《高等数学第一章》PPT课件
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高数一章9节ppt课件
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
因若 lim 1, 则有 o( ).
tan x x o( x), e x 1 x o( x)
14
思考题
1.任何两个无穷小量都可以比较吗？
2. 比较下列各对无穷小的阶 1) x 1时, 1 x 与1 x . 1 x 2) x 0时, 1 x 1 x与sin x tan x.
同阶无穷小.
3
因 lim x0
1
cos x2
x
=
1 2
,所以当x
0时,1
cos
x是
关于x的二阶无穷小.
因lim sin x =1,所以当x 0时,sin x与x是等价 x0 x
无穷小,即sin x x ( x 0).
4
n 1 x 1 1 x. n
5
二、等价无穷小的性质
定理1 o( ).
12
例7 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
错 解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
原式
x x lim x0 (2 x)3
0.
正确解法如下:
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
1 x 1 x 是比sinx tanx低阶的无穷小.
17
见例1
1
解 当x 0,(1 x2 )3 1
1 x2 ,cos x 1
1 x2
3
2
所以
1
(1 x2 )3 1
lim
lim
1 x2 3
x0 cos x 1
x0 1 x2
2
2 3
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章第1节函数
复合函数的实际应用
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
《高等数学第一章》PPT课件
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则
称f
(
x
)在
点x
处右
0
连续.
定理 函数 f ( x)在 x0 处连续 是函数 f ( x)在 x0
处既左连续又右连续.
例2
讨论函数
f
(x)
x 2,
x
2,
x 0, x 0,
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
y
y
y f (x)
y f (x)
★
f
(
x)
1, 1,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续.
判断下列间断点类型:
y
y f x
x1 o
x2
x3
x
例8 当a取何值时,
函数
f
(x)
cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
解 f (0) a,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 1为函数的第二类间断点.
o
x
这种情况称为无穷间 断点.
例7 讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0处的连续性. x
解 在x 0处没有定义,
且 lim sin 1 不存在. x0 x
高等数学第一章复习课ppt课件.ppt
3.极限的性质
定理 设 lim f ( x) A,lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
1 o 1
x
(5) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的
数l,使得对于任一 x D,有 x l D .且 f(x+l)=f(x)
恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通
常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
T 1
y
y x [x]
1
o
1
x
3.反函数
由y f ( x)确定的y f 1( x)称为反函数.
y sinh x
4.隐函数
y f 1( x) ar sinh x
由方程F ( x, y) 0所确定的函数 y f ( x)称为隐函数.
5.反函数与直接函数之间的关系
设函数f ( x)是一一对应
函数, 则
y y f 1( x)
3.连续的充要条件
定理 函数f ( x)在 x0 处连续 是函数f ( x)在 x0 处 既左连续又右连续.
4.间断点的定义
函数f ( x)在点x0处连续必须满足的三个条件: (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
2.函数的性质
高等数学第一章的总结-PPT
n
1
lim
n
n2 n2
lim n1
1
n2
1
lim n
n
1
n2
n2
1
2
n2
1
n
1
例:
lim
1
1
(e n
2
en
n
en
)
n n
1
e
x
d
x
e 1
0
1
n
1
解：原式
lim
n
1 n
e
n
(1
e
1
n
)
(1
e) lim
n
n
1
1en
1en
1
(1 e) lim ln(1 u) (1 e) lim ln(1 u) u e 1.
)x
e
两个重要极限
(1) lim sin 1
0
(2) lim ( 1 1 ) e
1
或 lim(1 ) e
0
注: 代表相同的表达式
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. lim sin x __0___ ;
x x
3. lim xsin 1 _0___ ;
x0
x
2. lim xsin 1 __1__ ;
从此时刻以后 0 x x0 0 x x0
f (x)
f (x) A
x x0
x x0 0
思考题
x
sin
1 x
,
试问函数 f ( x) 10,
5
x2,
x0 x 0在x 0处
x0
的左、右极限是否存在？当 x 0 时， f ( x) 的
高等数学-第1章课件
x x0
三、函数极限的性质
第三节 极限的运算
一、极限的运算法则
法则1 法则2
x x0
lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) A B
x x0 x x0 x x0 x x0
x x0
lim[ f ( x ) g ( x )] lim f ( x ) lim g ( x ) A B
第 一 章 函 数 ︑ 极 限 与 连 续
目录
第一节 函数
第二节 极限
第三节 极限的运算 第四节 无穷小与无穷大 第五节 函数的间断性与连续点 第六节 初等函数的连续性
第一节 函数
一、集合、区间与邻域
1.集合
集合（简称集）是具有某种共同性质的事物的全 体，组成集合的单一事物称为该集合的元素。
有限集合 有限个元素构成 北京户籍人口
° a
• a •
a°Leabharlann a3.邻域设 x0, δ R, 其中δ > 0,以 x0为中心,以δ 为半径,长为 2δ的
开区间. 即
( x0 , x0 ) { x x x0 , 0}
称为点 x0 的 δ 邻域 , 记为U(x0 , δ ).
2
x0
x0
x0
集合的运算及关系
由所有属于集合A或属于集合B的元 并集 素所组成的集合，称为集合A与B的 并集 交集 差集 由属于集合A且属于集合B的所有元 素组成的集合，称为A与B的交集
由所有属于集合A 而不属于集合B 的 元素组成的集合
A∪B A∪B={x|x∈A,或 x∈B}
A∩B A-B
A∩B={x|x∈A,且 x∈B} A-B={x|x∈A,且 xB}
三、函数极限的性质
第三节 极限的运算
一、极限的运算法则
法则1 法则2
x x0
lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) A B
x x0 x x0 x x0 x x0
x x0
lim[ f ( x ) g ( x )] lim f ( x ) lim g ( x ) A B
第 一 章 函 数 ︑ 极 限 与 连 续
目录
第一节 函数
第二节 极限
第三节 极限的运算 第四节 无穷小与无穷大 第五节 函数的间断性与连续点 第六节 初等函数的连续性
第一节 函数
一、集合、区间与邻域
1.集合
集合（简称集）是具有某种共同性质的事物的全 体，组成集合的单一事物称为该集合的元素。
有限集合 有限个元素构成 北京户籍人口
° a
• a •
a°Leabharlann a3.邻域设 x0, δ R, 其中δ > 0,以 x0为中心,以δ 为半径,长为 2δ的
开区间. 即
( x0 , x0 ) { x x x0 , 0}
称为点 x0 的 δ 邻域 , 记为U(x0 , δ ).
2
x0
x0
x0
集合的运算及关系
由所有属于集合A或属于集合B的元 并集 素所组成的集合，称为集合A与B的 并集 交集 差集 由属于集合A且属于集合B的所有元 素组成的集合，称为A与B的交集
由所有属于集合A 而不属于集合B 的 元素组成的集合
A∪B A∪B={x|x∈A,或 x∈B}
A∩B A-B
A∩B={x|x∈A,且 x∈B} A-B={x|x∈A,且 xB}
高等数学 第一部分 函数、极限与连续 课件ppt
a 1 时，y log a x 单调递增， y
y logax (a 1)
0 a 1时y， log a x 单调递减。 o
x
y logax (0 x 1)
1-1 函数
4. 三角函数
正弦函数：y sin x
定义域：(,)．
值 域：[1,1] ．
单调性：
在
2
2k , 2
2k
单调增加；2
1-1 函数
函数的表示法
1）以数学式子表示函数的方法叫公式法如： y x2, y cos x 公式法的优点是便于理论推导和计算．
2）以表格形式表示函数的方法叫表格法，它是 将自变量的值与对应的函数值列为表格，如三角函 数表、对数表等，表格法的优点是所求的函数值容 易查得．
3）以图形表示函数的方法叫图形法或图象法， 这种方法在工程技术上应用很普遍，其优点是直观 形象，可看到函数的变化趋势．
4
2
3
（2） y sin x cosx 的周期T 2
（3） y cos 2x tan x 的周期T 3 ．
3 3 6
1-1 函数
4．有界性
定义 1.6 设函数 y f (x) 的定义域为 D，如果存在 一个正常数 M，使得对于任意的 x D ，都有| f (x) | M , 则称函数 y f (x) 在 D 上有界．如果不存在这样的正常 数 M，即对任意的正常数 M，都存在某个点 x0 D ，使 得| f (x0 ) | M , 则称函数 y f (x) 在 D 上无界．
2k ,
3
2
2k
单调减少．
奇偶性：奇函数．
周期性：周期函数．
有界性：有界函数．
余弦函数：y cosx
1-1 函数
大一高数上_PPT课件_第一章
几个数集:
R表示所有实数构成的集合，称为实数集。
Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集。 子集: 若xA，则必有xB，则称A是B 的子集, 记 为AB（读作A包含于B）。 显然，N Z ，Z Q ，Q R 。
的上方。
y y=f(x) O x
y=K2
如果存在数 M,使对任一 xX，有 | f(x) |M， 则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在， 则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M ，总存在 x1X，使|f(x)|>M。 有界函数的图形特点： 函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M y 的之间。
高等数学研究的主要对象是函数，主要研 究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和 分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。 那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方 法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方 法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数 学的一个显著标志。 由于高等数学的研究对象和研究方法与初 等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出 以下显著特点：
周期函数的图形特点：
y
y=f(x)
-2l
-l
O
l
2l
x
四、反函数与复合函数
1. 反函数 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。 对于任一数值 yW，D上可以确定唯一数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按 照函数的定义就得到一个新的函数，这个 新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=f -1(y)。
什么样的函数存在反函数？
《高等数学》PPT课件-第一章极限
②逆命题不成立：有界列不一定收敛. ③数列有界是收敛的必要条件(不充分).
2.1.2 函数极限 【数列极限】
【函数的极限】 有
—— 整标函数 两大类情形
【直观定义】在x→∞时，函数值f (x)无限接近于一 个确定的常数A ,称A为f (x)当x→∞时的极限. 记作
[两种特殊情况]
[定理] [例如]
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
都是无穷小
2.3.2无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
[极限存在定理] [例1] [证]
左右极限存在但不相等, [注] 一般而言, 分段函数的极限要分左右极限考察.
2.1.3函数极限的性质
1.[唯一性]
2.[ 局部有界性]
[定理2]
3.[ 保号性] [定理3]
2.2 极限运算法则
定理
推论1
常数因子可以提到极限记号外面. 推论2
2.3 无穷小量与无穷大量
注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.
2.3.3无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
2.3.4 无穷小量的比较
二、极限
2.1 极限的定义
2.1.1 数列极限
截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭”
2.1.2 函数极限 【数列极限】
【函数的极限】 有
—— 整标函数 两大类情形
【直观定义】在x→∞时，函数值f (x)无限接近于一 个确定的常数A ,称A为f (x)当x→∞时的极限. 记作
[两种特殊情况]
[定理] [例如]
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
都是无穷小
2.3.2无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
[极限存在定理] [例1] [证]
左右极限存在但不相等, [注] 一般而言, 分段函数的极限要分左右极限考察.
2.1.3函数极限的性质
1.[唯一性]
2.[ 局部有界性]
[定理2]
3.[ 保号性] [定理3]
2.2 极限运算法则
定理
推论1
常数因子可以提到极限记号外面. 推论2
2.3 无穷小量与无穷大量
注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.
2.3.3无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
2.3.4 无穷小量的比较
二、极限
2.1 极限的定义
2.1.1 数列极限
截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭”
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1.1函数的概念与特性—函数
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1.1函数的概念与特性—函数的几种简单性态
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1.2初等函数与建立函数关系式—初等函数
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1.2初等函数与建立函数关系式ห้องสมุดไป่ตู้初等函数
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1.2初等函数与建立函数关系式— 建立函数关系式举例
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高等数学基础
第一章 函数及其图形
主讲:
函数及其图形
函数的概念与特性
集合与区间 函数 函数的几种简单性态
初等函数与建立函数关系式
初等函数 建立函数关系式举例
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1.1函数的概念与特性--集合与区间
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1.1函数的概念与特性--集合与区间
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1.1函数的概念与特性--集合与区间
高数上册第一章第一节映射与函数一.ppt
预备知识
一.区间和邻域
⑴【区间】是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
开区间 ( a , b ) x a x b
oa
b
x
闭区间 [ a , b ] x a x b
oa
b
x
半开区间 无限区间
有限区间
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a 1)
3.【对数函数】 y loga x (a 0, a 1) y ln x
y log a x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
4.【三角函数】
正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
【说明】通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数.
2【注意】 1）构成复合函数的条件 g(D) D1 不可少.
（即：内层函数在复合函数定义域D内的值域g(D) 一定包含在外层函数的定义域D1内）
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
D : (,), 奇函数.
② 双曲余弦chx e x e x 2
D : (,), 偶函数.
y chx
y 1ex 2
y shx
y 1ex 2
③
双 曲 正 切 thx
shx chx
ex ex
ex ex
D : (,) 奇函数, 有界函数,
【双曲函数常用公式】
sh( x y) shxchy chxshy; ch( x y) chxchy shxshy; ch2 x sh2 x 1;
一.区间和邻域
⑴【区间】是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
开区间 ( a , b ) x a x b
oa
b
x
闭区间 [ a , b ] x a x b
oa
b
x
半开区间 无限区间
有限区间
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a 1)
3.【对数函数】 y loga x (a 0, a 1) y ln x
y log a x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
4.【三角函数】
正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
【说明】通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数.
2【注意】 1）构成复合函数的条件 g(D) D1 不可少.
（即：内层函数在复合函数定义域D内的值域g(D) 一定包含在外层函数的定义域D1内）
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
D : (,), 奇函数.
② 双曲余弦chx e x e x 2
D : (,), 偶函数.
y chx
y 1ex 2
y shx
y 1ex 2
③
双 曲 正 切 thx
shx chx
ex ex
ex ex
D : (,) 奇函数, 有界函数,
【双曲函数常用公式】
sh( x y) shxchy chxshy; ch( x y) chxchy shxshy; ch2 x sh2 x 1;
高数一章6节ppt课件
分子次数等 于分母次数
时, 分母
分子
分子分母同除以 x3 , 则
“ 抓大头”
42
lim
x
3x3 7x3
4x2 5x2
2 3
lim
x
3 7
x 5
x
x3 3
x3
这是因为lim x
a xn
a lim x
1 xn
a
lim
x
1 n x
0.
10
例8 求 lim 3x2 2x 1 . x 2x3 x2 5
( x x2
x
2) 1
1
通分化作商的极限
14
例12 求 lim x 1 . x1 x 1
解 方法 1 令 u x , 则 lim u 1, x1 x 1 u2 1 u1 x 1 u1
所以原式 lim(u 1) 2 u1
方法2 lim x 1 lim ( x 1)( x 1)
x2 lim
x2 x 2
x22
lim
x 7 3 x2
x22 x73
2
3
13
例11
求
lim(
x 1
x
3 3
1
1 ). x1
解 lim( 3 1 ) x1 x3 1 x 1
lim
x1
3
(x2 (x3
x 1)
1)
lim ( x 2)( x 1) x1 ( x3 1)
lim
x 1
由定理1，推论1及推论2 4
定理3的(1), (2)可以分别推广到有限个函数的 代数和,相乘的情形.
推论1 若lim f ( x) A，c为常数，则
lim[cf ( x)] c lim f ( x) cA
高等数学第一章-课件2.ppt
一 函数的连续性
1.函数在点x0的连续性
函数连续的概念源于对几何曲线的直观分析,粗略地 说,如果函数是连续的,那么它的图像是一条连绵不断的曲 线,当然我们不能满足于这种直观的认识,我们需要用数学 的语言给出它的精确定义。
第四节
考察如图1-21所示的函数图像。
图1-21
第四节
故函数f(x)在点 x=0处连续,如图 1-22所示。
图1－20
第二节 极
四 无穷小量与无穷大量
1.无穷小量
定义1－9 若函数f(x)在自变量的某一变化过程中 的极限为零,则称该函数为自变量在此变化过程中的无 穷小量,简称无穷小。通常函数极限有x→+∞,x→- ∞, x→∞,x→x0 + ,x→x0 -,x→x0这六种情形。因此,只简 单地说函数是无穷小量是不确切的,还必须指出x的趋近 方式。
fξ=0。 该推论表明方程fx=0在 a,b内有实根。其几何解释如 图1-26所示。
图1-26
Thank You!
第一章 函数、极限与连续
第一节 函数
第二节 极限
第三节
极限的运算
第四节
初等函数的连续性Leabharlann 第五节 闭区间上连续函数的性质
第一节 函数
一 函数
1.函数的概念
定义1－1 给定两个实数集D和E，若有一个对应法则f，使 得对每个x∈D，都有唯一确定的值y∈E与之对应，则称f是定义 在数集D上的函数，记作y=f(x) ，x∈D。其中，x称为自变量，y 称为因变量，D称为函数fx的定义域，全体函数值的集合E称为函 数的值域.如果在D中任取某一个数值x0，与之对应的y的数值y0， 称为函数f(x)在点x0处的函数值，记作y0=f(x)0 。
1.函数在点x0的连续性
函数连续的概念源于对几何曲线的直观分析,粗略地 说,如果函数是连续的,那么它的图像是一条连绵不断的曲 线,当然我们不能满足于这种直观的认识,我们需要用数学 的语言给出它的精确定义。
第四节
考察如图1-21所示的函数图像。
图1-21
第四节
故函数f(x)在点 x=0处连续,如图 1-22所示。
图1－20
第二节 极
四 无穷小量与无穷大量
1.无穷小量
定义1－9 若函数f(x)在自变量的某一变化过程中 的极限为零,则称该函数为自变量在此变化过程中的无 穷小量,简称无穷小。通常函数极限有x→+∞,x→- ∞, x→∞,x→x0 + ,x→x0 -,x→x0这六种情形。因此,只简 单地说函数是无穷小量是不确切的,还必须指出x的趋近 方式。
fξ=0。 该推论表明方程fx=0在 a,b内有实根。其几何解释如 图1-26所示。
图1-26
Thank You!
第一章 函数、极限与连续
第一节 函数
第二节 极限
第三节
极限的运算
第四节
初等函数的连续性Leabharlann 第五节 闭区间上连续函数的性质
第一节 函数
一 函数
1.函数的概念
定义1－1 给定两个实数集D和E，若有一个对应法则f，使 得对每个x∈D，都有唯一确定的值y∈E与之对应，则称f是定义 在数集D上的函数，记作y=f(x) ，x∈D。其中，x称为自变量，y 称为因变量，D称为函数fx的定义域，全体函数值的集合E称为函 数的值域.如果在D中任取某一个数值x0，与之对应的y的数值y0， 称为函数f(x)在点x0处的函数值，记作y0=f(x)0 。
《高等数学》课件第1章
2
(3) y e2sin3 x2 解 (1) y是由y=sinu与u=2x (2) y是由y=u2、u=tanv及 v x
(3) 表格法.变量间的函数关系通过列表形式反映出来. 例 如，火车时刻表就是利用列表的方法，把进(出)站火车的车 次与时间的函数关系表示出来.这种表示方法使得自变量 与因变量的对应关系一目了然.
4. 某市电话局规定市话的收费标准为：当月所打电话次数 不超过30次时，只收月租费10元；超过30次时，每次加收 0.20元.则电话费y和用户当月所打电话次数x的关系可用下面 的形式给出：
有arccos(－x)=π－arccosx成立.
图 1-8
图 1-9
反正切函数y=arctanx的图形如图1-10所示，其定义域是
x∈(－∞，+∞)，值域是
y
π 2
,
π 2
，该函数是单调增加
的，是奇函数，即arctan(－x)=-arctanx.
图 1-10
反余切函数y=arccotx的图形如图1-11所示，其定义域是 x∈(－∞，+∞)，值域是y∈(0，π)，该函数是单调减少的， 且有arccot(－x)=π－arccotx成立.
第一章 函数的极限与连续
1.1 函数及其性质 1.2 初等函数 1.3 数学模型方法概述 1.4 极限的概念 1.5 极限的运算 1.6 函数的连续性 本章小结
1.1 函数及其性质
1.1.1 函数
函数是微积分学研究的对象.虽然在中学已经学习了函数 的概念， 但是在以后的学习中我们不再是进行简单的重复， 而是要从全新的视角对函数进行描述并重新分类.
邻域是一个经常应用到的概念. 以点x0为中心的任何开 区间称为点x0的邻域，记作N(x0).
(3) y e2sin3 x2 解 (1) y是由y=sinu与u=2x (2) y是由y=u2、u=tanv及 v x
(3) 表格法.变量间的函数关系通过列表形式反映出来. 例 如，火车时刻表就是利用列表的方法，把进(出)站火车的车 次与时间的函数关系表示出来.这种表示方法使得自变量 与因变量的对应关系一目了然.
4. 某市电话局规定市话的收费标准为：当月所打电话次数 不超过30次时，只收月租费10元；超过30次时，每次加收 0.20元.则电话费y和用户当月所打电话次数x的关系可用下面 的形式给出：
有arccos(－x)=π－arccosx成立.
图 1-8
图 1-9
反正切函数y=arctanx的图形如图1-10所示，其定义域是
x∈(－∞，+∞)，值域是
y
π 2
,
π 2
，该函数是单调增加
的，是奇函数，即arctan(－x)=-arctanx.
图 1-10
反余切函数y=arccotx的图形如图1-11所示，其定义域是 x∈(－∞，+∞)，值域是y∈(0，π)，该函数是单调减少的， 且有arccot(－x)=π－arccotx成立.
第一章 函数的极限与连续
1.1 函数及其性质 1.2 初等函数 1.3 数学模型方法概述 1.4 极限的概念 1.5 极限的运算 1.6 函数的连续性 本章小结
1.1 函数及其性质
1.1.1 函数
函数是微积分学研究的对象.虽然在中学已经学习了函数 的概念， 但是在以后的学习中我们不再是进行简单的重复， 而是要从全新的视角对函数进行描述并重新分类.
邻域是一个经常应用到的概念. 以点x0为中心的任何开 区间称为点x0的邻域，记作N(x0).
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由定义2知
函f数 (x)在 x0处连 . 续h Nhomakorabea5
3.单侧连续
若f(函 x )在 (a ,x 数 0 ] 内有 ,且 f(x 0 定 0 ) f(x 义 0 ), 则 f(x ) 称 在 x 0 处 点左 ; 连续
若f(函 x )在 [x 0 ,b 数 ) 内有 ,且 f(x 0 定 0 ) f(x 义 0 ), 则 f(x ) 称 在 x 0 处 点右 . 连续
x x0
f (x)
f ( x0 )
那末就称函数 f ( x) 在点x0 连续.
""定义 :
0,0,使x当 x0时 , 恒f有 (x)f(x0).
h
4
例1 试证函 f(x数 )xsin1x, x0, 在x0 0, x0,
处连. 续
证 limxsin10,
x0
x
又f(0)0, lim f(x)f(0), x 0
设 xx0 x,
yf(x )f(x 0),
x 0 就 x 是 x 0 , y 0 就 f ( x ) 是 f ( x 0 ).
h
3
定义 2 设函数 f ( x) 在U ( x0 )内有定义,如果
函数 f ( x) 当x x0 时的极限存在,且等于它在
点
x
0
处的函数值
f
(
x 0
)
,即
lim
二 、 f ( x )在 ( , 1 )与 ( 1 , )内连续 , x 1 为 跳 跃 间
断点.
三、1、 x 1为第 一类间断点；
2、 x k 为可去间断点 , 2
x k(k 0)为第二类间断点.
f1( x )
x tan
x
,
x
k,k
2
1 , x 0
(k 0,1,2, ) ,
h
23
思考题解答 f(x)在 x0连 续 ， x l ix0m f(x)f(x0)
且 0 f ( x ) f ( x 0 ) f ( x ) f ( x 0 )
x l ix0m f(x)f(x0) x l x i0fm 2 (x ) x l x i0fm (x ) x l x i0fm (x ) f2(x0) 故 |f ( x ) |、 f 2 ( x ) 在 x 0 都 连 续 .
x 0
x 0
lifm (x ) li(a m x )a,
x 0
x 0
要 f ( 0 0 ) 使 f ( 0 0 ) f ( 0 ) ,a1 ,
故当且a仅 1时 当 , 函f数 (x)在 x0处连 . 续
h
20
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 2.区间上的连续函数; 3.间断点的分类与判别;
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例如,有理函(数 , 在 ) 内 区 是 间 连 . 续
h
8
例3 证 函 明 y s 数 x i在 n ( 区 , ) 内 间 .连
证 任x 取 (, ) ,
y six n x )( sx i n 2si nxcoxs(x)
2
2
cosx(x)1, 则y2sinx.
0
0
0
f(x)的跳跃.间断点
例4
讨论f(函 x) 1 数 x x ,,
x0,在 x0处的.连 x0,
解 f(00)0, f(00)1,
y
f( 0 0 ) f( 0 0 ),
x0为函数的跳跃间.断点 o
x
h
11
2.可去间断点如果 f(x)在点 x0处的极限 , 存
但lx ixm 0 f(x)Af(x0),或f(x)在点 x0处无定 义则称 x0为 点函f数 (x)的可去间 . 断点
间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变
函数的定义使它连续 .
1、
f
(x
)
x
3
1, x x, x
1在 1
x R
上
.
2、 f (x) x ,在 x R 上 . tan x
四 、 讨 论 函 数 f ( x ) lim 1 x 2 n 的 连 续 性 ， 若 有 间 断 n 1 x 2n
例6 讨论函 f(x) 数 1 x, x0,在 x0处的连 . 续
x, x0,
y
解 f(00)0, f(00),
x1为函数的第二类间. 断点 o x 这种情况称为无穷断间点.
h
15
例7 讨论f(函 x)s数 i1 n在 x0处的连 . 续 x
解 在x0处没有,定义
且limsin1不存.在 x0 x
h
24
但反之不成立.
例
f(x)1,1,
x0 x0
在 x 0 0 不 连 续
但 |f ( x ) | 、 f 2 ( x ) 在 x 0 0 连 续
h
25
练习题
一、填空题：
1、指 出 y x 2 1 在 x 1 是 第 _______类 间 x2 3x 2
断点；在 x 2 是第_____类间断点 .
2、指 出 y x 2 x 在 x 0 是 第 ________ 类 间 x ( x 2 1)
断点；在 x 1 是第______类间断点；在 x 1
是第_____类间断点 .
x, x 1
二、研究函数 f (x)
的连续性，并画出函数
1, x 1
的图形 .
h
26
三、指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些
间断点
第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型.
(见下图)
h
21
第y
一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
h
y
o
x0
y
o
跳跃型 x
x 振荡型
22
思考题
若 f(x)在 x0连 续 ， 则 |f(x)|、 f2(x)在 x0是 否 连 续 ？ 又 若 |f(x)|、 f2(x)在 x0连 续 ， f(x)在 x0是 否 连 续 ？
例5 讨论函数
f
(
x)
2 1,
x,
0 x 1, x1
1 x , x 1,
在 x 1处的连续性 .
y y1x
2 y2 x
1
o1
x
h
12
解 f(1)1,
f(10)2, f(10)2,
lim f(x)2 f(1), x 1
x 0为函数的可去间.断点
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
2
2
对任,意 当 的 0时 , 有 si n,
故y2sin xx, 当 x 0 时 , y 0 . 2
即 函 y 数 six 对 n x 任 (,意 )都 是 . 连
h
9
二、函数的间断点
函数 f(x)在点 x0处连续必须满条 足件 :的三
(1)f(x)在x点 0处有;定义
(2)limf(x)存在 ; xx0
点，判断其类型 .
五 、 试 确 定 a,b 的 值 ,使 f (x) e x b ， ( x a )( x 1 )
（ 1 ） 有 无 穷 间 断 点 x 0 ；（ 2 ） 有 可 去 间 断 点 x 1 .
h
27
练习题答案
一 、 1、 一 类,二 类 ； 2、 一 类,一 类 ,二类 .
x 0
x 0
右连续但不左连续 ,
故函 f(x)在 数x点 0处不 . 连续
h
7
4.连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
如果函数在(a开 ,b)内 区连 间 , 续 并且在左端 xa处右连 , 在 续右端 x点 b处左连 , 则 续称 函数 f(x)在闭区 [a,b间 ]上连. 续
x0为第二类间. 断点
这种情况称为的振荡断间点.
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.
h
16
y sin 1 x
h
17
★ 狄利克雷函数
yD(x)10,,
当x是有理,数时 当x是无理,数时
在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间 断点.
★
f(x)xx,,
当x是有理,数时 当x是无理,数时
仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.
h
28
f2( x )
x tan 0,x
,x k,k x k
2
(k
0 , 1, 2 ,
).
2
x, x 1
四、
f
(
x
)
0
,
x
0
x 1 和 x 1 为 第 一 类 间 断 点 .
x, x
1
五 、 (1)a 0,b 1;
(2)a 1,b e .
h
29
h
18
★
f(x)11,,
当x是有理,数时 当x是无理,数时
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续.
判断下列间断点类型:
y
yfx
x1 o
x2
x3
h
x
19
例8 当 a取何,值时
函数 f(x) a cox xs,,
x0, x0,
在 x0处连 . 续
解 f(0)a,
lim f(x)lic m o xs1,
h
2
2.连续的定义
定义 1 设函数 f ( x )在U ( x0 ) 内有定义,如