数学高考二轮专题11 数列求和及数列的简单应用(解析版)

专题11 数列求和及数列的简单应用

【考向解读】

数列求和是数列部分高考考查的两大重点之一，主要考查等差、等比数列的前n 项和公式以及其他求和方法，尤其是错位相减法、裂项相消法是高考的热点内容，常与通项公式相结合考查，有时也与函数、方程、不等式等知识交汇，综合命题. 从全国卷来看，由于三角和数列问题在解答题中轮换命题，若考查数列解答题，则以数列的通项与求和为核心地位来考查，题目难度不大.

【命题热点突破一】分组转化法求和

例1、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求通项公式a n ；

(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．

【答案】（1）+

-=N ∈,31n a n n （2）+≥⎪

⎩

⎪⎨⎧+--=N ∈,2,2115322n n n n T n n

【命题热点突破二】 裂项相消法求和 例2（本小题满分12分）

已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q>0，*n N ∈ . （Ⅰ）若2322,,2a a a + 成等差数列，求{}n a 的通项公式； 【答案】（Ⅰ）1=n n a q -；

【解析】（Ⅰ）由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+ 两式相减得到21,1n n a qa n ++=?. 又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ³都成立. 所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列. 从而1=n n a q -.

由2322+2a a a ，，成等比数列，可得322=32a a +，即22=32,q q +，则(21)(2)0q+q -=， 由已知,0q >，故 =2q . 所以1*2()n n a n -=?N .

【命题热点突破三】 错位相减法求和

例3、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n ＋1＋n －2，n ∈N *，a 1＝2. (1)证明：数列{a n －1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3n

S n －n ＋1(n ∈N *)的前n 项和为T n ，证明：T n ＜6.

【解析】(1)证明 因为S n ＝a n ＋1＋n －2， 当n ≥2时，S n －1＝a n ＋(n －1)－2＝a n ＋n －3， 两式相减，得a n ＝a n ＋1－a n ＋1，即a n ＋1＝2a n －1. 设c n ＝a n －1，代入上式，得c n ＋1＋1＝2(c n ＋1)－1， 即c n ＋1＝2c n .又S n ＝a n ＋1＋n －2，则a n ＋1＝S n －n ＋2， 故a 2＝S 1－1＋2＝3.

所以c 1＝a 1－1，c 2＝a 2－1＝2，故c 2＝2c 1.

综上，对于正整数n ，c n ＋1＝2c n 都成立，即数列{a n －1}是等比数列，其首项a 1－1＝1，公比q ＝2.所以a n －1＝1×2n －

1，故a n ＝2n －

1＋1.

(2)解 由S n ＝a n ＋1＋n －2，得S n －n ＋2＝a n ＋1＝2n ＋1，故S n －n ＋1＝2n .所以b n ＝3n

2n .所以T n ＝b 1＋b 2＋…

＋b n －1＋b n ＝32＋622＋ (3)

2

n ，①

2×①，得2T n ＝3＋62＋3×322＋ (3)

2

n －1，②

②－①，得T n ＝3＋32＋322＋…＋32

n －1－3n 2n ＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋122＋…＋12n －1－3n

2n ＝3×1－⎝⎛⎭⎫12n

1－12

－3n 2n ＝6－3n ＋62n .因为

3n ＋6

2n

＞0， 所以T n ＝6－3n ＋6

2

n ＜6.

【命题热点突破四】 利用数列单调性解决数列不等式问题 例4、首项为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝14(a 2

n ＋3)，n ∈N *.

若对一切n ∈N *都有a n ＋1＞a n ，求a 1的取值范围. 【解析】由a 2＝a 21＋3

4＞a 1，得a 21－4a 1＋3＞0， 于是0＜a 1＜1或a 1＞3.

a n ＋1－a n ＞a 2n ＋34－a 2n －1＋34＝（a n ＋a n －1）（a n －a n －1）4

，

因为a 1＞0，a n ＋1＝a 2n ＋3

4

，所以所有的a n 均大于0，因此a n ＋1－a n 与a n －a n －1同号.

根据数学归纳法，∀n ∈N *，a n ＋1－a n 与a 2－a 1同号.

因此，对一切n ∈N *都有a n ＋1＞a n 的充要条件是0＜a 1＜1或a 1＞3. 【命题热点突破五】 放缩法解决与数列和有关的不等式

例5、已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，4S n ＝a n ·a n ＋1，n ∈N *.

设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 的前n 项和为T n ，求证：n 4n ＋4

＜T n ＜12.

【解析】证明 ∵1a 2n ＝14n 2＞14n （n ＋1）＝14⎝⎛⎭⎫1

n －1n ＋1，

∴T n ＝1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ＞1

4⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1

＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n 4n ＋4.

又∵1a 2n ＝14n 2＜14n 2－1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭

⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ＜

12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15

＋…＋12n －1－12n ＋1

＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＜12.即得n 4n ＋4＜T n ＜1

2. 【高考题型解读】

1.已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．

（I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若531

32

S =

，求λ． 【答案】（Ⅰ）1

)1

(11---=n n a λλλ；（Ⅱ）1λ=-． 【解析】

（Ⅰ）由题意得1111a S a λ+==，故1≠λ，λ

-=

11

1a ，01≠a ． 由n n a S λ+=1，111+++=n n a S λ得n n n a a a λλ-=++11，即n n a a λλ=-+)1(1． 由01≠a ，0≠λ得0≠n a ，所以1

1-=+λλ

n n a a . 因此}{n a 是首项为

λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是1

)1

(11---=

n n a λλλ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1(

1--=λλ

，由32315=S 得3231

)1(15=--λλ，即=-5)1

(λλ321，