感应电动机

现代运动控制系统作业

郝瑞超

2620170055

第一次作业

1，试简述感应电机的工作原理，公式推导证明旋转磁动势的产生

感应电机工作原理；

答；当电机定子三相绕组通入三相正弦对称电流，电流会产生一幅值恒定的旋转磁场，旋转磁场切割转子导体使转子回路产生感应电流，感应电流在磁场中受到安培力，从而使转子在安培力作用下开始旋转，随后定转子维持一定的转差率，从而使转子因切割磁场产生的感应电流维持，进而使受到的安培力维持一定的电磁转矩，并与负载转矩平衡而使转速得以维持。

旋转磁动势的产生，设定子通入三相电流为

i A=i m cosωt

i A=i m cos(ωt+2π3 )

i A=i m cos(ωt−2π3 )

设定A轴角度为α=0°，则定子产生磁势基波分量为

F A=F m cosωt cosωα

F B=F m cos(ωt+2π

3

)cos(ωα+

2π

3

)

F C=F m cos(ωt−2π

3

)cos(ωα−

2π

3

)

其中F m=I m N S, N S为定子绕组匝数，从而合成磁势的基波分量为；

F=F A+F B+F C=3

2

F m cos(ωt−α)

由上式可知，合成磁势最大值点α=ωt随时间变化，由三角函数的周期性知合成磁势为旋转磁动势，其旋转速度取决于输入三相电流频率。

2，写出感应电机动态数学模型基本型的基本方程，并结合各方程说明模型的特点

当xy轴为静止坐标系，且x轴与A轴重合，即θk=0，常称为αβ坐标系，感应电机基本方程从αβ坐标系中导出。其基本方程为；

u sa R S i sa Pφσa

u sb R S i sb Pφσβ

u ra= R r i ra+ Pφρa

u rb R r i rb Pφρβ

φsa L s 0 L M 0 i sa

φsβ 0 L s 0 L M i sa

φra=L M 0 l r 0 i ra

φsβ 0 L M 0 l r i rb

对该模型而言，其相比三角坐标系下电机数学模型简单的多，阶次降低了，变量减少了，但其多变量，非线性，强耦合的性质没有改变，具体来说，三个基本方程涉及定转子，电压，电流，电阻，磁链矢量，加上电感，共有超过15个变量，可见其有复杂多变量特征，电压方程中存在微分算符说明该模型具有非线性，电压，磁链转矩方程中变量均相互依存，不能独立存在，说明模具具有强耦合性。

3，试论述如何从数学和磁场矢量合成的角度理解感应电机模型简化中坐标变换的合理性和目的

答；从数学角度，通过坐标变换，可以使磁链矩阵变得简单，各变量之间的耦合程度降低，进而使电压，磁链，转矩方程均得到简化；从磁场矢量合成角度，产生旋转磁场不一定需要三相绕组合成，两相绕组也可以，通过坐标变换可进一步揭示磁场产生机理，将交流电机磁链转矩产生用直流电机加以类比，从而更方便得出交流电机的实用控制方案。

4，分别叙述异步电机在两相α→β静止坐标系，两相d-q旋转坐标系和两

相M-T旋转坐标系上的数学模型的特点。

答；题中三个坐标系下数学模型的基本特点是比三相坐标系下变量少，阶次降低，且两个坐标之间不存在磁耦合，磁链方程和转矩方程形式均相同，不同点在于经坐标变换后其揭示的物理量间的关系不同；例如两相（M,T）坐标系下转子T轴磁势为0.

5，在α→β静止坐标系中，定子电流ia，ib是否仍是交流，相位满足什么关系，证明该结论，I（从矢量分解合成的角度或数学变换的角度）

答；仍是交流，且i sα,i sβ相位差仍为90°，证明如下；

设定子输入三相电流为

i A=i m cosωt

i A=i m cos(ωt+2π3 )

i A=i m cos(ωt−2π3 )

则（α，β）坐标系中中电流满足

i sα

i sβC3/2i sA

i sB

i sC

=√3

2

=√

3

2

I m[

cosθs cosωt+sinθs sinωt

−sinθs cosωt+cosθs sinωt]

=√3

2I m[

cos(ωt−θs)

sinωt−θs]

问题6；在（d,q）同步旋转坐标系中，定子电流i d,i p有什么特点？试给出证明（从矢量分解合成的角度或数学变换的角度）

答；在（d,q）同步旋转坐标系中，定子电流i d,i p都是直流，证明如下，由上一题结论可知；

[i sα

i sβ]=√

3

2

I m[cosωt

sinωt

]

故（d,q）坐标系中电流为；

[i sd

i sq]=C2s/sr[

i sα

i sβ]=[

cosθs sinθs

−sinθs cosθs]√

3

2

I m[cosωt

sinωt

]

=√3

2I m[

cosθs cosωt+sinθs sinωt

−sinθs cosωt+cosθs sinωt]=√

3

2

I m[

cos(ωt−θs)

sinωt−θs

]

因θs为同步旋转角度，与ωt存在固定相位差，故定子电流i d,i q为直流，不随时间变化而变换。

问题7；坐标变换的等效原则是什么？功率相等是坐标变换的必要条件吗？是否可以采用匝数相等的变换原则，如可以，变换前后的功率是否相等？

答；等效原则是磁等效和变换前后功率不变。不是，这是为使变换结果符合物理规律而认为加上的条件，在不考虑物理意义时可以采用匝数相等的变换原则，变换前后功率不想等。

问题8；坐标变换（3/2变换和旋转变换）的优点在哪？能否改变或减弱感应电机非线性强耦合和多变量的性质？

答；3/2变换的有点在于消除了数学模型中坐标轴之间的磁耦合，减少了变量，使电感矩阵变得简单，旋转变换使电机模型物理意义更明确，便于用直流电机的控制方法对感应电机进行分析，并不能改变或减弱感应电机本身的非线性，强耦合和多变量的性质。

问题9；三相原始模型是否存在约束条件？为什么说“三相原始数学模型并不是物理对象最简洁的描述，完全可用两相模型代替”？两模型为什么相差90°，相差180°行吗？

答；存在i A+i B+i C=0的约束。由于存在这个约束，三相原始模型中三相绕组的各变量并不是独立的，可以用该约束进行化简，消去一个维度。因此说“三相原始数学模型并不是物理对象最简洁的描述，完全可用两相模型代替”。两相模