随机过程论文

湖南大学

应用随机过程课程论文

题目：马尔科夫过程的发展和应用学院名称：金融与统计学院

专业班级：11级统计二班

学生姓名：任瑞雪20111903201

1.随机过程发展简述

在当代科学与社会的广阔天地里，人们都可以看到一种叫作随机过程的数学模型：从银河亮度的起伏到星系空间的物质分布、从分子的布朗运动到原子的蜕变过程，从化学反应动力学到电话通讯理论、从谣言的传播到传染病的流行、从市场预测到密码破译，随机过程理论及其应用几乎无所不在。

一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，A.A.马尔科夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔科夫链（见马尔科夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，A.H.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，A.R.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。

2.马尔科夫过程发展

2.1马尔科夫过程简介

马尔科夫过程(MarKov Process)是一个典型的随机过程。设X(t)是一随机

过程，当过程在时刻t

0所处的状态为已知时,时刻t(t>t

)所处的状态与过程在

t

时刻之前的状态无关，这个特性成为无后效性。无后效的随机过程称为马尔科夫过程。马尔科夫过程中的时同和状态既可以是连续的，又可以是离散的。

我们称时间离散、状态离散的马尔科夫过程为马尔科夫链。马尔科夫链中，各个时刻的状态的转变由一个状态转移的概率矩阵控制。

2.2 马尔科夫过程的发展

Markov process是一类随机过程。它的原始模型马尔科夫链，由俄国数学家A.A.马尔科夫于1907年提出。该过程具有如下特性：在已知目前状态(现在)的条件下，它未来的演变(将来)不依赖于它以往的演变(过去)。例如森林中动物头数的变化构成——马尔科夫过程。在现实世界中，有很多过程都是马尔科夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔科夫过程。关于该过程的研究，1931年A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔可夫过程的理论基础。1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔科夫过程的研究开辟了新的道路。1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔科夫过程的研究。流形上的马尔科夫过程、马尔科夫向量场等都是正待深入研究的领域。

马尔科夫过程是一类重要的随机过程，它的原始模型马尔可夫链由俄国数学家A.A.马尔科夫于1907年提出。人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔科夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔科夫过程。荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔科夫过程的一个形象化的例子。青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的,当现在所处的位置已知时,它下一步跳往何处和它以

往走过的路径无关。如果将荷叶编号并用X

0,X

1

,X

2

,…分别表示青蛙最初处

的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{X

n

，n ≥0}就是马尔可夫过程。液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔科夫过程。还有些过程（例如某些遗传过程）在一定条件下可以用马尔科夫过程来近似。

关于马尔科夫过程的理论研究，1931年A.H.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，首先将微分方程等分析方法用于这类过程，奠定了它的理论基础。1951年前后，伊藤清在P.莱维和C.H.伯恩斯坦等人工作的基础上，建立了随机微分方程的理论，为研究马尔科夫过程开辟了新的道路。1954年前后，W.弗勒将泛函分析中的半群方法引入马尔科夫过程的研究中，E.E.登金（又译邓肯）等并赋予它概率意义（如特征算子等）。50年代初，角谷静夫和J.L.杜布等发现了布朗运动与偏微分方程论中狄利克雷问题的关系，后来G.A.亨特研究了相当一般的马尔科夫过程（亨特过程）与位势的关系。目前，流形上的马尔科夫过程、马尔科夫场等都是正待深入研究的领域。

强马尔科夫过程在马尔科夫性的定义中，“现在”是指固定的时刻，但实际问题中常需把马尔可夫性中的“现在”这个时刻概念推广为停时（见随机过程）。例如考察从圆心出发的平面上的布朗运动，如果要研究首次到达圆周的时刻τ以前的事件和以后的事件的条件独立性,这里τ为停时,并且认为τ是“现在”。如果把“现在”推广为停时情形的“现在”，在已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”无关，这种特性就叫强马尔科夫性。具有这种性质的马尔科夫过程叫强马尔科夫过程。在相当一段时间内，不少人认为马尔科夫过程必然是强马尔科夫过程。首次提出对强马尔科夫性需要严格证明的是J.L.杜布。直到1956年，才有人找到马尔科夫过程不是强马尔科夫过程的例子。马尔科夫过程理论的进一步发展表明，强马尔科夫过程才是马尔科夫过程真正研究的对象。

扩散过程历史上，扩散过程起源于对物理学中扩散现象的研究。虽然现在扩散过程的最一般的定义是轨道连续的马尔科夫过程，但在1931年柯尔莫哥洛夫对于扩散过程的奠基性研究中，却是按照转移函数来定义扩散过程的。

50年代，费勒引进了推广的二阶微分算子，用半群方法解析地研究了状态空间E =【r1,r2】的扩散过程，解决了在r1和r2 处应附加哪些边界条件,才能使向后方程有一个且只有一个转移密度函数解的问题，而且找出了全部这样的边界条件。对于状态空间是开区间或半开半闭区间的情形