2021届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析

2021届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期期中考试
数学（理）试题
分值150分 时间120分钟
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选
项中。

只有一项是符合题目要求的。

1、设全集(){}{},1,03,-<=<+==x x B x x x A R U 则右图中阴影部分表示的集合为（ ） A 、{}13-<<-x x B 、{}03<<-x x C 、{}0>x x
D 、{}1-<x x
2.已知i 为虚数单位，则复数
i
i
-2的模等于 （ ） A.5 B.3 C.
33 D.5
5 3. 命题“3210x x x ∀∈-+≤R,”的否定是（ ）
A.3210x x x ∃∈-+≤R,
B. 3210x x x ∃∈-+≥R,
C. 3210x x x ∃∈-+>R,
D. 3210x x x ∀∈-+>R,
4、11cos
6
π
= （ ） A ．1
2
B ．12
-
C ．
3 D ．3-
5.一工厂生产了某种产品24000件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，现采用分层抽样的方法对这批产品进行抽样检查．已知从甲、乙、丙3条生产线依次抽取的个体数恰好组成一个等差数列，则这批产品中乙生产线生产的产品数量是( ) A ．12000 B ．8000 C ．6000 D ．4000 6．直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( )
A ．相切
B ．相交
C ．相离
D ．随a 的变化而变化 7. 设函数f (x )在定义域内可导，y =f (x )的图象如图1所示，则导函数y =f
(x )的图象
可能为（ ）
8、已知43sin()sin ,0,32ππααα++=--<<则2cos()3
π
α+等于（ ）
A 、45
B 、35-
C 、35
D 、45-
9 若0.23a =， πlog 3b =，32
log cos
4
c π=，则 （ ） A ．b c a >>
B ． b a c >>
C ．a b c >>
D ．c a b >>
10、已知函数)2
||,0,0)(sin()(π
ϕωϕω<
>>+=A x A x f 的部分图象如右图所示，则函数)(x f 的
解析式为（ ） A 、)4
8sin(2)(π
π+=x x f
B 、 )48sin(2)(π
π-=x x f C 、)438sin(2)(π
π+=x x f
D 、)438sin(2)(π
π-=x x f
11.过非等轴双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点A 作斜率为 1-的直线，该直线与双曲线
的两条渐近线的交点分别为,B C ．若1
2
AB BC =，则双曲 线的离心率是 ( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．10
12、已知函数)(x f y =是定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图象关于点)0,1( 对称. 若对任意的R y x ∈, ，不等式 0)12()1(22≤-+-+-+x x f y x f 恒成立， 则224y x +的最小值是（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、2
二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某地区100名工人的工资频率分布直方图，则100名工人的工资的 中位数为 ；
14．抛物线的焦点为椭圆14252=+y x 的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为 ；
15．如图，靠山有一个水库．某人先从水坝的底部A 测得
水坝对面
的山顶P 的仰角为 45，再沿坝面向上走80米到水坝的
顶部B 测得 45=∠ABP ，若坝面与水平面所成的锐角为 30，则山高为 米.
16. 用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，
则f (x )的最大值为 ；
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

17.（本题满分12分）
已知b a ,分别是ABC ∆内角B A ,的对边，且,sin cos 3sin 2B A a A b =函数
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈-=2,0,2sin 2sin sinAcos )(2
2πx x A x x f ， （1）求A;
（2）求函数)(x f 的值域；
18. （本题满分12分）
某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四实试验，到的数据如下：
零件的个数x （个）
2
3 4 5 加工的时间y （小时） 2.5
3
4
4.5
（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； （2）求出y 关于x 的线性回归方程，
并在坐标系
中画出回归直线；
（3）试预测加工10个零件需要多少时间？
（注：
19.（本题满分12分）
某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落
在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，
量其内径尺寸，得结果如下表：
甲厂：
分组
[29.86，
29.90)
[29.90，
29.94)
[29.94，
29.98)
[29.98，
30.02) 分组
[30.02，
30.06)
[30.06，
30.10)
[30.10，
30.14)
频数9261 4
乙厂：
分组[29.86，29.
90)
[29.90，
29.94)
[29.94，
29.98)
[29.98，
30.02)
频
数
297185159
分组[30.02，
30.06)
[30.06，
30.10)
[30.10，
30.14)
频数766218
(1)分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；
(2)由以上统计数据填写2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
附:
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
,其中n a b c d
=+++
2
(P K k
≥）0.10 0.05 0.02
5
0.01
0.00
5
频数126386182
20．（本题满分12分）
已知，椭圆C 以过点A （1，
3
2
），两个焦点为（－1，0）（1，0）。

（1） 求椭圆C 的方程；
（2） E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF
的斜率为定值，并求出这个定值。

21. （本小题满分12分）
已知()22(0)b
f x ax a a x
=+
+->的图像在点(1,(1))f 处的切线与直线21y x =+平行. （Ⅰ）求a ，b 满足的关系式； （Ⅱ）若()2ln )f x x ≥∞在[1,+上恒成立，求a 的取值范围.
（Ⅲ）证明：11
111(21)()35
21221
n
n n n n ++++
+
>++-+n *∈N ）
22.（本小题满分10分）
已知直线l 的参数方程是)(24222
2是参数t t y t x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+==
，圆C 的极坐标 方程为)4
cos(2π
θρ
+
=．
（1）求圆心C 的直角坐标；
（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．
2021届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期期中考试
数学（理）试题参考答案
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在下面横线上.
13、____2400_____ 14、_____
x y 42=__
15、____________80____ 16、_______6__
17. （1）由正弦定理得 B A A B sin sinAcos 3sin sin 2
=
内角的对边为ABC b a ∆, A A cos 3sin =∴ ...........3分
3
π=
∴A .......................5分
（2）由（1）可知x x x f 2sin 4
1
cos 23)(2-=
化简得 4
3
62cos 21)(+
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
πx x f .....................9分 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,
0πx 67626πππ≤+≤∴x .............10分 ∴函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡234
2-3， ..........12分
18、解：（1）散点图如图 ............3分
（2）由表中数据得：
回归直线如图中所示。

.............9分
（3）将x=10代入回归直线方程，得（小时） (12)
分
19．解(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，
从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360
500
×100%＝72%； .........2分
乙厂抽查的产品中有320件优质品，
从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320
500
×100%＝64% ............4分
(2)由列联表中的数据，得
甲厂乙厂总计
优质品360320680
....................6分
2K ＝
1 000×360×180－320×1402
680×320×500×500
≈7.353>6.635 ...........11分
所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”． ..........12分
20解：（Ⅰ）由题意，c ＝1,可设椭圆方程为
22
22
114x y b b +=+。

因为A 在椭圆上，所以2219114b b +=+，解得2b ＝3，2
b ＝34-
（舍去）。

所以椭圆方程为 22
143
x y +=． ．．．．．．4分
（Ⅱ）设直线ＡＥ方程：得3
(1)2
y k x =-+，代入22143x y +
=得 2223
3+4+4(32)4()1202
k x k k x k -+--=（）
设Ｅ（E x ，E y ），Ｆ（F x ，F y ）．因为点Ａ（1，3
2
）在椭圆上，所以
22
3
4()12
234E k x k --=+， 3
2
E E y kx k =+-。

．
．．．．．．8分 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以k -代k ，可得
22
3
4()12
2
34F k x k +-=+， 3
2
F F y kx k =-++。

所以直线EF 的斜率()21
2
F
E F E EF F E F E y y k x x k k x x x x --++===--。

即直线EF 的斜率为定值，其值为1
2。

．．．．．．．12分
21. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）2)(x
b
a x f -='，根据题意2)1(=-='
b a f ，即2-=a b ………2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a x
a ax x f 222
)(-+-+=， 非优质品 140 180 320 总计
500
500
1 000
令x x f x g ln 2)()(-=x a x
a ax ln 2222
--+-+
=，[)1,x ∈+∞ 则0)1(=g ，x x a a x g 22)(2---='=2
)
2)(1(x
a a
x x a --- ①当10<<a 时，12>-a
a
，
若21a
x a -<<，则'()0g x <，()g x 在[1,)+∞减函数，所以()(1)0g x g <=，即()2ln f x x ≥在
[1,)+∞上恒不成立．
②1a ≥时，
21a
a
-≤，当1x >时，'()0g x >，()g x 在[1,)+∞增函数，又(1)0g =，所以()2ln f x x ≥．
综上所述，所求a 的取值范围是[1,)+∞ ……………………8分 （Ⅲ）有（Ⅱ）知当1≥a 时，x x f ln 2)(≥在[)1,+∞上恒成立．
取1=a 得x x
x ln 21
≥-
令11212>-+=n n x ，*N n ∈得1212ln
212121212-+>+---+n n n n n n ， 即121
2ln
2)1221(1221-+>+---+n n n n 所以)1
21
121(211212ln 21121+--+-+>-n n n n n
上式中n=1，2，3，…，n ，然后n 个不等式相加得到 11111ln(21)3521221
n
n n n ++++>++
-+………………………12分 22．（I ）θθρsin 2cos 2-= ，
θρθρρsin 2cos 22-=∴， …………（2分） 02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆， …………（3分）
即1)22()22(22=++-
y x ，)2
2,22(-∴圆心直角坐标为．…………（5分） （II ）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是
6224)4(4081)242
222()2222(
2222≥++=++=-+++-t t t t t ， …………（8分） ∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62 …………（10分）
方法2：024=+-∴y x l 的普通方程为直线， …………（8分）
圆心C 到l 直线距离是
52
|242222|
=++，
∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=- …………（10分）。