第七节 旋转体的体积计算
《经济数学-微积分》旋转体的体积
旋转体定义
一个平面图形绕着它所在的平面 内的一条定直线旋转所形成的曲 面围成的几何体称为旋转体。
旋转体分类
根据旋转轴的不同，旋转体可以 分为绕x轴旋转的旋转体和绕y轴 旋转的旋转体。
体积计算公式推导
01
圆柱体体积公式推导
02
圆锥体体积公式推导
03
圆球体体积公式推导
圆柱体可以看作是一个矩形绕其一边 旋转而成的，因此其体积可以通过矩 形的面积与旋转的高度的乘积来计算 。
多重积分概念与性质
了解多重积分的概念和性质，如二重积分、三重积分等。
在旋转体体积求解中应用
对于复杂形状的旋转体，可以通过多重积分进行求解，如球体、椭 球体等。
求解步骤与技巧
掌握多重积分的求解步骤和技巧，如选择合适的坐标系、确定积分 顺序等。
数值近似解法介绍
01
数值近似解法概念
当无法直接通过积分公式求解旋 转体体积时，可以采用数值近似 解法进行估算。
04 积分法在求解旋转体体积 中应用
定积分求解旋转体体积基本原理
旋转体体积的定积分表示
通过截面面积函数对定区间进行积分，得到旋转体体积的公式。
几何意义与物理应用
定积分求解旋转体体积的方法在几何和物理领域有广泛应用，如计 算圆柱、圆锥等体积。
求解步骤与技巧
掌握定积分的求解步骤和技巧，如确定积分区间、选择合适的积分 变量等。
物理应用
旋转体体积的计算公式在物理学中也 有广泛应用，例如在计算物体的质量 、密度、浮力等方面都需要用到体积 的计算公式。
常见问题及解决方法
问题1
如何判断一个几何体是否为旋转体？
解决方法
观察几何体的形状和特征，看其是否符合旋转体的定义和 性质。
旋转体体积公式推导
旋转体体积公式推导旋转体是一种常见的几何体，其形状可以通过在平面图形绕某个轴线旋转得到。
如何求出一个旋转体的体积呢？下面，我们将通过推导旋转体体积公式来回答这个问题。
一、圆柱体的体积圆柱体是最简单的旋转体，其直径为d，高为h，其体积可以通过以下公式求出：V=πr²h其中r=d/2，代入可得：V=π(d/2)²h=πd²h/4二、圆锥体的体积圆锥体是由一个圆锥面和一个底面直径相等的圆所形成的旋转体。
其底面半径为r，高为h，其体积可以通过以下公式求出：V=1/3πr²h三、球的体积球是由绕某一条直径旋转所形成的旋转体，其体积可以通过以下公式求出：V=4/3πr³四、圆环的体积圆环是由一个圆绕其不同于圆心的轴线旋转所形成的旋转体，其外径为R，内径为r，高为h。
其体积可以通过以下公式求出：V=πh(R²-r²)五、推广到一般情况对于一般的旋转体，可以通过将其划分成无数个圆环，然后分别求出每个圆环的体积，并将这些体积累加，得到最终的旋转体体积。
当我们将每个圆环的高度取得足够小，取极限时，就可以得到以下的积分公式：V=∫2πr f(x)dx其中，f(x)为旋转曲线在x处的高度，r为旋转曲线到旋转轴线的距离，积分的区间为旋转曲线上所有的x值。
通过这个公式，我们可以求出各种复杂形状的旋转体体积，例如螺旋线、双曲线等等。
以上就是旋转体体积公式的推导过程。
通过这些公式，我们可以很方便地求出各种旋转体的体积，对于物理、数学等领域的学习和工作都非常有帮助。
求旋转体体积的两种方法
求旋转体体积的两种方法
当平面图形绕着某一直线（旋转轴）旋转时，所得到的旋转体的体积，我们可以用切片法或者圆桶法求出。
总结起来，有几种情形：
情形1：平面图形由及 x 轴围成，
利用切片法，这个图形绕 x 轴旋转所得的体积为
而它绕 y 轴所得的体积，我们利用圆桶法求得它的体积为
情形2：如果平面图形由及 y 轴围成，
那么由圆桶法，绕 x 轴旋转的体积为
而由切片法，可以得到绕 y 轴旋转所得的旋转体体积为
情形3：如果平面图形由两条曲线以及两条直线所围成，
那我们用上曲线旋转所得的体积减去下曲线旋转所得的体积，则得到绕 x 轴旋转的体积为
同样，绕 y 轴旋转所得的体积为
情形4：类似可以得到由以及
围成的图形分别绕 x 轴及 y 轴旋转所得的体积
现在我们来看几个例子。
例1：求由曲线以及两个坐标轴所围成的图形分别绕 x 轴与绕 y 轴旋转所得的旋转体的体积。
解：与求平面图形的面积一样，我们先画出区域的图形。
所以，由切片法得到绕 x 旋转所得的体积为由圆桶法得到绕 y 轴旋转所得的体积为。
旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的公式
标题：旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的公式概述旋转体体积公式是数学中的重要概念，它用于计算由曲线或曲面旋转产生的立体图形的体积。
在这篇文章中，我们将重点讨论旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的具体公式及推导过程。
一、绕x轴旋转体积公式当曲线y=f(x)在x轴的区间[a,b]上绕x轴旋转一周时，所形成的旋转体的体积Vx可由以下公式计算：Vx = π∫[a,b] f(x)² dx其中，π为圆周率。
推导过程：为了推导该公式，我们可以将曲线y=f(x)绕x轴旋转一周后，得到不同x处的截面面积πf(x)²。
然后利用定积分的性质，将这些截面面积相加，即得到旋转体的体积公式。
举例说明：假设我们有曲线y=x²，要计算其在区间[0,1]上绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
根据公式，我们可以得到Vx = π∫[0,1] x^4 dx = π/5二、绕y轴旋转体积公式当曲线x=g(y)在y轴的区间[c,d]上绕y轴旋转一周时，所形成的旋转体的体积Vy可由以下公式计算：Vy = π∫[c,d] g(y)² d y推导过程：同样地，为了推导该公式，我们可以将曲线x=g(y)绕y轴旋转一周后，得到不同y处的截面面积πg(y)²。
然后利用定积分的性质，将这些截面面积相加，即得到旋转体的体积公式。
举例说明：假设我们有曲线x=y²，要计算其在区间[0,1]上绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
根据公式，我们可以得到Vy = π∫[0,1] y^4 dy = π/5总结通过本文的讨论，我们可以得出绕x轴和绕y轴旋转体积的计算公式，并了解到其推导过程。
这些公式在数学和工程领域有着广泛的应用，能够帮助我们计算由曲线旋转产生的立体图形的体积，具有重要的理论和实际意义。
为了更深入地理解旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的推导过程，我们可以进一步探讨不同类型曲线的旋转体积公式，并应用这些公式解决实际问题。
绕x轴和y轴旋转体体积公式
绕x轴和y轴旋转体体积公式
对于三维几何中绕x轴或y轴旋转体积的问题，其计算公式主要依赖于微积分
中的旋转体体积计算公式，常用的有二者：
关于绕x轴和y轴旋转体体积的计算，若将一个实函数y=f(x)在区间[a, b]上的
图象，围绕y轴绕一周，就形成了一个旋转体。
旋转体体积的计算公式为V=π∫[a, b] (y(x))^2dx。
类似地，如果我们围绕x轴旋转，则旋转体体积的计算公式将变为V=π∫[c, d] (x(y))^2dy。
其中，∫表示积分符号，a、b、c、d为给出的积分上下限，π为圆周率，x和y
为对应坐标轴上的坐标。
这两个公式是用来描述一个二维图形在空间中旋转形成的立体图形的体积大小的。
具体到例子，假设有一个曲线y=x^2，我们要计算它在x轴上的区间[a, b]（例
如a=0，b=1）围绕x轴旋转形成的立体图形的体积，根据公式我们可以计算得到
V=π∫[0, 1] (x^2)^2dx=π∫[0, 1] x^4dx。
如果我们以y轴为旋转轴，同样的曲线y=x^2，在y轴上区间[c, d]（例如c=0，d=1）围绕y轴旋转形成的立体图形的体积，根据公式我们可以计算得到V=π∫[0, 1] (sqrt(y))^2dy=π∫[0, 1] ydy。
这些就是绕x轴和y轴旋转体体积计算公式的具体应用。
旋转体求体积的方法
旋转体求体积的方法旋转体求体积是数学中一个重要的计算方法，它可以应用于各种实际问题的建模和解决。
首先，我们需要了解旋转体的概念。
旋转体是通过将一个曲线或者一条线段沿着某个轴线旋转一周而形成的立体图形。
常见的例子有圆锥和圆柱体。
接下来，我们介绍一种常见的方法——圆盘法。
该方法适用于当旋转体的截面是一个平行于底面的圆盘时。
以一个简单的圆柱体为例，假设它的底面半径为r，高度为h。
我们可以将圆柱体沿着垂直于底面的轴线旋转一周，形成一个立体图形。
使用圆盘法，我们可以将整个旋转体分解为无数个很小的圆盘，这些圆盘的半径随着高度的增加而变化。
每个圆盘的面积可以通过πr²计算得出，其中π是一个常数。
要计算旋转体的体积，我们需要对所有圆盘的面积进行求和。
由于每个圆盘的厚度很小，我们可以用ΔV代表一个很小的圆盘的体积。
根据圆盘的面积和厚度，可以得到ΔV = πr²Δh，其中Δh是圆盘的厚度。
接下来，我们对所有的圆盘体积进行求和，即将每个ΔV加起来。
这可以通过求极限的方法得到，即将Δh趋近于0时的极限。
最后的结果即为旋转体的体积，可以表示为V = ∫(0到h) πr²dh。
除了圆盘法，还有其他方法可以求解旋转体的体积。
例如，壳法和柱面法。
这些方法在不同的情况下有其适用性，可以根据实际问题的需要选择合适的方法。
总结起来，旋转体求体积是通过将立体图形沿着某个轴线旋转一周，并将其分解为无数个很小的圆盘，利用圆盘的面积和厚度进行求和，最后求得的体积。
通过应用不同的方法，我们可以解决各种实际问题，例如计算容器的容量、建模自然现象等。
在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的方法，并进行数学推导和计算，以得到准确的解答。
希望这些内容对你理解旋转体求体积的方法有所帮助。
高数定积分旋转体体积
在高数中，旋转体是一种三维图形，可以用旋转某个二维图形围成。
旋转体的体积可以用定积分来求解。
具体来说，假设有一个二维图形 F，它位于平面 xy 上，其旋转轴为 y 轴。
如果将这个图形绕 y 轴旋转 360°得到的体积称为 V。
那么，V 可以表示为：
V = ∫F(x,y) dx
其中，F(x,y) 是围成旋转体的二维图形的面积函数。
举个例子，假设有一个圆柱体，其底面半径为 r，高为 h。
那么，这个圆柱体的体积 V 可以表示为：
V = ∫πr^2 dx = πr^2 ∫ dx
积分的上下界分别为 -h/2 和 h/2，因此：
V = πr^2 (h/2-(-h/2)) = πr^2 h
也就是说，圆柱体的体积等于底面积乘以高。
总之，旋转体的体积可以用定积分来求解，具体方法是将围成旋转体的二维图形的面积函数积分即可。
圆的旋转体体积
圆的旋转体体积圆的旋转体体积是指由一个圆绕某一条轴线旋转造成的立体形状的体积，其计算方法与一般的立体体积计算方法略有不同。
下面将详细介绍圆的旋转体体积的计算方法及其应用。
我们需要知道一个圆绕其直径旋转一周所得到的旋转体为一个圆柱体。
在这个基础上，如果我们将一个圆绕其直径旋转一周，得到的圆柱体体积为：圆柱体体积=πr²h其中，r为圆的半径，h为圆的直径。
接着，我们考虑一个圆绕其切线旋转一周所得到的旋转体。
这个旋转体形状如同一个圆锥体，其体积为：圆锥体体积=1/3πr²h其中，r为圆的半径，h为圆的直径。
除了以上两种情况，我们还可以考虑一个圆绕任意一条轴线旋转所得到的旋转体。
这个旋转体形状不再是简单的圆柱体或圆锥体，而是一个复杂的形状。
在这种情况下，我们可以通过积分的方法来计算旋转体的体积。
具体来说，我们将圆分成若干个小块，将每个小块绕轴线旋转得到的小体积加起来，就可以得到整个旋转体的体积。
数学上，这个过程可以表示为：旋转体体积=∫a^bπf(x)²dx其中，a和b分别为圆的起点和终点，f(x)为圆上某一点到轴线的距离。
需要注意的是，在计算圆的旋转体体积的时候，我们需要先确定旋转轴线的位置，然后再根据旋转轴线的位置来确定旋转体的形状和计算方法。
如果我们选择的旋转轴线与圆的位置关系比较复杂，那么计算过程也会比较复杂。
在实际应用中，圆的旋转体体积有很多种应用。
例如，在工程中，我们可以通过计算圆柱体或圆锥体的体积来确定某个零件的体积，从而为工艺设计和材料选择提供依据。
另外，在数学和物理学中，圆的旋转体体积也是一个重要的研究对象，通过研究其性质和计算方法，我们可以深入理解立体的形状和变换，为后续的研究提供基础。
圆的旋转体体积是一个重要的数学和物理概念，其计算方法较为复杂，但在实际应用中有着广泛的应用。
对于学习者来说，理解和掌握圆的旋转体体积的计算方法是非常必要的，可以帮助我们更好地理解和应用立体几何的知识。
旋转体定积分体积公式
旋转体定积分体积公式在咱们学习数学的过程中，旋转体定积分体积公式那可是相当重要的一部分。
咱们先来说说什么是旋转体。
想象一下，你有一条曲线，然后让这条曲线绕着某条直线转一圈，就像小朋友玩转圈圈的游戏一样，转出来的这个立体图形就是旋转体。
比如说，把一个直角三角形绕着一条直角边旋转一周，就会得到一个圆锥。
那这个旋转体的体积怎么算呢？这就得靠咱们的旋转体定积分体积公式啦。
比如说，有一个函数 y = f(x) ，它在区间 [a, b] 上连续。
如果我们把这个函数对应的曲线绕着 x 轴旋转一周，那么所形成的旋转体的体积V 就可以用定积分来表示：V = π∫[a,b] f(x)² dx 。
我记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸迷茫地看着我，说：“老师，这也太抽象了，完全搞不懂啊！”我就给他举了个例子。
咱们就拿一个简单的抛物线 y = x²来说，假设我们要计算它在区间[0, 1] 上绕 x 轴旋转一周形成的旋转体的体积。
按照公式，V = π∫[0,1] x⁴ dx 。
接下来就是计算定积分啦，算出来是π/5 。
这时候，我让那个迷茫的小家伙闭上眼睛，想象一下，有一个像冰淇淋甜筒一样的东西，从底面到尖顶，粗细均匀变化，这就是我们刚刚算出来的旋转体。
然后再想想，如果没有这个公式，我们要怎么去算这个体积呢？是不是感觉脑袋都要大啦！所以说，这个旋转体定积分体积公式可真是个好帮手，能让咱们轻松解决很多看似复杂的问题。
在实际生活中，这旋转体定积分体积公式也有大用处呢。
比如说，工程师在设计一个圆柱形的储油罐，想要知道能装多少油，就得用到这个公式来计算体积。
还有，咱们平时吃的冰淇淋，工厂在生产的时候，也得通过计算旋转体的体积来确定模具的大小和形状，才能做出咱们喜欢的各种口味的冰淇淋。
总之，旋转体定积分体积公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多琢磨琢磨，多做几道题，就能熟练掌握，让它成为我们解决问题的有力武器。
高等数学——6.2体积计算
y
r y x h
r
h x
O
例1 连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线xh 及x 轴围 成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h 的圆锥体．计算这圆锥体的体积．
r 解 过原点O及点P(h，r)的直线方程为 y x ． h 所求圆锥体的体积为 r 2 r2 1 3 h 1 V 0 ( x ) dx 2 [ x ]0 h r 2 ． h 3 3 h
b
a
A(x)dx ． dx
y A(x)
O
a
x
b
x
例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面 交成角．计算这平面截圆柱所得立体的体积． 解 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴，底面上过圆中心 且垂直于x轴的直线为y轴．那么底圆的方程为x 2 y 2R 2． 1 2 2 截面积为A(x) (R x )tan a ， 2 于是所求的立体体积为 x 2 y 2R 2 R R 1 V R (R 2x 2) tan a dx R 2 x 2 tan a 2 O y 1 3 R 1 2x x tan a [R ] R 3 2 R2 x2 R 2 3 R tan a ． x 3
2a
2a
0
x12(y)dy
t d t a a 2(t sin t )2· sin t d t
0
2
a 2(t
sin t
)2· sin a
6 3a 3 ． y 2a
O
a
2 a
x
二、平行截面面积为已知的立体的体积
设立体在x轴的投影区间为[a，b]， 过点x 且垂直于x轴的平 面与立体相截，已知截面面积为A(x)， 则体积元素为A(x)dx ， 立体的体积为 V
三角形旋转体体积
三角形旋转体体积三角形旋转体是指以一个三角形为截面，在某一条线段上旋转一周所形成的立体图形。
它的体积计算公式为：V = (1/2) * b * h * π * r，其中b为三角形的底边长，h为三角形的高，r为旋转的半径。
三角形旋转体的体积计算方法相对简单，只需要知道三角形的底边长、高和旋转半径即可。
首先，我们需要确定旋转的轴线，即旋转的线段。
然后，我们需要确定三角形的底边长和高，这两个参数决定了三角形的形状。
最后，我们需要确定旋转的半径，这个参数决定了旋转的大小。
三角形旋转体的体积计算公式中的π是一个常数，约等于3.14159。
通过将底边长、高和旋转半径代入公式，即可计算出三角形旋转体的体积。
需要注意的是，计算结果通常是一个带有π的无理数。
三角形旋转体的体积计算方法可以通过几何推导得出。
首先，我们可以将三角形旋转体分解为无数个平行于底边的圆盘形，每个圆盘形的面积可以近似看作一个矩形的面积。
然后，我们可以将这些矩形的面积相加，即可得到整个三角形旋转体的体积。
这个方法可以通过极限的思想进行推导，但是在这里我们不进行详细的数学推导。
三角形旋转体的体积计算方法可以应用在很多实际问题中。
比如，在建筑设计中，可以利用三角形旋转体的体积计算方法计算柱形的容积，从而确定柱形的材料用量。
在工程计算中，可以利用三角形旋转体的体积计算方法计算旋转部件的容积，从而确定旋转部件的设计参数。
在物理学中，可以利用三角形旋转体的体积计算方法计算旋转物体的质量，从而确定物体的物理特性。
三角形旋转体是一种常见的几何图形，它可以通过旋转三角形而得到。
三角形旋转体的体积计算方法相对简单，只需要知道三角形的底边长、高和旋转半径即可。
通过几何推导，我们可以得到三角形旋转体的体积计算公式。
这个方法可以应用在很多实际问题中，具有广泛的应用价值。
旋转体的体积计算(课堂PPT)
曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
y
V d [ ( y)]2 dy c d x 2dy c
d
x ( y) c
o
x
3
例1. 求由曲线 y x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解 如图, 选x为积分变量
y
y x
由旋转体的体积公式,得
1
Vx
(
0
x )2 dx
1
xdx
0
o
x
x2
1
22
0
4
例2. 求由曲线 x 2 4 y,直线y = 1及y轴所围成的图形
分别绕 x 轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
y
解 如图, 绕 x 轴旋转体的体积,
选x为积分变量
(2, 1)
1
Vx
12 2 2 ( x 2 )2 dx 04
b
左半圆弧方程为 x x2( y) b a2 y2 O A
Bx
体积微元
-a
D
dV
[ x1(
y)]2 dy
[ x2 (
y)]2 dy
[ x12 (
y)
x
2 2
(
y)]dy
环体体积为 V
a
(
a
x12
x22
)dy
a
[(b
a2 y2 )2 (b
a2 y2 )2 ]dy
a
a
y2
2 a 3
2
x3
3
x [a, a]
-a
o
a
x
由旋转体的体积公式，知：
V
a [ f ( x)]2dx
旋转体体积万能公式
旋转体体积万能公式旋转体是指由一个曲线绕某条轴线旋转一周所形成的立体图形。
计算旋转体的体积是数学中的基本问题之一，而旋转体体积万能公式则是用来计算各种不同形状的旋转体体积的通用公式。
一、圆柱体的体积计算公式圆柱体是最简单的旋转体，其体积计算公式为：V = πr²h其中，V表示圆柱体的体积，r表示底面圆的半径，h表示圆柱体的高度。
二、圆锥体的体积计算公式圆锥体是由一个直角三角形绕其斜边所形成的旋转体，其体积计算公式为：V = 1/3πr²h其中，V表示圆锥体的体积，r表示底面圆的半径，h表示圆锥体的高度。
三、球体的体积计算公式球体是由一个圆绕其直径所形成的旋转体，其体积计算公式为：V = 4/3πr³其中，V表示球体的体积，r表示球的半径。
四、圆环体的体积计算公式圆环体是由两个同心圆之间的区域绕其中一个圆的直径所形成的旋转体，其体积计算公式为：V = π(R² - r²)h其中，V表示圆环体的体积，R表示外圆的半径，r表示内圆的半径，h表示圆环体的高度。
五、其他旋转体的体积计算公式除了上述常见的旋转体，还有一些其他形状的旋转体，它们的体积计算公式如下：1. 半圆球冠的体积计算公式：V = 1/6πh(3a² + h²)其中，V表示半圆球冠的体积，a表示底面圆的半径，h表示半圆球冠的高度。
2. 椭球体的体积计算公式：V = 4/3πabc其中，V表示椭球体的体积，a、b、c分别表示椭球的三个轴长。
3. 抛物体的体积计算公式：V = 1/2πa²h其中，V表示抛物体的体积，a表示抛物线的参数，h表示抛物体的高度。
总结：旋转体体积万能公式是用来计算各种不同形状的旋转体体积的通用公式。
通过应用这些公式，我们可以准确地计算出各种旋转体的体积，为解决实际问题提供了便利。
在实际应用中，我们可以根据旋转体的形状选择合适的公式进行计算，从而得到准确的结果。
旋转体的体积积分公式
旋转体的体积积分公式
旋转体的体积积分公式是用来计算旋转体体积的公式。
旋转体是由一个平面图形绕着某一条轴线旋转而成的立体图形，例如圆锥、圆柱、球等。
对于一个平面图形，其在平面上的面积可以用二重积分来计算。
而对于一个旋转体，其体积可以用一种特殊的积分形式来计算，称为旋转体的体积积分。
旋转体的体积积分公式如下：
V = ∫a^b πf(x)^2dx
其中，a和b是平面图形在x轴上的两个端点，f(x)是平面图形在x轴上的函数表达式。
在计算旋转体的体积时，我们需要先找到旋转轴，并确定旋转体的底面形状和大小。
然后，根据上述公式进行积分，即可得到旋转体的体积。
需要注意的是，积分区间要根据旋转轴的位置和底面形状进行选择。
如果旋转轴在底面上，则积分区间为底面的x坐标范围；如果旋转轴垂直于底面，则积分区间为底面的y坐标范围。
总之，旋转体的体积积分公式是一个简单而又实用的工具，可以帮助我们快速计算各种旋转体的体积。
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y
y f ( x)
o
x x dx
x
取以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体积 为体积元素，dV [ f ( x )]2 dx
旋转体的体积为 V [ f ( x )] dx
2 a
b
y dx a
2
[(b a 2 y 2 )2 (b a 2 y 2 )2 ]dy
a
a
4b
a a
a y dy 8b
2 2
a
0
2 2 a 2 y 2 dy 2a b
2.平行截面面积为已知的立体的体积
A( x ) 设一立体位于 过点 x =a, x =b y 且垂直于 x 轴的两平面之间， 用垂直于 x 轴的任一平面截 此立体所得的截面积 A(x) 是 x 的已知函数， 求这个立体的体积V . x x+dx o a 用微元法： 取 x 为积分变量，在区间 [a, b] 上任取一小区间 [x , x+dx] ，过其端点作垂直 x 轴的平面，
1 2 1
2 1
2
0
例4 求星形线 x y a (a 0) 绕 x 轴旋转
构成旋转体的体积 . 解 y a x ,
2 3 2 3 2 3
y
2 3
2 3
2 3
y a x
2 2 3
a
2 3
3
x [ a , a ]
-a
o
a
x
由旋转体的体积公y 4 x 2及y 0所围成的图形为底， 而垂
直于y轴的所有截面均是高为 2的矩形的立体的体积 .
解 设截面面积为 A( y )
A( y ) 2 4 y 2
y
4 4 y
V 40
4
64 4 y dy 3
o
x
左半圆弧方程为 x x2 ( y ) b a 2 y 2
a b O
A
C
B
x
体积微元 2 2 dV [ x1 ( y)]2 dy [ x2 ( y)]2 dy [ x1 ( y) x2 ( y)]dy
D
-a
2 环体体积为 V ( x12 x2 )dy a a
解 绕 x轴旋转的旋转体体积
y
2a
Vx
0 2
0
y 2dx
o
a 2 (1 cos t )2 d [a( t sin t )] a 2 (1 cos t ) 2 a(1 cos t )dt
0
2
2 a
x
a
3
0
2
2 3 5 a . (1 3 cos t 3 cos t cos t )dt
Vx 1 2
2
2
1
2
0
8 x 4 2 x dy 2 16 0 16 5 0 5
x 2 ( ) dx 4
2
y2 4x
5 2
o
x
绕 y轴旋转体的体积, 选y为积分变量
y V y ( 4 y ) dy 4 ydy 4 0 0 2
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积. 解 如图, 选x为积分变量 由旋转体的体积公式,得
Vx
y
y
x
1
0
( x ) 2 dx xdx
0
2 1
1
o
x
x 2
2 0
例2. 求由曲线 x 2 4 y,直线y = 1及y轴所围成的图形 分别绕 x 轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积. y 解 如图, 绕 x 轴旋转体的体积, ( 2, 1) 选x为积分变量
32 3 a . V a [ f ( x )] dx a a x dx 105
2
a 2 3 2 3
4
3
例5 求圆 ( x a)2 y 2 a 2 (0 a b) 绕 y 轴旋转一周所
y
成的旋转体（环体）的体积
解 右半圆弧方程为 x x1 ( y ) b a 2 y 2
1.旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直 线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、直 线 x a 、 x b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋 转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x x [a , b ]
a
b 2 4 2 2 (a x )dx ab2 . a a 3
a
2
同理得椭圆绕y轴旋转所成的旋转体的 a2 2 4 2 2 体积为V ( b y ) dy a b. b b 2 3
b
练习
x a( t sin t ) 求摆线 的一拱与 y = 0 所围成的 y a(1 cos t ) 图形绕 x 轴 旋转构成旋转体的体积.
b
x
作体积微元： 以A(x) 为底，dx 为高作柱体， b 体积微元为dV A( x )dx , 从而 V A( x )dx .
a
例6 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，
并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立 体的体积.
解 取坐标系如图 底半圆方程为
y R2 x 2
R
2 3 R tan. 3
小结
V [ f ( x )] dx
2 a b
y
a
b
2
dx
y
d
y o
y f ( x)
x ( y)
c
x x dx
x
o
x
2
V
d
c
[ ( y)] dy
x dy
2 c
d
作业:P118. 1(1)(3)，2
练习
x2 y2 求由椭圆 2 2 1, 绕x轴旋转所成旋转体的体 积. a b 2 b 解 上半椭圆的方程为：y 2 2 (a 2 x 2 ) a a 由公式知：V y 2dx
x
R
o
y
垂直于 x 轴的截面为直角三角形
x 2 y 2 R2
1 1 2 截面面积 A( x ) y y tan ( R x 2 ) tan 2 2
立体体积 V
1 R 2 2 A ( x ) dx ( R x ) tan dx R R 2
R
b
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y ) 、直线 y c 、 y d 及 y 轴所围成的
曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
y
V
c
d
d
2 [ ( y )] dy
d
c
x dy
2
x ( y)
c
o x
例1. 求由曲线 y
x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形