图论 课件
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图论1—图论基础PPT课件
的度减去最小点的度，将最小点
的度设为0。
如果最后得到全0序列，则输出
yes，否则输出no
42 2
31
22 0
20
00 0
例题：给出一个非负整数组 成的有限序列s，s是否是某 个简单图的度序列？
332211 Yes
3331 No
首先利用图论第一定理。
然后把所有顶点排序，将最大点
的值设为0，然后将其后部最大点
在图G中，与顶点v相关联的边的总数 称为是v的度，记为deg v
图论第一定理
deg v 2m
vV (G)
证明：在计算G中所有顶点度的和时，每一条 边e被计数了两次。
例题：给出一个非负整数组 成的有限序列s，s是否是某 个图（无自环）的度序列？
242 Yes
31 No
首先利用图论第一定理。
然后把所有顶点排序，用最大点
图, 记 为G = (V, E ), 其中
① V称为G的顶点集, V≠, 其元素称为顶点或
结点, 简称点; ② E称为G的边集, 其元素称为边, 它联结V 中
的两个点, 如果这两个点是无序的, 则称该边为无 向边, 否则, 称为有向边.
如果V = {v1, v2, … , vn}是有限非空点集, 则称G 为有限图或n阶图.
如果某个有限图不满足(2)(3)(4),可在某条 边上增设顶点使之满足.
定义2 若将图G的每一条边e都对应一个实数F (e), 则称F (e)为该边的权, 并称图G为赋权图(网络), 记为G = (V, E , F ).
定义3 设G = (V, E)是一个图, v0, v1, …, vk∈V, 且1≤i≤k, vi-1vi∈E, 则称v0 v1 … vk是G的一条通路. 如果通路中没有相同的边, 则称此通路为道路. 始 点和终点相同的道路称为圈或回路. 如果通路中 既没有相同的边, 又没有相同的顶点, 则称此通路 为路径, 简称路.
图论4-6-平面图ppt课件
•图论4-6-平面图
证明 假设K3,3图是平面图。
在K3,3中任取三个结点，其中必有两个结点不 邻接，故每个面的次数都不小于4， 由4r≤2e，r≤e/2，即 v-e+e/2≥v-e+r=2， v-e/2≥2， 2v- e ≥ 4， 2v4≥e。
在K3,3中有6个结点9条边， 2v-4=2×6-4=8<9,与 2v-4≥e 矛盾， 故 K3,3不是平面图。
整理后得: e≤3v – 6
本定理的用途:判定某图是非平面图。
说明：这是简单 图是平面图的必 要条件。 •图论4-6-平面图
例如：K5中e=10，v=5，3v-6=9，从而e>3v-6， 所以K5不是平面图。
定理4.6.3的条件不是充分的。如K3,3图满 足定理4-6.3的条件（v=6，e=9，3v-6=12， e≤3v-6成立），但K3,3不是平面图。 证明K3,3图不是平面图。
例如图
deg(r1)=3 deg(r2)=3 deg(r3)=5 deg(r4)=4 deg(r5)=3
deg(r1)+deg(r2)+deg(r3)+deg(r4)+deg(r5)
=18
•图论4-6-平面图
3.定理4-6.1 设G为一有限平面图，面的次数之 和等于其边数的两倍。 证明思路：任一条边或者是两个面的共同边界 （贡献2次），或者是一个面的重复边（贡献2次）
•图论4-6-平面图
一、平面图 1、定义4-6.1 如果无向图G=<V,E>的所有结点和边 可以在一个平面上图示出来，而使各边仅在顶点处 相交。无向图G称为平面图，否则称G为非平面图。
有些图形从表面看有几条边是相交的，但是不 能就此肯定它不是平面图，例如，下面左图表面看 有几条边相交，但如把它画成右图，则可看出它是 一个平面图。
证明 假设K3,3图是平面图。
在K3,3中任取三个结点，其中必有两个结点不 邻接，故每个面的次数都不小于4， 由4r≤2e，r≤e/2，即 v-e+e/2≥v-e+r=2， v-e/2≥2， 2v- e ≥ 4， 2v4≥e。
在K3,3中有6个结点9条边， 2v-4=2×6-4=8<9,与 2v-4≥e 矛盾， 故 K3,3不是平面图。
整理后得: e≤3v – 6
本定理的用途:判定某图是非平面图。
说明：这是简单 图是平面图的必 要条件。 •图论4-6-平面图
例如：K5中e=10，v=5，3v-6=9，从而e>3v-6， 所以K5不是平面图。
定理4.6.3的条件不是充分的。如K3,3图满 足定理4-6.3的条件（v=6，e=9，3v-6=12， e≤3v-6成立），但K3,3不是平面图。 证明K3,3图不是平面图。
例如图
deg(r1)=3 deg(r2)=3 deg(r3)=5 deg(r4)=4 deg(r5)=3
deg(r1)+deg(r2)+deg(r3)+deg(r4)+deg(r5)
=18
•图论4-6-平面图
3.定理4-6.1 设G为一有限平面图，面的次数之 和等于其边数的两倍。 证明思路：任一条边或者是两个面的共同边界 （贡献2次），或者是一个面的重复边（贡献2次）
•图论4-6-平面图
一、平面图 1、定义4-6.1 如果无向图G=<V,E>的所有结点和边 可以在一个平面上图示出来，而使各边仅在顶点处 相交。无向图G称为平面图，否则称G为非平面图。
有些图形从表面看有几条边是相交的，但是不 能就此肯定它不是平面图，例如，下面左图表面看 有几条边相交，但如把它画成右图，则可看出它是 一个平面图。
第1章图论1(103)PPT课件
且V(H) = V(G)，则称H是G的生成子图。
例5
v1
v4
v1
v5
v2
v3
v2
v4
v1
v4
v5
v3
v2
v3
G
H1
H2
上图中，H1与H2均为G 的子图，其中H2 是G的生成子 图，而H1则不是。
四．顶点的度
定义3 设 v为 G 的顶点，G 中与 v 为端点的边的条 数（环计算两次）称为点 v 的度数，简称为点v的 度，记为 dG (v)，简记为 d(v)。
终止后，u0 到 v 的距离由 l(v) 的终值给出。
说明：
（1） 算法中w(uiv) 表示边 uiv 的权；
（2） 若只想确定u0到某顶点v0的距 离， 则当某 uj 等于 v0 时则停；
（3） 算法稍加改进可同时得出u0
到其它点的最短路。
例3 求图 G 中 u0 到其它点的距离。
u0 2
5
G:
相应的最短路为
3
1
6
Γ：v2v1v3v4
v3
3
G
v4
易知，各边的权均为1的权图中的路长与非权图中的路长 是一致的。
问题：给定简单权图G = (V, E)，并设G 有n个顶点，求G 中点u0到其它各点的距离。
Dijkstra算法 (1) 置 l(u0) = 0；对所有v∈V \{u0}，令 l(v) = ∞；
称从 u 到 v 的距离为无穷。
u
例如对图：
w
d (u, v ) = 2
x
其最短路为 uxv
d(u, w) = ∞
v
容易证明对 ，距离具有性质：
（1）d(u, v)≥0；
离散数学——图论PPT课件
第19页/共93页
• 完全图：一个（n,m）图G，其n个结点中每个结点均与其它n-1个结点相邻接，记为Kn。 • 无向完全图：m=n(n-1)/2 • 有向完全图：m=n(n-1) • 举例说明以上几种图。
第20页/共93页
定义补图
• 设图G=<V,E> ， G’=<V,E’> ，若G’’=<V,E∪E’> 是完全图，且E∩E’= 空集，则称G’是G的补图。 • 事实上，G与G’互为补图。
正则图
• 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 • 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连的四边形。 • 试画出两个2次正则图。
第27页/共93页
两图同构需满足的条件
• 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
• 例子
第28页/共93页
• 图是人们日常生活中常见的一种信息载体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾 名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，但这里的图不是平面坐标系中的函数， 而是由一些点和连接这些点的线组成的结构 。
第8页/共93页
• 在图形中，只关心点与点之间是否有连线，而不关心点具体代表哪些对象，也不关 心连线的长短曲直，这就是图的概念。
定义图的子图
• 子图：设G=<V,E> ， G’=<V’,E’> ，若V’是V的子集， E’是E的子集，则 G’是G的子图。 • 真子图：若V’是V的子集，E’是E的真子集。 • 生成子图：V’=V，E’是E的子集。 • 举例说明一个图的子图。
第18页/共93页
定义（n,m）图
• (n,m)图：由n个结点，m条边组成的图。 • 零图：m=0。即（n,0）图，有n个孤立点。 • 平凡图：n=1,m=0。即只有一个孤立点。
• 完全图：一个（n,m）图G，其n个结点中每个结点均与其它n-1个结点相邻接，记为Kn。 • 无向完全图：m=n(n-1)/2 • 有向完全图：m=n(n-1) • 举例说明以上几种图。
第20页/共93页
定义补图
• 设图G=<V,E> ， G’=<V,E’> ，若G’’=<V,E∪E’> 是完全图，且E∩E’= 空集，则称G’是G的补图。 • 事实上，G与G’互为补图。
正则图
• 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 • 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连的四边形。 • 试画出两个2次正则图。
第27页/共93页
两图同构需满足的条件
• 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
• 例子
第28页/共93页
• 图是人们日常生活中常见的一种信息载体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾 名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，但这里的图不是平面坐标系中的函数， 而是由一些点和连接这些点的线组成的结构 。
第8页/共93页
• 在图形中，只关心点与点之间是否有连线，而不关心点具体代表哪些对象，也不关 心连线的长短曲直，这就是图的概念。
定义图的子图
• 子图：设G=<V,E> ， G’=<V’,E’> ，若V’是V的子集， E’是E的子集，则 G’是G的子图。 • 真子图：若V’是V的子集，E’是E的真子集。 • 生成子图：V’=V，E’是E的子集。 • 举例说明一个图的子图。
第18页/共93页
定义（n,m）图
• (n,m)图：由n个结点，m条边组成的图。 • 零图：m=0。即（n,0）图，有n个孤立点。 • 平凡图：n=1,m=0。即只有一个孤立点。
图论课件-PPT课件
学习方法
目的明确
态度端正 理论和实践相结合
充分利用资源
逐步实现从知识到能力到素质的深化和
升华
课程考核
平时成绩 （30%-40%）
闭卷考试 （60%-70%）
图论模型
为了抽象和简化现实世界，常建立数学模型。图是关 系的数学表示，为了深刻理解事物之间的联系，图 是常用的数学模型。 (1) 化学中的图论模型 19世纪，化学家凯莱用图论研究简单烃——即碳氢 化合物 用点抽象分子式中的碳原子和氢原子，用边抽象原子间 的化学键。
E={w1r1, w1r2, w2r2, w2r3, w2r4, w3r3, w3r5}代表每个仓库和每个 零售店间的关联。则图模型图形为： w1 w2 w3
r1
r2
r3
r4
r5
29
(3) 最短航线问题 用点表示城市，两点连线当且仅当两城市有航线。为了 求出两城市间最短航线，需要在线的旁边注明距离值。 例如：令V={a, b, c, d, e}代表5个城市} E={a b, ad, b c , be, de}代表城市间的直达航线 则航线图的图形为： a 320 500 d 370 b 140 430 e c
图论学科简介 （2）
19世纪末期，图论应用于电网络方程组
和有机化学中的分子结构 20世纪中叶，由于计算机的发展，图论 用来求解生产管理、军事、交通运输、 计算机和网络通信等领域中的离散性问 题 物理学、化学、运筹学、计算机科学、 电子学、信息论、控制论、网络理论、 社会科学、管理科学等领域应用
七桥问题
近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题:
穿过Kö nigsberg城的七座桥，要求每座桥通过 一次且仅通过一次。
图论第一章课件
返回 结束
• • • •
有限图：顶点集和边集都是有限集。 无限图：顶点集或边集是无限集。 平凡图：只有一个顶点的图。 空 图：边集为空集的图。 常将 G (V (G), E(G), G ) 简记为G (V (G), E (G)) 或 G (V , E )
或 G 。 特别对简单图 G , 将Ψ G(e)=uv 简记为 e = uv 。
如：例1中五个人的朋友关系所对应的图为 G (V (G), E(G), G ), 其中 点集合——人 边集合——朋友关系
G (e1 ) x1 x5 , G (e2 ) x1 x2 , G (e3 ) x2 x5 , G (e4 ) x3 x4 , G (e5 ) x1 x4
例2 G (V (G), E(G), G ) ，其中
e3 x1 e4
x3
e1
e2
x2
e5
返回 结束
在图 G (V (G), E(G), G ) 中，若 G (e) uv ，就称 e 连接顶 点 u , v ；称 u , v 是 e 的端点； 也称 u 和 v 相邻， 同时也称 u （ 或 v ）与 e 关联。 与同一个顶点关联的若干条边称为是相邻的（如例2中 的 e1 , e5 ）；两个端点重合为一个点的边称为环（如例2中的 e3）； 关联于同一对顶点的二条或二条以上的边称为多重边(如例2中 的 e1 , e2 ) 。 若图没有环和多重边，则称该图为简单图。
拉姆瑟（F.P.Ramsey）在1930年证明了这个数 r(k,t)是存 在的，人们称之为 Ramsey数。
1847年基尔霍夫运用图论解决了电路理论中求解联立方程 的问题，引进了“树”概念。 1857年Cayley非常自然在有机化学领域发现了一种重要的 图，称为“树”，解决了计算饱和氢化物同分异构体的数目。 1936年,哥尼格的第一本图论专著问世,才使得图论成为一 门独立的数学学科.
图论基础知识PPT课件
.
6
图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念：
连通图：如果一个无向图中，任意两个顶点之间
都是连通的，则称该无向图为连通图。否则称为非连通图；左图为一个连通图。
强连通图：在一个有向图中，对于任意两个顶点U和V，都存在着一条从U到V的
有向路径，同时也存在着一条从V到U的有向路径，则称该有向图为强连通图；右 图不是一个强连通图。
深度优先遍历与宽度优先遍历的比较：
深度优先遍历实际上是尽可能地走“顶点表”； 而广度优先遍历是尽可能沿顶点的“边表”进行访问， 然后再沿边表对应顶点的边表进行访问，因此，有关边表 的顶点需要保存(用队列，先进先出)，以便进一步进行广度 优先遍历。
下面是广度优先遍历的过程：
.
14
图论算法与实现
一、图论基础知识
简单路径：如果一条路径上的顶点除了起点和终点可以相同外，其它 顶点均不相同，则称此路径为一条简单路径；起点和终点 相同的简单路径称为回路（或环）。
.
4
图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念：
路径和简单路径的举例：
左图1—2—3是一条简单路径，长度为2， 而1—3—4—1—3就不是简单路径；
一、图论基础知识
2、图的基本概念： 路径：对于图G=（V，E），对于顶点a、b，如果存在一些顶点序列
x1=a,x2,……,xk=b(k>1)，且（xi,xi+1）∈E，i=1,2…k-1，则称 顶点序列x1,x2,……,xk为顶点a到顶点b的一条路径，而路径上边 的数目（即k-1）称为该路径的长度。 并称顶点集合{x1,x2,……,xk}为一个连通集。
边集数组
邻接表
优点
图论课件
例 图为k=4 (τ=24=16 ) 的德 · 布鲁因图及相应的欧拉有向 a 闭迹及相应的德 · 布鲁因序列。
000
弧
a = (0000) b = (0001) c = (0010) d = (0101) e = (1010) f = (0100) g = (1001) h = (0011) i = (0110) j = (1101) k = (1011) l = (0111) m= (1111) n = (1110) p = (1100) q = (1000)
例
例 某博物馆的一层布置如下图，其中边代表走廊，结点e是 入口，结点g是礼品店，通过g我们可以离开博物馆。请找出 从博物馆e进入，经过每个走廊恰好一次，最后从g处离开的 路线。 d
j i e h g b a
c
f
解 图中只有两个奇度顶点e和g，因此存在起点为e，终点 为g的欧拉迹。
d
为了在G中求出一条起点 为e，终点为g的欧拉迹， 在e和g间添加一条平行边 m，如图
反之，设G是恰有两个奇点u和v的连通图。 在u和v间添加新边e得图G+e，则 G+e没有奇点。 由已证结论， G+e有Euler闭迹， 从而G有Euler迹。 综上，结论成立。 注： (1) 图G有欧拉迹当且仅当G能“一笔画”。
(2) 若奇度点数为零， 则一笔画与起点无关； 若奇度
点数为2，则一笔画的起点与终点均为奇点。 例 在平面内，右图是 否可以在三笔之内 画成？
1 0 0 0
1
1
0
1
德· 布鲁因序பைடு நூலகம்的构造
步骤1 构造一个有向图H: 它的点是2k-1个不同的长度为 (k-1)的01序列。对点 v = (b1, b2,…,bk-1) ，用两条弧分别将v 连到点v1 = (b2, b3,…bk-1, 0) 和v2= (b2, b3,…,bk-1, 1)，得有向边 <v, v1>和<v, v2>。 步骤2 求H的欧拉有向闭迹， 由此得k部分序列 S1, S2,…, Sτ 和相应的德 · 布鲁因序列S。 注：(1) H 的每一点v，有d+(v) = d-(v) = 2且是连通的，从而 H是欧拉有向图，称为德 · 布鲁因图。 (2) H有2k条弧，若以每一条由点(b1,b2,…,bk-1)到点(b2,b3,…,bk) 的弧a代表一个k元组(b1, b2,…,bk)，便可得2k个不同的k元组。
图论的介绍ppt课件
chedules
工程项目的任务安排，如何满足限制条件，并在最短时 间内完成？
Program structure
大型软件系统，函数（模块）之间调用关系。编译器分 析调用关系图确定如何最好分配资源才能使程序更有效 率。
Graph Applications
Graph Problems and Algorithms
图论的介绍ppt课件
欧拉路径 解決哥尼斯保七桥问題
原來是一笔画问题啊！
数学家欧拉(Euler, 1707-1783) 于1736年严格的证明了上述哥尼斯堡 七桥问题无解，并且由此开创了图论的典型思维方式及论证方式
实际生活中的图论 Graph Model
电路模拟
例：Pspice、Cadence、ADS…..
哈密頓（Hamilton） 周遊世界问題
正十二面体有二十个顶点 表示世界上20个城市 各经每个城市一次 最后返回原地
投影至平面
哈密頓路径至今尚无有效方法來解決！
最短路径问題
(Shortest Path Problem)
最快的routing
最快航線
B 2
1
E
3
A
C 1
3 2F
1
3
D
3 3
G
最短路径算法Dijkstra算 法
二分图（偶图） Bipartite graphs
A graph that can be decomposed into two partite sets but not fewer is bipartite
It is a complete bipartite if its vertices can be divided into two non-empty groups, A and B. Each vertex in A is connected to B, and viceversa
工程项目的任务安排，如何满足限制条件，并在最短时 间内完成？
Program structure
大型软件系统，函数（模块）之间调用关系。编译器分 析调用关系图确定如何最好分配资源才能使程序更有效 率。
Graph Applications
Graph Problems and Algorithms
图论的介绍ppt课件
欧拉路径 解決哥尼斯保七桥问題
原來是一笔画问题啊！
数学家欧拉(Euler, 1707-1783) 于1736年严格的证明了上述哥尼斯堡 七桥问题无解，并且由此开创了图论的典型思维方式及论证方式
实际生活中的图论 Graph Model
电路模拟
例：Pspice、Cadence、ADS…..
哈密頓（Hamilton） 周遊世界问題
正十二面体有二十个顶点 表示世界上20个城市 各经每个城市一次 最后返回原地
投影至平面
哈密頓路径至今尚无有效方法來解決！
最短路径问題
(Shortest Path Problem)
最快的routing
最快航線
B 2
1
E
3
A
C 1
3 2F
1
3
D
3 3
G
最短路径算法Dijkstra算 法
二分图（偶图） Bipartite graphs
A graph that can be decomposed into two partite sets but not fewer is bipartite
It is a complete bipartite if its vertices can be divided into two non-empty groups, A and B. Each vertex in A is connected to B, and viceversa
《图论的介绍》课件
添加副标题
图论的介绍
汇报人：
目录
PART One
添加目录标题
PART Three
图论的应用领域
PART Two
图论的基本概念
PART Four
图论的基本问题
PART Five
图论的算法和数据 结构
PART Six
图论的扩展知识
单击添加章节标题
图论的基本概念
图论的发展历程
18世纪末，欧拉提出“七桥问题”，开启了图论的先河
匹配问题
匹配问题定义：在图论中，匹配问 题是指在图中找到一组边，使得每 个顶点恰好有一条边。
最小匹配问题：在图中找到一组边， 使得边的数量最少。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
最大匹配问题：在图中找到一组边， 使得边的数量最多。
完美匹配问题：在图中找到一组边， 使得每个顶点恰好有一条边，并且 边的数量最多。
图论的扩展知识
欧拉路径和欧拉回路
欧拉路径：通过图中所有边且仅通过一次的路径
欧拉回路：通过图中所有边且仅通过一次的回路
欧拉定理：一个无向图存在欧拉回路当且仅当每个顶点的度数都是偶数
应用：欧拉路径和欧拉回路在计算机科学、数学、物理等领域有广泛应用，如电路设计、网络 拓扑、图论算法等
哈密顿路径和哈密顿回路
应用
生物技术：图 论在生物工程、 生物制造和生 物能源等领域
的应用
图论的发展趋势和未来展望
应用领域：图 论在计算机科 学、物理学、 生物学等领域 的应用越来越
广泛
研究方向：图 论在算法设计、 网络优化、数 据挖掘等领域 的研究不断深
入
技术发展：图 论与机器学习、 深度学习等技 术的结合越来
图论的介绍
汇报人：
目录
PART One
添加目录标题
PART Three
图论的应用领域
PART Two
图论的基本概念
PART Four
图论的基本问题
PART Five
图论的算法和数据 结构
PART Six
图论的扩展知识
单击添加章节标题
图论的基本概念
图论的发展历程
18世纪末，欧拉提出“七桥问题”，开启了图论的先河
匹配问题
匹配问题定义：在图论中，匹配问 题是指在图中找到一组边，使得每 个顶点恰好有一条边。
最小匹配问题：在图中找到一组边， 使得边的数量最少。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
最大匹配问题：在图中找到一组边， 使得边的数量最多。
完美匹配问题：在图中找到一组边， 使得每个顶点恰好有一条边，并且 边的数量最多。
图论的扩展知识
欧拉路径和欧拉回路
欧拉路径：通过图中所有边且仅通过一次的路径
欧拉回路：通过图中所有边且仅通过一次的回路
欧拉定理：一个无向图存在欧拉回路当且仅当每个顶点的度数都是偶数
应用：欧拉路径和欧拉回路在计算机科学、数学、物理等领域有广泛应用，如电路设计、网络 拓扑、图论算法等
哈密顿路径和哈密顿回路
应用
生物技术：图 论在生物工程、 生物制造和生 物能源等领域
的应用
图论的发展趋势和未来展望
应用领域：图 论在计算机科 学、物理学、 生物学等领域 的应用越来越
广泛
研究方向：图 论在算法设计、 网络优化、数 据挖掘等领域 的研究不断深
入
技术发展：图 论与机器学习、 深度学习等技 术的结合越来
运筹学--图论 ppt课件
4
5
4 9 8
v1
v3
2
v6
[8,v2]
v8
5 33
1
[2,v1]
v4
v7
[10,v4]
33
Dijkstra算法示例1
3）迭代计算(c)—更新与永久标号节点v2相连的节 (d2+w25=3+7=)10< ∞ (=d5) 点的临时标号。
[3,v1]
v2
[0,-]
7
v5
[10,v2]
2 [+∞,v1] 6
v4
v7
[+∞,v1]
22
Dijkstra算法示例1
2）迭代计算(a)—从临时标号中找到距离上界dk最 小的节点v4，d4=min{dk}，将其变换为永久编号。
[3,v1] [+∞,v1]
v2
[0,-]
7
v5
2 [+∞,v1] 6 1 2 [+∞,v1]
3
5 2 [5,v1]
4
5
4 9 8
v1
v3
最小树问题不一定有唯一解。
10
10
最小支撑树问题的解法
破圈法 算法
初始化 将图G的边按权值从大到小的次序排列，从 原图开始迭代； 迭代
第1步(删边) 从排列中顺序选择一条与图中剩余边构成圈 的边，则将此边从图中删除，进入第2步(结束判断)； 第2步(结束判断) 若图中剩下n-1条边，则已经得到最小支 撑树；否则，进入下一轮迭代，返回第1步(加边)；
柯尼斯堡七桥问题
柯尼斯堡市区横跨普雷格尔河两岸，在河中心有两 个小岛。小岛的两岸共有七座桥将岛与岛、岛与河 岸连接起来。一个人怎样才能一次走遍七座桥，每 座桥只走过一次，并最后回到出发点？
图论-总结PPT课件
q-p+1条弦。 (2) 若G是一个(p,q)连通图，则T至少有多少个圈?(q-p+1) 若G是一个(p,q)连通图，则T有多少个圈? 若G是一个(p,q)连通图，则T至少（多）有多少个生成树？
.
16
第三节 割点、桥和割集
3.1 割点和桥(割边)
定义1 设v是图G的一个顶点，若G-v的支数大于 G的支数，则称顶点v为图G的一个割点(如图)。
degu + degv≥p-1，
则G是连通的。[这个定理是一个充分条件]
定理3 设G=(V,E)是至少有一个顶点不是弧立顶 点的图。若对任意v∈V，degv为偶数，则G中 有回路。
定理4 若图G中的两个不同顶点u与v间有两条不 同的路联结，则G中有回路。
.
6
例1 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 G连通G+uv连通。
.
8
第五节 欧拉图(Euler)
5.1 欧拉图
定义1 设(G,V)是一个图，则包含图的所有顶 点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹；存在一 条欧拉闭迹的图称为欧拉图。
定理1 图G是欧拉图当且仅当G是连通的且每 个顶点的度都是偶数。
(定理1对多重图也成立)
.
9
第六节 哈密顿图
6.1 哈密顿图 定义1 设G是一个图，则图G中包含G的所有顶
数称为顶点v的度，记为degv。 定理1 (握手定理)设G=(V,E)是一个具有p个顶点q条边的图,
则G中各顶点度的和等于边的条数q的两倍，即∑degv=2q。 推论1任一图中，度为奇数的顶点的数目必为偶数。
.
3
定义3 设G是图，若Δ(G)=δ(G)=r，即G的每个顶点的 度都等于r，则G称为r度正则图。
.
16
第三节 割点、桥和割集
3.1 割点和桥(割边)
定义1 设v是图G的一个顶点，若G-v的支数大于 G的支数，则称顶点v为图G的一个割点(如图)。
degu + degv≥p-1，
则G是连通的。[这个定理是一个充分条件]
定理3 设G=(V,E)是至少有一个顶点不是弧立顶 点的图。若对任意v∈V，degv为偶数，则G中 有回路。
定理4 若图G中的两个不同顶点u与v间有两条不 同的路联结，则G中有回路。
.
6
例1 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 G连通G+uv连通。
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8
第五节 欧拉图(Euler)
5.1 欧拉图
定义1 设(G,V)是一个图，则包含图的所有顶 点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹；存在一 条欧拉闭迹的图称为欧拉图。
定理1 图G是欧拉图当且仅当G是连通的且每 个顶点的度都是偶数。
(定理1对多重图也成立)
.
9
第六节 哈密顿图
6.1 哈密顿图 定义1 设G是一个图，则图G中包含G的所有顶
数称为顶点v的度，记为degv。 定理1 (握手定理)设G=(V,E)是一个具有p个顶点q条边的图,
则G中各顶点度的和等于边的条数q的两倍，即∑degv=2q。 推论1任一图中，度为奇数的顶点的数目必为偶数。
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3
定义3 设G是图，若Δ(G)=δ(G)=r，即G的每个顶点的 度都等于r，则G称为r度正则图。
图论培训演示课件.ppt
定理7.7 设非负整数列d=（d1，d2，…，dn），（n-1） ≥d1≥d2≥…≥d n≥0，则d是可简单化的当且仅当d′=（-1，1，…，-1，，…，）。
第7章 图论
7.1.6 子图
定义7.12 设G=<V，E>和G=<V'，E'>是两个图， （1）若V'V且E'E，则称G'是G的子图； （2）若G'是G的子图，但V'≠V或E'≠E，则称G'是G的真子图； （3）若G‘是G的子图，且V’=V，则称G‘是G的生成子图或支撑子 图。
定理7.2 设有向图G具有n个结点，m条边，其中结点构成的集
合V={v1，v2，…，vn}，则有
n
n
deg (vi) deg (vi ) m
i 1
i 1
第7章 图论
7.1.3 完全图
1．无向完全图
定义7.6 在n阶无向图中，如果任意两个不同的结点之间都有 一条边关联，则称此无向图为无向完全图，记作Kn。
3．竞赛图
定义7.8 设G为n阶有向图，如果G的底图为无向完全图Kn，则称G 为竞赛图。
第7章 图论
7.1.4 图的同构
定义7.9 设图G的点集为V，边集为E，图G′的点集为V′，边集 为E′。如果存在着V到V′的双射函数f，使对任意的u，vV，(u ，v)E（或<u，v>E），当且仅当（f（u），f（v））E′（或<f （u），f（v）>E′），则称图G和G′ 同构，记作GG′。
第7章 图论
7.2 路与回路
7.2.2 图的连通性 1．无向图的连通性 定义7.14 设图G是无向图，u和v是图G中的两个结点，如果u和v 之间有通路，则称u，v是连通的，并规定u与自身是连通的。
第7章 图论
7.1.6 子图
定义7.12 设G=<V，E>和G=<V'，E'>是两个图， （1）若V'V且E'E，则称G'是G的子图； （2）若G'是G的子图，但V'≠V或E'≠E，则称G'是G的真子图； （3）若G‘是G的子图，且V’=V，则称G‘是G的生成子图或支撑子 图。
定理7.2 设有向图G具有n个结点，m条边，其中结点构成的集
合V={v1，v2，…，vn}，则有
n
n
deg (vi) deg (vi ) m
i 1
i 1
第7章 图论
7.1.3 完全图
1．无向完全图
定义7.6 在n阶无向图中，如果任意两个不同的结点之间都有 一条边关联，则称此无向图为无向完全图，记作Kn。
3．竞赛图
定义7.8 设G为n阶有向图，如果G的底图为无向完全图Kn，则称G 为竞赛图。
第7章 图论
7.1.4 图的同构
定义7.9 设图G的点集为V，边集为E，图G′的点集为V′，边集 为E′。如果存在着V到V′的双射函数f，使对任意的u，vV，(u ，v)E（或<u，v>E），当且仅当（f（u），f（v））E′（或<f （u），f（v）>E′），则称图G和G′ 同构，记作GG′。
第7章 图论
7.2 路与回路
7.2.2 图的连通性 1．无向图的连通性 定义7.14 设图G是无向图，u和v是图G中的两个结点，如果u和v 之间有通路，则称u，v是连通的，并规定u与自身是连通的。
图论讲义ppt教学课件
旅行商问题（TSP）
• 给出城市之间的距离，要求一位推销员从某一城 市出发，周游每个城市一次，然后回到出发的城 市，并且选的路径最短。(Traveling Salesman Problem)
• 这是一个图论优化问题，最早由美国数学家威特 涅于1934年在普林斯顿一次讨论班上提出。 1954年几位美国数学家写了第一篇论文，用线性 方程的方法解决了49个城市的旅行售货员问题。 后来也有不少论文讨论这个问题，在理论和应用 上都很有价值。
• 有向图: 一个有向图是指一个有序三元组 (V(G),A(D), ),其中V(G)是一个非空有限集，A(D) 是与Ｖ(G)不相交的有限集合,是关联函数，它使 A(D)中每一元素对应于V(G)中的有序元素对（可 以相同）
• 图/Graph：可直观地表示离散对象之 间的相互关系，研究它们的共性和特 性，以便解决具体问题。
• 无向图（简称图）: 一个图是指一个有序三元组 (V(G),E(G), ),其中V(G)是一个非空有限集，Ｅ(G) 是与Ｖ(G)不相交的有限集合,是关联函数，它使 E(G)中每一元素对应于V(G)中的无序元素对（可 以相同）
关键路径问题
一项工程任务,大到建造一座大坝,一座体育中心,小
至组装一台机床,一架电视机, 都要包括许多工序.这些工 序相互约束,只有在某些工序完成之后, 一个工序才能开 始. 即它们之间存在完成的先后次序关系,一般认为这些 关系是预知的, 而且也能够预计完成每个工序所需要的 时间.
这时工程领导人员迫切希望了解最少需要多少时间才 能够完成整个工程项目, 影响工程进度的要害工序是哪 几个？
第一部分
引言
两个有趣的问题
• 1.任意一群人中（人数不小于2），总有两人在该 人群中认识相同的朋友数
图论课件--着色的计数与色多项式
23
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
t
ni n j 1
一方面：
t
h(Hi , x)
t
ni
aij x j
i 1
i1 j 1
该多项式中 xk 旳系数rk为：
rk
a a 1i1 2i2
atit
i1 i2 it k
另一方面：设Mj是Hj中具有ij个分支旳Hj旳理想子图。 当i1+i2+…+it=k时，M1∪ M2 ∪… ∪Mt必是G旳具有k个 分支旳理想子图。
例2 求N4(G), N5(G)。
G 10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
解：经过观察枚举求Nr(G)
G
1) N4(G):
G
11
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
N4(G)=6
2) N5(G):
例1 求出下面各图旳色多项式。
G1
G2
G3
6
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(1)
G1
Pk (G1) k(k 1)(k 2) k(k 1) k3 2k 2 k
也可由推论： (k 1)Pk (K2 ) k3 2k 2 k
G1
《图论及其应用》课件
图像处理
探索图论在图像处理领域的应用，如图像分割 和模式识别。
七、总结
图论的重要性
强调图论在计算机科学和现实 世界中的重要性和广泛应用。
现实中的应用价值
讨论图论在实际问题中解决方 案的应用价值和优势。
对于未来的展望
探索图论在未来可能的发展方 向和应用领域，如人工智能和 物联网。
2
Floyd算法
介绍Floyd算法的原理和使用方法，用于计算图中所有节点之间的最短路径。
四、最小生成树算法
Prim算法
解释Prim算法的工作原理和应用，用于寻找图中的 最小生成树。
Kruskal算法
讨论Kruskal算法的概念和实现，用于生成图的最小 生成树。
五、网络流算法
1
最大流
介绍网络流问题和最大流算法，用于解
《图论及其应用》PPT课 件
本PPT课件将带您深入了解图论及其应用。图论是一门关于图的性质及其应用 的学科，将为您揭开图论的奥秘。
一、图论基础
图的定义及术语
介绍图的基本定义以及相关的术语，为后续内 容打下基础。
无向图与有向图
解释无向图和有向图的区别，并介绍它们之间 的关系和应用。
图的表示方法
讲解图的常用表示方法，如邻接矩阵和邻接表， 并比较它们的优缺点。
连通性和路径
讨论图的连通性概念以及如何找到两个节点之 间的最短路径。
二、图的遍历算法
1
广度优先搜索（BFS）
2
介绍广度优先搜索算法的工作原理和常 见应用。
深度优先搜索（DFS）
深入探讨深度优先搜索算法的原理和应 用场景。
三、最短路径算法
1
Dijkstra算法
详细讲解Dijkstra算法的步骤和应用，用于寻找图中两个节点间的最短路径。
图论课件
例v1v2图中v3d (v1) = 5 d (v2) = 4
d (v3) = 3 d (v4) = 0
v4
d (v5) = 2
v5
注：该图中各点的度数 之和等于14，恰好
是边数7的两倍
(3) 易证，图的同构关系是一个等价关系。该关系将所有 的图的集合，划分为一些等价类，即相互同构的图作成 同一个等价类。
显然，V1 ∪V2= V,V1∩V2=Φ 。由握手定理
2m = d(v) = d (v) + d (v) （1）
vV
vV1
vV2
（1）式中2m为偶， d (v)也为偶（因其中每个d(v)为偶），
vV2
从而推知 d (v) 也为偶。而和式中每个d(v)均为奇，故和
vV1
式中的被加项的项数应为偶，这表明G 中度为奇数的点有
例2 设V = {v1,v2,v3,v4}，E = {e1,e2,e3,e4,e5}，其中 e1= v1v2， e2 = v2v3， e3 = v2v3， e4 = v3v4， e5 = v4v4
则 G = (V, E) 是一个图。
v1
v4
e5
e1
e2
e4
v2
v3
e3
相关概念: (1) 若边e = uv , 此时称 u 和v 是 e 的端点;
由图的同构定义知，图(a)与(b)是同构的。
例 判断下面两图是否同构。
u1
v1
解 两图不同构。
这是因若同构，则两图中唯一的与环关联的两个点u1 与v1 一定相对应，而u1的两个邻接点与v1的两个邻接点状况不 同（ u1邻接有4度点，而v1 没有）。
所以，两图不同构。
例4 指出4个顶点的非同构的所有简单图。
相关主题
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6.1
图的基本概念ຫໍສະໝຸດ 一、图的定义及其表示1. 图的定义
定义6-1
图G是一个有序二元组（V，E），其中
V={v1，v2，…，vn}是一个有限非空的集合。V中的元素称
为G的结点，V称为图G的结点集，常记作V（G）；
E 是 V 中不同元素的非有序对偶的集合， E 中的元素称 为G的边，E称为图G的边集，常记作E（G）。
3
定义6-3
图G的补图是由G的所有结点和为了使G
成为完全图所需添加的那些边组成的图，用 G 表示。
例4
下图中（b）所表示的图是（a）图的补图。
右图给出了例2中图的补图。
4
三、连通图
1．结点的度：
定理6-1 设图G具有结点集{v1，v2，…，vn}和m条 边，则G中所有结点的度之和
deg(v ) 2m 。
称H是G的分图。 （1）H是连通的；
（2）对G的任意子图G，若GH，且H G G，则G
不是连通。
例8 解
对第10页给出的图G，试判断（b）、（c）、 （b）显然不是G的分图。因为（b）不连通。 （c）也不是G的分图。 （d）是G的分图。
（d）、（e）各是否G的分图
（e）是G的分图。
10
定理6-3 设G是具有结点集V={ v1，v2，…，vn}的图，则
若中还有相同的结点，那么重复上述过程又可形成一条 更短的路，…。这样，最后必得到一条真路，它连接vi到vj， 并短于前述任一非真的路。因此，只有真路才能是短程。 然而在任一长度为 l 的真路viu1 u2…ul–1 vj中，所出现 的结点是各不相同的，这意味着l +1≤n，即l ≤n–1。
（1） 若V2 V1，E2 E1，则称G2是G1的子图， 记作G2 G1； （2） 若V2 V1，E2 E1，则称G2是G1的真子图； （3） 若V2 = V1，E2 E1，则称G2是G1的生成子图。
例7
非真 生成
真 生成
真 非生成
非真 非生成
真 非生成
9
定义6-6 设H是图G的子图，如果H满足以下条件，则
的一些点分别表示图的结点，用连接相应两个结点而不
经过其它结点的直线（或曲线）来表示图的边。
例2
(a).(b)分别给出了例1中图G的图解方法。
矩阵表示法
用矩阵的方法也可以表示一个图。在6.2节中我们再专 门讨论。
2
二、完全图与补图
1．（n，m）图:
2．两结点是相邻接的： 3．边和结点是关联的： 4．孤立点 5．两条边是邻接的： 6．孤立边 定义6-2 在图G中，如果任意两个不同的结 点都是邻接的，则称图G是完全图。 例3 下图分别给出了一个结点、二个结点、三个 结点、四个结点和五个结点的完全图。
例1
设 V ={v1，v2，v3，v4，v5}, E = {v1 , v2}, {v1 , v3}, {v2 , v3}, {v 2 , v 4}, {v3 , v4},{v 3 , v 5 }, {v 4 , v 5 } 则 G=（V，E）是一个图。
1
2. 图的表示方法
图解表示法
一个图可以用平面上的一个图解来表示。用平面上
12
对于G中任意两个相连接的结点vi，vj（vivj），其短程是一 条长度不大于n–1的真路。 证明 设为任一连接vi到vj的路， 且= viu1 u2…ur…uk…ul–1vj，若中有相同的结点，设为 ur= uk（r<k），则子路ur+1…uk可以从中删去而形成一条较 短的路= viu1…ur uk+1…uh–1 vj，仍连接vi到vj。
vV1 vV2 vV1
deg(v) 2m deg(v)
vV2
因为
vV2
deg( v) deg (v)和2m均为偶数，所以 v V
1
也必为偶数。由于当 v V 1 时， deg(v) 均为奇数， 因此#V1必为偶数。
6
2．路：图G中l条边的序列{v0，v1}{v1，v2}…{vl–1，vl} 称为连接v0到vl的一条长为 l 的路。它常简单地用结点 的序列v0v1v2…vl–1vl来表示。 3．开路：若v0vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为开路。 4．回路：若v0=vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为回路。 5．真路：若开路v0v1v2…vl–1vl中，所有结点互不相同 （此时所有边也互不相同），则称该路为真路。 6．环：在回路v0v1v2…vl–1v0中，若v0，v1，v2，…，vl–1 各不相同（此时所有边也互不相同），则称该回路为环。 7．两结点是连接的： 在图G中，若存在一
1．割点：如果在图G中删去结点v（及与其相关联的所 有边后），图G的分图数增加，则称结点v是G的割点。 2．割边：如果在图G中删去边{ vi，vj}后，图G的分 图数增加，则称边{ vi，vj}是G的割边。 例10 下图中v6，v4均是割点。
边{v4，v5}和{ v4，v6}均是割边，
定理6-2 在图G中边{ vi，vj }为割边的充要条件
例5
条路连接vi和vj，则称结
点vi与vj是连接的.
7
定义6-4
在图G中，若任意两个结点都是连接的，
则称G是连通图，否则，称G为非连通图。仅有一个孤立 结点的图定义它为连通图。
例6
例5所给出的图是连通图。下图给出的是
非连通图。
8
四、子图与分图
利用子集的概念可定义图G的子图。
定义6-5 设有图G1=（V1，E1）和图G2=（V2，E2）
i i 1
n
例如 上页五结点图中中所有结点的度之和
deg(v ) 2 1 0 1 2 6
i i 1
5
刚好是边数3的两倍。
5
推论 任何图G中，度为奇数的结点个数为偶数。
证明
设图G中，奇数度结点集为V1，偶数度结点 集为V2，边数为m，
则
于是
vV
deg(v) deg(v) deg(v) 2m
是边{ vi，vj }不在G的任何环上出现。
11
五、短程和距离
1．短程：在图G中，结点vi和vj若由一条或更多条 路相连接，则其中必有长度最短的路，称它为从vi到vj 的短程。
例11
d (v1 , v5 ) 2 d (v1 , v2 ) 1 d (v1 , v6 ) 3
2．距离：结点vi和vj间的短程的长度称为vi和vj 间的距离。用d（vi，vj）表示。
图的基本概念ຫໍສະໝຸດ 一、图的定义及其表示1. 图的定义
定义6-1
图G是一个有序二元组（V，E），其中
V={v1，v2，…，vn}是一个有限非空的集合。V中的元素称
为G的结点，V称为图G的结点集，常记作V（G）；
E 是 V 中不同元素的非有序对偶的集合， E 中的元素称 为G的边，E称为图G的边集，常记作E（G）。
3
定义6-3
图G的补图是由G的所有结点和为了使G
成为完全图所需添加的那些边组成的图，用 G 表示。
例4
下图中（b）所表示的图是（a）图的补图。
右图给出了例2中图的补图。
4
三、连通图
1．结点的度：
定理6-1 设图G具有结点集{v1，v2，…，vn}和m条 边，则G中所有结点的度之和
deg(v ) 2m 。
称H是G的分图。 （1）H是连通的；
（2）对G的任意子图G，若GH，且H G G，则G
不是连通。
例8 解
对第10页给出的图G，试判断（b）、（c）、 （b）显然不是G的分图。因为（b）不连通。 （c）也不是G的分图。 （d）是G的分图。
（d）、（e）各是否G的分图
（e）是G的分图。
10
定理6-3 设G是具有结点集V={ v1，v2，…，vn}的图，则
若中还有相同的结点，那么重复上述过程又可形成一条 更短的路，…。这样，最后必得到一条真路，它连接vi到vj， 并短于前述任一非真的路。因此，只有真路才能是短程。 然而在任一长度为 l 的真路viu1 u2…ul–1 vj中，所出现 的结点是各不相同的，这意味着l +1≤n，即l ≤n–1。
（1） 若V2 V1，E2 E1，则称G2是G1的子图， 记作G2 G1； （2） 若V2 V1，E2 E1，则称G2是G1的真子图； （3） 若V2 = V1，E2 E1，则称G2是G1的生成子图。
例7
非真 生成
真 生成
真 非生成
非真 非生成
真 非生成
9
定义6-6 设H是图G的子图，如果H满足以下条件，则
的一些点分别表示图的结点，用连接相应两个结点而不
经过其它结点的直线（或曲线）来表示图的边。
例2
(a).(b)分别给出了例1中图G的图解方法。
矩阵表示法
用矩阵的方法也可以表示一个图。在6.2节中我们再专 门讨论。
2
二、完全图与补图
1．（n，m）图:
2．两结点是相邻接的： 3．边和结点是关联的： 4．孤立点 5．两条边是邻接的： 6．孤立边 定义6-2 在图G中，如果任意两个不同的结 点都是邻接的，则称图G是完全图。 例3 下图分别给出了一个结点、二个结点、三个 结点、四个结点和五个结点的完全图。
例1
设 V ={v1，v2，v3，v4，v5}, E = {v1 , v2}, {v1 , v3}, {v2 , v3}, {v 2 , v 4}, {v3 , v4},{v 3 , v 5 }, {v 4 , v 5 } 则 G=（V，E）是一个图。
1
2. 图的表示方法
图解表示法
一个图可以用平面上的一个图解来表示。用平面上
12
对于G中任意两个相连接的结点vi，vj（vivj），其短程是一 条长度不大于n–1的真路。 证明 设为任一连接vi到vj的路， 且= viu1 u2…ur…uk…ul–1vj，若中有相同的结点，设为 ur= uk（r<k），则子路ur+1…uk可以从中删去而形成一条较 短的路= viu1…ur uk+1…uh–1 vj，仍连接vi到vj。
vV1 vV2 vV1
deg(v) 2m deg(v)
vV2
因为
vV2
deg( v) deg (v)和2m均为偶数，所以 v V
1
也必为偶数。由于当 v V 1 时， deg(v) 均为奇数， 因此#V1必为偶数。
6
2．路：图G中l条边的序列{v0，v1}{v1，v2}…{vl–1，vl} 称为连接v0到vl的一条长为 l 的路。它常简单地用结点 的序列v0v1v2…vl–1vl来表示。 3．开路：若v0vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为开路。 4．回路：若v0=vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为回路。 5．真路：若开路v0v1v2…vl–1vl中，所有结点互不相同 （此时所有边也互不相同），则称该路为真路。 6．环：在回路v0v1v2…vl–1v0中，若v0，v1，v2，…，vl–1 各不相同（此时所有边也互不相同），则称该回路为环。 7．两结点是连接的： 在图G中，若存在一
1．割点：如果在图G中删去结点v（及与其相关联的所 有边后），图G的分图数增加，则称结点v是G的割点。 2．割边：如果在图G中删去边{ vi，vj}后，图G的分 图数增加，则称边{ vi，vj}是G的割边。 例10 下图中v6，v4均是割点。
边{v4，v5}和{ v4，v6}均是割边，
定理6-2 在图G中边{ vi，vj }为割边的充要条件
例5
条路连接vi和vj，则称结
点vi与vj是连接的.
7
定义6-4
在图G中，若任意两个结点都是连接的，
则称G是连通图，否则，称G为非连通图。仅有一个孤立 结点的图定义它为连通图。
例6
例5所给出的图是连通图。下图给出的是
非连通图。
8
四、子图与分图
利用子集的概念可定义图G的子图。
定义6-5 设有图G1=（V1，E1）和图G2=（V2，E2）
i i 1
n
例如 上页五结点图中中所有结点的度之和
deg(v ) 2 1 0 1 2 6
i i 1
5
刚好是边数3的两倍。
5
推论 任何图G中，度为奇数的结点个数为偶数。
证明
设图G中，奇数度结点集为V1，偶数度结点 集为V2，边数为m，
则
于是
vV
deg(v) deg(v) deg(v) 2m
是边{ vi，vj }不在G的任何环上出现。
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五、短程和距离
1．短程：在图G中，结点vi和vj若由一条或更多条 路相连接，则其中必有长度最短的路，称它为从vi到vj 的短程。
例11
d (v1 , v5 ) 2 d (v1 , v2 ) 1 d (v1 , v6 ) 3
2．距离：结点vi和vj间的短程的长度称为vi和vj 间的距离。用d（vi，vj）表示。