概率统计1-3

§1.3条件概率和独立性

一.条件概率 二.乘法公式 三.事件独立性 在实际应用中，常需要了解随机事件A、B 之间有无联系、影响，如：当A已经发生后，B 再发生的概率(或B发生后,A发生的概率)。这就 是下面要介绍的“条件概率”( P(A|B)和 P(B|A) )。 注意:P(A|B)和P(AB)是不同的概念。一般说来, P(A|B)都比P(AB)要大。 生活中有许多关于条件概率的趣事，有时也 会令人迷惑。 1
2 P( A1 ) 5
3 P( A2 | A1 ) 6
P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) P( A4 | A1 A2 A3 )
4 P( A4 | A1 A2 A3 ) 8
15
3 P( A3 | A1 A2 ) 7

3 P( EH ) P( E H ) P( H ) [1 P( E H )]P( H ) (1 ) 0.07 0.04 7
13
续
(2)随意找一个学生，他视力有缺陷但听力没有缺陷的 概率是多少？
P ( E H ) P ( H E ) P ( E ) (1 0.1) 0.3 0.27
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有关独立性的推论3


推论3：设0<P(A)<1, 0<P(B)<1,则下面四个等 式等价,即其中任何1个成立,另外3个也成立： ① P(A |B) = P(A),② P(A |¯ = P(A) , B) ③ P(B |A) = P(B), ④ P(B |Ā) = P(B) 两个事件A和Ｂ独立，不仅事件Ａ的发生与否 不影响事件Ｂ的发生的概率；而且事件Ｂ的发 生与否不影响事件Ａ的发生的概率.

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乌龟寿命表
年龄（岁） 0 20 40 60 80 100 120 存活概率 1.00 0.92 0.90 0.89 0.87 0.83 0.78 年龄（岁） 140 160 180 200 220 240 260 存活概率 0.70 0.61 0.51 0.39 0.08 0.004 0.0003
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有关独立性的推论1
推论1：设A、B为两个事件， P(B)>0，则A和 B独立的充要条件： P(A)= P(A|B) proof: (必要性) 由独立性知, P(AB)=P(A)P(B),而乘法公 式为 P(AB)= P(A|B) P(B), 则 P(A)P(B)=P(A|B)P(B), 又因为P(B)>0,所以 P(A)= P(A |B) 。 (充分性) 因为P(A)= P(A|B)，所以 P(AB)=P(A|B) P(B)=P(A)P(B)

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例题与解答
例7：一个袋内装有4个球，其中全红、全黑、 全白色的球各一个，另一个是涂有红、黑、白 的彩球，从中任取一个，记事件A、B、C分别 表示取到的球上涂有红色、黑色、白色.试判断 A与B的独立性, A与C的独立性, B与C的独立性. 解:古典概型，P(A)=P(B)=P(C)=2/4=0.5 P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4=0.25 P(AB)= P(A) P(B), P(BC)= P(B) P(C), P(AC) = P(A) P(C). ★ 3个事件中任何2个事件都独立，称该3个事件 两两独立.
8
例题与解答


例1：一批产品100件,有80件正品，20件次品， 其中甲生产的为60件，有50件正品，10件次品， 余下的40件均由乙生产.现从该批产品中任取一 件，记A=“正品”，B=“甲生产的产品”计算 P(A),P(B),P(AB),P(B|A), P(A|B) . 解： P(A)=80/100=0.8, P (B)=60/100=0.6, P(AB)=50/100=0.5(AB表示甲生产的正品)， P(B|A)=50/80=0.625(样本空间为A)=P(AB)/P(A) P(A|B)=50/60=0.83 (样本空间为B) =P(AB)/P(B) (当然可用条件概率公式)
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古典概型中条件概率的计算



设试验为古典概型， ＃Ω= n ,＃A=m , ＃AB=k, P(B|A)= P(AB)/ P(A) =(＃AB/ ＃Ω)/(＃A/ ＃Ω)=(k/n)/(m/n)=k/m ★ P(B|A)= k/m,其中m为A的样本点数，k为AB的样 本点数 考虑的样本空间是A ★比较P(B|A)= k/m 和 P(BA)= k/n 考虑的样本空间是Ω
例题与解答
例4:假设在空战中,若甲机先向乙机开火,则击落乙机 的概率为0.2;若乙机未被击落,就进行还击,击落甲机的 概率为0.3;若甲机亦未被击落,则再次进攻乙机,击落乙 机的概率为0.4,在这几个回合中,分别计算甲、乙被击 落的概率？ 解：设U=“甲机被击落”，A =“乙机被击落”，Ai=“乙 机在第i被击落”,i=1,2. P(U)=P(Ā1U)= P(U|Ā1)P( Ā1)=0.3*0.8=0.24 A=A1+A2 , P(A)=P(A1+A2) = P(A1 ) + P( A2) P(A1)=0.2 , P (A2) =P(Ā1ŪA2) = P(Ā1) P(Ū|Ā1)P( A2 |Ā1Ū) =0.7*0.4*0.8=0.224 P(A)= P(A1) + P(A2)=0.2+0.224=0.424
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例题与解答





例2: 10个产品中有7个正品, 3个次品,按不放回 抽样,抽取2个，如果已知第一次取到次品，计 算第二次又取到次品的概率？ 思路：第一次的抽取的样本空间是7个正品和 3个次品；第二次的抽取的样本空间是7个正品 和 2个次品. 解：Ai=“第i次取到次品”，i=1,2.现求P(A2 |A1). 由于已知第一次取到次品，因此在抽取第2个 产品检验时，剩余的产品共9个，其中只有2个 次品. 因此， P(A2 |A1)=2/9. 10
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事件的独立性Fra Baidu bibliotek
当事件A发生的概率,不受事件B的发生与否的影 响时,即P(A)=P(A|B),乘法公式P(AB)=P(A|B)P(B) 可以改写为P(AB)= P(A)P(B)。 定义：若两个事件A、B,满足P(AB)= P(A) P(B), 则称事件A和B相互独立。(简称A和B独立) 用P(AB)=P(A)P(B)定义独立性,比用P(A)=P(A|B) 要好。理由：后者受P(B)>0限制，而前者不受 该条件限制。
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例题与解答
例 某市的一项调查表明：该市有30%的学生的视力 有缺陷，7%的学生听力有缺陷，3%的学生视力与听 力都有缺陷，记 E=“学生视力有缺陷”, P(E)=0.30 H=“学生听力有缺陷”, P(H)=0.07 EH=“学生视力与听力都有缺陷”, P(EH)=0.03 问题 (1) 随意找一个学生，他视力没缺陷但听力有缺陷的概 率是多少？
作业

12 19 21 25
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乘法公式



乘法公式：对于两个事件A与B, (1)若P(A)>0,则P(AB)= P(B|A) P(A)； (2)若P(B)>0,则P(AB)= P(A|B) P(B)。 推广： (1) 当P(AB)>0时, P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB). (2) P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An-1) （前提:作为条件的事件,其概率大于零。） Proof:由于A AB，故P(A)≥ P(AB)>0 P(ABC)=P(AB)P(C|AB)= P(A)P(B|A)P (C|AB) (注意条件)

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有关独立性的推论2

推论2：设A、B为两个事件， 则下列四对事件： A和B， Ā和B， A和¯ B， Ā和¯ B中，只要有 一对事件独立，其余三对也独立. 思路：只证A和B独立，则Ā和B独立. Proof: AB+ Ā B=B P(Ā B)=P(B-AB)= P(B)-P(AB) = P(B)-P(A )P( B)= P(B)(1-P(A )) = P(B) P(Ā)
2
引例

某温泉开发商通过网状管道向25个温泉浴场供应矿 泉水，每个浴场要安装一个阀门，这25个阀门购自 两家生产厂，其中部分还是有缺陷的，具体如下表
无缺陷 生产厂1 生产厂2 10 8
有缺陷 5 2
3
续
为作试验，随机地从25个阀门选出一个，考察 如下两个事件： A=“选出的阀门来自生产厂1” B=“选出的阀门是有缺陷的” 问题：当已知事件B发生的条件下，事件A再发 生的概率是多少？
引例



例：试验E为掷一颗骰子，A=“掷出偶数点”， B=“掷出2点”。求P(A), P(AB), P(B|A)。 解：样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},A={2,4,6},B={2} P(A)=n A/nΩ=3/6 , P(AB)=n AB/nΩ =1/6; 在A发生的条件下,许多不确定因素已排 除，故样本空间从Ω变为A，则 P(B|A) =1/3=(1/6)/(3/6)= P(AB)/P(A) 考虑P(B|A)表示的前提是A发生,这时计算概率 时的样本空间变成了A,而不是Ω; P(B|A)是在A 发生的条件下,B 发生的概率,故A,B都要发生; 因此, P(B|A)等于P(AB)与P(A)的比.
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独立性的直观含义


独立性的直观定义:两个事件A和Ｂ，若其中任 何一个事件发生的概率不受另外一个事件发生 与否的影响,则称事件A和Ｂ独立. 该定义很有用,在实际应用中,往往根据问题的 实际意义去分析判断两事件是否独立.
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例题与解答



例6:甲、乙二人各投篮一次，设甲投中的概率 为0.7，乙投中的概率为0.8，求甲、乙二人至 少有一人投中的概率. 解一：记A=“甲投中”，B= “乙投中”，可以 认为A、B是独立事件，A+B则表示至少有一 人投中.P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)= P(A)+P(B)P(A) P( B)=0.94 解二：A和B独立可知Ā和¯ B也独立 P(A+B)= 1-P ¯ (A+B)=1- P (Ā ¯B)=0.94 二人至少有一人投中的对立事件是二人中没有 1人投中.

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引例
例 一口袋中装有a只黑球和b只白球，采用有放回 的摸球，求： (1)在已知第一次摸得黑球的条件下，第二次摸出黑球 的概率； (2)第二次摸出黑球的概率.

解：以事件A表示第一次摸得黑球，事件B表示第二次摸得黑球，则 a a2 ba P(A)= , P ( AB ) , P ( AB ) , 所以 2 2 a+b ( a b) ( a b) P(AB) a P( B A)= ,而 P(A) ab a P ( B ) P ( AB ) P ( AB ) . ab
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续
求下面一些事件的条件概率： (1)活到60岁的乌龟再活40年的概率是多少？ (2)120岁的乌龟能活到200岁的概率是多少？

Ax “乌龟活到x岁” P(A100 P(A100 A 60 ) P(A100 ) 0.83 A 60 )= 0.93 P(A 60 ) P(A 60 ) 0.89

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条件概率定义
定义：设两个事件A、B，若P(A)>0,则称 P(B|A)= P(AB)/ P(A) 为事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率。 注意： (1) 当A =Ω时,条件概率P(B|Ω)就是无条件概率 P(B)，因为： P(B|Ω)= P(ΩB)/P(Ω)= P(B)/ 1= P(B) 。 (2) 条件概率P(B|A)满足概率公理化定义中的3个 条件，因此条件概率P(B|A)也是概率，因此具 备概率的一切性质。
(3)随意找一个学生,他视力和听力都无缺陷的概率是多 少？
P( E H ) P( E H ) 1 P( E H ) 1 (0.30 0.07 0.03) 0.66
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例题与解答


例3 袋中有3个红球，2个白球，，每次从袋中 任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只 与所取之球颜色相同的球，若从袋中连续取球 4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红 球的概率。(3/70) 解：设Ai为第i次取球时取到白球，则
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练习
一台戏有两位主要演员甲与乙，考察如下两个 事件 A=“演员甲准时到达排练场” B=“演员乙准时到达排练场” 并设A与B独立，假如P(A)=0.95,P(B)=0.70,那么 (1)两位演员都准时到场的概率； (2)两位演员都未准时到场的概率； (3)两位演员中仅有一位准时到场的概率。 0.665, 0.015, 0.32