课件
18
二元正态分布密度函数图形
ppt课件
19
一元正态分布密度函数变形
f (x)
1
( x )2
e 2 2
2
(2
)
1 2
(
2
)
1 2
exp
1
(
x
多元正态分布(新)PPT文档84页
多元正态分布(新)
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
1.多元正态分布资料
E(
X
i
)
存在，
i
E ( X1 ) 1
E ( X )
E
(
X2
)
2
μ
E ( X P )
P
1.6
是一个p维向量，称为均值向量.
当A、B为常数矩阵时，由定义可立即推出如下性质：
(1) E(AX ) AE(X )
1.7
(2) E(AXB) AE(X )B
(1.8)
9
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P(X x,Y y) P(X x)P(Y y) (1.3)
对一切(X , Y )成立。
（1）若F(x,y)为(X,Y)的联合分布函数，G(x)和H(y) 分别为
X和Y的分布函数，则X与Y独立当且仅当
F(x, y) G(x)H( y)
(1.4)
（2）若(X,Y)有密度f(x, y)，用g(x)和h(y)分别表示X和Y
的分布密度，则X和Y独立当且仅当
f ( x, y) g( x)h( y)
(1.5)
注意:在上述定义中，X 和 Y 的维数一般是不同的。
8
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§1.1.4 随机向量的数字特征
1、随机向量X 的均值
i
设X
1,2,
p
(
,
X1, X 2 ,, X p )'有 定义随机向量
p X
个分量。若 的均值为
( ij )
COV ( X1, X P )
COV
(
X
2
,
X
P
)
D( X P )
(1.9)
称它为p维随机向量X的协方差阵，简称为 X的协方差阵。
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j
序号
变量
X1
X2
…
Xp
1
x x np 11
x12
…
x1 p
2
x 21
x22
…
x2 p
n
x 20/10/28
8
§1.1.1 随机向量
因此,样本资料矩阵可用矩阵语言表示为:
x11 x12 Xx21 x22
x1p
x2p
(x1,x2,
x(/1)
,xp)
x(/2)
xn1 xn2
多元统计分析
肖海军
2020/10/28
1
第一章 多元正态分布
§1.1 多元分布的基本概念
§1.2 统计距离和马氏距离 §1.3 多元正态分布
§1.4 均值向量和协方差阵的估计
§1.5 常用分布及抽样分布
2020/10/28
2
精品资料
第一章 多元正态分布
一元正态分布在统计学的理论和实际应 用中都有着重要的地位。同样，在多变 量统计学中，多元正态分布也占有相当 重要的位置。原因是：
★许多随机向量确实遵从正态分布，或近似 遵从正态分布；
★对于多元正态分布，已有一整套统计推断 方法，并且得到了许多完整的结果。
2020/10/28
4
第一章 多元正态分布
多元正态分布是最常用的一种多元
概率分布。除此之外，还有多元对数正 态分布，多项式分布，多元超几何分布， 多元 分χ布2 、多元 分布 、多元指数
xnp
x(/n)
若无特别说明，本书所称向量均指列向量
定义1.1 设 为p个随机变量，由它们组成 x1,x2, ,xp (x1,x2, ,xp)
X1， X2, ,Xp
的向量 X1， X2, ,Xp称为随机向量。
2020/10/28
9
§1.1.2 分布函数与密度函数
描述随机变量的最基本工具是分布函数，类似地描述 随机向量的最基本工具还是分布函数。
个样本。
2020/10/28
7
§1.1.1 随机向量
横看表1-1，记 X () (x 1 ,x 2 , ,x p )，' 1,2, n
它表示第 个样品的观测值。竖看表1-1,第 j 列的元素
X j (x 1 j,x 2 j, ,x n)j', j1,2, p
表示对
j 第个变量
x
的n次观测数值。下面为表1-1
(1.5)
注意:在上述定义中，X和 Y 的维数一般是不同的。
2020/10/28
12
§1.1.4 随机向量的数字特征
1、随机向量 X的均值
设 X(X 1,X 2, ,Xp)有P个分量。若 E(Xi)i (i1,2, p)
存在，我们定义随机向量X的均值为:
E
X
E E
E
x1 x2
假定所讨论的是多个变量的总体，所研究的数
据是同时观测 p个指标（即变量），又进行了 n次
观测得到的，把这 p个指标表示为 X1,X2, ,Xp常 用向量
X (X 1,X 2, ,X p)'
表示对同一个体观测的 p个变量。若观测了 n
个个体，则可得到如下表1-1的数据，称每一个个
体的 p个变量为一个样品，而全体 n个样品形成一
Σ C ( X , O X ) E ( X V E X )X (E X ) / D ( X )
D(X1)
CO(VX1,X2) CO(VX1,XP)
C
O(VX2,
X1)
D(X2)
CO(VX2,
XP)
CO(VXP,X1) CO(VXP,X2) D(X P)
(ij)
(1.9)
2020/10/28
，GG((xx)) H ( y) 分别为X和Y的分布函数，则X与Y 独立X 当且仅
当
F (x,y)G (x)H (y) (X ,Y) G ( x )和 H (y )
X
Y
X
Y
（1.4）
若(X , Y)有密度 f (x,y) ，用 g(x)和h(y)分别表示X 和Y
的分布密度，则X和 Y独立当且仅当
(Xf, Y() x,y)g(x)h(y)
定义1.2 设 (x1,x2, ,xp)是P 维随机向量，它的多元分布
函数是
式中：F ( X ) F X( (x x1 1 ,x , 2x , 2 ,x , p) , x p ) P ( X 1 x 1 , , X p x p )1 . 1
X ( x 1 ,x 2 ,,x p ) R P ， 并 记 为 X ~ F X 。
多元分布函数的有关性质此处从略。
2020/10/28
10
§1.1.2 分布函数与密度函数
定义1.3：设 X~F(X)= F(x1,x2, ,xp),若存在一个 非负的函数 f ,使得
F (x ) x 1 x p f(t1 , tp)d t1 dp,t
(1.2)
对一切 xRp 成立，则称 X（或 FX ）有分布
密度 f 并称 X为连续型随机向量。 R P
(i) f(x)0 xRp
(ii) f(x)dx1 Rp
2020/10/28
11
§1.1.3 多元变量的独立性
定义1.4：两个随机向量 X 和 Y 称为是相互独立的，若
P (X x ,Y y ) P (X x )P ( Y y ) (1.3
对一切 (X , Y)成立。若 F(x,y) 为(X , Y) 的联合分布函数
分布等。本章从多维变量及多元分布的 基本概念开始，着重介绍多元正态分布 的定义及一些重要性质。
2020/10/28
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§1.1多元分布的基本概念
§1.1.1 随机向量 §1.1.2 分布函数与密度函数 §1.1.3 多元变量的独立性 §1.1.4 随机向量的数字特征
2020/10/28
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§1.1.1 随机向量
xp
1
2
p
μ
.(1.6)
当 A、B为常数矩阵时，由定义可立即推出如下性质：
( 1 )E (A ) X A (X ) E
1 .7
2020/10/2( 82 )E (A) X A (X B ) E B
( 1 .8 ) 13
§1.1.4 随机向量的数字特征
2、随机向量X自协方差阵
14
§1.1.4 随机向量的数字特征
3、随机向量X 和Y 的协差阵
设 X ( X 1 ,X 2 , ,X n ) 和 Y ' ( Y 1 , Y 2 , , Y p ) 分别'为 n维和 p
维随机向量，它们之间的协方差阵定义为一个 np矩 阵，其元素是 covX( i,Yj )，即
c X , Y o ) (v X c i , Y j ) , ( o i ) 1 , , v n ; j 1 , ( , p ( 1 . 1 ) 若covX,(Y)0，称 X和Y是不相关的。
序号
变量
X1
X2
…
Xp
1
x x np 11
x12
…
x1 p
2
x 21
x22
…
x2 p
n
x 20/10/28
8
§1.1.1 随机向量
因此,样本资料矩阵可用矩阵语言表示为:
x11 x12 Xx21 x22
x1p
x2p
(x1,x2,
x(/1)
,xp)
x(/2)
xn1 xn2
多元统计分析
肖海军
2020/10/28
1
第一章 多元正态分布
§1.1 多元分布的基本概念
§1.2 统计距离和马氏距离 §1.3 多元正态分布
§1.4 均值向量和协方差阵的估计
§1.5 常用分布及抽样分布
2020/10/28
2
精品资料
第一章 多元正态分布
一元正态分布在统计学的理论和实际应 用中都有着重要的地位。同样，在多变 量统计学中，多元正态分布也占有相当 重要的位置。原因是：
★许多随机向量确实遵从正态分布，或近似 遵从正态分布；
★对于多元正态分布，已有一整套统计推断 方法，并且得到了许多完整的结果。
2020/10/28
4
第一章 多元正态分布
多元正态分布是最常用的一种多元
概率分布。除此之外，还有多元对数正 态分布，多项式分布，多元超几何分布， 多元 分χ布2 、多元 分布 、多元指数
xnp
x(/n)
若无特别说明，本书所称向量均指列向量
定义1.1 设 为p个随机变量，由它们组成 x1,x2, ,xp (x1,x2, ,xp)
X1， X2, ,Xp
的向量 X1， X2, ,Xp称为随机向量。
2020/10/28
9
§1.1.2 分布函数与密度函数
描述随机变量的最基本工具是分布函数，类似地描述 随机向量的最基本工具还是分布函数。
个样本。
2020/10/28
7
§1.1.1 随机向量
横看表1-1，记 X () (x 1 ,x 2 , ,x p )，' 1,2, n
它表示第 个样品的观测值。竖看表1-1,第 j 列的元素
X j (x 1 j,x 2 j, ,x n)j', j1,2, p
表示对
j 第个变量
x
的n次观测数值。下面为表1-1
(1.5)
注意:在上述定义中，X和 Y 的维数一般是不同的。
2020/10/28
12
§1.1.4 随机向量的数字特征
1、随机向量 X的均值
设 X(X 1,X 2, ,Xp)有P个分量。若 E(Xi)i (i1,2, p)
存在，我们定义随机向量X的均值为:
E
X
E E
E
x1 x2
假定所讨论的是多个变量的总体，所研究的数
据是同时观测 p个指标（即变量），又进行了 n次
观测得到的，把这 p个指标表示为 X1,X2, ,Xp常 用向量
X (X 1,X 2, ,X p)'
表示对同一个体观测的 p个变量。若观测了 n
个个体，则可得到如下表1-1的数据，称每一个个
体的 p个变量为一个样品，而全体 n个样品形成一
Σ C ( X , O X ) E ( X V E X )X (E X ) / D ( X )
D(X1)
CO(VX1,X2) CO(VX1,XP)
C
O(VX2,
X1)
D(X2)
CO(VX2,
XP)
CO(VXP,X1) CO(VXP,X2) D(X P)
(ij)
(1.9)
2020/10/28
，GG((xx)) H ( y) 分别为X和Y的分布函数，则X与Y 独立X 当且仅
当
F (x,y)G (x)H (y) (X ,Y) G ( x )和 H (y )
X
Y
X
Y
（1.4）
若(X , Y)有密度 f (x,y) ，用 g(x)和h(y)分别表示X 和Y
的分布密度，则X和 Y独立当且仅当
(Xf, Y() x,y)g(x)h(y)
定义1.2 设 (x1,x2, ,xp)是P 维随机向量，它的多元分布
函数是
式中：F ( X ) F X( (x x1 1 ,x , 2x , 2 ,x , p) , x p ) P ( X 1 x 1 , , X p x p )1 . 1
X ( x 1 ,x 2 ,,x p ) R P ， 并 记 为 X ~ F X 。
多元分布函数的有关性质此处从略。
2020/10/28
10
§1.1.2 分布函数与密度函数
定义1.3：设 X~F(X)= F(x1,x2, ,xp),若存在一个 非负的函数 f ,使得
F (x ) x 1 x p f(t1 , tp)d t1 dp,t
(1.2)
对一切 xRp 成立，则称 X（或 FX ）有分布
密度 f 并称 X为连续型随机向量。 R P
(i) f(x)0 xRp
(ii) f(x)dx1 Rp
2020/10/28
11
§1.1.3 多元变量的独立性
定义1.4：两个随机向量 X 和 Y 称为是相互独立的，若
P (X x ,Y y ) P (X x )P ( Y y ) (1.3
对一切 (X , Y)成立。若 F(x,y) 为(X , Y) 的联合分布函数
分布等。本章从多维变量及多元分布的 基本概念开始，着重介绍多元正态分布 的定义及一些重要性质。
2020/10/28
5
§1.1多元分布的基本概念
§1.1.1 随机向量 §1.1.2 分布函数与密度函数 §1.1.3 多元变量的独立性 §1.1.4 随机向量的数字特征
2020/10/28
6
§1.1.1 随机向量
xp
1
2
p
μ
.(1.6)
当 A、B为常数矩阵时，由定义可立即推出如下性质：
( 1 )E (A ) X A (X ) E
1 .7
2020/10/2( 82 )E (A) X A (X B ) E B
( 1 .8 ) 13
§1.1.4 随机向量的数字特征
2、随机向量X自协方差阵
14
§1.1.4 随机向量的数字特征
3、随机向量X 和Y 的协差阵
设 X ( X 1 ,X 2 , ,X n ) 和 Y ' ( Y 1 , Y 2 , , Y p ) 分别'为 n维和 p
维随机向量，它们之间的协方差阵定义为一个 np矩 阵，其元素是 covX( i,Yj )，即
c X , Y o ) (v X c i , Y j ) , ( o i ) 1 , , v n ; j 1 , ( , p ( 1 . 1 ) 若covX,(Y)0，称 X和Y是不相关的。