计算方法课后习题答案 之习题一

习题一

1. 在3位十进制计算机上分别从左到右及从右到左计算：

34.53+0.035 24+0.046 219+0.048 9+0.032 7，说明那个结果较为准确。 解：（1）从左到右计算：

34.53+0.035 24+0.046 219+0.048 9+0.032 7

=0.345×102+0.35 2×10-1+0.46 2×10-1+0.48 9×10-1+0.32 7×10-1 =0.345×102+0.000×102+0.46 2×10-1+0.48 9×10-1+0.32 7×10-1 =0.345×102+0.46 2×10-1+0.48 9×10-1+0.32 7×10-1 =0.345×102+0.000×102+0.48 9×10-1+0.32 7×10-1 =0.345×102+0.48 9×10-1+0.32 7×10-1 ……

=0.345×102 =34.5

（2）从右到左计算：

34.53+0.035 24+0.046 219+0.048 9+0.032 7

=0.345×102+0.35 2×10-1+0.46 2×10-1+0.48 9×10-1+0.32 7×10-1 =0.345×102+0.000×102+0.46 2×10-1+0.81 6×10-1 =0.345×102+0.46 2×10-1+1.27 8×10-1 =0.345×102+0.46 2×10-1+0.127 8×100 =0.345×102+0.46 2×10-1+0.128×100 =0.345×102+0.046 ×100+0.128×100 =0.345×102+0.174 ×100 =0.345×102+0.00174 ×102 =0.345×102+0.002 ×102 =0.347×102 =34.7

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2. 用秦九韶算法计算

4532)(23-+-=x x x x p 在x =2处的值。并计算所需要乘法的次数。

解：普通算法需要乘法次数：6次 用秦九韶算法需要乘法次数：3次

用秦九韶算法可以减少乘法的次数。

4532)(23-+-=x x x x p

=

()()4532-+-x x x 把X=2代入：

=10

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3、设u,v,x 都是n 维向量，I 是单位矩阵，试分析用下面两种算法Y 的乘法计算量：

（1）

()()T T y I uu I vv x =--

假设u ，v, x 为列向量，

[]111121221

22

212

12n n T

n n n n n n u u u u u u u u u u u u

u u uu u u u u u u u u u u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎣⎦

⎣⎦

，

本计算需要

2n 次乘法。

类似的T vv 计算也需要2

n 次乘法，得到[]11112122122

21212

n n T n n n n n n v v v v v v v v v v v v v v vv v v

v v v v v v v v ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎣⎦⎣⎦

然后是2个矩阵做乘法，需要3n 次乘法。

1112121

2221

1

n n n n nn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1112

12122

211

n n n n nn b b b b b b b b b ⎛⎫

⎪ ⎪

⎪

⎪⎝⎭

最后矩阵和向量相乘需要

2n 次乘法。

11121212221

1

n n n n nn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12,n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=12,n c c c ⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

所以，共需要

323n n +次乘法。

（2）

111(),()T T y x v x v y y u y u =-=-

假设u ，v, x 为列向量，

[]1212

T n n v v v x v v v m v ⎡⎤⎢⎥

⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

共需要n 次乘法。

1122n n v a v a m v a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

共需要n 次乘法。

类似的计算

y

也需要

2n 次乘法。

共需要4n 次乘法。

6.试确定下列近似值的误差限和有效数字位数。

解：绝对误差限又叫做误差限。

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（1） x*=1/6，x =0.166

x*=0.166…

|ε(x)|=|x –x*|=0.000666….<0.005

因此：误差限ε=0.005=0.5×10-2。有效数字为2位

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（2） x*=3.141 592 65…，x =355/113=3.141 592 92…

|ε(x)|=|x –x*|=0.000 000 27….<0.000 000 5

因此：误差限ε=0.005=0.5×10-6。有效数字为7位

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（3） x*=e/100= 0.02718 2…，x =0.0271 8

|ε(x)|=|x –x*|=0.000 002 ….<0.000 005

因此：误差限ε=0.005=0.5×10-5。有效数字为4位

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7.用四舍五入法求π的近似值，使其相对误差限

%15.0≤η。

（定理1-1：设近似值x 的左起第一位非零数字是α１．若x 具有n 位有效数字，则11021

+-⨯n α

为x 的相对误差限。） 解：x*=3.141 592 65…，近似值x =？ （根据定理1-1：）

0015.01021

1≤⨯+-n α

α003.0101≤+-n

又因为：

3=α所以：

009.0101≤+-n

009

.010log 1≤+-n 009.010

log 1-≥n 计算

046.2log 009

.010-=，代入上式的：

046.3≥n

所以，

4=n ，π的近似值有四位有效数字。

又因为π*=3.141 592 65…，所以π的近似值为3.142。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8.设近似值0.0082157有4位有效数字，求其误差限和相对误差限。 解：x*=？，近似值x =0.008 215 7

已知近似值有4位有效数字，因此近似值x =0.008 216 由定义1.3：

ε=0.000 000 5=0.5×10-6,

相对误差限：