数学分析之数列极限

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数列极限知识点归纳总结

数列极限知识点归纳总结数列极限是高等数学中非常重要的一部分内容，它在微积分、数学分析和实数理论等领域有着广泛的应用。

数列极限可以用来描述数列中的数值趋于无穷大或趋于某个确定值的性质。

本文将对数列极限的概念、性质及相关定理进行归纳总结。

一、数列极限的概念数列极限是指当数列的项趋于无穷大或趋于某个确定值时，数列中的数值会有怎样的变化规律。

数列极限可以分为两种情况：当数列的项趋于无穷大时，称为正无穷大极限；当数列的项趋于某个确定值时，称为有限极限。

二、正无穷大极限正无穷大极限是指当数列的项趋于正无穷大时，数列中的数值也趋于正无穷大。

对于正无穷大极限的数列，常常使用符号∞表示。

正无穷大极限的数列具有以下特点：1. 当数列的项趋于正无穷大时，数列中的每一项都大于任意给定的正数。

2. 正无穷大极限的数列不存在有限极限，即数列中的数值不会趋于某个确定值。

三、有限极限有限极限是指当数列的项趋于某个确定值时，数列中的数值也趋于该确定值。

有限极限的数列具有以下特点：1. 当数列的项趋于某个确定值时，数列中的每一项都无限接近于该确定值。

2. 有限极限的数列不一定是递增或递减的，它可以在趋近确定值的过程中有往复波动的情况。

四、数列极限的性质数列极限具有一些重要的性质，这些性质对于研究数列的收敛性和发散性非常有帮助。

下面列举了一些常见的数列极限性质：1. 数列极限的唯一性：如果数列的极限存在，那么它是唯一的，也就是说数列的极限值不会有多个。

2. 数列极限的保序性：如果一个数列的所有项都大于（或小于）另一个数列的所有项，并且这两个数列都有极限，那么它们的极限值也满足同样的大小关系。

3. 数列极限的有界性：如果一个数列的极限存在，那么该数列是有界的，即存在一个正数M，使得数列的所有项的绝对值都不大于M。

4. 数列极限与四则运算的关系：如果两个数列都有极限，那么它们的和、差、积和商（除数不为零）也都有极限，并且极限值满足相应的运算规律。

§2.1数列极限

华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
8
《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
引例②截丈问题
战国时代哲学家庄周著的《庄子· 天下篇》引用过一句话：
一尺之棰日取其半万世不竭. 1 第一天截下后的杖长为 X1 ; 2 1 第二天截下后的杖长为 X2 2 ; 2
1 第n天截下后的杖长为 Xn n ; 2 1 0 Xn n
2
……
9
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
两个引例共同点是出现了无限接近思想，这正是极限概念的原始面貌. 极限概念是由于求某些问题的精确答案而产生的, 割圆术和杖棰问题使用的都是极限的方法. 第一个是把一个固定不变的量看作是一系列变化着的多边形面积的趋向，从而确定出面积的大小. 第二个是杖棰剩余问题，看作一系列变化着的剩余趋向于一个确定量的问题. 无论是内接正多边形的面积，还是杖棰的剩余长度，都可以看作是关于 n 的一个数列{ an }，而这个数列中的项随着 n 增加产生一个什么样的变化过程则是人们最关心的，极限就是讨论这一类问题的数学模型.
16
《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
(4) 对 0, 2 , , 2 , M ( M正常数 )等, 虽与在形式上有差异，但在本质上都与起着同样的作用 .
lim a n a 0, N N , 当n N时, 有 a n a M .
2017年11月29日星期三
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《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
下面给出数列极限严格的数学定义. ( N定义)

第一讲-数列极限(数学分析)

第一讲数列极限一、上、下确界 1、定义：1）设S R ⊂，若:,M R x S x M ∃∈∀∈≤，则称M 是数集S 的一个上界，这时称S 上有界；若:,L R x S x L ∃∈∀∈≥，则称L 是数集S 的一个下界，这时称S 下有界；当S 既有上界又有下界时就称S为有界数集。

2）设S R ⊂，若:,M R x S x M ∃∈∀∈≤，且0,:x S x M εε∀>∃∈>-，则称M 是数集S 的上确界，记sup M S =；若:,L R x S x L ∃∈∀∈≥，且0,:x S x L εε∀>∃∈<+，则称L 是数集S 的下确界，记inf L S =。

2、性质： 1）（确界原理）设S R ⊂，S ≠∅，若S 有上界，则S 有上确界；若S 有下界，则S 有下确界。

2）当S 无上界时，记sup S =+∞；当S 无下界时，记inf S =-∞。

3）sup()max{sup ,sup };inf()min{inf ,inf }AB A B A B A B ==。

4）sup inf();inf sup()S S S S =--=--。

5）sup()sup sup ;inf()inf inf A B A B A B A B +=++=+。

6）sup()sup inf A B A B -=-。

（武大93） 7）设(),()f x g x 是D 上的有界函数，则inf ()inf ()inf{()()}sup ()inf ()sup{()()}sup ()sup ()x Dx Df Dg D f x g x f D g D f x g x f D g D ∈∈+≤+≤+≤+≤+3、应用研究1）设{}n x 为一个正无穷大数列，E 为{}n x 的一切项组成的数集，试证必存在自然数p ，使得inf p x E =。

（武大94）二、数列极限 1、定义：1）lim 0,():,||n n n a a N N n N a a εεε→∞=⇔∀>∃=>-<，称{}n a 为收敛数列；2）lim 0,:,n n n a M N n N a M →∞=+∞⇔∀>∃>>，称{}n a 为+∞数列；3）lim 0,:,n n n a M N n N a M →∞=-∞⇔∀>∃><-，称{}n a 为-∞数列；4）lim 0,:,||n n n a M N n N a M →∞=∞⇔∀>∃>>，称{}n a 为∞数列；5）lim 0n n a →∞=，称{}n a 为无穷小数列；2、性质1）唯一性：若lim ,lim n n n n a a a b a b →∞→∞==⇒=。

数列极限知识点归纳总结

数列极限知识点归纳总结数列是数学中的一个重要概念，由一系列有序的数字组成。

数列极限是数列在无穷项处的趋势或趋近的值。

在数学分析中，数列极限是一个基本的概念，具有广泛的应用。

本文将对数列极限的相关知识进行归纳总结，并以此为标题。

一、数列的定义和性质1. 数列的定义：数列是按照一定的规律排列的一系列数字。

2. 数列的通项公式：数列中的每一项可以用一个公式来表示，这个公式称为数列的通项公式。

3. 数列的性质：数列可以是有界的或无界的，可以是递增的或递减的，还可以是周期性的或非周期性的。

二、数列的极限1. 数列的极限定义：对于一个数列，如果随着项数的增加，数列中的元素逐渐接近一个确定的值，那么这个确定的值就是数列的极限。

2. 数列极限的表示：数列极限常用符号lim表示，写作lim(an)=a，其中an为数列的第n项，a为数列的极限。

3. 数列极限的存在性：数列的极限可能存在，也可能不存在。

如果数列极限存在，则称数列收敛；如果数列极限不存在，则称数列发散。

三、数列极限的计算方法1. 直接计算法：对于一些简单的数列，可以通过对数列的通项公式进行计算，得到数列的极限。

2. 套路法：对于一些特殊的数列，可以利用一些已知的极限结果和数列运算的性质，通过一些套路求得数列的极限。

3. 夹逼准则：对于一些复杂的数列，可以通过夹逼准则来求得数列的极限。

夹逼准则指的是如果数列a(n)≤b(n)≤c(n)，且lim(a(n))=lim(c(n))=a，那么lim(b(n))=a。

四、数列极限的性质1. 唯一性：如果数列极限存在，则极限值唯一。

2. 保号性：如果数列的极限为正数（负数），那么数列的项数足够大时，数列的元素大于（小于）零。

3. 有界性：如果数列的极限存在，则数列有界。

五、数列极限的应用1. 函数极限：函数极限是数列极限的推广，通过将自变量取为数列，将函数值作为数列的项，就可以研究函数的极限。

2. 数列极限在微积分中的应用：数列极限在微积分中有广泛的应用，如计算导数、积分等。

《数学分析》第二章数列极限

xn的限或称数 xn 收于 ,记极 , 者列敛 a 为
lim xn = a, 或xn → a (n → ∞).
n→∞
如果数列没有极限,就说数列是发散的如果数列没有极限就说数列是发散的. 就说数列是发散的注意: 注意:.不等式 x n a < ε刻划了 x n与a的无限接近 ; 1
则当n > N时有 a b = ( x n b ) ( x n a )
ε ≤ x n b + x n a < ε + ε = 2ε.
故收敛数列极限唯一. 上式仅当a = b时才能成立 . 故收敛数列极限唯一
例5 证明数列 x n = ( 1) n + 1 是发散的. 1 由定义, 证设 lim x n = a , 由定义对于ε = , n→ ∞ 2 1 则N , 使得当 n > N时, 有 x n a < 成立, 2 1 1 即当n > N时, x n ∈ (a , a + ), 区间长度为1. 2 2 而x n 无休止地反复取1, 1两个数 , 不可能同时位于长度为的不可能同时位于长度为1的区间内. 长度为
注意: 数列对应着数轴上一个点列.可看作一注意: 数列对应着数轴上一个点列可看作一 1.数列对应着数轴上一个点列动点在数轴上依次取 x1 , x 2 , , x n , .
x3
x1
x2 x4
xn
2.数列是整标函数 x n = f (n). 数列是整标函数
三,数列的极限
( 1)n1 } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . 观察数列 {1 + n
2,唯一性 ,
定理2 定理2 每个收敛的数列只有一个极限. 每个收敛的数列只有一个极限.

数列的极限

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步骤：首先给出数列的定义然后证明数列的极限存在
定义法：通过定义来证明数列极限的方法
例子：例如证明数列{n}的极限为可以通过定义法证明
注意事项：在使用定义法证明数列极限时需要注意数列的定义和极限的定义是否一致以及证明过程中是否使用了正确的数学符号和公式。
柯西收敛准则：如果数列{_n}满足对任意ε>0存在N使得当n>N时|_n-|<ε则称数列{_n}收敛于
极限的夹逼性：如果数列的极限存在那么数列的任何子列的极限也存在且极限值相同。
极限的连续性：如果数列的极限存在那么数列的任何子列的极限也存在且极限值相同。
极限的加法性质：lim(x->) [f(x) + g(x)] = lim(x->) f(x) + lim(x->) g(x)
极限的减法性质：lim(x->) [f(x) - g(x)] = lim(x->) f(x) - lim(x->) g(x)
极限的乘法性质：lim(x->) [f(x) * g(x)] = lim(x->) f(x) * lim(x->) g(x)
极限的除法性质：lim(x->) [f(x) / g(x)] = lim(x->) f(x) / lim(x->) g(x)
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极限存在准则的应用：可以用来判断数列的极限是否存在以及计算极限的值
极限的表示：极限通常用符号lim表示如lim(x→x0)f(x)=。
极限的性质：极限具有保号性、保序性、保连续性等性质。
极限的应用：极限在微积分、函数分析、概率论等领域有着广泛的应用。

数学分析之数列极限

第二章数列极限教学目的：1.使学生建立起数列极限的准确概念，熟练收敛数列的性质；2.使学生正确理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。

要求学生：逐步建立起数列极限的概念.深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的定义证明有关命题，并能运用语言正确表述数列不以某定数为极限等相应陈述；理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号性及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理，会用这些定理求某些收敛数列的极限；初步理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯西准则判定某些数列的敛散性；教学重点、难点：本章重点是数列极限的概念；难点则是数列极限的定义及其应用.教学时数：14学时§ 1 数列极限的定义教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。

ε-定义及其应用。

教学重点、难点：数列极限的概念，数列极限的N教学时数：4学时一、引入新课：以齐诺悖论和有关数列引入——二、讲授新课：（一）数列：1.数列定义——整标函数.数列给出方法: 通项,递推公式.数列的几何意义.2.特殊数列: 常数列,有界数列,单调数列和往后单调数列.（二）数列极限: 以为例.:定义( 的“”定义)定义( 数列收敛的“”定义)注：1.关于：的正值性, 任意性与确定性,以小为贵; 2.关于：的存在性与非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3.的几何意义.（三）用定义验证数列极限：讲清思路与方法.例1例2例3例4$证注意到对任何正整数时有就有于是，对取例5证法一令有用Bernoulli不等式，有或》证法二（用均值不等式）例6证时，例7设证明（四）收敛的否定:定义( 的“”定义).定义( 数列发散的“”定义).￥例8 验证（五）数列极限的记註:1.满足条件“”的数列2.改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限.重排不改变数列敛散性:3.数列极限的等价定义:对任有理数—对任正整数（六）无穷小数列: 定义.( 数列极限与无穷小数列的关系).§2 收敛数列的性质（4学时）教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。

数学分析ch2-2数列极限

0 ，不妨考虑任意给定的
0
q
,则
N
可取为
lg
lg|q|
，当
n N 时，成立| qn 0 | 。
（2）根据数列极限的定义来证明某一数列收敛，其关键是对任意给定的 0寻找正整数 N 。在上面的两例题中， N 都是通过解不等式 xn a 而得出的。但在大多数情况下，这个不等式并不容易解。实际上，数列极限的定义并不要求取到最小的或最佳的正整数N，所以在证明中常常对 x n a 适度地做一些放大处理，这是一种常用的技巧。
注
（2）在上述的定义中，既是任意的，又是给定的。因为只有当确定时，才能找到相应的正整数 N 。
注
（2）在上述的定义中，既是任意的，又是给定的。因为只有当确定时，才能找到相应的正整数 N 。
（3）从极限的定义可知，一个数列{xn} 收敛与否，收敛于哪个数，与这一数列的前面有限项无关。也就是说，改变数列前面的有限项，不影响数列的收敛性。
显然，下面两数列 {n2 }： 1，4，9，…， n2 ,… {(1)n }: -1,1,-1,1,… 是发散数列。
无穷小量
极限为
0
的数列称为无穷小量，例如数列
1 n
,
(1)n n2 1
都是
无穷小量。
lim
n
xn
a
{xn
a
} 是无穷小量。
例2.2.2 证明{ q n }( 0 | q | 1 ) 是无穷小量。
n2 2n2
1 7n
1 2
。
证首先有
n2 1 1 = 7n 2 。
2n2 7n 2 2n(2n 7)
显然当 n 6时，
7n 2 2n(2n 7)

数学分析中数列极限概念的教学

数学分析中数列极限概念的教学数学分析中，数列极限概念是非常重要的概念，它为深入研究数学分析提供了重要支持，也是数学分析中最具有挑战性的概念之一。

因此，数列极限概念的教学对于数学分析的学习、教学和研究来说，至关重要。

一般来说，数列极限概念的教学包括以下几个方面：（1）定义数列：数列是按照一定的规律排列的有穷多个数，数列可以是有理数、实数、复数、函数和向量等。

（2）数列的极限：数列的极限是指当数列的元素趋近无穷时，它的值所取的上限或者下限，用符号lim表示数列的极限。

（3）数列极限的几何意义：当数列中的每一项和它后面元素的差值变得越来越小时，数列极限就代表数列元素趋于某一数值，这个数值就是数列极限。

（4）数列极限的证明：为了证明数列极限存在，可以使用定义型极限法、准则型极限法、收敛极限法等。

（5）极限的应用：数列极限的应用已经超出了数列的范畴，它可以用来解决复杂的数学问题，如求解微分方程和积分等。

在数列极限概念的教学中，讲师应注意以下几点：（1）在教学中，讲师一定要明白数列极限概念，要能够清楚地讲解，让学生们更好地理解数列极限的含义。

（2）讲师在教学中要能够充分体现数列极限的几何意义，要能够用图形、案例或者具体的实例来帮助学生理解数列极限概念。

（3）讲师要能够用不同的方法来证明数列极限的存在，使学生们熟悉极限的定义和极限的证明。

（4）讲师要能够用实际例子和案例，将数列极限概念运用到日常生活中，让学生们更加了解数列极限概念在实际中的应用价值。

以上是数学分析中数列极限概念的教学，数列极限概念的教学不仅具有重要的理论意义，而且具有重要的应用价值，是数学分析教学中一个重要的环节。

讲师在教学数列极限概念时，一定要认真负责，要能够调动学生的学习兴趣，使学生能够更好、更深入地理解数列极限概念，为学生构建数学分析的理论基础打下良好的基础。

数学分析数列极限定义

列的项,xn 称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn }.
2,4,8, ,2n , ;
1 , 1 , 1 , 248
,
1 2n
,
;
{2n } 1
{2n }
极限概念的历史
1、割圆术：
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
——刘徽
极限概念的历史
正六边形的面积 A1
n lg ,
lg q
取N [lg ],
lg q
则当n N时,
就有qn 0 , limqn 0. n
数列极限(放缩法)
因为只需要证明存在N，不用找最小的N
lim
n
(n
1 1)2
0
欲使 an
0
1 (n 1)2
n2
1 2n 1
1 2n
只要n
1 ，取
2
N
1
2
即可.
证：
0，N
1
极限的定义
lim
n
an
0
0, N,n (或 )N，| an |
无论给出多小的数，在此变化过程中，
终究会比这个给出的数小。
lim
n
an
M ( 0), N,n N，an M
lim
n
an
M , N ,n N，|an | M
极限的定义
定义如果对于任意给定的正数 (不论它多
么小),总存在正整数 N ,使得对于 n N 时的一切 xn ,不等式 xn a 都成立,那末就称常数 a 是数列{ xn }的极限,或者称数列 { xn }收敛于a ,记为
极限的直观理解
例1：证明调和数列极限为0. 证：因为此数列在其变化过程中，和0的

高中数学中的数列极限知识点总结

高中数学中的数列极限知识点总结数列是高中数学中的重要概念，而数列的极限是数学分析的核心内容之一。

我们在学习数列时，需要理解和掌握数列极限的相关概念和性质，以提升数学思维和解题能力。

本文将对高中数学中的数列极限知识点进行总结，并提供一些例题进行讲解。

1. 数列与数列极限的基本概念数列是由一列数按照一定规律排列而成的，可以用数学公式表示为 {an}，其中n表示序号，an表示第n项。

对于数列来说，我们常常关注的是数列的极限。

数列极限是指数列在无限项情况下逐渐接近的数值，可以用极限符号lim表示。

当数列的极限存在时，我们可以通过计算极限值来求解相关问题。

2. 数列极限的性质数列极限具有以下性质：(1) 唯一性：数列的极限值唯一，即一个数列只有唯一一个极限值。

(2) 有界性：如果数列有极限，那么它一定是有界的，即数列的项在某一范围内。

(3) 保号性：如果数列的极限值大于0（或小于0），那么数列的部分项也大于0（或小于0），反之亦然。

(4) 夹逼性：如果数列的每一项都被两个趋于相同极限的数列夹逼，那么它们的极限也相同。

3. 数列极限的计算方法在实际运用中，我们常常需要计算数列的极限。

对于一些简单的数列，我们可以通过常用的计算方法求解。

(1) 常数数列的极限等于该数列的常数项。

例如：数列 {an} = {2, 2, 2, ...} 的极限等于2。

(2) 等差数列的极限等于首项（a1）。

例如：数列 {an} = {1, 3, 5, ...} 的极限等于1。

(3) 等比数列的极限在一定条件下存在，存在时等于首项乘以公比（ |r| < 1）。

例如：数列 {an} = {2, 1, 0.5, ...} 的极限等于0。

4. 数列极限的收敛与发散数列极限可以分为收敛和发散两种情况。

(1) 收敛：如果数列的极限存在，我们称数列是收敛的。

(2) 发散：如果数列的极限不存在，我们称数列是发散的。

例如：数列 {an} = {1, -1, 1, -1, ...} 是发散的，因为其极限不存在。

数学分析讲解数列极限

例7 设数列{xn}对常数A和0 < q <1满足条件
| xn1 A | q | xn A | (n N)
证明
lim
n
xn
A.
例8
设
x1
1,
xn1
1 1 xn
,
(n
N).求
lim
n
xn
三、收敛数列的性质
定理1 （唯一性）若数列{xn}存在极限，则其极限值必唯一. 即
若lim n
xn
A, 又 lim n
推论1 若
lim
n
an
a , 则有
lim a1 a2 L
n
n
an a
推论2
若an
>
0,
且
lim
n
an
a
,
则有
lim n
n
a1 a2 L
an
a
推论3
若an
>
0,
且lim n
an an1
a , 则有
lim n
n
an
a
例14
求极限
12 lim
22
n
2 32 3 3L n2 n n n3
lim (
n
xn
yn )
A
B
lim
n
xn
lim
n
yn ;
lim (
n
xn
yn )
A
B
lim
n
xn
lim n
yn ;
(lim n
xnm
Am ,
m N)
(lnim(cxn
)
cA
c
lim

数学分析数列极限分析解析

第二章数列极限§1 数列极限概念教学目的与要求：使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。

教学重点，难点：数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。

教学内容：一、课题引入1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。

2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰，日取其半，万古不竭。

”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，321，……，n 21，…… 或简记作数列：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21分析：1°、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0；2二、数列极限定义1°将上述实例一般化可得：对数列{}na ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，n 能无限接近常数a 该数为收敛数列，a 为它的极限。

例如：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1， a=0；⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(3， a=3; {}2n ， a 不存在，数列不收敛；{}n)1(-， a 不存在，数列不收敛；2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(()3以3为极限，对ε=1013)1(3--+=-na a nn =1011n只需取N=10，即可3°“抽象化”得“数列极限”的定义定义：设{}na 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有aa n -＜ε则称数列{}na 收敛于a ，a 为它的极限。

记作a a n n =∞→lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明（1）若数列{}na 没有极限，则称该数列为发散数列。

数学分析课件2.1数列的极限和无穷大量2.51MB

已知n b 1,由（）得证。 x 1 lim
n
c.
lim （3）当a 1时, 对n, n a 1, 故 n n a 1（a 1 . ）
一般地，xn c有
【数学分析课件】 15
例 4.
lim
n
n
n 1.
证明: 令n n 1 hn , 则n n 1 hn , 即
1 1 由不等式有，故只须 n 即可。 n
即对 0, 自然数 [ ] ，当 n [ ]时，便有
( 1) n 1 1 1 . n
1
1
定义：
若对 0, 总N [ ]，当n N时，有
1
( 1) n 1 1 1 . n
1 ( 1) n 1 1 . 1 , 只须 n 1000000 对 , 要使1 n 1000000 1000000
……
【数学分析课件】 5
以上还不能说明竟它们都还是确定的数。
对
( 1) n 1 1 1 n
任意小，并保持任意小，毕
( 1) n 1 1 才行. 0, 要使 1 n
2
一、数列极限的定义
1.数列: 是按次序排列的一列无穷多个数
x 1 , x 2 ,L , x n ,L
数列是定义在自然数集N上的函数。即以N为定义域由小到大取值所对应的一列函数值。对
n N
，设
f (n) xn
，则
自变量： 1,2, L,2006 L, n, L ,
x 函数值： 1 ,
x2 , L, x2006 , L, xn , L
1 n
or
a 1 ,
1 n

数列极限的定义与性质

数列极限的定义与性质数列是数学中一个非常重要的概念，而数列的极限更是数学分析中的基础知识之一。

数列极限的定义与性质对于理解数学分析、微积分等学科具有重要意义。

本文将从数列极限的定义入手，逐步介绍数列极限的性质，帮助读者更好地理解这一概念。

1. 数列极限的定义数列极限的定义是数学分析中的基础概念之一。

对于数列${a_n}$，当$n$趋于无穷大时，如果数列的项$a_n$可以无限接近某个常数$A$，那么称常数$A$为数列${a_n}$的极限，记作$\lim\limits_{n \to\infty} a_n = A$。

换句话说，对于任意给定的正实数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，数列的项$a_n$与极限$A$之间的差的绝对值$|a_n - A|$小于$\varepsilon$。

数学上也可以用$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = A$来表示数列${a_n}$的极限。

这个定义是数列极限的基础，也是理解数列极限性质的前提。

2. 数列极限的性质数列极限具有一些重要的性质，下面将逐一介绍这些性质：（1）数列极限的唯一性：如果数列${a_n}$的极限存在，那么这个极限是唯一的。

也就是说，如果$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = A$且$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = B$，那么$A=B$。

（2）数列极限的有界性：如果数列${a_n}$的极限存在，那么这个数列是有界的。

即存在一个实数$M$，使得对于数列的每一项$a_n$，都有$|a_n| \leq M$。

（3）数列极限的保号性：如果数列${a_n}$的极限存在且大于（小于）零，那么从某项开始，数列的每一项都大于（小于）零。

（4）数列极限的四则运算性质：设$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = A$，$\lim\limits_{n \to \infty} b_n = B$，则有：- $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = A \pm B$- $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B$- 若$B \neq 0$，$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}$（5）夹逼准则：如果数列${a_n}$、${b_n}$、${c_n}$满足$a_n\leq b_n \leq c_n$，且$\lim\limits_{n \to \infty} a_n =\lim\limits_{n \to \infty} c_n = A$，那么$\lim\limits_{n \to\infty} b_n = A$。

数学分析2.3数列极限存在的条件

第二章数列极限2 数列极限存在的条件若数列{a n}的各项满足a n≤a n+1(a n≥a n+1)，则称{a n}为递增(递减)数列。

递增数列和递减数列统称为单调数列。

定理 2.9(单调有界定理)：在实数系中，有界的单调数列必有极限，且其极限就是它的上(下)确界.证：若{a n}为有上界的递增数列. 由确界原理可知，{a n}有上确界，记a=sup {a n}. 则对∀ε>0，有{a n}中的某一项a N，使得a-ε<a N.∵{a n}递增，∴当n≥N时，有a-ε<a N≤a n.又{a n}有上界，∴对一切a n，都有a n≤a<a+ε.综上，当n≥N时，有a-ε<a n <a+ε, ∴=a.若{a n}为有下界的递减数列. 由确界原理可知，{a n}有下确界，记b=inf {a n}. 则对∀ε>0，有{a n}中的某一项a N，使得b+ε>a N.∵{a n}递减，∴当n≥N时，有b+ε>a N≥a n.又{a n}有下界，∴对一切a n，都有a n≥b>b-ε.综上，当n≥N时，有b-ε>a n >b+ε, ∴=b.例1：设a n=1，n=1,2,…，其中实数a≥2. 证明数列{a n}收敛. 证：∵a n-1-a n=(1)- (1)=>0.∴{a n}递增. 又a n≤1≤1=2<2，n=1,2,…，∴{a n}有上界. 由单调有界定理可知{a n}收敛.例2：证明数列,,……收敛，并求其极限.n个根号证：记a n=，且a1=<2, 可设a n<2，则有a n+1=<<2，从而对一切n，有a n<2，即{a n}有界。

又a1=>0，a2=>=a1>0，可设a n>a n-1，即a n-a n-1>0；则a n+1-a n=>0，∴{a n}递增.由单调有界定理可知，数列{a n}有极限，记为a. 由=2+a n，对两边取极限得a2=2+a，解得a= -1或a=2. 由数列极限的保不等式性知，a= -1不合理，舍去. ∴.例3：设S为有界数集. 证明：若sup S=a∉ S，则存在严格递增数列{x n}⊂S，使得=a.证：∵sup S=a，∴∀ε>0，∃x∈S，使x>a-ε. 又a∉ S，∴x<a，从而有a-ε< x<a，取ε1=1，则∃x1∈S，使得a-ε1< x1<a，再取ε2=min{,a- x1}>0，则∃x2∈S，使得a-ε2< x2<a，且有x2> a-ε2≥a-(a- x1)= x1.如上循环进行可得x n-1∈S，取εn=min{,a- x n-1}>0，则∃x n∈S，使得a-εn< x n<a，且有x n> a-ε2≥a-(a- x n-1)= x n-1. 至此得到严格递增数列{x n}⊂S，且满足a-εn< x n<a<a+εn，∴=a.例4：证明存在.证：建立不等式b>a>0，对任一正整数n有，b n+1-a n+1<(n+1)b n(b-a)，即a n+1> b n[(n+1)a-nb] (1)以a=1，b=1代入(1)式，得，∴递增；再以a=1，b=1代入(1)式，得1>=，∴<4.∴有界；根据单调有界定理可知：收敛。

数学分析(华东师大)第二章数列与极限

第二章数列极限§1 数列极限概念若函数 f 的定义域为全体正整数集合 N + , 则称f : N + → R 或 f (n), n ∈N +为数列 .因正整数集N + 的元素可按由小到大的顺序排列, 故数列 f ( n ) 也可写作a 1 ,a 2,,a n ,,或简单地记为{ a n } , 其中 a n 称为该数列的通项 .关于数列极限, 先举一个我国古代有关数列的例子 .例1古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话“:一尺之棰, 日取其半,万世不竭”,其含义是:一根长为一尺的木棒,每天截下一半,这样的过程可以无限制地进行下去.把每天截下部分的长度列出如下( 单位为尺) :第一天截下1,第二天截下1, , 第 n 天截下1, 这样就得到一个2222n数列1 1112 ,22, , 2n , 或 2n .不难看出 , 数列 1 2n的通项 1随着 n 的无限增大而无限地接近于 0 .一般地 2 n说,对于数列{a n },若当n 无限增大时a n 能无限地接近某一个常数a,则称此数列为收敛数列,常数a 称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛数列.收敛数列的特性是“随着n 的无限增大, a n 无限地接近某一常数a ”.这就是说,当n 充分大时,数列的通项a n 与常数a 之差的绝对值可以任意小.下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义.定义1设{ a n } 为数列, a 为定数 .若对任给的正数ε, 总存在正整数 N , 使得当 n >N 时有a n - a <ε,则称数列{ a n } 收敛于 a , 定数 a 称为数列{ a n } 的极限, 并记作α α 24第二章数列极限lim n →∞a n = a , 或 a n → a( n → ∞) ,读作“当n 趋于无穷大时, a n 的极限等于a 或a n 趋于a ”.若数列{ a n } 没有极限, 则称{ a n } 不收敛, 或称{ a n } 为发散数列 .定义1 常称为数列极限的ε-Ν定义 .下面举例说明如何根据ε- Ν定义来验证数列极限 .例 2 证明lim 1= 0 , 这里α为正数 .n → ∞n 证由于1 1n α- 0 = nα, 1 故对任给的ε>0 , 只要取 N = 1 εα+ 1 , 则当 n >N 时, 便有 1 1α< α<ε即 n N 1 α- 0<ε. n 这就证明了 lim 1= 0 .n → ∞ n 例 3 证明分析由于3 n2lim n →∞3 n 2n 2 - 39= 3 .9n 2- 3- 3 = n 2- 3 ≤ ( n ≥3). (1)n因此, 对任给的ε>0 , 只要9<ε, 便有n 3 n 2n 2 - 3- 3 <ε, (2)即当 n >9时, ( 2) 式成立 .又由于( 1) 式是在 n ≥3 的条件下成立的, 故应取εN = max 3 ,9 ε. (3)证任给 ε>0 , 取 N = max 3 , 9ε.据分析, 当 n >N 时有(2 ) 式成立 .于是本题得证 .注本例在求N 的过程中,(1)式中运用了适当放大的方法,这样求N 就比较方便.但应注意这种放大必须“适当”,以根据给定的ε能确定出N .又(3)式①记号lim 是拉丁文limes(极限)一词的前三个字母.由于n 限于取正整数,所以在表示数列极限的记号中把n →+∞简单地写作n →∞.①nn§1 数列极限概念 25给出的 N 不一定是正整数 .一般地, 在定义1 中 N 不一定限于正整数, 而只要它是正数即可 .例 4 证明lim n →∞q = 0 , 这里 | q | < 1 .证若 q = 0 , 则结果是显然的 .现设 0 < | q | < 1 .记 h = 1| q |- 1 , 则 h > 0 .我们有q n - 0 = q n = 1 ,(1 + h ) n并由 (1 + h) n≥1 + nh 得到q n≤ 1 1 + nh <1 nh. (4)对任给的ε>0 , 只要取 N = 1, 则当 n >N 时, 由( 4) 式得|q n- 0 |<ε.这εh就证明了lim q n →∞= 0.当 q = 1时, 就是前面例1 的结果 .2注本例还可利用对数函数 y = lg x 的严格增性来证明( 见第一章§4 例6 的注及(2 ) 式) , 简述如下:对任给的ε>0 ( 不妨设ε<1 ) , 为使| q n -0 | =| q | n<ε, 只要n lg q <lg ε 即 n >lg εlg q( 这里也假定 0 < | q | <1) .于是, 只要取 N = lg ε即可 .lg | q | n例 5 证明lim n →∞a = 1 , 其中 a > 0 .1 证当 a = 1 时 , 结论显然成立 .现设 a > 1 .记 α= a n- 1 , 则 α> 0 .由1a = ( 1 + α) n≥ 1 + n α = 1 + n( a n - 1 )得1 a n - 1 ≤ a - 1 n .(5) 1 1任给ε>0 , 由( 5) 式可见, 当 n >a - 1= N 时, 就有 a n - 1 <ε, 即|a n -1 |ε n<ε.所以lim n →∞a = 1 .对于 0 <a < 1 的情形 , 其证明留给读者.关于数列极限的ε- N 定义, 通过以上几个例子, 读者已有了初步的认识 . 对此还应着重注意下面几点:1.ε的任意性定义1 中正数ε的作用在于衡量数列通项a n 与定数 a 的接近程度, ε愈小, 表示接近得愈好; 而正数ε可以任意地小, 说明 a n 与 a 可以20 26第二章数列极限接近到任何程度 .然而, 尽管ε有其任意性, 但一经给出, 就暂时地被确定下来,以便依靠它来求出N .又ε既是任意小的正数,那么ε,3ε或ε2等等同样也是2ε 2 任意小的正数, 因此定义1 中不等式|a n - a | <ε中的ε可用2, 3ε或ε等来代替 .同时, 正由于ε是任意小正数, 我们可限定ε小于一个确定的正数( 如在例4 的注给出的证明方法中限定ε< 1 ).另外, 定义1 中的|a n - a |<ε也可改写成 | a n - a | ≤ε.2. N 的相应性一般说 , N 随ε的变小而变大 , 由此常把 N 写作N(ε) , 来强调 N 是依赖于ε的; 但这并不意味着 N 是由ε所唯一确定的, 因为对给定的 ε, 比如当 N = 100 时能使得当 n >N 时有 | a n - a | <ε, 则 N = 101 或更大时此不等式自然也成立 .这里重要的是 N 的存在性, 而不在于它的值的大小 .另外, 定义 1 中的 n >N 也可改写成 n ≥N .3.从几何意义上看“, 当n >N 时有|a n - a |<ε”意味着:所有下标大于N的项 a n 都落在邻域 U( a;ε) 内; 而在 U ( a;ε) 之外, 数列{ a n } 中的项至多只有 N 个( 有限个).反之, 任给ε>0 , 若在 U ( a;ε) 之外数列{ a n } 中的项只有有限个, 设这有限个项的最大下标为 N , 则当 n >N 时有 a n ∈U ( a;ε) , 即当 n >N 时有| a n - a |<ε.由此, 我们可写出数列极限的一种等价定义如下:定义1′ 任给ε> 0 , 若在 U( a;ε) 之外数列{ a n } 中的项至多只有有限个, 则称数列{ a n } 收敛于极限 a .由定义1′可知,若存在某ε0 >0,使得数列{a n }中有无穷多个项落在U (a; ε0 )之外,则{a n }一定不以a 为极限.例6 证明{ n 2} 和{ (-1) n} 都是发散数列 .证对任何a ∈R ,取ε0 =1,则数列{n }中所有满足n >a +1的项(有无穷多个) 显然都落在 U ( a;ε) 之外, 故{ n 2 散数列 .} 不以任何数 a 为极限, 即{ n 2} 为发至于数列{ ( - 1) n } , 当 a = 1 时取ε= 1 , 则在 U( a;ε) 之外有{ (-1 ) n} 中1n的所有奇数项;当a ≠1 时取ε0 =2 |a -1|,则在U (a;ε0 )之外有{( - 1) }中的所有偶数项 .所以{ (- 1 ) n } 不以任何数 a 为极限, 即{ (- 1 ) n} 为发散数列 .例 7 设lim n →∞x n = lim n →∞y n =a , 作数列{ z n } 如下:证明limn →∞z n = a.{ z n } : x 1 , y 1 , x 2 ,y 2 , , x n ,y n , .证因 lim n →∞x n = lim n →∞y n = a , 故对任给的 ε>0 , 数列{x n } 和{ y n } 中落在U( a;ε) 之外的项都至多只有有限个 .所以数列{ z n } 中落在 U ( a;ε) 之外的项2 §1 数列极限概念 27也至多只有有限个.故由定义1′,证得lim n →∞z n = a .例8设{a n }为给定的数列,{b n }为对{a n }增加、减少或改变有限项之后得到的数列.证明:数列{b n }与{a n }同时为收敛或发散,且在收敛时两者的极限相等.证设{ a n } 为收敛数列, 且lim n →∞a n = a .按定义1′,对任给的ε>0,数列{a n }中落在 U( a;ε) 之外的项至多只有有限个 .而数列{ b n } 是对{ a n } 增加、减少或改变有限项之后得到的, 故从某一项开始, { b n } 中的每一项都是{ a n } 中确定的一项, 所以{ b n } 中落在 U( a;ε) 之外的项也至多只有有限个 .这就证得lim n →∞b n = a .现设{a n }发散.倘若{b n }收敛,则因{a n }可看成是对{b n }增加、减少或改变有限项之后得到的数列,故由刚才所证,{a n }收敛,矛盾.所以当{a n }发散时 { b n } 也发散.在所有收敛数列中, 有一类重要的数列, 称为无穷小数列, 其定义如下: 定义 2 若lim n →∞a n = 0 , 则称{ a n } 为无穷小数列 .前面例1、2、4 中的数列都是无穷小数列 .由无穷小数列的定义, 读者不难证明如下命题:定理2.1 数列{ a n } 收敛于 a 的充要条件是: { a n - a} 为无穷小数列 .习题1. 设 a n =1 + ( - 1)nn, n = 1 ,2, , a = 0.( 1) 对下列 ε分别求出极限定义中相应的N :ε1 = 0 .1,ε2 = 0.01, ε3 = 0.001;( 2) 对ε1 ,ε2 ,ε3 可找到相应的 N , 这是否证明了 a n 趋于 0 ? 应该怎样做才对; ( 3)对给定的 ε是否只能找到一个N ?2. 按ε- N 定义证明:( 1) lim n = 1 ; ( 2) lim 3 n + n = 3;n →∞n +1 n → ∞ 2 n 2 -1 2( 3) lim n ! =0; (4)limsin π=0;n → ∞n nn →∞ n ( 5) lim nn →∞a n= 0 ( a > 1) .3. 根据例 2 , 例 4 和例 5 的结果求出下列极限, 并指出哪些是无穷小数列:( 1) lim 1 ; (2 ) lim n 3 ; (3 ) lim 1;n →∞ n n →∞ n → ∞ n 3 ( 4) lim 1 ; ( 5) lim 1; ( 6) lim n 10 ;n →∞3n n →∞ 2nn → ∞n n28第二章数列极限( 7) lim 1.n → ∞24. 证明: 若 lim a n = a , 则对任一正整数 k , 有 lim a n + k = a .n →∞5.试用定义1′证明:n →∞( 1)数列{ 1} 不以1 为极限; ( 2) 数列{ n ( - 1 ) n } 发散 . n6. 证明定理 2.1 , 并应用它证明数列 1 + ( - 1 ) n的极限是 1 .7. 证明: 若 lim a n = a , 则 lim | a n | = | a | .当且仅当 a 为何值时反之也成立 ?n →∞n →∞8. 按ε- N 定义证明: ( 1) lim (n +1-n ) = 0 ; (2) lim1 +2 +3++ n=0;n → ∞ ( 3) lim a n = 1 ,其中 n → ∞n →∞ n 3n - 1a n =n , n 为偶数, n 2+ nn, n 为奇数.§2 收敛数列的性质收敛数列有如下一些重要性质:定理2.2 ( 唯一性) 若数列{ a n } 收敛, 则它只有一个极限 .证设 a 是{ a n } 的一个极限 .我们证明: 对任何数 b ≠a , b 不是{ a n } 的极1限.事实上,若取ε0 = 2|b - a |,则按定义1′,在U(a;ε0)之外至多只有{a n }中有限个项,从而在U(b;ε0 )内至多只有{a n }中有限个项,所以b 不是{a n }的极限 .这就证明了收敛数列只能有一个极限.一个收敛数列一般含有无穷多个数,而它的极限只是一个数.我们单凭这一个数就能精确地估计出几乎全体项的大小 .以下收敛数列的一些性质, 大都基于这一事实.定理2.3 ( 有界性) 若数列{ a n } 收敛, 则{ a n } 为有界数列, 即存在正数 M , 使得对一切正整数 n 有证设lim n →∞a n ≤ M .a n = a .取 ε= 1 , 存在正数 N , 对一切 n >N 有a n - a <1 即 a - 1 <a n < a + 1.记M = max {a 1 , a 2 ,, a N , a - 1, a+1},§2 收敛数列的性质 29则对一切正整数 n 都有 | a n | ≤ M .注有界性只是数列收敛的必要条件, 而非充分条件 .例如数列{ ( - 1) n} 有界, 但它并不收敛( 见§1 例6).定理2 .4 ( 保号性) 若lim n →∞a n = a >0(或<0),则对任何a ′∈(0, a)(或a ′∈(a,0)),存在正数N,使得当n >N 时有a n >a ′(或a n <a ′) .证设a >0 .取ε= a - a ′(>0),则存在正数N,使得当n >N 时有a n >a-ε= a ′,这就证得结果.对于a <0的情形,也可类似地证明.注在应用保号性时 , 经常取 a ′= a.2定理2.5 ( 保不等式性) 设{ a n } 与{ b n } 均为收敛数列 .若存在正数 N 0 , 使得当 N >N 0 时有 a n ≤b n , 则lim n → ∞a n ≤lim n →∞b n .证设 lim n →∞a n = a , limb n = b .任给 ε>0 , 分别存在正数 N 1 与 N 2 , 使得当nn →∞>N 1 时有当 n >N 2 时有a - ε <a n ,(1)b n < b +ε.(2)取 N = max { N 0 ,N 1 ,N 2 } , 则当 n >N 时, 按假设及不等式( 1) 和(2 ) 有a - ε < a n ≤b n < b + ε,由此得到 a <b + 2ε.由ε的任意性推得a ≤b( 参见第一章§1 例2) , 即lim n →∞a n ≤lim n →∞b n .请读者自行思考: 如果把定理2.5 中的条件 a n ≤b n 换成严格不等式 a n <b n , 那么能否把结论换成lim n →∞a n < limb n ?n →∞例 1 设 a n ≥0( n = 1 ,2,).证明:若lim n →∞a n = a , 则limn →∞证由定理 2.5 可得 a ≥0 .a n = a. (3)若 a = 0 , 则由lim n →∞a n = 0 , 任给ε> 0 , 存在正数 N , 使得当 n >N 时有 a n <ε2,从而a n <ε即| a n - 0|<ε,故有limn →∞a n = 0 .若 a > 0 ,则有a n -a =a n -a ≤a n + a.a 任给ε>0 , 由lim n →∞a n = a , 存在正数 N , 使得当 n >N 时有a n - a < a ε,30 第二章数列极限从而| a n - a|<ε.(3)式得证.定理2 .6 ( 迫敛性) 设收敛数列{ a n } , { b n } 都以 a 为极限, 数列{ c n } 满足: 存在正数N0 , 当n >N0 时有则数列{ c n } 收敛, 且lim c n = a .n →∞a n ≤ c n ≤b n, (4)证任给ε>0 , 由limn →∞an= limn →∞bn= a , 分别存在正数N1 与N2 , 使得当n >N1 时有当n >N 2 时有a - ε<a n, (5)b n < a +ε. (6) 取N = max{ N0 ,N1 ,N2 } , 则当n >N 时, 不等式( 4) 、(5) 、(6) 同时成立, 即有a - ε< a n ≤ c n ≤b n < a + ε.从而有| c n - a | <ε, 这就证得所要的结果.定理2.6 不仅给出了判定数列收敛的一种方法, 而且也提供了一个求极限的工具.n例2 求数列{ n} 的极限.n解记a n = n = 1 + h n , 这里h n > 0 ( n >1) ,则有n n( n - 1) 2n = ( 1 + h n) >2h n .由上式得0 <h n < 2n - 1( n > 1) , 从而有1 ≤ a n = 1 + h n ≤1+2n - 1. (7)数列1+ 2 是收敛于1 的, 因对任给的ε> 0 , 取N = 1 +2ε2, 则当n >N时有1+ 2n - 1-1 <ε.于是,不等式(7)的左右两边的极限皆为1,故由迫敛性证得limn →∞nn = 1 .在求数列极限时, 常需要使用极限的四则运算法则.定理2 .7 ( 四则运算法则) 若{ a n } 与{ b n } 为收敛数列, 则{ a n +b n } , { a n - b n } , { a n·b n } 也都是收敛数列, 且有lim ( a n ± b n ) = lim a n ± lim b n ,n →∞n →∞n →∞lim ( a n · b n ) = lim a n · lim b n .n →∞特别当b n 为常数c 时有n →∞n →∞n n n n·b + b n §2 收敛数列的性质 31lim ( a n + c) = lim a n + c, lim ca n = c lim a n .n →∞n →∞a n n →∞n →∞若再假设 b n ≠0 及lim n →∞b n ≠0 , 则na n 也是收敛数列, 且有limn → ∞b n= lim n →∞ a n lim n →∞b n .证由于 a - b = a + ( - 1) b 及 a nb n=a n 1 n, 因此我们只须证明关于和、积与倒数运算的结论即可 .设lim n →∞a n = a , lim n →∞b n = b , 则对任给的 ε> 0 , 分别存在正数 N 1 与 N 2 , 使得a n - a<ε, 当n> N 1,b n - b<ε, 当n>N 2 .取 N = max { N 1 , N 2 } , 则当 n >N 时上述两不等式同时成立 , 从而有1. | ( a n + b n ) - ( a + b) | ≤ | a n - a | + | b n - b | < 2εª lim ( a n + b n ) = a + b .n →∞2. | a n b n - ab | = | ( a n - a) b n + a( b n - b) | ≤ | a n - a | | b n | + | a | | b n - b | .( 8)由收敛数列的有界性定理, 存在正数 M , 对一切 n 有| b n | <M .于是, 当 n >N 时由(8 ) 式可得a nb n - ab < (M+a )ε.由ε的任意性, 这就证得lim n →∞a nb n =ab .3. 由于lim n →∞b n =b ≠0 , 根据收敛数列的保号性, 存在正数 N 3 , 使得当 n >N 3 时有 | b n | >12|b |.取N ′=max { N 2 , N 3},则当n >N ′时有1 - 1 n= b n b < b b 2 < 2ε b2 .由ε的任意性, 这就证得lim 1 = 1.例 3 求 n → ∞b nm b m - 1lim n →∞ a m n b k n + a m - 1 nk - 1 k - 1 + + a 1 n + a 0 , + + b 1 n + b 0其中 m ≤ k , a m ≠0, b k ≠0.解以 n - k同乘分子分母后 ,所求极限式化为a m n m - k + a m - 1 n m - 1 - k ++ a 1 n 1 - k + a 0 n- klimn →∞b k + b k - 1 n- α+ + b 1 n 1 - k+ b 0 n- k.由§1 例2 知, 当α> 0 时有lim nn → ∞= 0.于是, 当 m =k 时, 上式除了分子分母b k- 1m - kn 1 32第二章数列极限的第一项分别为 a m 与 b k 外, 其余各项的极限皆为 0 , 故此时所求的极限等于 a m b m;当 m <k 时 ,由于 n →0(n →∞),故此时所求的极限等于0.综上所述,得到m m -1a m a m n+ a m -1 n + + a 1 n + a 0 , k= m, limn →∞b k n + b k - 1 nnk - 1++ b 1 n + b n=b m 0,k> m.例 4 求lima, 其中 a ≠ -1. n → ∞ a n+ 1解若 a = 1 , 则显然有lim a = 1;若| a |< 1 , 则由lim n →∞n → ∞ a n+1 2a n = 0 得n若| a | > 1 , 则lim n →∞ a a n + 1n = lim n →∞ n na (lim a+ 1 ) = 0;n →∞lima= lim 1= 1 = 1 .n → ∞ a n + 1 n →∞ 1 + a 1 +0 例 5 求lim n →∞n(n +1- n ).解 n( n +1-n)=n =1,由 1 + 1→1 ( n →∞ ) 及例1 得nn +1+n 1 + 1 + 1nlim n → ∞n( n +1 -n ) = lim n →∞11n+ 1 1 2. 最后, 我们给出数列的子列概念和关于子列的一个重要定理. 定义1 设{a n }为数列,{n k }为正整数集N + 的无限子集,且n 1 <n 2 <<n k <,则数列a n ,a n 12,, a n ,k称为数列{ a n } 的一个子列, 简记为{ a n k } .注1 由定义1可见, { a n } 的子列{ a n k } 的各项都选自{ a n } , 且保持这些项在 { a n } 中的先后次序 .{ a n k } 中的第 k 项是{ a n } 中的第 n k 项, 故总有 n k ≥k .实际上{ n k } 本身也是正整数列{ n}的子列 .例如, 子列{ a 2 k } 由数列{ a n } 的所有偶数项所组成, 而子列{ a 2 k - 1 } 则由{ a n }n 1 +k=π n → ∞ 4 n 3 + 2 n + 3 , ( 2)lim n →∞ §2 收敛数列的性质 33的所有奇数项所组成 .又{ a n } 本身也是{ a n } 的一个子列, 此时 n k =k ,k = 1 , 2 , .注2 数列{ a n } 本身以及{ a n } 去掉有限项后得到的子列, 称为{ a n } 的平凡子列; 不是平凡子列的子列, 称为{ a n } 的非平凡子列 .例如{ a 2 k } 和{ a 2 k - 1 } 都是{a n }的非平凡子列.由上节例8可知:数列{a n }与它的任一平凡子列同为收敛或发散,且在收敛时有相同的极限.定理2.8 数列{ a n } 收敛的充要条件是: { a n } 的任何非平凡子列都收敛 . 证必要性设 lim n →∞a n = a , { a n k} 是{ a n } 的任一子列 .任给ε>0 , 存在正数N , 使得当 k >N 时有| a k - a | <ε.由于 n k ≥ k, 故当 k >N 时更有 n k >N , 从而也有|a n - a |<ε,这就证明了{a n }收敛(且与{a n }有相同的极限).kk充分性考虑{ a n } 的非平凡子列{ a 2 k } , { a 2 k - 1 } 与{ a 3 k }.按假设, 它们都收敛 .由于{ a 6 k } 既是{ a 2 k } , 又是{ a 3 k } 的子列, 故由刚才证明的必要性,lim a 2 k = lim a 6 k = lim a 3k .(9) k → ∞k → ∞k → ∞又{ a 6 k - 3 } 既是{ a 2 k - 1 } 又是{ a 3 k } 的子列, 同样可得(9)式与(10)式给出lim k →∞a 2 k - 1 = lim k → ∞a 3k .(10)lim k → ∞a 2 k = lim k → ∞a 2 k - 1 .所以由上节例7 可知{ a n } 收敛 .由定理2.8的证明可见,若数列{a n }的任何非平凡子列都收敛,则所有这些子列与{ a n }必收敛于同一个极限.于是,若数列{a n }有一个子列发散,或有两个子列收敛而极限不相等,则数列{a n }一定发散.例如数列{(-1)n },其偶数项组成的子列{( -1)2n}收敛于1,而奇数项组成的子列{(-1)2k - 1}收敛于-1,从而{(-1)n}发散.再如数列sin n π 2 ,它的奇数项组成的子列 sin 2 k -1 即为2{ ( - 1) k - 1} , 由于这个子列发散 , 故数列 sin n π 2发散 .由此可见, 定理2.8 是判断数列发散的有力工具 .习题1. 求下列极限:32(1) lim n + 3 n +1n →∞ 1 + 2 nn 2 ; nn (3) lim (-2) +3 2n → ∞ ( - 2 ) n + 1 + 3 n +1 ; ( 4)lim ( n + n - n) ;n (5) lim ( 1+ n → ∞n2+ + n 10) ;a 2 mb 1 34第二章数列极限111(6) lim 2 +22++ 2n. n →∞1 11 3 +32 + + 3n2. 设 lim a n = a , lim b n = b , 且 a <b .证明 :存在正数 N , 使得当 n >N 时有 a n <b n .n →∞n →∞3. 设{ a n } 为无穷小数列, { b n } 为有界数列, 证明: { a n b n }为无穷小数列 .4. 求下列极限:(1) lim 1 + 1 ++1 ;n →∞ 1·2 42·3 8n n( n + 1 )(2) lim ( 2 n → ∞2 222 ) ;(3) lim 1 + 3 + +2 n - 1 n →∞ 2 22 n2n; (4) lim n → ∞(5) lim 1 - 1;n1 + 1 + + 1 ; n →∞ n2( n + 1) 2 ( 2 n) 2 (6) lim n → ∞ 1 n 2 + 1 + 1 n 2 + 2 + + 1 .n 2+ n 5.设{ a n }与{ b n } 中一个是收敛数列, 另一个是发散数列 .证明{ a n ± b n } 是发散数列 .又a n问{ a n b n }和 ( b n ≠0 )是否必为发散数列?n6. 证明以下数列发散:(1) ( - 1 ) n nn + 1 ; ( 2) { n ( - 1 ) } ; (3)cos n π . 47.判断以下结论是否成立(若成立,说明理由;若不成立,举出反例) : (1)若{a 2k - 1}和{a 2k }都收敛,则{a n }收敛;(2) 若{ a 3 k - 2 } , { a 3 k - 1 } 和{ a 3 k } 都收敛, 且有相同极限, 则{ a n } 收敛 . 8. 求下列极限: (1) lim 1 32 n - 1n → ∞ 2 4n 2n ;∑ p !(2) lim p =1;n →∞ n!(3) lim [ ( n + 1)α - n α ] , 0 <α< 1;n → ∞(4) lim (1+α)(1+α2)(1+α2n → ∞n ) , |α| < 1.9. 设 a 1 ,a 2 , ,a m 为m 个正数,证明: nlimnn → ∞10. 设 lim a n = a .证明:n →∞+ a n+ + a n= max {a 1 , a 2 ,, a m }.(1) lim n → ∞[ na n ]n= a;n(2) 若 a > 0 , a n > 0 , 则 lim n → ∞a n = 1 .nα α α §3 数列极限存在的条件 35§3 数列极限存在的条件在研究比较复杂的数列极限问题时,通常先考察该数列是否有极限(极限的存在性问题);若有极限,再考虑如何计算此极限(极限值的计算问题).这是极限理论的两个基本问题.在实际应用中,解决了数列{a n }极限的存在性问题之后, 即使极限值的计算较为困难,但由于当n 充分大时,a n 能充分接近其极限a,故可用 a n 作为 a 的近似值 .本节将重点讨论极限的存在性问题.为了确定某个数列是否存在极限, 当然不可能将每个实数依定义一一验证, 根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断 .首先讨论单调数列, 其定义与单调函数相仿 .若数列{ a n } 的各项满足关系式a n ≤ a n+1( a n ≥ a n + 1 ),1则称{a n }为递增(递减)数列.递增数列和递减数列统称为单调数列.如n 为n递减数列, n n + 1 与{n 2}为递增数列,而 ( -1)n则不是单调数列 .定理2.9 ( 单调有界定理) 在实数系中, 有界的单调数列必有极限 .证不妨设{a n }为有上界的递增数列.由确界原理,数列{a n }有上确界,记 a =sup {a n }.下面证明a 就是{a n }的极限.事实上,任给ε>0,按上确界的定义,存在数列{a n }中某一项a N ,使得a -ε<a N .又由{a n }的递增性,当n ≥N 时有a - ε < a N ≤ a n .另一方面, 由于 a 是{ a n } 的一个上界, 故对一切 a n 都有 a n ≤a <a + ε.所以当 n ≥N 时有这就证得lim n →∞下确界 .例 1 设a - ε < a n < a + ε,a n = a .同理可证有下界的递减数列必有极限, 且其极限即为它的 a n = 1 + 12 + 1 3++ 1, n = 1 ,2, ,n其中实数α≥2 .证明数列{ a n } 收敛 .证显然{ a n } 是递增的, 下证{ a n } 有上界 .事实上,a n ≤ 1 + 1 + 1 + + 1 ≤ 1 + 1+ 1+ +122 32 n 21·2 2·3 ( n - 1) n36第二章数列极限=1+1 - 12+ 1 2 - 13 ++1 n - 1 - 1 n= 2 - 1 n<2 , n = 1 , 2,.于是由单调有界定理, { a n } 收敛 .例 2 证明数列收敛,并求其极限.2, 2+ 2, , 2+ 2++ 2,n 个根号证记a n = 2+ 2+ + 2,易见数列{a n }是递增的.现用数学归纳法来证明{a n }有上界.显然 a 1 = 2 < 2 .假设 a n < 2 , 则有 a n +1 = 2 + a n <2 + 2 = 2 , 从而对一切n 有a n <2,即{a n }有上界.由单调有界定理, 数列{ a n } 有极限, 记为 a .由于2a n + 1 = 2 + a n ,对上式两边取极限得 a 2= 2 + a ,即有( a + 1) ( a - 2) = 0 , 解得 a = - 1 或 a = 2 . 由数列极限的保不等式性 , a = - 1 是不可能的, 故有limn →∞2+ 2+ + 2 = 2 .例3 设S 为有界数集.证明:若sup S = a ú S,则存在严格递增数列{x n }ÌS , 使得lim n →∞x n = a .证因 a 是 S 的上确界 , 故对任给的 ε>0 , 存在 x ∈ S , 使得 x >a - ε .又因a ú S , 故 x <a ,从而有a -ε<x < a.现取ε1 =1,则存在x 1∈S,使得a - ε1 <x 1 <a . 再取ε2 =min 1 2, a - x 1> 0 , 则存在 x 2 ∈S , 使得a - ε2 <x 2 <a,且有x 2 >a -ε2 ≥a - (a - x 1 )= x 1 .一般地,按上述步骤得到x n - 1 ∈S 之后,取εn =min x n ∈S , 使得1 n, a - x n -1 ,则存在a - εn <x n <a,n§3 数列极限存在的条件 37且有x n >a -εn ≥a - (a - x n - 1 )= x n - 1 .上述过程无限地进行下去, 得到数列{ x n } Ì S , 它是严格递增数列, 且满足a - εn < x n <a <a+εn ª x n - a <εn ≤ 1n, n = 1 , 2, .这就证明了lim n →∞x n = a .n例 4 证明lim n →∞ 1 + 1 n存在 .证① 先建立一个不等式 .设 b >a > 0 , 对任一正整数 n 有bn +1- an + 1< ( n + 1) b n( b-a),整理后得不等式 an + 1>b n[ ( n + 1 )a -nb].(1)以 a = 1+1, b = 1 + 1代入(1 ) 式 .由于 n +1 n( n + 1 )a - nb = ( n +1) 1+ 1n +1故有- n 1 + 1n= 1 ,这就证明了 1 + 1 n1+ 1 n为递增数列 .n +1> 1+1.n再以 a = 1 , b = 1 + 1代入(1 ) 式, 得2 n( n + 1 )a - nb = ( n + 1) - n 1 + 12 n 故有12, 1>1 + 11 ª 1 + 12 n<4 .2n2 2nn上式对一切正整数 n 都成立 , 即对一切偶数 n 有 1 +1n n< 4 .联系到该数列的n 单调性,可知对一切正整数n 都有 1 + 1 n < 4 ,即数列 1 + 1n 有上界 .于是由单调有界定理推知数列 1 + 1 nn是收敛的 .通常用拉丁字母e 代表该数列的极限, 即nlimn →∞1 + 1 n= e ,它是一个无理数( 待证) , 其前十三位数字是e ≈ 2 .718 281 828 459 .①这里的证法引自Amer.Math.Monthly,1974,Vol.81,No.9,1011～1012.= n38第二章数列极限以e 为底的对数称为自然对数, 通常记ln x = log e x .单调有界定理只是数列收敛的充分条件 .下面给出在实数系中数列收敛的充分必要条件 .定理2.10 ( 柯西( Cauchy) 收敛准则)数列{ a n } 收敛的充要条件是: 对任给的 ε>0 , 存在正整数 N, 使得当 n , m >N 时有a n - a m<ε.这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题, 它的证明将在第七章给出 .柯西收敛准则的条件称为柯西条件,它反映这样的事实:收敛数列各项的值愈到后面,彼此愈是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或者形象地说,收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起.另外,柯西收敛准则把ε-N 定义中a n 与a 的关系换成了a n 与a m 的关系,其好处在于无需借助数列以外的数a,只要根据数列本身的特征就可以鉴别其(收) 敛(发)散性. 例5 证明:任一无限十进小数α=0.b 1 b 2b n的n 位不足近似(n =1, 2, )所组成的数列b 1 b 1 b 2 b 1 b 2b n10 , 10 +102, , 10 + 102 ++ 10n , (2) 满足柯西条件(从而必收敛),其中 b k 为0,1,2,, 9 中的一个数, k = 1 , 2,.b 1 b 2 b n证记 a n = 10 + 102 + + 10n .不妨设 n >m ,则有 a n - a m= b m + 1 10m + 1b m + 2 + 10 m +2 + + b n 10 n 9 10m +11+ 1 10+ + 110 n - m - 1 1 10m1 - 1 10 n- m < 1 1 10m < m .对任给的 ε> 0 , 取 N = 1, 则对一切 n >m >N 有εa n - a m <ε. 这就证明了数列(2 ) 满足柯西条件 .习题1. 利用limn → ∞1 + 1 nn= e 求下列极限:≤ =§3 数列极限存在的条件39(1) limn → ∞1 - 1nn; (2 )lim n →∞n1 + 1 nn + 1;n(3) lim n → ∞(5) lim n → ∞ 1 + 1 n + 1 1 n2. ; (4 )lim n →∞ 1+ 1;2 n2. 试问下面的解题方法是否正确:求lim 2 n.n → ∞解设 a n = 2 及lim n →∞a n = a .由于 a n = 2 a n - 1 , 两边取极限 ( n →∞) 得 a = 2 a , 所以 a = 0 .3. 证明下列数列极限存在并求其值:(1) 设 a 1 = 2 , a n +1 = 2 a n , n = 1 ,2, ;(2) 设a 1 =c ( c >0) , a n +1 = c + a n , n = 1 ,2,;cn(3) a n =n ! ( c >0) , n = 1 ,2, .nn4.利用 1 + 1 n 为递增数列的结论,证明 1 + 1n + 1为递增数列 .5. 应用柯西收敛准则, 证明以下数列{ a n } 收敛:(1) a n =sin12+ sin2 22 + + sin n 2 n ;(2) a n = 1 + 1 + 1+ + 1 .22 32 n 26. 证明: 若单调数列{ a n }含有一个收敛子列, 则{ a n } 收敛 .a n7. 证明: 若 a n > 0 , 且lim n →∞ a n + 1= l > 1 , 则 lim a n = 0 .n →∞ 8. 证明: 若{ a n } 为递增(递减)有界数列, 则lim a n = sup { a n } ( inf { a n } ).n → ∞又问逆命题成立否?9. 利用不等式 n + 1b n+ 1 - a n+ 1 > ( n + 1 ) a n ( b - a) , b > a >0 n证明:1 + 1n为递减数列,并由此推出 1 + 1nn为有界数列 .10.证明:e- 1 + 1n<3 nn + 1n +1n提示:利用上题可知e<1+1 ;又易证 1+1<3 + 1+ 1 . nnn n a 1 + b 111. 给定两正数 a 1 与 b 1 ( a 1 >b 1 ) , 作出其等差中项 a 2 = a 1 b 1 , 一般地令2与等比中项b 2 =a n+ 1 =a n +b n2, b n+1 = a n b n , n = 1 ,2, .证明: lim a n 与 lim b n 皆存在且相等 .n →∞n →∞n1 + nα nn n40第二章数列极限12. 设{ a n } 为有界数列, 记珔a n = s up {a n ,a n +1 ,}, a n = inf {a n ,a n +1 ,} .证明: (1) 对任何正整数n,珔a n ≥a n ;(2){珔a n }为递减有界数列,{a n }为递增有界数列,且对任何正整数 n, m 有珔a n ≥a m ; (3) 设珔a 和a 分别是{珔a n }和{a n }的极限,则珔a ≥a; (4) {a n }收敛的充要条件是珔a = a.总练习题1. 求下列数列的极限:nn 5(1) limn → ∞n 3+ 3 n; (2) lim ; n →∞ e n(3) lim ( n + 2 -2 n +1+ n). n → ∞2. 证明:(1) lim n 2 q n = 0 ( | q | < 1) ; (2 ) lim lg n= 0 (α≥1) ;n →∞ n →∞n(3) lim 1= 0. n →∞ n!3. 设 lim a n = a , 证明:n →∞(1) limn → ∞a 1 +a 2 ++a nn = a ( 又问由此等式能否反过来推出 lim a n = a) ;n →∞n(2) 若 a n > 0 ( n = 1 ,2, ) , 则limn →∞4. 应用上题的结论证明下列各题:1 + 1 +1++ 1a 1 a 2 a n = a.(1) lim2 3 n= 0 ; (2 ) lim a = 1 ( a > 0 ) ;n →∞nnn → ∞1(3) limn → ∞n =1; (4 )lim n →∞ n = 0; n !(5) limn=e ;(6 ) lim1 +2 + 3++ n=1;n → ∞(7) 若lim n → ∞ n! b n +1 b n= a ( b n > 0 ) , 则lim n →∞a nn →∞ nb n = a;(8) 若 lim ( a n - a n - 1 ) = d ,则lim = d.n → ∞ n →∞ n5. 证明: 若{ a n } 为递增数列, { b n }为递减数列, 且lim ( a n - b n ) = 0 ,n → ∞则 lim a n 与 lim b n 都存在且相等.n →∞n →∞6. 设数列{ a n }满足: 存在正数 M , 对一切 n 有A n =a 2 - a 1+a 3 - a 2++a n - a n-1≤ M .证明:数列{ a n } 与{ A n }都收敛 .nn总练习题417. 设 a > 0 , σ>0 , a 1 =12 a +σa, a n + 1=1 σ2a n +a, n = 1 ,2,.证明:数列{ a n } 收敛, 且其极限为 σ.8. 设 a 1 >b 1 > 0 , 记a n - 1 +b n-1 2 a n - 1 b n -1a n = 2, b n = a n - 1 + b n -1, n = 2 ,3,.证明:数列{a n }与{ b n }的极限都存在且等于 a 1 b 1 .9. 按柯西收敛准则叙述数列{ a n } 发散的充要条件, 并用它证明下列数列{ a n } 是发散的:(1) a n = ( - 1) nn ; (2 ) a n = sin 10.设 lim a n = a , lim b n = b.记n π 1 2 ; (3 ) a n = 1 +2 1 + + n. n →∞n →∞S n = max { a n , b n } , T n = min { a n , b n } , n = 1 ,2,.证明: (1 ) lim n →∞S n = max { a , b} ; ( 2) lim n → ∞T n = min { a , b} .提示 : 参考第一章总练习题1 . ●。

数列极限的定义和性质

数列极限的定义和性质数列是指按照一定规律排列的一系列数，而数列极限是数列理论中的重要概念之一。

在本文中，我们将探讨数列极限的定义和性质，并对其应用进行简要介绍。

一、数列极限的定义在数列中，当它的项逐渐趋于某个值时，我们称这个值为该数列的极限。

形式化地说，设有数列{an}，若对于给定的数ϵ（ϵ>0），总存在正整数N，使得当n>N时，数列的每一项an与极限值之差的绝对值|an - A|<ϵ都成立，则称极限A为数列{an}的极限，记为lim(an) = A。

要注意的是，数列的极限并不一定要存在，可能是有限的，也可能是无穷的。

二、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：若数列{an}的极限存在，那么它是唯一的，即一个数列只能有一个极限。

2. 数列收敛的必要条件：若数列{an}收敛，那么它是有界的。

即如果一个数列存在极限，那么它必然是有上下界的。

3. 数列极限的保号性：若数列{an}的极限为A，并且A>0（或A<0），那么当n充分大时，数列的每一项an也大于0（或小于0）。

4. 收敛数列的四则运算性质：设有两个收敛数列{an}和{bn}，它们的极限分别为A和B，则：(1) 数列和的极限：lim(an + bn) = A + B(2) 数列差的极限：lim(an - bn) = A - B(3) 数列积的极限：lim(an * bn) = A * B(4) 数列商的极限（假设B≠0）：lim(an / bn) = A / B5. 数列极限与数列项的关系：若数列{an}的极限为A，则对于任意正整数m，都有：lim(an) = Alim(am) = A三、数列极限的应用1. 数列极限在微积分中的应用：数列极限是极限的概念之一，而极限是微积分中的基本概念。

在微积分中，我们经常使用数列极限来定义导数和积分等重要概念。

2. 数列极限在数学分析中的应用：数列极限是数学分析中的重要内容，它也是许多数学定理的基础。

数分第三章：数列极限

0,
2 an 2 an1
数学分析
所以 {an }递增 . 下面再来证明此数列有上界.
显然 , a1 2 2 , 设 an 2 , 则
an1 2 an 2 2 2.
由此得到 {an }有上界 2 ,
故极限
lim
n
an

A
存在
.
于是由
lim
n
第三单元数列极限 3.1.1 数列收敛的定义
数学分析
数列极限的概念
数列极限是函数极限的特殊情况，也是整个数学分析最重要的基础之一, 而且为今后学习级数理论提供了极为丰富的准备知识.
数学分析
一、数列的定义
若函数 f 的定义域为全体正整数的集合 N+ , 则称 f : N+ R 或 f (n), n N+
n
3n2
n2 n7

1. 3
数学分析
例4 用定义验证 lim n a 1, 其中 a 0. n
证这里只验证 a 1的情形（0 a 1 时自证）.
设
n

1
an
1
.
因为
a
1 n n
1 nn ,
所以
0

n

n
a
1
a1 n
.
故对于任意正数 , 取 N a 1 , 当 n N 时 ,
以说明, 希望大家对 “ - N ”说法能有正确的认识.
例1
用定义验证:
lim
n
1 n

0.
分析
对于任意正数 , 要使
1 n

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