数学培优专题24平面几何的定值问题概论

专题24 平面几何的定值问题

【阅读与思考】

所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）.

几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化的元素，也就是我们要探求的定值. 解答定值问题的一般步骤是： 1.探求定值； 2.给出证明.

【例题与求解】

【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD

⌒上任意一点.求证：PA PC PB

为定值. 解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质，证明三角形全等.

P A

B C

D

【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A .到CD 的距离保持不变 B .位置不变

C .等分DB

⌒ D .随C 点的移动而移动 （济南市中考试题）

解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论.

A

P

【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线

的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角.

（加拿大数学奥林匹克试题）

解题思路：不管ST 滑到什么位置，∠SOT 的度数是定值.从探寻∠SPM 与∠SOT 的关系入手.

B

【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是AB

⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .

（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；

（2）当点C 在AB ⌒上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；

（3）求证：CD 2+3CH 2是定值. （广州市中考试题） 解题思路：延长OG 交CD 于N ，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线

段ON 转化成线段CH 的倍分关系，再以Rt △OND 为基础，通过勾股定理，使问题得以解决.

B

O

A

C

E H

G D

【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8. （1）求点C 的坐标；

（2）连接MG ，BC ，求证：MG ∥BC ；

（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时，

PF

OF

的比值是否发 生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律. （深圳市中考试题）

解题思路：对于（3）从动点F 达到的特殊位置时入手探求定值.

（图1） （图2）

【例6】 如图，已知等边△ABC 内接于半径为1的圆O ，P 是⊙O 上的任意一点.求证：P A 2+PB 2+PC 2为定值.

解题思路：当点P 与C 点重合时，P A 2+PB 2+PC 2=2BC 2为定值，就一般情形证明.

A

【能力训练】

A 级

1.如图，点A ，B 是双曲线x

y 3

=

上的两点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段.若S 阴影=1，则=+21S S _______.

（牡丹江市中考试题）

A

A

B

C

D

E

F

（第1题图） （第3题图） （第4题图）

2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.

（全国初中数学联赛试题）

3.如图，OA ，OB 是⊙O 任意两条半径，过B 作BE ⊥OA 于E ，又作OP ⊥AB 于P ，则定值OP 2+EP 2为_________.

4.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ，则直线BF 与直线DE 所夹的锐角的度数为（ ）

A .30°

B .40°

C .50°

D .60°

（武汉市竞赛试题）

5.如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作A A '⊥AB ，AB B B ⊥'，且A A '=AP ，B B '=BP .连接B A ''，当点P 从点A 移动到点B 时，B A ''的中点的位置（ ）

A ．在平分A

B 的某直线上移动 B .在垂直AB 的某直线上移动

C .在弧AMB 上移动

D .保持固定不移动

（荆门市中考试题）

A

B'B

（第5题图） （第6题图）

6.如图，A ，B 是函数x

k

y =

图象上的两点，点C ，D ，E ，F 分别在坐标轴上，且分别与点A ，B ，O 构成正方形和长方形.若正方形OCAD 的面积为6，则长方形OEBF 的面积是（ ） A .3 B .6 C .9 D .12

（海南省竞赛试题））

7.（1）经过⊙O 内或⊙O 外一点P 作两条直线交⊙O 于A ，B 和C ，D 四点，得到如图①~⑥所表示的

六种不同情况.在六种不同情况下，P A ，PB ，PC ，PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.