福州大学2010以及2011年数值分析考题及答案
数值分析期末考试和答案
数值分析期末考试和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 插值法B. 迭代法C. 直接法D. 拟合法答案：C2. 以下哪个数值方法是用于求解非线性方程的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 拉格朗日插值法答案：B3. 在数值积分中，梯形法则的误差与下列哪个因素无关？A. 被积函数的二阶导数B. 积分区间的长度C. 积分区间的划分数量D. 被积函数的一阶导数答案：D4. 以下哪个数值方法是用于求解常微分方程的？A. 欧拉方法B. 牛顿迭代法C. 拉格朗日插值法D. 高斯消元法答案：A5. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解特征值问题？A. 高斯消元法B. 幂迭代法C. 牛顿迭代法D. 梯形法则答案：B6. 以下哪个数值方法是用于求解线性最小二乘问题的？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 正交分解法D. 牛顿迭代法答案：C7. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程组？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 欧拉方法答案：B8. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解偏微分方程？A. 有限差分法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 梯形法则答案：A9. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解优化问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 单纯形法答案：D10. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解插值问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 拉格朗日插值法答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，求解线性方程组的直接法包括______消元法和______消元法。
答案：高斯；LU2. 牛顿迭代法的收敛速度是______阶的。
答案：二3. 梯形法则的误差与被积函数的______阶导数有关。
答案：二4. 欧拉方法是一种求解______阶常微分方程的数值方法。
答案：一5. 幂迭代法是求解______特征值问题的数值方法。
《数值分析》A卷期末考试试题及参考答案
一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、用Simpson 公式求积分1401x dx +⎰的近似值为 ( ).A.2924 B.2429C.65D. 562、已知(1)0.401f =，且用梯形公式计算积分2()f x dx ⎰的近似值10.864T =，若将区间[0,2]二等分，则用递推公式计算近似值2T 等于( ). A.0.824 B.0.401 C.0.864 D. 0.8333、设3()32=+f x x ,则差商0123[,,,]f x x x x 等于( ).A.0B.9C.3D. 64的近似值的绝对误差小于0.01%，要取多少位有效数字( ). A.3 B.4 C.5 D. 25、用二分法求方程()0=f x 在区间[1,2]上的一个实根，若要求准确到小数 点后第四位，则至少二分区间多少次( ).A.12B.13C.14D. 15二、填空题(每小题4分，共40分)1、对于迭代函数2()=(3)ϕ+-x x a x ，要使迭代公式1=()ϕ+k k x x则a 的取值范围为 .2、假设按四舍五入的近似值为2.312，则该近似值的绝对误差限为 .3、迭代公式212(3)=,03++>+k k k k x x a x a x a收敛于α= (0)α>. 4、解方程4()530f x x x =+-=的牛顿迭代公式为 . 5、设()f x 在[1,1]-上具有2阶连续导数，[1,1]x ∀∈-，有1()2f x ''≤，则()f x 在[1,1]-上的线性插值函数1()L x 在点0处的误差限1(0)R ≤______.6、求解微分方程初值问题2(0)1'=-⎧⎨=⎩y xy yy ，0x 1≤≤的向前Euler 格式为 .7、设310131013A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A ∞= .8、用梯形公式计算积分112-⎰dx x 的近似值为 . 9、设12A 21+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a 可作Cholesky 分解，则a 的取值范围为 . 10、设(0)1,(0.5) 1.5,(1)2,(1.5) 2.5,(2) 3.4f f f f f =====，若1=h ，则用三点公式计算(1)'≈f .三、解答题（共45分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛. (5分)4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+y x b的拟合曲线. (8分) 5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (8分) 6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦一、单项选择题（每小题3分，合计15分） 1、A 2、D 3、C 4、C 5、D 二、填空题（每小题3分，合计30分） 1、0<<a ； 2、31102-⨯； 3；4、4135345++-=-+k k k k k x x x x x ； 5、14； 6、1(2)+=+-n n n n n y y h x y y ； 7、5；8、34-； 9、3>a ；10、1.2；三、计算题（合计55分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算 1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)解： 401024S [()4()()]6-=++x x f x f x f x ………… 1分 1.38 1.30(3.624 4.20 5.19)6-=+⨯+ 0.341= ………… 2分20422012234S [()4()()][()4()()]66--=+++++x x x xf x f x f x f x f x f x =0.342 ………… 6分2211[]15-≈-I S S S =-⨯40.6710 ………… 8分 2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 解：设111213212223313233u u u 123100135l 100u u 136l l 100u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………… 1分 111=u ，212=u ，313=u ，121=l ，131=l 122=u ，223=u ，132=l133=u ，133=l …………6分所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111011001L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100210321U …………7分 由b Ly =得Ty )1,1,2(=；由y Ux =得Tx )1,1,1(-=. ………… 8分3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛.(6分)解：要使迭代序列具有平方收敛，则()0ϕ'*=x ………… 2分 而()()()ϕλ=+f x x x x ，即 ………… 3分 2()()()()10()λλλ''**-**+=*f x x x f x x …………4分 而()0*=f x 则有()1()λ'*=-*f x x ………… 5分所以()()23λ'=-=--x f x x ………… 6分4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+ay x b的拟合曲线. (8分) 解：因为11=+b x y a a ，令0111,,,====b a a y x x a a y……2分 则有法方程01461061410⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a ……5分解出014,1==-a a ，则1,4=-=-a b ……7分 所以1=4-y x……8分5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (7分)解：01()(2)8l x x x =- …………2分 211()(4)4l x x =-- …………4分21()(2)8l x x x =+ …………6分 2012()()(2)()(0)()(2)L x l x f l x f l x f =-++24=+x …………7分6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦解：100010001D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，00010021002L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，10021002000U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………3分1100211()0221002J B D L U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………5分 2102111()0222102J E B λλλλλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦…………6分()2J B ρ=…………7分 所以用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =收敛 …………8分。
福州大学2010-2011年数值分析考题及答案1
1、若向量 x (4, 2,3) ，则
T
x 2 =___ 29 _________
＝____ 6 ____，A 的
2、
1 1 A ， 则 A 的谱半径 -5 1
=____6____
3、 确定求积公式 尽量高,则 A0=_
1
1
f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f '(1) 中的待定参数，使其代数精度
0 2 0 5、设 B 2 1 2 ,试用平面旋转矩阵对矩阵 A 进行 QR 分解，其中 Q 为正交 0 2 1
矩阵，R 为上三角阵（8 分）
4
记A1 A, 先将A的第一列变得与e1平行 cos = 0 2 0,sin = 1 04 04 0 1 0 0 1 0 0 P A 2 P A1 1 12 12 0 0 0 1
3、
h 用二步法 yn1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )] 求解一阶常微分方程初值问题 2
y f ( x, y ) 问：如何选择参数 , 的值，才使该方法的阶数尽可能地高？写出 y ( x0 ) y0
此时的局部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。 证明:局部截断误差为：
( x x )l ( x) 等于
i 0 i i
4
（ a ） 1 (c) 2 (d) 4
(a)
0
(b)
3、设 f ( x) 3x5 4 x 4 x 2 1 和节点 xk k / 2, k 0,1 则差商 f [ x0 , x1 x5 ] (a) 4 (b) 2 (c) 3 (d) 1 （ （ c ） c ）
2011年秋季工学硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷B
2011年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷B(总分：28.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设｜x｜>>1______（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：3.求积分∫ a b f（x）dx的两点Gauss公式为______（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：4.设∞ =______，‖A‖ 2 =______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：5.给定f(x)=x 4，以0为三重节点，2为二重节点的f(x)的Hermite插值多项式为______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：x 4)解析：6.己知差分格式r≤______时，该差分格式在L ∞范数下是稳定的．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：二、计算题(总题数：2，分数：4.00)7.给定方程lnx-x 2+4=0，分析该方程存在几个根，并用迭代法求此方程的最大根，精确至3位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：令f(x)=lnx-x 2 +4，则f"(x)= -2x,当x= 时，f"(x)=0. 注意到f(0．01)=-0．6053＜0,f(1)=3＞0,f(3)=-3．9014＜0,而当时，f"(x)＞0，当时，f"(x)＜0，所以方程f(x)=0有两个实根，分别在(0．01，1)和(1，3)内．方程的最大根必在(1，3)内，用Newton迭代格式取x 0 =2，计算得x 1 =2．1980，x 2 =2．1)解析：8.用列主元Gauss（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：求得x 1 =3，x 2 =1，x 3 =5．)解析：三、综合题(总题数：6，分数：12.00)9.设α，β表示求解方程组．Ax=b的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法收敛的充分必要条件．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：Jacobi迭代格式的迭代矩阵特征方程为展开得500λ3—15αβλ=0或者λ(500λ2—15αβ)=0，解得λ=0或λ2 = 则Jacobi格式收敛的充要条件为｜αβ｜＜Gauss-Seidel格式迭代矩阵的特征方程为展开得500λ3—15αβλ2 =0或者λ2(500λ-15αβ)=0，解得λ=0或λ则Gauss-Seidel格式收敛的充)解析：10.设x 0，x 1，x 2为互异节点，a，b，m为已知实数．试确定x 0，x 1，x 2的关系，使满足如下三个条件p(x 0 )=a， p"(x 1 )=m，p(x 2 )=b的二次多项式p(x)存在且唯一，并求出这个插值多项式p(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由条件p(x 0 )=a，p(x 2 )=b确定一次多项式p 1 (x)，有所以p(x)-P 1(x)=A(x—x 0 )(x—x 2 )，p"(x)=p" 1 (x)+A(x—x 0 +x—x 2 )，p"(x 1+A(2x 1 -x 0 -x 2) 解析：11.求y=｜x｜在[-1，1]上形如c 0 +c 1 x 2的最佳平方逼近多项式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：取φ0 (x)=1，φ1 (x)=x 2，则(φ0，φ0)=∫ -11 =2，(φ0，φ1)=∫ -11 x 2)1 x 2，(φ1，φ1)=∫ -1解析：12.已知函数f(x)∈C 3 [0，3]，试确定参数A，B，C，使下面的求积公式数精度尽可能高，并给出此时求积公式的截断误差表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：当f(x)=1时左=∫ 03 1dx=3，右=A+B+C，当f(x)=x时左=∫ 03 xdx= ，右=B+2C 当f(x)=x 2时左=∫ 03 x 2 dx=9,右=B+4C．要使公式具有尽可能高的代数精度，则而当f(x)=x 3时，左=∫ 03 x 3)解析：13.给定常微分方程初值问题取正整数n，并记h=a／n，x i =a+ih，0≤i≤n．证明：用梯形公式求解该初值问题所得的数值解为且当h→0时，y n收敛于y(a)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：梯形公式应用于方程有y i+1=y i+ (-y i—y i+1)，即有所以i=1，2，…．当h→0时，n→∞我们有而由方程知解析解y=e -x则y(a)=e -a，所以)解析：14.Ω={0＜x＜3，0＜y＜3)．试用五点差分格式求u(1，1)，u(1，2)，u(2，1)，u(2，2)的近似值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：五点差分格式为根据要求，可取h= ，将(1，1)，(2，1)，(1，2)，(2，2)处的差分格式列成方程组有或者解得u 11=15．8750，u 21=22．6250，u 12=15．8750，u 22 =22．6250．)解析：。
福大数值分析练习题
1、的近似值的相对误差限小于0.1％,要取几位有效数字？ （ ）(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 52、若*12.30x =是经过四舍五入得到的近似数，则它有几位有效数字？ （ ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 53、已知n ＋1个互异节点(x 0,y 0), (x 1,y 1),…, (x n ,y n )和过这些点的拉格朗日插值基函数l k (x )(k =0,1,2,…,n )，且ω(x )=(x －x 0) (x －x 1)… (x －x n )．则n 阶差商f (x 0,x 1,…, x n )= ( )(a) ∑=n k k k y x l 0)( (b) ∑='n k k k k x l y 0)( (c) ∑=n k k k x y 0)(ω (d) ∑='nk k k x y 0)(ω 4、已知由数据（0，0），（0.5，y ），（1，3），（2，2）构造出的三次插值多项式33()6 P x x y 的 的系数是，则 等于 （ ） (a) -1.5 (b) 1 (c) 5.5 (d) 4.255、设(0,1,2,3,4)i x i =为互异结点，()i l x 为拉格朗日插值基函数,则420()()ii i x x l x =-∑等于 （ ）(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 46、4()[,],()()(),()(),()(), ' () ' (),22()()_________________________f x C a b H x a b a b H a f a H b f b H f H a f a f x H x ∈++====-=设是满足下列插值条件的三次多项式：则插值余项 7、是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=______,c=_____8、已知(1)0,(1)3,(2)4,f f f =-=-=写出()f x 的牛顿插值多项式2()P x =_____,其余项表达式R(x)=__ _______________________9、 确定求积公式10121()(1)(0)'(1)f x dx A f A f A f -≈-++⎰中的待定参数，使其代数精度尽量高,则A 0=___________, A 1=__________, A 2=________,代数精度=___________。
数值分析期末复习-福大研究生版
数值分析期末复习题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明第一章 误差与有效数字一、 有效数字1、 定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说x*有n 位有效数字。
2、 两点理解：（1） 四舍五入的一定是有效数字（2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. 3、 定理1（P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差限为4、 考点：（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3）二、 避免误差危害原则 1、 原则：（1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：x1*x2= c / a ）（2） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. 或（3） 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14三、 数值运算的误差估计 1、 公式：（1） 一元函数：|ε*( f (x *))| ≈ | f ’(x *)|·|ε*(x )|或其变形公式求相对误差（两边同时除以f (x *)） eg.P19习题1、2、5（2） 多元函数（P8）eg. P8例4，P19习题4第二章 插值法一、 插值条件1、 定义：在区间[a,b]上，给定n+1个点，a ≤x 0＜x 1＜…＜x n ≤b 的函数值yi=f(xi)，求次数不超过n 的多项式P(x)，使 2、 定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n 的P(x)存在且唯一二、 拉格朗日插值及其余项1、 n 次插值基函数表达式（P26（2.8））2、 插值多项式表达式（P26（2.9））3、 插值余项（P26（2.12））：用于误差估计*(1)11102n r a ε--≤⨯;x εx εx εx ++=-+();1ln ln ln ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x εx εx x cos 1-2sin 22x =n i y x P ii n ,,2,1,0)(Λ==4、 插值基函数性质（P27（2.17及2.18））eg.P28例1三、 差商（均差）及牛顿插值多项式 1、 差商性质（P30）：（1） 可表示为函数值的线性组合（2） 差商的对称性：差商与节点的排列次序无关 （3） 均差与导数的关系（P31（3.5）） 2、 均差表计算及牛顿插值多项式四、埃尔米特插值（不用背公式） 两种解法：（1） 用定义做：设P 3(x)=ax 3+bx 2+cx+d ，将已知条件代入求解（4个条件：节点函数值、导数值相等各2个）（2） 牛顿法（借助差商）：重节点eg.P49习题14 五、三次样条插值定义（1） 分段函数，每段都是三次多项式（2） 在拼接点上连续（一阶、二阶导数均连续） （3）考点：利用节点函数值、导数值相等进行解题第三章 函数逼近与曲线拟合一、 曲线拟合的最小二乘法解题思路：确定ϕi ，解法方程组，列方程组求系数（注意ϕi 应与系数一一对应）eg.P95习题17nj y x S j j ,,1,0,)(Λ==形如y=ae bx 解题步骤： （1） 线性化（2）重新制表（3）列法方程组求解（4）回代第四章 数值积分与数值微分一、 代数精度 1、 概念：如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式准确成立，但对于m+1次多项式不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度 2、 计算方法：将f(x)=1,x,x 2, …x n 代入式子求解 eg.P100例1二、 插值型的求积公式求积系数定理：求积公式至少具有n 次代数精度的充要条件是：它是插值型的。
数值分析考试题和答案
数值分析考试题和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，插值法的主要目的是（）。
A. 求解线性方程组B. 求解非线性方程C. 构造一个多项式来近似一个函数D. 求解微分方程答案：C2. 线性方程组的高斯消元法中，主元为零时，应采取的措施是（）。
A. 停止计算B. 回代求解C. 转置矩阵D. 行交换答案：D3. 以下哪种方法不是数值积分方法（）。
A. 梯形规则B. 辛普森规则C. 牛顿法D. 复合梯形规则答案：C4. 以下哪种方法用于求解非线性方程的根（）。
A. 欧几里得算法B. 牛顿迭代法C. 高斯消元法D. 线性插值法答案：B5. 在数值分析中，最小二乘法主要用于（）。
A. 求解线性方程组B. 求解非线性方程C. 曲线拟合D. 微分方程数值解答案：C6. 以下哪种方法不是数值微分方法（）。
A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 欧拉方法答案：D7. 以下哪种方法用于求解常微分方程的初值问题（）。
A. 欧拉方法B. 龙格-库塔方法C. 牛顿迭代法D. 高斯消元法答案：B8. 在数值分析中，矩阵的特征值问题可以通过（）方法求解。
A. 高斯消元法B. 幂迭代法C. 牛顿迭代法D. 梯形规则答案：B9. 以下哪种方法不是数值稳定性分析中的方法（）。
A. 绝对稳定性B. 相对稳定性C. 条件数D. 牛顿法答案：D10. 在数值分析中，条件数用于衡量（）。
A. 算法的效率B. 算法的稳定性C. 算法的准确性D. 算法的复杂度答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，插值多项式的次数最高为______，其中n是插值点的个数。
答案：n-12. 线性方程组的高斯消元法中，如果某行的主元为零，则需要进行______。
答案：行交换3. 梯形规则的误差与被积函数的______阶导数有关。
答案：二4. 牛顿迭代法中，每次迭代需要计算______。
答案：函数值和导数值5. 最小二乘法中，残差平方和最小化时，对应的系数向量是______。
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第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。
1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
第二章 非线性方程求根 主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算； 牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。
（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。
"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。
（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。
（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。
（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。
数值分析试题与答案
试题__2009___年~__2010___年第 一学期课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
2011年下学期数值分析考试试卷答案(A)
2011年下学期数值分析考试试卷答案(A)一、填空题(本题16分，每空 2 分)1. 若S (x ) 332, 011(1)(1)(1),132x x x a x b x c x ⎧≤≤⎪=⎨-+-+-+≤≤⎪⎩是三次样条函数，则a = 3 ，b =3 ，c =1．2. 求积公式10311()()(1)434f x dx f f ≈+⎰的代数精度为 2 。
3. 设1-2-34A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则()A ρ=5335.37+≈，cond ∞(A )=21 4. 矩阵111122123A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的LU 分解为100111110011111001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦5. 求方程cos x x =根的牛顿迭代格式是1cos 1sin n nn n nx x x x x +-=-+。
二、(12分)求不超过4次的多项式()P x ，使它满足插值条件(0)(0)0,(1)(1)1,(2) 2.P P P P P ''=====若上述数据来源于f (x )，给出误差估计。
解法1： 因为(0)(0)0,(1)(1)1,P P P P ''====则先构造两点三次埃米特插值，2232100()12(1)011010(2)x x x H x x x x ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦=- …………………………………………………………….8分又设223()()(1)P x H x Ax x =+-，代入(2)2,P =得A=1/2,222223221()()(1)(2)(1)21(45)2P x H x Ax x x x x x x x x =+-=-+-=-+余项为 R(x)=(5)22()(1)(2)5!f x x x ξ-- ……………………………12分解法2：构造带重节点的Newton 差商表 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 -1 2211/2 ………………………8分2222221()00(0)1(0)1(0)(1)(0)(1)21(45)2N x x x x x x x x x x =+-+----+--=-+…………………12分三、 (12分) 求()xf x e -= 在区间[-1，1]上的最佳平方逼近2次多项式. (用勒让德正交多项式2121{(),(),()}{1,,(31)}2P x P x P x x x =-) 解：用勒让德多项式20121{(),(),()}{1,,(31)}2P x P x P x x x =-,2(,)21iiP P i =+ ……………………………………4211132444T T ff ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 2424133S T T =-, 2211611515C S S =-………….10分计算到R 1，结果如下表所示：k T n S n C n 0 0.683940 1 0.645235 0.632333 20.6354100.6321350.632122因此0.402420I = ………….12分五、(12分)设方程组11112212112222a x a x ba x a xb +=⎧⎨+=⎩， （1122aa ≠）证明解此方程的Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 迭代法同时收敛或发散.解：Jacobi迭代为…………2分其迭代矩阵1()D L U -+，谱半径为，………….6分而Gauss-Seidel 迭代法为其迭代矩阵122211221122111220()0a a a a D L U a a a a -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦, 其谱半径为…………10分由于，()1()1B G ρρ<⇔<故Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 法同时收敛或同时发散。
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线封密三峡大学试卷班级姓名学号2011年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1. 已知1125A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A 6= (1分)，∞A 7= . (1分)2.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ. (2分)3. 设),,2,1,0(,,53)(2==+=k kh x x x f k 则差商0],,,[321=+++n n n n x x x x f .（2分）4. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分)5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间]1,0[内的根，迭代进行二步后根所在区间为]75.0,5.0[.（2分）6．为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确.（2分）7. 将2111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭作Doolittle 分解(即LU 分解),则100.51L ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分),2100.5U ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分)二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x 解：23222121,e e e x x ++=）（ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ（8分）得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x 7231=⇒x ， 7112=x所以最小二乘解为： 7231=x 7112=x . （10分）三、（10分）已知)(x f 的函数值如下表25.15.001)(15.005.01---x f x用复合梯形公式和复合Simpson 公式求dx x f ⎰-11)(的近似值.解 用复合梯形公式，小区间数4=n ，步长5.0)]1(1[41=--⨯=h )]1())5.0()0()5.0((2)1([24f f f f f hT +++-+-=.线封密三峡大学试卷班级姓名学号25.1]2)5.15.00(21[25.0=++++-=（5分） 用复合Simpson. 小区间数2=n ,步长1)]1(1[21=--⨯=h)]1())5.0()5.0((4)0(2)1([62f f f f f hS ++-+⨯+-=33.168]2)5.10(45.021[61≈=+++⨯+-= （10分）四、（12分）初值问题 ⎩⎨⎧=>+='0)0(0,y x b ax y有精确解 bx ax x y +=221)(， 试证明： 用Euler 法以h 为步长所得近似解n y 的整体截断误差为n n n n ahx y x y 21)(=-=ε证: Euler 公式为：),(111---+=n n n n y x hf y y代入b ax y x f +=),(得：)(11b ax h y y n n n ++=-- 由0)0(0==y y 得：bh b ax h y y =++=)(001; 11122)(ahx bh b ax h y y +=++= )(3)(21223x x ah bh b ax h y y ++=++=……)()(12111---++++=++=n n n n x x x ah nbh b ax h y y （10分）因nh x n =,于是 )]1(21[2-++++=n ah bx y n n 2)1(2nn ah bx n -+==n n n bx x x a+-12∴n n n y x y -=)(ε)2(2112n n n n n bx x x abx ax +-+=-=n n n x x x a )(21--=n hx a 2 =221anh (12分)五、(10分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.解: 建立Lagrange 公式为()=x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=10101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=.（8分）())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()811)0(max 2110≤--≤≤≤x x x（10分）六、(10分) 在区间]3,2[上利用压缩映像原理验证迭代格式,1,0,4ln 1==+k x x k k 的敛散性.解 : 在]3,2[上, 由迭代格式 ,1,0,4ln 1==+k x x k k , 知=)(x ϕx 4ln .因∈x ]3,2[时,]3,2[]12ln ,8[ln )]3(),2([)(⊂=∈ϕϕϕx （5分） 又1|1||)(|<='xx ϕ,故由压缩映像原理知对任意]3,2[0∈x 有收敛的迭代公式),1,0(,4ln 1 ==+k x x k k （10分）线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、（10分）试构造方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 收敛的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式，并说明其收敛的理由. 解:将原方程组调整次序如下:⎩⎨⎧=+=+324232121x x x x 调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组,故可保证建立的J 迭代格式和GS 迭代格式一定收敛.收敛的J 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=++)3(21)24(31)(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k (5分)收敛的GS 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+++)3(21)24(31)1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k （10分）八、（12分）已知43,21,41210===x x x 1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；2)指明求积公式所具有的代数精度.解：1）过这3个点的插值多项式)())(())(()())(())(()(121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x p ----+----=+)())(())((2021201x f x x x x x x x x ----⎰⎰=∑=≈∴)()()(221010k k k x f A dx x p dx x f ，其中: ⎰⎰=----=----=32)4341)(2141()43)(21())(())((10201021100dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰-=----=----=31)4321)(4121()43)(41())(())((10210120101dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰=----=----=322143)(4143()21)(41())(())((10120210102dx x x dx x x x x x x x x A ∴所求的插值型求积公式为：⎰+-≈)]43(2)21()41(2[31)(10f f f dx x f (10分) 2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来的，故至少具有2次代数精度，再将43,)(x x x f =代入上述求积公式，有：⎰+-==]43(2)21()41(2[3141333310dx x ⎰+-≠=])43(2)21(41(2[3151444410dx x 故上述求积公式具有3次代数精度. (12分)九、（10分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.。
2011年秋研究生数值分析试题A卷答案
2011年秋研究生数值分析期末考试试题答案一、单选题（4*5=20分）1、B;2、D ；3、D ；4、B ；5、C 。
二、填空题（4*5=20）1、2；2、()()1k k k k f x x x f x +=-'，平方收敛；3、8，8；4、9； 5、a <。
三、（10分）解：构造3次Lagrange 插值多项式3001001201()()(,)()(,,)()()L x f x f x x x x f x x x x x x x =+-+--0123012(,,,)()()()f x x x x x x x x x x +--- 3’利用待定系数法，令430123()()()()()()H x L x A x x x x x x x x =+----， 5’同时， '''14131101213()()()()()()f x H x L x A x x x x x x ==+--- 7’解出A 即可。
8’ 考虑余项4()()()E x f x H x =-，如果5()[,],,0,1,2,3i f x C a b a x b i ∈≤≤=，那么，当a x b ≤≤时()()5240123()()()()()()()5!f E x f x H x x x x x x x x x ξ=-=----. 0 10’ 四、（10分）解：设所求多项式为23202)(x C x C C x P ++=，10=ϕ，x =1ϕ，22x =ϕ，11),(10++==⎰+k j dx e k j k j ϕϕ，1),(100-==⎰e dx e f x ϕ， 1),(101==⎰dx xe f xϕ，2),(1022-==⎰e dx e x f x ϕ 5’ 所以有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21151413141312131211210e e C C C ，求解得到 8’ ⎪⎩⎪⎨⎧===83917.085114.001299.1321C C C ，所求最佳平方逼近多项式为:2283917.085114.001299.1)(x x x P ++=。
硕士生数值分析试卷答案2011
（2）当同时收敛时试比较其收敛速度.
证所给线性方程组系数矩阵为 记
（1）雅可ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ迭代矩阵J为
特征方程为
即 .
因而谱半径
高斯-赛德尔迭代矩阵G为
特征方程为
即 .
因而谱半径
当 时， 雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组都收敛；
当 时， 雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组都发散.
(2)当 时，雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组同时收敛.当 时，有 所以高斯-赛德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快.
若已知 的一个近似值 ，则实际计算得到的 的近似值 为
将以上两式相减得
两边取绝对值得
这说明 的误差将放大n倍传到 .因而正向递推时误差传播逐步放大.
逆向递推时，由 来计算 ：
若已知 的一个近似值 ，则实际计算得到的 的近似值 为
将以上两式相减得
两边取绝对值得
这说明 的误差将缩小n倍传到 .逆向递推时误差传播逐步衰减.
(3)设 是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则
； 1.
(4) 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n-1次.
(5)梯形求积公式具有1次代数精度,辛普生求积公式具有3次代数精度.
(6)用二分法求方程 在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为 ，进行二步后根所在区间为 .
(7)设 ，则 =___1.1_____ =___0.8_____, =_0.825___.
证（1）梯形公式为
解出 ，得到
递推得
（2）方程的精确解为 注意到 于是
(洛必达)
即当 时， 收敛于精确解.
《数值分析》测试题答案
测 试 题——数值分析一、选择题1. 设近似值m n a a a x 10.021*⨯±= 有n 位有效数字，01≠a ，则其相对误差限为A ．111021+⨯n a B. 111021+-⨯n a C. 11101+-⨯n a 2. 要使20的近似值的相对误差限小于%1.0，则要取的有效数字有 位。
A ．4 B. 3 C. 5 3. lagrange 插值多项式的一个显著缺点是A ．不是线性组合 B. 不具备承袭性 C. 计算结果误差大 4. 对于定理：设)(x ϕ在)(x x ϕ=的根*x 及邻近有连续一阶导数，且1)(,<x ϕ，则迭代过程)(1k k x x ϕ=+具有局部收敛性。
此定理的条件是______。
A ．必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 5. 若)(x f 是n 次多项式，则],,,,[10n x x x x f 是x 的 。
A ．n 次多项式 B. n +1次多项式 C. 0 6. 牛顿下山法：)()('1k k k k x f x f x x λ-=+中，λ的取值范是_____。
A ．λ< 0 B. 0<λ< 1 C. 10≤<λ D. λ<1 7. 分段插值方法的提出是要避免 。
A. Runge 现象发生B. 不能高次插值C. 收敛速度太慢D. 不收敛 8. 一个数值计算方法是稳定的是指：若该方法在节点n x 处的数值解n y 有n δ扰动，而在以后各节点的近似值记为m y （n m >）上产生的扰动m δ有下面的关系A. m δ≤n δB.n m δδ< C. n m δδ≤ D. n m δδ>9. 在线性方程组AX=b 中，若__ _，则雅可比迭代收敛。
A ．A 对角占优 B. A 严格对角占优 C. A 为任意n 阶方阵 10. 设A 为n 阶非奇异矩阵，)(A Cond 为条件数，则判别方程组b Ax =是病态的依据是 。
数值分析试题(卷)与答案解析
数值分析试题一、 填空题（2 0×2′）1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2位有效数字。
2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。
3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =(x )在有解区间满足 |’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是(B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 y =f (x )-2-1.75-10.2524.2511. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。
2011年工程硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷B
2011年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷B(总分：16.00，做题时间：90分钟)一、计算题(总题数：3，分数：6.00)1.设x=1．231，y=0．5122是由四舍五入法得到的近似值，试计算函数e xy的绝对误差限和相对误差限．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：根据题意，可知｜e(x)｜≤ ×10 -3，｜e(y)｜≤ ×10 -4，｜e(e xy)｜≈｜ye xy e(x)+xe xy e(y)｜≤e xy (y｜e(x)｜+x｜e(y)｜)≤0．5967×10 -3，)解析：2.给定方程x 3 +2x-1=0，判别该方程有几个实根，并用迭代法求出方程所有实根，精确到4位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：改写方程为x 3 =-2x+1，作函数y=x 3和y=-2x+1的图像(见下图)，由图像知方程有一个实根x *∈ 构造Newton迭代格式：x k+1=x k k=0，1，2，…，取初值x 0=0．25，计算得x 1 =0．47143，x 2 =0．45357，x 3 =0．45340，x 4 =0)解析：3.用列主元Gauss（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：求得x 1 =1，x 2 =1，x 3 =-1，x 4 =-1．)解析：二、综合题(总题数：5，分数：10.00)4.Gauss-Seidel迭代格式，并分析收敛性．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：Gauss-Seidel迭代格式为Gauss—Seidel迭代矩阵的特征方程为展开得4λ3—4λ2—2λ+8λ2 +2λ2—2λ2 =0，即λ(2λ2 +2λ-1)=0，求得λ1 =0，因为所以Gauss-Seidel迭代发散．)解析：5.已知f(x)=xe x，求一个3次多项式H(x)，使之满足H(0)=f(0)，H(1)=f(1)，H"(0)=f"(0)，H"(1)=f"(1)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：作2次插值多项式p(x)，满足p(0)=f(0) p(1)=f(1)，P"(0)=f"(0)，则p(x)=f(0)+f[0,0]x+y[0，0，1]x 2．列表求差商：可得p(x)=x+(e-1)x 2．由插值条件易知H(x)=p(x)+Ax 2 (x-1)，其中A为待定系数．由条件H"(1)=f"(1)得2(e-1)+4A=3e，求得A= 所以H(X)=x+(e-1)x 2x 2 ()解析：6.求a，b（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：取φ0 (x)=1，φ1 (x)=x 2，则(φ0，φ0)=∫ -11 1dx=2，(φ0，φ1)=∫-11 x 2，(φ1，φ0)=∫ -11 x 2)解析：7.试用Simpson4位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由复化Simpson公式得S 1(f)= [f(1)+4f(1．5)+f(2)]= (e -1+4e -1.52+e -22)=0．13463，S 2(f)= [f(1)+4f(1．25)+2f(1．5)+4f(1．75)+f(2)]=0．13521，因为｜S 2 (f)-S 1 (f)｜=0．38675×10)解析：8.给定常微分方程初值问题取正整数n，记h=(b—a)／n，x i=a+ih，i=0，1，2，…，n；y i≈y(xi )，1≤i≤n，y 0 =η．求常数A，B，使数值求解公式y i+1 =y i十h[A，(x i+1 ,y i+1f(x i，y i )+Bf(x i-1 ,y i-1 )]，1≤i≤n-1的阶数尽可能高，并求出公式的阶数和局部截断误差表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：求解公式的局部截断误差为 R i+1 =y(x i+1 )-y(x i )-Ahf(x i+1，y(x i+1 ))-hy(x i，y(x i ))-Bhf(x i-1，y(x i-1 ))=y(x i+1 )-y(x i )-Ahy"(x i+1hy"(x )解析：。
数值分析A卷(2011年秋)
三、 （10 分）设 f ( x) 在 [ x0 , x3 ] 上有 5 阶连续导数，且 x0 x1 x2 x3 ， （1）试作一个次数不高于 4 次的多项式 H 4 ( x) ，满足条件
H 4 ( x j ) f ( x j ) , j 0,1, 2,3, ' ' H 4 ( x1 ) f ( x1 ) ;
(D)、它不是插值型求积公式。
y f x, y 1、求解常微分方程初值问题 的改进的欧拉法是 y x0 y0
阶方法。 ，其 收 敛 阶
2 、 解 非 线性方程 f x 0 的单根 的牛顿法 格 式为 为 。
4 1 2 2 ， x 1 ， 则 Ax 3 2 1 1 3 3、设矩阵 A 1 2
（2）写出 E( x) f ( x) H 4 ( x) 的表达式。
四、 （10 分）求 f ( x) e x 在 [0,1] 上的二次最佳平方逼近，权为 1。
3
五、 （10 分）用 n 2, 3 的高斯－勒让德公式计算积分 e x sin xdx
1
六、 （10 分）已知
0 1 2 1 , b ， 2 5 8 1 请用 Doolittle 三角分解法求解线性方程组 Ax b 。 1 3 7 7 1 3 9 9
，对于其产生的数列 k 0 , 1, 2 , xk ，下列说法正确的是
(A)、若数列 xk 收敛，则迭代函数 x 唯一； (B)、若对于 x a, b ， x 1 ，则 xk 收敛； (C)、若对于 x a, b ， x 1 ，则 xk 收敛； (D)、若对于 x a, b ， x L 1 ，则 xk 收敛。 3、对矩阵 A 采用幂法迭代，如果该方法收敛，则其收敛速度取决于（ (A)、模最大特征值和模次最大特征值的比值； (B)、模最大特征值和模次最大特征值的模的比值； (C)、模次最大特征值和模最大特征值的比值； (D)、模次最大特征值和模最大特征值的模的比值。 ） 。
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课程名称 数值分析 考生姓名
题号 题分 得分 一 15
考试日期 专业或类别
三 40 四 25 总分 100 累分人 签名
学号
二 20
生注意事项：1、本试卷稿纸带出考场。
一、选择题（每小题3分，共18分）
得分 评卷人
1、若是经过四舍五入得到的近似数，则它有几位有效数字？ （ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 2、设为互异结点，为拉格朗日插值基函数,则等于 （a ） (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 4 3、设和节点则差商 (a) 4 (b) 2 (c) 3 (d) 1 （ c ） 4、 （ c ） (a) |a|< (b) |a|> (c) |a|< (d) |a|> 5、为了使计算球体体积时的相对误差不超过1%，测量半径R时的允许相对误差限是多少
2、（8分）用复合梯形公式计算积分，（n=2），并估计误差。 解：
3、(10分)用最小二乘法求拟合函数使其与下列数据相拟合 -1 0 1 2 1 2 2 1
4、(8分)用改进的欧拉方法求解初值问题 取步长h=0.2（小数点后保留4位有效数字）
5、设,试用平面旋转矩阵对矩阵A进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R 为上三角阵（8分）
四、分析证明题（共20分）
得分 评卷人
1、 2、
3、（9分） 设有常微分方程的初值问题
试用Taylor展开原理构造形如的方法，使其具有二阶精度，并推导其 局部截断误差主项。
3、
用二步法求解一阶常微分方程初值问题问：如何选择参数的值，才使 该方法的阶数尽可能地高？写出此时的局部截断误差主项，并说明该 方法是几阶的。 证明:局部截断误差为：
( ) (A) 0.001% (B) 0.333% (C) 1% (D) 6、用高斯消元法解线性方程组，能进行到底的充分必要条件是 ( ) (A) 系数矩阵各阶顺序主子式不为零 (B) 系数矩阵主对角线元素不为零
(C) 系数矩阵各阶主子式不为零 (D) 系数矩阵各列元素不为零
二、填空题（每空格2分，共22分） 得分 评卷人 1、 若向量，则=____________ 2、 ，则A的谱半径 ＝________，A的 =____6____
3、 确定求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高, 则A0=___________, A1=__________, A2=________,代数精度 =__2_________。
4、 为减少误差的影响应将表达式改写为 。 5、 用两点的高斯-勒让德求积公式计算积 分=__________ 5、 应用牛顿法求解,迭代公式是 6、 已知由数据（0，0），（0.5，y），（1，3），（2，2）构造出的 三次插值多项式则y=___4.25_______ ,其余项表达式 R(x)=_________________________________ 三、计算题（共 40分） 2、 设，求矩阵A的LU分解，其中L为单位下三角矩 得分 评卷人 阵，U为上三角矩阵（6分）