第七节 旋转体的体积计算

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例4 求星形线 x y a (a 0) 绕 x 轴旋转
构成旋转体的体积 . 解 y a x ,
2 3 2 3 2 3
y
2 3
2 3
2 3
y a x
2 2 3
a
2 3

3
x [ a , a ]
-a
o
a
x
由旋转体的体积公式，知：
x
R
o


y
垂直于 x 轴的截面为直角三角形
x 2 y 2 R2
1 1 2 截面面积 A( x ) y y tan ( R x 2 ) tan 2 2
立体体积 V
1 R 2 2 A ( x ) dx ( R x ) tan dx R R 2
R
[(b a 2 y 2 )2 (b a 2 y 2 )2 ]dy
a
a
4b
a a
a y dy 8b
2 2
a
0
2 2 a 2 y 2 dy 2a b
2.平行截面面积为已知的立体的体积
A( x ) 设一立体位于 过点 x =a, x =b y 且垂直于 x 轴的两平面之间， 用垂直于 x 轴的任一平面截 此立体所得的截面积 A(x) 是 x 的已知函数， 求这个立体的体积V . x x+dx o a 用微元法： 取 x 为积分变量，在区间 [a, b] 上任取一小区间 [x , x+dx] ，过其端点作垂直 x 轴的平面，
b
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y ) 、直线 y c 、 y d 及 y 轴所围成的
曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
y
V
c
d
d
2 [ ( y )] dy


d
c
x dy
2
x ( y)
c
o x
例1. 求由曲线 y
x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
b
x
作体积微元： 以A(x) 为底，dx 为高作柱体， b 体积微元为dV A( x )dx , 从而 V A( x )dx .

a
例6 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，
并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立 体的体积.
解 取坐标系如图 底半圆方程为
y R2 x 2
R
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积. 解 如图, 选x为积分变量 由旋转体的体积公式,得
Vx
y
y
x

1
0
( x ) 2 dx xdx
0
2 1
1
o
x
x 2
2 0
例2. 求由曲线 x 2 4 y,直线y = 1及y轴所围成的图形 分别绕 x 轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积. y 解 如图, 绕 x 轴旋转体的体积, ( 2, 1) 选x为积分变量
2
3
练习
求以抛物线y 4 x 2及y 0所围成的图形为底， 而垂
直于y轴的所有截面均是高为 2的矩形的立体的体积 .
解 设截面面积为 A( y )
A( y ) 2 4 y 2
y
4 4 y
V 40
4
64 4 y dy 3
o
x
解 绕 x轴旋转的旋转体体积
y
2a
Vx
0 2
0
y 2dx
o
a 2 (1 cos t )2 d [a( t sin t )] a 2 (1 cos t ) 2 a(1 cos t )dt
0
2
2 a
x
a
3
0
2
2 3 5 a . (1 3 cos t 3 cos t cos t )dt
a
b 2 4 2 2 (a x )dx ab2 . a a 3
a
2
同理得椭圆绕y轴旋转所成的旋转体的 a2 2 4 2 2 体积为V ( b y ) dy a b. b b 2 3
b
练习
x a( t sin t ) 求摆线 的一拱与 y = 0 所围成的 y a(1 cos t ) 图形绕 x 轴 旋转构成旋转体的体积.
Vx 1 2
2
2
1
2
0
8 x 4 2 x dy 2 16 0 16 5 0 5
x 2 ( ) dx 4
2
y2 4x
5 2
o
x
绕 y轴旋转体的体积, 选y为积分变量
y V y ( 4 y ) dy 4 ydy 4 0 0 2
在[a , b]上任取小区 间[ x , x dx ]，
y
y f ( x)
o
x x dx
x
取以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体积 为体积元素，dV [ f ( x )]2 dx
旋转体的体积为 V [ f ( x )] dx
2 a
b

y dx a
2
左半圆弧方程为 x x2 ( y ) b a 2 y 2
a b O
A
C
B
x
体积微元 2 2 dV [ x1 ( y)]2 dy [ x2 ( y)]2 dy [ x1 ( y) x2 ( y)]dy
D
-a
2 环体体积为 V ( x12 x2 )dy a a
1.旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直 线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、直 线 x a 、 x b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋 转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x x [a , b ]
2 3 R tan. 3
小结
V [ f ( x )] dx
2 a b
y
a
b
2
dx
y
d
y o
y f ( x)
x ( y)
c
x x dx
x
o
x
2
V
d
c
[ ( y)] dy
x dy
2 c
d
作业:P118. 1(1)(3)，2
练习
x2 y2 求由椭圆 2 2 1, 绕x轴旋转所成旋转体的体 积. a b 2 b 解 上半椭圆的方程为：y 2 2 (a 2 x 2 ) a a 由公式知：V y 2dx
32 3 a . V a [ f ( x )] dx a a x dx 105
2
a 2 3 2 3

4
3
例5 求圆 ( x a)2 y 2 a 2 (0 a b) 绕 y 轴旋转一周所
y
成的旋转体（环体）的体积
解 右半圆弧方程为 x x1 ( y ) b a 2 y 2