离散数学(对偶和范式)
离散数学---范式
3. 对偶原理
若AB,则A * B * 证:设因则故永P为真1.AA, A((P(P┐2P1,…P1, P,1,P,P2┐2,n…是,…P,出P2,P,n…现)n),于┐BAB(P和(PnP1)B,1中P, P2B的,2(…,┐所…,PP,有Pn1)n,原)永┐子真P变2.,…元,.┐Pn)
由定理1.7.1得 ┐A*(P1 , P2 ,…,Pn)┐B*(P1 , P2 ,…,Pn )
( p∨ s∨ q)∧( p∨ s∨ r) 分配律 合 取范式
课堂作业: 求( p→q)→(q∨p)的析(合)取范式。 q∨p
1. 极小项: P~1 ∧P~2 ∧… ∧P~n ,(P~i 为Pi或Pi)中, 1) n个变元全部出现;
西 2) n个变元的位置有序;
华 大 学
极大2)项P:i、P~1P∨i不P~同2∨时…出∨现;P~n
法一:Ap∧(q∨r) 合取范式
西
……
华
大 学
(p∨q∨r) ∧(p∨q∨r) ∧
(p∨q∨0r) ∧0 (p0∨q∨0 0r) 1∧
(p0∨1q∨0r) ∧(0 p∨1 q∨1 r)
0
10
1
10
M 0∧M1 ∧M2 ∧M3 ∧M6(主合取范式 (0,1,2,3,6))
m4∨m5∨m7
(主析取范式 (4,5,7) )
§1.5范式
从前面的讨论可知,存在大量互不相同的命题公式,实
西 华 大 学
际上互为等价,因此,有必要引入命题公式的标准形式, 使得相互等价的命题公式具有相同的标准形式。这无 疑对判别两个命题公式是否等价以及判定命题公式的 类型是一种好方法,同时对命题公式的简化和推证也是
十分有益的.
命题公式的标准形式: • (主)析取范式 • (主)合取范式
对偶公式离散数学
对偶公式离散数学对偶公式是离散数学中的一种重要概念,它与图形的对称性有关,可以帮助我们更好地理解图形的结构特征和性质。
在本文中,我将讨论对偶公式的定义、证明、应用等方面,以帮助读者更好地理解这一概念。
对偶公式的定义对偶公式是指将一个平面图形的所有面和所有点互换得到的另一个平面图形,两个图形互为对偶关系。
具体来说,对于一个给定的平面图形G=(V,E),我们可以定义它的对偶图G某=(V某,E某),使得G和G某满足以下两个条件:1.G和G某的所有面和所有点一一对应。
2.对于G中的任意两个面,它们相邻当且仅当它们对应的点在G某中相邻;对于G某中的任意两个面,它们相邻当且仅当它们对应的点在G中相邻。
对偶公式的证明对于平面图形G=(V,E),我们可以通过以下步骤来证明它的对偶图G 某=(V某,E某)存在:1.根据欧拉公式,我们有:,V,-,E,+,F,=2,其中,V,E,F,分别表示G中的点数、边数和面数。
2.我们将G中的每一个面向外“翻面”,得到一个新图形G',它的每个面都是由原来的面与周围的边所围成的一块区域。
3.我们将G'中的每个交点都插入一个新的点,得到一个新图形H。
4.我们将H中每个面都向外“翻面”,得到一个新图形H',它的每个面都是由原来的面与周围的点所围成的一块区域。
5.我们可以发现,H'中的每个面都对应着G中的一个点,且H'中的每个点都对应着G中的一个面。
因此,我们可以定义G某=(V某,E某),其中V某为H'中的点集,E某为H'中的边集,且G某为G的对偶图。
通过上述证明,我们可以看出,对偶公式的存在并不依赖于G是否为平面图形,而只与G中的面、点、边之间的关系有关。
对偶公式的应用对偶公式在离散数学中有着广泛的应用,包括图论、拓扑学、计算几何等领域。
以下是一些典型的应用场景:1. 图论中常常使用对偶公式来证明定理或推导算法。
例如,通过对偶公式可以证明Planar Graph的最大独立集大小小于等于4/3 某最小顶点覆盖大小。
离散数学总结
总结下就是任意可以改成存在,存在不能变成 任意所以先做存在。 任意(推出ห้องสมุดไป่ตู้则先用德摩根律把推出给换了, 在把量词放进去! 有限集合中元素的个数称为集合的基数 (cardinality). 集合A的基数表示为|A|(或card(A)=n). n card(P(A)=2 )幂集 设A, B为两个集合,A=B当且仅当AB且B A. 即A=B(AB) (B A)
个人. 则命题符号化为:
(x)(y)(F(x) F(y) H(x, y) L(x, y))
(8) 每个自然数都有后继数.
解: 引入特性谓词 F(x) : x是自然数.并设 H(x, y):y是x的后继数. 则命题符号化为: (x)(F(x) (y) (F(y) H(x, y))
证: 任取x,则
xA∩ (B∪C) xA xB∪C xA (xB x C) (xA xB) (xA xC) x A∩B x A∩C
x (A∩B)∪(A∩C)
推广
三、集合中元素的计数
|A∪B∪C |A||B|| |A∩B ||A∩C||B∩C| |A∩B∩C | C| |
(x)A(x) (x)B(x)
量词转化律
E20
三、谓词演算的等价式与蕴含式
(三) 谓词演算中常见的蕴含式: (1)(x)A(x)(x)B(x) (x)(A(x)B(x)) (2)(x)(A(x)B(x)) (x)A(x)(x)B(x) (1), (2)两式反过来均不成立. 反例 设个体域为自然数集合, A(x): x为奇数. B(x): x为偶数.则 (1)(x)(A(x)B(x))为真, 而(x)A(x)为假, (x)B(x)为假, 故(x)A(x)(x)B(x)为假, 所以(1)式反过来不成立; (2)(x)A(x)为真,(x)B(x)为真, 故(x)A(x)(x)B(x)为真, 但(x)(A(x)B(x))为假, 所以(2)式反过来也不成立.
离散数学.第1章
例4
设P:我们去看电影。Q:房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
10
3. 析取“∨”(相容或)[讲解教材P3-5关于或]
4. 定义1.3
由命题P和Q利用“∨”组成的复合命题,称 为析取式复合命题,记作“P∨Q”(读作“P或Q”)。 当且仅当P和Q至少有一个取值为真时,P∨Q取值为真。
练习1-1
1. 判断下列语句哪些是命题,若是命题,则指出其真值。
(1) (2) 只有小孩才爱哭。 X+6=Y ( 是 假 ) ( 不是 ) (是 真) ( 不是 )
(3)
银是白的。
(4) 起来吧,我的朋友。 2. 将下列命题符号化
(1) 我看见的既不是小张也不是老李。 解 令P:我看见的是小张;Q:我看见的是老李。 则该命题可表示为¬ P∧¬ Q (2) 如果晚上做完了作业并且没有其它的事,他就会 看电视或听音乐。 解 令 P:他晚上做完了作业;Q:他晚上有其它的事; R:他看电视; S:他听音乐。 则该命题可表示为(P∧¬ Q)→(R∨S)
28
1.3 等值演算
• 定义1.10 设A和B是两个命题公式, 若等价式A↔B 是重言式,则称公式A 和B等值,记为A B,称 AB为等 值式。
• 注意: (1)符号“”与“↔”的区别与联系 “”不是联结词,AB不表示一个公式, 它表示两个公式间的一种关系,即等值关系。 “↔”是联结词,A↔B是一个公式。 AB 当且仅当 A↔B 是永真公式。
1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1
1 1 0 1 0 0 0 1
1.7对偶与范式
B*(P1 , P2 ,…, Pn)→A*(P1 , P2 ,…, Pn)永真. 所以 B* A* .
2020/2/12
1.7.2命题公式的析(合)取范式
从前面的讨论可知,存在大量互不相同的命题 公式,实际上互为等价,因此,有必要引入命 题公式的标准形式,
使得相互等价的命题公式具有相同的标准形 式。这无疑对判别两个命题公式是否等价以 及判定命题公式的类型是一种好方法,同时对 命题公式的简化和推证也是十分有益的.
因此 A*B* .
2020/2/12
例1:因为: P(PQ)P 由对偶原理: P(PQ) P
例2: 若A1 则 A*(1)* 即 A*0. 例3: 设A为 (PQ)(┐P(┐PQ)),B为┐PQ,
且AB,则 A*B* ┐PQ.
2020/2/12
定理1.7.3:设A,B为两个仅含有联结词┐,,的命题 公式, 若AB,则 B*A*。
解: 原式┐(┐(P∨Q)∨R)∨P P∨(Q∧┐R) (析取范式) (P∧(Q∨┐Q)∧(R∨┐R))∨((P∨┐P)∧ (Q∧┐R)) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧┐R)∨(P∧┐Q∧R)∨
(P∧┐Q∧┐R)∨(P∧Q∧┐R)∨(┐P∧Q∧┐R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧┐R)∨(P∧┐Q∧R)∨
离散数学14
例题5 求(P ∧( Q → R)) →S的合取范式。
解
(P ∧( Q → R)) →S
┐(P ∧ (┐Q ∨R)) ∨S ┐P ∨(Q ∧┐R) ∨S (┐P ∨S) ∨ (Q ∧┐R)
定义1-7.1 在给定的命题公式中,将联结词∨换 成∧,将∧换成 ∨,若有特殊变元F和T亦相互 取代,所得公式A*称作A的对偶式。
例题1 写出下列表达式的对偶式。
A
(a)(P∨Q) ∧R (b)(P∧Q) ∨T (c)┐(P ∨Q) ∧ (P∨ ┐(Q ∧ ┐S))
A*
(P ∧ Q) ∨ R (P ∨ Q) ∧ F ┐(P ∧ Q) ∨ (P ∧ ┐(Q ∨ ┐S))
如┐(P∧Q )∧(P∨Q)的主合取范式为 (┐P∨┐Q ) ∧(P∨Q)
10、求一个命题公式的主合取范式的方法
(1) 真值表法 定理1-7.4 在真值表中,一个公式的真值为F的指 派所对应的大项的合取,即为此公式的主合取范式。 证明与定理1-7.3相同。
定理1-7.2 设P1, P2 ,…,Pn是出现在公式A和B中的 所有原子变元,如果A B,则A* B*。
证明 因为A B,即
A(p1,p2,…,pn)
B(p1,p2,…,pn)
是一个重言式,故 A(┐p1, ┐p2,…, ┐pn)
B(┐p1, ┐p2,…, ┐pn)
也是一个重言式。即
定理1-7A.(2的p1,作p用2, :,为pn )AB(Bp又1,提p2,供,了p一n ) 种方法。 其(由他1定)方理真1法-值7:.1表得法 (2)利用A命*(题p1,定p2律, 推, p导n )证明B *( p1, p2, , pn ) (3)证明AB为永真式 (因4此)证明A=>BA且* B=B>*A
离散数学-1-7对偶与范式
对偶式的应用
总结词
对偶式在离散数学中广泛应用于公式推导和证明。
详细描述
对偶式在离散数学中具有广泛的应用价值。在公式推导和证明中,通过对偶式可 以将复杂的逻辑公式简化,使得推导和证明过程更加简洁明了。同时,对偶式也 是范式的一个重要组成部分,可以帮助我们更好地理解和应用范式。
02
范式的定义与性质
范式的定义
离散数学-1-7对偶与 范式
目录
• 对偶式的定义与性质 • 范式的定义与性质 • 对偶式与范式的关系 • 对偶式与范式在离散数学中的应用 • 离散数学中的其他概念
01
对偶式的定义与性质
对偶式的定义
总结词
对偶式是指将一个逻辑公式中的所有运算符进行替换,从而得到的新公式。
详细描述
在离散数学的逻辑公式中,对偶式是通过将公式中的所有运算符进行替换而得 到的。具体来说,如果原公式中的运算符是"¬",则替换为"→";如果是"∧", 则替换为"∨";如果是"∨",则替换为"∧"。
对偶式的性质
总结词
对偶式的性质包括交换律、结合律和分配律。
详细描述
对偶式的性质包括交换律、结合律和分配律。交换律是指对偶式的运算顺序可以交换,即运算结果不受顺序影响; 结合律是指对偶式的运算可以任意组合,即运算结果不受组合方式影响;分配律是指对偶式的运算可以分配到其 他运算中,即运算结果不受分配方式影响。
VS
范式则用于表示概率分布的性质,例 如表示概率分布的期望、方差等。
05
离散数学中的其他概念
离散概率论中的其他概念
离散概率
研究离散随机事件的数学分支,主要涉及概率空间、 随机变量、概率分布等概念。
《离散数学》总复习上课讲义
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算(重点) 3.3 集合中元素的计数(容斥原理是重点)
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系:属于xA,不属于xA 集合A与集合B的关系:习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1:命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假,即 当p为假时,pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时,pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1};哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1:前束范式(重点)
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx,kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成(置换规则) 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
离散数学对偶式
离散数学对偶式离散数学对偶式:1. 什么是离散数学对偶式离散数学对偶式(简称DMS)是一种简单的数学表达方式,它用于表示由不同对象和对应关系建立而成的模型。
它包含一系列有限变量,以及这些变量之间存在的条件,所以它也可以被用来描述许多具体的数学概念,并被用于求解复杂的问题。
DMS在数学学的一般习语中通常称为“对偶”形式。
2. 离散数学对偶式的历史DMS出现于20世纪60年代,最初由英国数学家Bertrand Russell和Alfred North Whitehead发明,他们用离散数学对象进行离散数学运算,从而把无限数量的离散数学表达式转换成有限数量的表达式。
此外,一些科学家和数学家宣称,这种方法比以前的方法更有效率。
随着DMS被人们接受,它被用于许多不同的领域,例如计算机科学和统计学,以及流体力学和运筹学的研究领域。
3. 离散数学对偶式的优势DMS有许多优势,比如它能够避免无限数量的表达式,而像数学学家Bertrand Russell等人所做的只能处理有限数量的表达式。
此外,它也能够抽象地表达复杂的问题,因此可以更有效地解决实际问题。
此外,它还可以被用于求解许多有趣的数学和逻辑问题,它还可以被用来计算机程序,用来完成复杂的计算。
4. 离散数学对偶式的应用DMS可以用于许多领域。
它可以用于计算机科学,运筹学,统计学,流体力学,数学建模以及许多其他领域。
DMS也可以用于解决许多复杂的问题,包括逻辑问题,数学问题,科学问题和工程研究问题等。
此外,由于它的简单性,可以被用于计算机程序,用来完成复杂的计算。
5. 结论DMS是一种由变量和条件组成的简单数学表示方式,它可以用于求解复杂问题,以及用于计算机程序的复杂计算。
其优势在于可以避免无限数量的表达式,并且能把复杂的问题抽象表达出来,使问题变得更加容易被解决。
它也可以被广泛应用于不同的领域,包括计算机科学,数量分析,统计学,流体力学,运筹学等。
离散数学-第二章命题逻辑
设A( P1,P2,…,Pn )是一个命题公式,
P1,P2,…,Pn是出现于其中的全部命题变元,对P1, P2,…,Pn分别指定一个真值,称为对P1,P2,…,Pn公式A 的一组真值指派。
列出命题公式A在P1,P2,…,Pn的所有2n种真值指 派下对应的真值,这样的表称为A的真值表。
16
例3
值表。
例12 用符号形式表示下列命题。
(1) (2) 如果明天早上下雨或下雪,那么我不去学校 如果明天早上不下雨且不下雪,那么我去学校。
(3)
(4)
如果明天早上不是雨夹雪,那么我去学校。
只有当明天早上不下雨且不下雪时,我才去学校。 解 令P:明天早上下雨; Q:明天早上下雪; R:我去学校。 (1)(P∨Q)→ ¬ R; (2)(¬ ∧¬ P Q)→R; (3)¬ (P∧Q)→R (4)R→(¬ ∧¬ Q) P
4
例4
2.合取“∧” 定义2.2.2
设P和Q是两个命题,则P和Q的合取 是一个复合命题,记作“P ∧ Q”(读作“P且Q”)。
当且仅当命题P和Q均取值为真时,P ∧ Q才取值为真。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∧Q 0 0 0 1
例5
设P:我们去看电影。Q:房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
5
3. 析取“∨” 定义2.2.3
设P和Q是两个命题,则P和Q的析取是一个复 合命题,记作“P∨Q”(读作“P或Q”)。
当且仅当P和Q至少有一个取值为真时,P∨Q取值为真。
P
0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∨Q 0 1 1 1
例6 设命题P:他可能是100米赛跑冠军;
Q:他可能是400米赛跑冠军。
对偶式离散数学
对偶式离散数学
对偶式离散数学是一种研究离散结构的数学分支,它主要关注离散结构中的对偶性和对称性。
对偶性是指将一个数学结构中的某些概念和操作进行转换,得到另一个相对应的数学结构,两个结构之间存在一种相似性或者映射关系。
对偶性的概念在离散数学中具有广泛的应用,可以用来研究图论、集合论、代数结构等多个领域。
对偶式离散数学的一个重要方面是对偶图(dual graph)。
在图论中,对偶图是指将原始图中的节点和边进行转换,得到一个新的图。
对偶图与原始图具有一一对应的关系,并且它们在某些性质上是相同的。
通过对偶图的研究,可以更好地理解原始图的特征和结构。
另一个重要的概念是对偶算子(dual operator)。
对偶算子是指将一个向量空间中的线性算子转化为另一个向量空间中的线性算子。
对偶算子可以用来描述向量空间中的对称性和共轭性质。
在代数结构中,对偶算子的概念也得到广泛的应用,特别是在线性代数和泛函分析中。
对偶式离散数学还包括对偶关系的研究。
对偶关系是指两个数学结构之间的一种对应关系,通过这种对应关系可以建立两个结构之间的联系。
对偶关系可以用来研究不同领域中的相似性和等价性,进而推导出一些结构和性质之间的等价关系。
总之,对偶式离散数学是一门研究离散结构中对偶性和对称性的数学学科。
它通过对偶图、对偶算子和对偶关系的研究,揭示了离散结构中的一些隐藏规律和性质,为离散数学的发展提供了新的视角和方法。
离散数学公式
基本等值式1.双重否定律 A ⇔┐┐A2.幂等律 A ⇔ A∨A, A ⇔ A∧A3.交换律A∨B ⇔ B∨A,A∧B ⇔ B∧A4.结合律(A∨B)∨C ⇔ A∨(B∨C) (A∧B)∧C ⇔ A∧(B∧C)5.分配律A∨(B∧C) ⇔ (A∨B)∧(A∨C) (∨对∧的分配律)A∧(B∨C) ⇔ (A∧B)∨(A∧C) (∧对∨的分配律)6.德·摩根律┐(A∨B) ⇔┐A∧┐B ┐(A∧B) ⇔┐A∨┐B7.吸收律 A∨(A∧B) ⇔ A,A∧(A∨B) ⇔ A8.零律A∨1 ⇔ 1,A∧0 ⇔ 09.同一律A∨0 ⇔ A,A∧1 ⇔ A10.排中律A∨┐A ⇔ 111.矛盾律A∧┐A ⇔ 012.蕴涵等值式A→B ⇔┐A∨B13.等价等值式A↔B ⇔ (A→B)∧(B→A)14.假言易位A→B ⇔┐B→┐A15.等价否定等值式 A↔B ⇔┐A↔┐B16.归谬论(A→B)∧(A→┐B) ⇔┐A求给定公式范式的步骤(1)消去联结词→、↔(若存在)。
(2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根律)。
(3)利用分配律:利用∧对∨的分配律求析取范式,∨对∧的分配律求合取范式。
推理定律--重言蕴含式(1) A ⇒ (A∨B) 附加律(2) (A∧B) ⇒ A 化简律(3) (A→B)∧A ⇒ B 假言推理(4) (A→B)∧┐B ⇒┐A 拒取式(5) (A∨B)∧┐B ⇒ A 析取三段论(6) (A→B) ∧(B→C) ⇒ (A→C) 假言三段论(7) (A↔B) ∧(B↔C) ⇒ (A ↔ C) 等价三段论(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) ⇒(B∨D) 构造性二难(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) ⇒ B 构造性二难(特殊形式)(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D) ⇒(┐A∨┐C)破坏性二难设个体域为有限集D={a1,a2,…,an},则有 (1)∀xA(x) ⇔ A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an) (2)∃xA(x) ⇔ A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x 的公式,则 (1)┐∀xA(x) ⇔ ∃x ┐A(x) (2)┐∃xA(x) ⇔ ∀x ┐A(x)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x 的公式,B 中不含x 的出现,则 (1) ∀x(A(x)∨B) ⇔ ∀xA(x)∨B ∀x(A(x)∧B) ⇔ ∀xA(x)∧B ∀x(A(x)→B) ⇔ ∃xA(x)→B ∀x(B →A(x)) ⇔ B →∀xA(x) (2) ∃x(A(x)∨B) ⇔ ∃xA(x)∨B∃x(A(x)∧B) ⇔ ∃xA(x)∧B ∃x(A(x)→B) ⇔ ∀xA(x)→B∃x(B →A(x)) ⇔ B →∃xA(x)设A(x),B(x)是任意的含自由出现个体变项x 的公式,则 (1)∀x(A(x)∧B(x)) ⇔ ∀xA(x)∧∀xB(x) (2)∃x(A(x)∨B(x)) ⇔ ∃xA(x)∨ ∃xB(x)全称量词“∀”对“∨”无分配律。
离散数学-1-7 对偶与范式
(2)利用双重否定律消去否定联结词“¬”或利用德摩根 律将否定联结词“¬”移到各命题变元前(¬内移)
⑶利用分配律、结合律将公式归约为合取范式或析取
范式。 P ∧(Q ∨R) ?
13
二、析取范式与合取范式
例:求命题公式(P∨Q)↔P的合取范式和析取范式。
10
二、析取范式与合取范式
定义(补充)仅有有限个命题变元或其否 定构成的合(析)取式称作简单合(析)取式。 如:
┐P,Q等为一个文字(一个命题变元或它的否定称为文字)构成的简 单合取式,┐P∧P,P∧┐Q等为2个文字构成的简单合取, P∧Q∧┐R,┐P∧P∧Q等为3个文字构成的简单合取式
P,┐Q等为一个文字(一个变元或变元的否定)的简单析趋式, P∨┐P,┐P∨Q等为2个变元(或变元的否定)简单析取式, ┐P∨┐Q∨R,P∨┐Q∨R等为3个文字构成的简单析取式。
所以,¬A(P,Q,R) A*(¬P,¬Q,¬R)
⑵验证 A(¬P,¬Q,¬R)¬A*(P,Q,R) A(¬P,¬Q,¬R)(¬P∨¬Q)∧¬R ¬((P∧Q)∨R)¬A*(P,Q,R)
6
一、对偶式与对偶原理
定理1-7.2 设P1,P2,…,Pn是出现在公式A和B中 的所有原子变元,如果AB,则A*B*。
11
二、析取范式与合取范式
定义1-7.2 一个命题公式称为合取范式,当且仅 当它具有形式:
A1∧A2∧……∧An (n 1)
其中A1,A2,……,An 都是简单析取式。 如: (P∨┐Q∨R)∧(┐P∨Q)∧┐Q 定义1-7.2 一个命题公式称为析取范式,当且仅 当它具有形式:
A1∨A2 ∨…… ∨An (n 1)
离散数学部分概念和公式总结(精简版)
第一章命题逻辑一、等价公式(真值表)1)常用联结词:┐否定∨析取∧合取→:条件∆:双条件当且仅当Q 取值为F 时P →Q 为F ,否则为T ★等价公式表(等值公式表)常用的其它真值表┐┐P<=>P 双重否定P ∨P<=>P P ∧P<=>P幂等律(P ∧Q)∧R<=>P ∧(Q ∧R)(P ∨Q)∨R<=>P ∨(Q ∨R)结合律P ∧Q<=>Q ∧P P ∨Q<=>Q ∨P交换律P ∧(Q ∨R)<=>(P ∧Q)∨(P ∧R)P ∨(Q ∧R)<=>(P ∨Q)∧(P ∨R)分配律P ∨(P ∧Q)<=>P P ∧(P ∨Q)<=>P 吸收┐(P ∧Q)<=>┐P ∨┐Q ┐(P ∨Q)<=>┐P ∧┐Q 德摩根P ∨F<=>P P ∧T<=>P 同一律P ∨T<=>T P ∧F<=>F 零律P ∨┐P<=>T P ∧┐P<=>F否定律常用的其它真值表P ┐P T F FTP Q P ∨Q T T T T F T F T T FFFP Q P ∧Q T T T T F F F T F F FFP Q P →Q (┐P ∨Q)T T T T F F F T T FFTP→Q<=>┐P ∨Q P ∆Q<=>(P→Q)∧(Q→P)P ∆Q<=>Q ∆PP ∆Q<=>(P ∧Q)∨(┐P ∧┐Q)┐(P ∆Q)<=>P ∆┐Q R ∨(P ∨┐P)<=>T R ∧(P ∧┐P)<=>F P→Q<=>┐Q→┐P ┐(P→Q)<=>P ∧┐Q (P→Q)∧(P→┐Q)<=>┐P P→(Q→R)<=>(P ∧Q)→R (P ∆Q)∆R<=>P ∆(Q ∆R)命题公式的类型:(1)若A在它的各种赋值下均取值为真,则称A为重言式或永真式。
《离散数学》教学大纲
《离散数学》课程教学大纲课程编号:课程中文名称:离散数学课程英文名称:Discrete mathematics课程类型:考查课课程性质:专业技术基础课总学时: 54学时理论授课学时: 46学时实验(实践)学时:8学时学分:3分适用对象:信息管理与信息系统、信息工程本科先修课程:高等数学线性代数一、编写说明(一)制定大纲的依据依据我系信息管理与信息系统、信息工程专业学科体系和特色化人才培养目标的要求,制定编写了该教学大纲,在内容上突出了《离散数学》课程的基本理论、基本知识和基本技能,反映现代科学技术的发展趋势,体现了我系的特色化人才培养模式。
(二)课程简介离散数学,是现代数学的一个重要分支,是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标,其研究对象一般是有限个或可数个元素。
《离散数学》内容主要包括: 数理逻辑中命题演算、谓词演算等形式逻辑的推理规律;集合的概念、运算及应用,集合内元素间的关系以及集合之间的关系,无限集的特性;抽象代数的基本理论和应用,格与布尔代数图论学科的基本概念、欧拉图、哈密尔顿图、最小路径算法、中国邮路问题、树及平面图的基本理论;通过该课程可以培养学生的抽象思维和慎密的概括能力,该课程主要适用于自动控制、电子工程、管理科学等有关专业,是计算机专业的必修课。
(三)课程性质、目的和任务《离散数学》课程是为计算机科学与技术专业的学生开设的一门专业基础课程。
随着计算机科学的发展和计算机应用领域的日益广泛,迫切需要适当的数学工具来解决计算机科学各个领域中提出的有关离散量的理论问题,离散数学就是适应这种需要而建立的,它综合了计算机科学中所用到的研究离散量的各个数学课题,并进行系统、全面的论述,从而为研究计算机科学及相关学科提供了有利的理论基础和工具。
是学习后续专业课程不可缺少的数学工具,如:高级语言、数据结构、编译原理、操作系统、可计算性理论、人工智能、形式语言与自动机、信息管理与检索以及开关理论等,离散数学也是研究自动控制、管理科学、电子工程等的重要工具。
离散数学定义
命题逻辑▪(论域)定义:论域是一个数学系统,记为D。
它由三部分组成:•(1)一个非空对象集合S,每个对象也称为个体;•(2) 一个关于D的函数集合F;•(3)一个关于D的关系集合R。
▪(逻辑连接词)定义•设n>0,称为{0,1}n到{0,1}的函数为n元函数,真值函数也称为联结词。
•若n =0,则称为0元函数。
▪(命题合式公式)定义:•(1).常元0和1是合式公式;•(2).命题变元是合式公式;•(3).若Q,R是合式公式,则(⌝Q)、(Q∧R) 、(Q∨R) 、(Q→R) 、(Q↔R) 、(Q⊕R)是合式公式;•(4).只有有限次应用(1)—(3)构成的公式是合式公式。
▪(生成公式)定义1.5 设S是联结词的集合。
由S生成的公式定义如下:•⑴若c是S中的0元联结词,则c是由S生成的公式。
•⑵原子公式是由S生成的公式。
•⑶若n≥1,F是S中的n元联结词,A1,…,A n是由S生成的公式,则FA1…A n 是由S生成的公式。
▪(复杂度)公式A的复杂度表示为FC(A)•常元复杂度为0。
•命题变元复杂度为0,如果P是命题变元,则FC (P)=0。
•如果公式A=⌝B,则FC (A)=FC(B)+1。
•如果公式A=B1∧ B2,或A=B1∨ B2,或A=B1→B2,或A=B1↔ B2,或A=B1⊕ B2,或则FC (A)=max{FC(B1), FC(B2)}+1。
▪命题合式公式语义•论域:研究对象的集合。
•解释:用论域的对象对应变元。
•结构:论域和解释称为结构。
•语义:符号指称的对象。
公式所指称对象。
合式公式的语义是其对应的逻辑真值。
▪(合式公式语义)设S是联结词的集合是{⌝,∧,∨,⊕,→,↔}。
由S生成的合式公式Q在真值赋值v下的真值指派v(Q)定义如下:•⑴v(0)=0, v(1)=1。
•⑵若Q是命题变元p,则v(A)= pv。
•⑶若Q1,Q2是合式公式▪若Q= ⌝Q1,则v(Q)= ⌝v(Q1)▪若Q=Q1 ∧ Q2,则v(Q)=v(Q1)∧ v(Q2)▪若Q=Q1∨Q2,则v(Q)=v(Q1)∨v(Q2)▪若Q=Q1→ Q2,则v(Q)=v(Q1)→ v(Q2)▪若Q=Q1 ↔ Q2,则v(Q)=v(Q1)↔ v(Q2)▪若Q=Q1⊕ Q2,则v(Q)=v(Q1)⊕ v(Q2)▪(真值赋值)由S生成的公式Q在真值赋值v下的真值v(Q)定义如下:•⑴若Q是S中的0元联结词c,则v(Q)=c。
离散数学
第一章命题逻辑1.1 命题及其表示方法1.2 联结词1.3 命题公式与翻译1.4 真值表与等价公式1.5 重言式与蕴含式1.6 其它联结词1.7 对偶与范式1.8 推理理论1.1 命题及其表示方法命题:具有确定真值的陈述句命题的类型(原子命题和复合命题)命题的表示(一个命题标识符(比如P)表示确定的命题)重点:如何判断语句是否为命题。
1.2 联结词否定⌝合取∧析取∨条件→双条件↔重点:五种联结词的含义、真值表1.3 命题公式与翻译命题公式符号化:所谓命题的符号化就是把一个用文字叙述的句子相应地写成由命题标识符、联结词和括号表示的合式公式。
命题符号化的重要性命题符号化是很重要的,一定要掌握好,在命题推理中最先遇到的就是符号化一个问题,解决不好,等于说推理的首要前提没有了。
重点:命题的符号化符号化应该注意下列事项:①确定给定句子是否为命题。
②句子中连词是否为命题联结词。
③要正确地表示原子命题和适当选择命题联结词。
1.4 真值表与等价公式真值表的构造方法(1) 找出公式中所含的全体命题变元P1, P2, …, Pn, (若无下角标就按字典顺序排列), 列出2n个赋值. 赋值从00…0开始, 然后按二进制加法依次写出各赋值, 直到11…1为止.(2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次.(3) 对应各个赋值计算出各层次的真值, 直到最后计算出公式的真值.等价关系的含义等价式的判别方法•真值表法•等价演算法基本等价式(必须掌握)(1)对合律(双重否定):⌝⌝P⇔P(2)幂等律:P∧P⇔P,P∨P⇔P(3)结合律:(P∧Q)∧R⇔P∧(Q∧R),(P∨Q)∨R⇔P∨(Q∨R)(4)交换律:P∧Q⇔Q∧P,P∨Q⇔Q∨P(5)分配律:P∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R),P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)(6)德·摩根律:⌝ (P∧Q) ⌝⇔P∨⌝Q,⌝ (P∨Q) ⌝⇔P∧⌝Q(7)吸收律:P∧(P∨Q)⇔P,P∨(P∧Q)⇔P(8)同一律:P∧T⇔P,P∨F⇔P(9)零律:P∧F⇔F,P∨T⇔T(10)否定律:P∧⌝P⇔F,P∨⌝P⇔T(11) 条件式转化律:P→Q⌝⇔P∨Q,P→Q⌝⇔Q→⌝P(12) 双条件式转化律:P↔Q ⇔(P→Q)∧(Q→P) ⇔(P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q)⌝ (P↔Q) ⇔P⌝↔Q ⌝⇔P↔Q(13) 输出律(CP规则):P→(Q→R) ⇔(P∧Q)→R重点:等价式的证明、基本等价式1.5 重言式与蕴含式重言式或永真公式定义1-5.1 给定一命题公式,若无论对分量作怎样的指派,其对应的真值永为真,则称该命题公式为重言式或永真公式。
离散数学1.7
18
n
n
小项 mi
大项 Mi 指派I 指派I
1 0
1
0
0 1
mi为1的 指派I
Mi为0的 指派I
变元的否定
I下为1的 小项mi
I下为0的 大项Mi
19
0
1 变元的否定
离散数学
例
例设 G=(P→Q)∧ R,求出它 的主析取范 式和主合取 范式。
解:首先列出其 真值表如下:
P Q R P→Q (P→Q)∧R 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
离散数学
13
Mi∨Mj=1;i≠j;i,j∈{0,1,2,…,2n-1}
2n 1 i0
M i 0。
离散数学
14
主合取范式
定义 对于给定的命题公式,如果有一个等 价公式,它仅由大项的合取所组成,则 该等价式称作原式的主合取范式。 定义 在真值表中,一个公式的真值为 F的 指派所对应的大项的合取,即为此公式 的主合取范式。
1-7
一、对偶 最小联结词组
对偶与范式
大部分等价公式成对出现
定义 在给定的命题公式中,将联结词∨换 成∧,将∧换成∨ ,若有特殊变元F和T亦 相互取代,所得公式A*称为A的对偶式。
显然,A也为A*的对偶式。
离散数学
1
例:
例:写出下列表达式的对偶式 1) (P ∨ Q) ∧R (P ∧ Q) ∨ R 2) (P ↑ Q) ↓ T (P ↓ Q) ↑ F 3) ┐(P ∨ Q) ∧(P ∨ ┐(Q ∧ S)) ┐(P ∧Q) ∨ (P ∧ ┐(Q ∨ S))
离散数学定义
第一章命题逻辑原子命题:不包含任何联结词的命题叫做原子命题。
复合命题:至少包含一个联结词的命题称作复合命题。
重言式:给定一个命题公式,若无论对分量作怎样的指派,其对应的真值用为T。
蕴含:当且仅当P→Q是一个重言式时,我们称“P蕴含Q”,并记作P⇒Q对偶:在给定的命题公式中,将联结词⋁换成⋀,将⋀换成⋁,若有特殊边缘F和T亦相互取代,所得公式A*称为A的对偶式。
主析取范式:对于给定的命题公式,如果有一个等价公式,它仅小项的析取所组成,则该等价式称作原式的主析取范式。
主合取范式:对于给定的命题公式,如果有一个等价公式,它仅由大项的合取所组成,则该等价式称作原式的主合取范式。
第二章谓词逻辑不可满足的:一个谓词公式wff A,如果在所有赋值下都为假,则称该wff A为不可满足的。
可满足的:一个谓词公式wff A,如果至少在一种赋值下为真,则称该wff A为可满足的。
前束范式:一个公式,如果两次均在全式的开头,它们的作用域,延伸到整个公式末尾,则该公式叫做前束范式。
第三章集合与关系包含:设A,B是任意两个集合,假如A的每一个元素是B的成员,则称A为B的子集,或A包含在B内,或B包含A。
记作A⊆B,或B⊇A。
真子集:如果集合A的每一个元素都属于B,但集合B中至少有一个元素不属于A,则称A为B的真子集,记作A⊂B。
幂集:给定集合A,由集合A的所有子集为元素组成的集合,称为集合A的幂集。
集合的交:设任意两个集合A和B,由集合A和B的所有共同元素组成的集合S,称为A和B的交集,记作A⋂B。
集合的并:设任意两个集合A和B,所有属于A或属于B的元素组成的集合S,称为A和B的集合,记作A⋃B。
集合的绝对补:设E为全集,对任一集合A关于E的补E-A,称为集合A的绝对补,记作~A。
对称差:设A,B为任意两个集合,A和B的对称差为集合S,其元素或属于A,或属于B,但不能既属于A又属于B,记作A⊕B。
序偶相等:两个序偶相等,<x,y>=<u,v>,iffx=u,y=v。
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主析取范式与主合取范式(续)
用等值演算法求公式的主范式的步骤: (1) 先求析取范式 (2) 删除析取范式中所有为永假的简单合取式 (3)用等幂律化简简单合取式中同一命题变元的重 复出现为一次出现,如p∧pp。 (4) 用同一律补进简单合取式中未出现的所有命题 变元,如q,则pp∧(q∨q),并用分配律展 开之,将相同的简单合取式的多次出现化为一次 出现, 这样得到了给定公式的主析取范式。
14
极小项与极大项
说明:n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项 2n个极小项(极大项)均互不等值 用mi表示第i个极小项,其中i是该极小项成真赋值的十 进制表示. (将命题变元按字典序排列,并且把命题变 元与1对应,命题变元的否定与0对应,则可对2n个小项 依二进制数编码) 用Mi表示第i个极大项,其中i是该极大项成假赋值的十 进制表示。(将n个命题变元排序,并且把命题变元与 0对应,命题变元的否定与1对应,则可对2n个大项按 二进制数编码) mi(Mi)称为极小项(极大项)的名称. mi与Mi的关系: mi Mi , Mi mi
显然,A也是A*的对偶式。可见A与A*互为 对偶式。
2
对偶式和对偶原理
定理 设A和A*互为对偶式,p1,p2,…,pn是出现在A和 A*中的全部命题变项,将A和A*写成n元函数形式, 则 (1) A(p1,p2,…,pn) A* ( p1, p2,…, pn) (2) A( p1, p2,…, pn) A* (p1,p2,…,pn) (1)表明,公式A的否定等价于其命题变元否定的 对偶式; (2)表明,命题变元否定的公式等价于对 偶式之否定。
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主析取范式与主合取范式(续)
定理 任何命题公式都存在着与之等值的主析取范 式和主合取范式, 并且是惟一的. 用等值演算法求公式的主范式的步骤: (1) 先求析取范式(合取范式) (2) 将不是极小项(极大项)的简单合取式(简 单析取式)化成与之等值的若干个极小项的析 取(极大项的合取),需要利用同一律(零 律)、排中律(矛盾律)、分配律、幂等律等. (3) 极小项(极大项)用名称mi(Mi)表示,并 按角标从小到大顺序排序.
1.5 对偶与范式
对偶式与对偶原理 析取范式与合取范式 主析取范式与主合取范式
1
对偶式和对偶原理
定义 在仅含有联结词, ∧,∨的命题公式A 中,将∨换成∧, ∧换成∨,若A中含有0 或1,就将0换成1,1换成0,所得命题公 式称为A的对偶式,记为A*.
从定义不难看出,(A*)* 还原成A
M F。
i1
i
(d) 每个大项只有一个解释为假,且其真值0位于 主对角线上。
19
主析取范式与主合取范式
主析取范式: 由极小项构成的析取范式 主合取范式: 由极大项构成的合取范式 例如,n=3, 命题变项为p, q, r时, (pqr)(pqr) m1m3 是主析取范式 (pqr)(pqr) M1M5 是主合取范式 A的主析取范式: 与A等值的主析取范式 A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.
①
②
26
求公式的主范式(续)
qr (pp)qr (pqr)(pqr) M0M4 ②, ③代入①并排序,得 (pq)r M0M2M4
③ (主合取范式)
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主范式的用途——与真值表相同
(1) 求公式的成真赋值和成假赋值 例如 (pq)r m1m3m5 m6m7, 其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111, 其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值. 类似地,由主合取范式也可立即求出成 假赋值和成真赋值.
22
从A的主析取范式求其主合取范 式的步骤
(a)求出A的主析取范式中设有包含的小 项。 (b) 求出与(a)中小项的下标相同的大项。 (c) 做(b)中大项之合取,即为A的主合取范 式。 例如,(pq)qm1m3,则 (pq)qM0M2。
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求公式的主范式
例 求公式 A=(pq)r的主析取范式与主合 取范式. (1) 求主析取范式 (pq)r (pq)r , (析取范式) ① (pq) (pq)(rr) (pqr)(pqr) m6m7 , ②
成假 赋值
名称 M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
17
000 001 010 011 100 101 110 111
000 001 010 011 100 101 110 111
小项的性质:
(a)没有两个小项是等价的,即是说各小项的真 值表都是不同的; (b) 任 意 两 个 不 同 的 小 项 的 合 取 式 是 永 假 的 : mi∧mjF,i≠j。
24
求公式的主范式(续)
r (pp)(qq)r (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m1m3m5m7 ③ ②, ③代入①并排序,得 (pq)r m1m3m5 m6m7(主析取范式)
25
求公式的主范式(续)
(2) 求A的主合取范式 (pq)r (pr)(qr) , (合取范式) pr p(qq)r (pqr)(pqr) M0M2,
pqr ,pqr,pqr,pqr。
13
极小项与极大项
定义 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中, 若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一 次,而且第i(1in)个文字出现在左起第i位上,称这样 的简单合取式(简单析取式)为极小项(极大项). 例如,由两个命题变元p和q,构成大项有pq,pq, pq,pq;三个命题变元p,q和r,构成pqr, pqr , pqr , pqr , pqr , pqr , pqr,pqr。
主范式的用途(续)
例 某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕 业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须 满足以下条件: (1)若赵去,钱也去; (2)李、周两人中至少有一人去; (3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人; (4)孙、李两人同去或同不去; (5)若周去,则赵、钱也去. 试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出 国?
0 0 1 1
0 1 0 1
由p, q, r三个命题变项形成的极小项与极大项
极小项 公式 p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r
成真 赋值
极大项 名称 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 公式 pqr p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r
15
极小项与极大项(续)
由p, q两个命题变项形成的极小项与极大项 极小项 公式 p q p q p q pq
成真赋值
极大项 名称 m0 m1 m2 m3 公式 pq p q p q p q
成假赋值
名称 M0 M1 M2 M3
16
0 0 1 1
0 1 0 1
(c)所有小项之析取为永真:
m T。
i1
i
n
(d)每个小项只有一个解释为真,且其真值1位于 主对角线上。
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大项的性质:
(a)没有两个大项是等价的。
(b) 任 何 两 个 不 同 大 项 之 析 取 是 永 真 的 , 即 Mi∨MjT,i≠j。 n对偶原理
定理(对偶原理)设A,B为两个命题公式, 若A B,则A* B*. 有了等值式、代入规则、替换规则和对偶 定理,便可以得到更多的永真式,证明 更多的等值式,使化简命题公式更为方 便。
4
判定问题
真值表 等值演算 范式
5
析取范式与合取范式
文字:命题变项及其否定的总称 如 p, q 简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, … 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, … 注意:一个命题变元或其否定既可以是简单合取 式,也可是简单析取式,如p,q等。
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主范式的用途(续)
(2) 判断公式的类型 设A含n个命题变项,则 A为重言式A的主析取范式含2n个极小项 A的主合取范式为1. A为矛盾式 A的主析取范式为0 A的主合析取范式含2n个极大项 A为非重言式的可满足式 A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项 A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项
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主范式的用途(续)
(3) 判断两个公式是否等值 例 用主析取范式判断下述两个公式是否等值: ⑴ p(qr) 与 (pq)r ⑵ p(qr) 与 (pq)r 解 p(qr) = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m1m3 m4m5 m7 显见,⑴中的两公式等值,而⑵的不等值. 说明: 由公式A的主析取范式确定它的主合取范式,反之亦然. 用公式A的真值表求A的主范式. 30
6
析取范式与合取范式
定理: 简单合取式为永假式的充要条件是:它 同时含有某个命题变元及其否定。
定理: 简单析取式为永真式的充要条件是:它 同时含有某个命题变元及其否定。
7
析取范式与合取范式
简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, … 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, … 析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式 A1A2Ar, 其中A1,A2,,Ar是简单合取式 合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式 A1A2Ar , 其中A1,A2,,Ar是简单析取式
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极小项与极大项
定义 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中, 若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一 次,而且第i(1in)个文字出现在左起第i位上,称这样 的简单合取式(简单析取式)为极小项(极大项).