概率统计1-3
《概率统计教学资料》第1-3随机试验、样本空间和随机事件及概率节
有一个事件发生时，“指示灯不亮”，即D发生.
故D A (BC )
_____________
或D A(B C) A (BC )
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例如 将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做7 遍,观察正面出现的次数及频率.
123 4 5 6 7
试验 序号
n5
n 50
n 500
nH
23
例： 设有3个事件A, B, C ，试用事件的运算关系 表示以下事件:
(1) 只有A发生 ABC (2) 至少有一个发生 A B C
(3) 恰好有一个发生 ABC ABC ABC (4)三个都不发生 ABC
(5) 至少有一个不发生 A B C 或= ABC
最多有一件事发生
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4.事件的交（积）(A B,或AB)
“事件A,B都发生” 也是一个事件.
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5.事件的差（B-A）
B A {x | x B,且x A}
B发生且A不发生
B
A
差积转化公式 B A BA B AB (其中AB B)
6.事件的互不相容 若A与B不能同时发生，即AB=φ， A B
注： 1o 必然事件S与不可能事件互逆;
2o 互斥与互逆的关系;
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事件运算定律（4种）
(1)交换律
A B B A.
AB BA.
(2)结合律 (A B) C A (B C). (AB)C A(BC).
(3)分配律 A(B C) AB AC.
A (BC) (A B)(A C).
概率论 (Probability theory) ——研究和揭示随机现象的统计规律性的科学。
概率论与数理统计(1-3章重点梳理)
公理 3（可列可加性）
两两互斥，则 P (
)＝
(2)条件概率——P(B∣A)＝
P(AB)＝P(A) P(B∣A) P(B) P(A∣B)
2、概率基本性质 (1) P(Φ)＝0，P(Ω)＝1
(2) 有限可加性 P(
)＝
(3) 求逆公式 P( )＝1-P(A) ※补充：对于固定事件 A，P(B∣A)具有概率一切性质 ① P(Φ∣A)＝0，P(A∣A)＝1
1、定义 F(X)=
， <x< ，其中 f(x)为 X 的概率密度函数
【连续型：求分布函数就是求概率，哪儿求概率哪儿求积分】
（※利用 2、概率密度 f(x)性质
可简化求解）
(1)f(x) 0（非负可积性） （2）
3、连续型性质【重要】 ① F(x)为连续函数 ②对于 f(x)连续点 x，有 =f(x) ③对于任何实数 C，P(X=C)=0
①包含 A B 事件 A 发生一定导致 B 发生 【小推大】
②相等 A B 且 B A A=B 【等价=相等】
③互斥 AB=Φ A、B 不能同时发生
④对立
A、B 在一次试验中必然发生且只能发生一个
⑤完全事件组
且
(1≤i≠j≤n)，称
(2)事件间运算(三种)：并(和)，交(积)，逆(差) ①A、B 和事件 A∪B 或 A+B A、B 至少有一个发生
几何分布的无记忆性：设 X G(p)，即
，k=1 2 (0 p 1)则对于
任何正整数 m,k 有 P(X=m+k∣X 6、均匀分布 U(a,b)
)=P(X=k)
密度 f(x)=
分布函数 F(x)=
例：设随机变量 在(1,b)上服从均匀分布，则方程
概率与统计试卷一二、三
试卷二班级 学号 姓名 成绩一、单项选择题（每小题3分，共18分）1、设B A ,为任意事件，下列命题正确的是 （ ） （A ）若B A ,互不相容，则B A ,互不相容（B ）若B A ,相容，则B A ,互不相容 （C ）若B A ,相互独立，则B A ,相互独立（D ）2、设B A ,为随机事件，且A B ⊂，则下列结论中肯定正确的是 （ ） （A ）)()()(A P B P A B P -=- （B ）)()(A P B A P =+ （C ）)()(A P AB P = （D ）)()|(B P A B P =3、设),(~),,(~2254μμN Y N X ，记)(),(5421+≥=-≤=μμY P P X P P ，则有（ ）（A ）对任意实数μ，都有21P P = （B ）对任意实数μ，都有21P P < （C ）对任意实数μ，都有21P P > （D ）只对μ的个别值才有21P P = 4、已知随机变量),(~p n B X ，42.)(=X E ，441.)(=X D ，则二项分布的参数为 （ ） （A ）406.,==p n （B ）4,0.6n p == （C ）308.,==p n （D ）1024.,==p n5、设12,,,n X X X 是取自正态总体),(20σN 的样本，则可以作为2σ的无偏估计量是 （ ）（A ）∑=n i i X n 11 （B ）∑=-n i i X n 111 （C ）∑=n i i X n 121 （D ）∑=-n i i X n 1211 6、设μσμ),,(~2N X 已知，2σ未知，4321X X X X ,,,是X 的样本，则不是统计量的是 （ ） （A ）43153X X X ++（B ）∑=-41i i X )(μ（C ）∑=-41i i X X )(（D ）∑=-4122i i X )(σ二、填空题（每小题3分，共18分）1、某射手射击命中率为0.6，重复独立射击3次，则恰好命中2次的概率为 ；2、某运动员投篮命中率是0.8，则在一次投篮时投中次数的概率分布为，分布函数为 ；3、设随机变量X 的分布函数200()/40212x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，则)(31≤≤X P = ；4、设),(Y X 在矩形区域：1020≤≤≤≤y x ,内服从均匀分布，则),(Y X 的联合概率密度函数为 ； 5、设随机变量X ，Y 相互独立，110===)(,)(,)(X D Y E X E ， 则=-+)]([2Y X X E ；6、设随机变量n X X X ,,, 21独立同分布，2110σ==)(,)(X D X E ，令∑==ni i X n X 11∑=-=ni i X X Q 12)(，则=)(Q E ；三、解答题（1~4题，每小题10分，5、6题每小题12分，共64分）1、假设有两箱同种零件，第一箱内装有50件，其中10件一等品；第二箱装30件，其中18件一等品。
概率论与数理统计期末复习题1-3
概率与数理统计期末复习题一一、填空题1．设随机变量X的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,31)(31xxexfx，则数学期=+-)(XeXE。
2．设随机变量X，Y相互独立，且服从正态分布N（-1，1），则Z=2X-Y的概率密度。
3．进行三次独立试验，在每次试验中事件A出现的概率相等，已知A至少出现一次的概率等于6437，则事件A在一次试验中出现的概率P(A)= .4.设X,Y是随机变量,D(X)=9,D(Y)=16,相关系数21=XYρ,则D(X+Y)= .5. 口袋中装有2个白球,3个红球,从中随机地一次取出3个球，则取出的3个球中至多有2个红球的概率为 .6. 已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且21}0{==XP,=<}2{XP.二、已知随机变量X的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,01,2)(xxxf.求Y= 3lnX的分布函数.三、玻璃杯成箱出售,每箱装有10只玻璃杯.假设各箱含0只,1只和2只次品的概率分别为0.9,0.06,0.04.一顾客要买一箱玻璃杯,售货员随意取出一箱,顾客开箱随机取出3只,若这3只都不是次品,则买下该箱杯子,否则退回.求(1)该顾客买下该箱玻璃杯的概率;(2)在顾客已买下的一箱中,确实没有次品的概率.四、设随机变量(X,Y)的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≤≤=其他,0660,1,31),(xyxyxf,求 ( 1)边缘密度)(),(yfxfYX; (2)协方差cov(X,Y),并问X 与Y 是否不相关?五、已知一批产品的某一数量指标X服从正态分布)6.0,(2μN,问样本容量n为多少,才能使样本均值与总体均值的差的绝对值小于0.1的概率达到0.95. [96.1)975.0(Φ=，6456.1)95.0(Φ=，29.1)90.0(Φ=]。
六、使用归工艺生产的机械零件,从中抽查25个,测量其直径,计算得直径的样本方差为6.27.现改用新工艺生产, 从中抽查25个零件,测量其直径,计算得直径的样本方差为 4.40. 设两种工艺条件下生产的零件直径都服从正态分布,问新工艺生产的零件直径的方差是否比旧工艺生产的零件直径的方差显著地小(05.0=α)?七、设总体X的的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--其它,010,11);(12xxxfθθθθ其中1>θ,是未知参数,),,,(21nxxx是总体X的样本观察值.求(1)θ的矩估计量;(2) θ的极大似然估计量Lθ,并问Lθ是θ的无偏估计吗?八、设随机向量(X,Y)的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,1,8);(yxyxyyxf求 (1)条件概率密度)|(yxfX;(2) Z=X+Y的概率密度.;概率与数理统计期末复习题二一、一、选择题1.设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为X 1 2 Y 1 21/3 2/3 1/3 2/3则下列命题正确的是。
概率论与统计1-3 随机事件的概率
基本事件总数为 10 10 10 103 , A 所包含基本事件的个数为 6 6 4, 6 6 4 0.144 . 故 P ( A) 3 10
同类型的问题还有：
1) 电话号码问题；
2) 骰子问题.
3) 英文单词、书、报等排列问题.
例6
分房模型
有n个人，每个人都以同样的概率 1/N 被分配在N(n≤N)间房中的每一间中，试求 下列各事件的概率：
nH
1061 2048 6019 12012
f
德.摩根 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
f (H ) n的增大
1 . 2
重要结论
频率当 n 较小时波动幅度比较大,当 n 逐渐增 大时 , 频率趋于稳定值, 这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的
满足等式
rn r r1 r2 n n n n
根据定1.2知 P ( A1 Am ) P ( A1 ) P ( Am )
说明
概率的统计定义直观地描述了事件发生的 可能性大小，反映了概率的本质内容，但也有 不足，即无法根据此定义计算某事件的概率.
三、古典概型
1.古典概型定 义
m Cn ( N 1)nm
m C n ( N 1) n m P (C ) Nn
同类型的问题还有： 1) 球在杯中的分配问题； (球人，杯房) 2) 生日问题； (日 房，N=365天) ( 或 月 房，N=12月)
3) 旅客下站问题； ( 站房 )
4) 印刷错误问题； (印刷错误人，页房)
mn 基本事件总数为: C M N m n CM CN A 所包含基本事件的个数为
概率题与数理统计(1-3章)(屠瑶瑶)
一 、随机事件及其概率二 、事件的概率三 、条件概率与事件的独立性一、填空题1. 设5.0)(=A P ，2.0)(=B A P ，则=)(A B P __________.2. 设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且2.0)(5.0)()(===C P B P A P ，，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为___________.3. 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________.4. 设8.0)(,6.0)(5.0)(===A B P B P A P ，，则B A ,至少发生一个的概率为_________.5. 设B A ，为两个随机事件，且0)(>B P ，则由乘法公式知=)(B A P __________.6. 某柜台有4个服务员 ，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概率为 41，则4人中至多1人需用台秤的概率为_______________. 7. 从1，2，…，10共十个数字中任取一个 ，然后放回 ，先后取出5个数字 ，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于 ___________.8. 设A ，B ，C 是随机事件，81)(0)()(41)()()(======AC P BC P AB P C P B P A P ，，， 则A ，B ，C 三个事件恰好出现一个的概率为__________.9. 甲、乙二人独立地向同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲命中的概率是__________.10. 4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，4.0)(=B A P ，则___________)(=B A P .11. 设B A ，是随机事件，()7.0=A P ，()3.0=-B A P ，则()=AB P __________.12. 设B A ，为随机事件，且8.0)(,6.0)(5.0)(===A B P B P A P ，，则=)(B A P __________.13. 某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率14. 设B A ，为随机事件，且 4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，6.0)(=B A P ， 则=)(B A P __________.15. 设B A ，为随机事件，且 7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，，则=)(B A P __________.16. 四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，，，，61314151则密码能被译出的概率是__________.17. 设B A ，为随机事件，且 6.0)(=A P ，)()(B A P AB P =，则=)(B P _________.18. 设B A ，为随机事件，且 4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，6.0)(=B A P ， 则=)(B A P __________.19. 设B A ，为两个随机事件，7.0)(5.0)(4.0)(===B A P B P A P ，，，则=)(B A P __________.20. 在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为6437，则每次射击击中目标的 概率为__________.21. 一袋中有2个黑球和若干个白球，现有放回地摸球4次，若至少摸到一个白球的概率是8180，则袋中白球的个数是__________. 22. 事件B A 、互斥且B A =，则)(A P =__________.23. 已知25.0)()()(===C P B P A P ，15.0)()(0)(===BC P AB P AC P ，，则C B A 、、中至少有一个发生的概率为 __________.24. 设某试验成功的概率为0.5，现独立地进行该试验3次，则至少有一次成功的概率为__________.25. 把9本书任意地放在书架上，其中指定3本书放在一起的概率为__________.26. 已知2.0)(6.0)(5.0)(===B A P B P A P ，，，则)(AB P ＝__________.27. 设B A ，为随机事件，且8.0)(6.0)(5.0)(===A B P B P A P ，，，则=)(B A P __________.28. 某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率__________. 29. 已知6.0)(=A P ，8.0)(=B P ，则)(AB P 的最大值为__________.二、选择题（3分）10题1. 设C B A ，，为三个事件，且B A ，相互独立，则以下结论中不正确的是（ ）A. 若1)(=C P ，则AC 与BC 也独立.B. 若1)(=C P ，则C A 与B 也独立.C. 若0)(=C P ，则C A 与B 也独立.D. 若B C ⊂，则A 与C 也独立.2. 设C B A ，，为三个事件，0)(>AB P 且1)(=AB C P ，则有（ ）A. 1)()()(-+≤B P A P C PB. )()(B A P C P ≤C. 1)()()(-+≥B P A P C PD. )()(B A P C P ≥3. C B A ，，是任意事件，在下列各式中，不成立的是（ ）A. B A B B A =-)(.B. B A B A =-)( .C. B A B A AB B A =-)(.D. )()()(C B C A C B A --= . 4. 打靶 3 发，事件 i A 表示“击中 i 发” ， 3210，，，=i . 那么事 件 321A A A A =表示（ ）A. 全部击中B. 至少有一发击中C. 必然击中D. 击中3发5. 设1)()(1)(01)(0=+<<<<B A P B A P B P A P ，，，则下列结论成立的是（ ） A. 事件A 和B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A 和B 互不独立D. 事件A 和B 互相独立6. 当事件A 与事件B 同时发生时，事件C 必发生，则（ ）A. 1)()()(-+≤B P A P C PB. 1)()()(-+≥B P A P C PC. )()(AB P C P =D. )()()(B P A P AB P =7. 设B A 、互不相容，且0)(0)(>>B P A P ，，则必有（ ） A. 0)(>A B P B. )()(A P B A P = C. 0)(=B A P D. )()()(B P A P AB P =8. 某人花钱买了C B A 、、三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的，中奖的概率分别为，，，02.0)(01.0)(03.0)(===C P B P A P 如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱，则此人赚钱的概率约为（ ）A. 0.05B. 0.06C. 0.07D. 0.089. 一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为（ ） A. 11-+-b a a B. )1)(()1(-++-b a b a a a C. b a a + D. 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a a10. 设事件A 与B 互不相容，且0)(0)(≠≠B P A P ，，则下面结论正确的是（ ） A. A 与B 互不相容 B. 0)(>A B PC. )()()(B P A P AB P =D. )()(A P B A P =三、计算题（6-10分，以6分为主）20题1. 设C B A 、、是Ω中的随机事件，将下列事件用C B A 、、表示出来（1）仅A 发生，C B 、都不发生；（2）C B A 、、中至少有两个发生；（3）C B A 、、中不多于两个发生.2. 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.3. 装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率.4. 一年有12个月，假设有365天。
海南大学《概率论与数理统计》课件-第一二三四章
x2 f ( x)d x;
x1
(4) 若 f ( x) 在点 x 处连续,则有 F( x) f ( x).
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即
P{ X a} 0.
10、 均匀分布 定义 设连续型随机变量X 具有概率密度
例如某无f些线( x元电) 件元 或件0b,设的1 a备寿, 的命其a寿,电它命x,力服设从b,备指的数寿分命布,. 则称动物X 的在寿区命间等(a都,b)服区从间指上数服分从布均. 匀分布, 记为 X ~ U(a,b).
代表事件 A 在试验中发生的概率，它与试验总
数
n 有关。若
lim
n
npn
0
则
lim
n
Cnk
pnk
1 pn
nk
k
k！e
8、 连续型随机变量及其概率密度
设X为 随 机 变 量，F ( x)为X 的 分 布 函 数,若 存 在 非 负 函 数f ( x),使 对 于 任 意 实 数x 有
x
F ( x) f (t)d t,
第一章 随机事件及其概率
1 了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，重 点掌握随机事件的关系和运算。 2 理解概率和条件概率的概念，掌握概率的基本性 质，能利用古典概型和几何概型计算一些事件的 概率。 3 掌握概率的加法公式、条件概率公式、乘法公式、 全概率公式和贝叶斯公式计算过事件的概率的方 法 4 理解事件独立性的概念，会利用事件独立性进行 事件概率计算。 5 理解独立重复试验的概率，掌握利用伯努利概型 计算过事件概率的方法。
(3) F () lim F ( x) 0, F () lim F( x) 1;
x
x
概率论与数理统计 1-3
3
1. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称 P(B | A) P( AB) (1) P( A)
为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.
1.3条件概率
B ABA
S
若事件A已发生, 则为使 B也发 生 , 试验结果必须是既在 B 中又在 A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道A已发生, 故A变 成了新的样本空间 , 于是 有(1).
3
P( Ai ) P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1A2 )
i 1
※想一想： ①应如何推导此式？ ② n个事件的公式如何写呢？
7
1.3条件概率
例2 一批零件共100个，其中有10个是次品。今从这批零
件中随机抽取，每次一件，1）若不放回地抽取3次，求3次都 取得合格品的概率；2）若有放回地抽取2次，求2次都取得合 格品的概率。
注 通常， P(B|A) ≠ P(B)
4
2. 条件概率P(.|A)的性质
1.3条件概率
(1)非负性 对每一个事件B, P(B|A) ≧0 概
(2)规范性 对必然事件S, P(S|A) =1
率
定
(3)可列可加性 若B1, B2 ,是两两互不相容的事件，则有
P Bi | A P(Bi | A)
解 记 Ai=“第i次取得合格品”,i=1,2,3;
1) 若不放回地抽，则
P
(
A1
)
90 100
,
P(
A2
|
A1 )
89 99
,
P(
A3
|
A1
A2
)
《概率论与数理统计》1-4全概公式
365 400 97 146097
146097 20871 7
20871 52 400 71 P B 400 400
方法二 利用全概公式
A 表示平年,
则 A, A 构成一划分
B 表示有53个星期天
P A 97 400
1 2 P B | A , P B | A 7 7
125 198
注 : 一定要写清事件, 公式 , 不得只写算式.
p 2500 2000 1500 5% 3% 1% 3.3% X 6000 6000 6000
全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的两个重要公式,
有着广泛的应用.若把事件Ai 理解为‘原因’, 而把 B理 解为‘结果’ P, 则 B| A 是原因 Ai
为 0.01, 各车间的产品数量分别为2500, 2000, 1500件 . 出厂时 , 三车间的产品完全混合, 现从中任取一产品, 求该 产品是次品的概率. 若已知抽到的产品是次品, 求该产品 是一车间的概率.
解 : 设 Ai 为取到第 i个车间的产品, B为取到次品 由全概率公式得:
P( B) P( Ai ) P( B Ai )
i 1
3
P( A1 ) P( B A1 ) P( A2 ) P( B A2 ) P( A3 ) P( B A3 )
2500 2000 1500 5% 3% 1% 3.3% 6000 6000 6000
由贝叶斯公式得:
P A1 B
P A1 P B A1 P B
P B P BA1 P BA2 P BA3 P A1 P B | A1 P A2 P B | A2 P A3 P B | A3
【侯亚君版本《概率论与数理统计》】1-3章习题解答
习题一1．写出下列随机试验的样本空间S . ⑴一枚硬币掷两次,观察朝上一面的图案. ⑵向蓝筐投球直到投中为止,记录投篮的总次数.. ⑶公交车五分钟一辆,随机到车站候车,记录候车时间.. 解⑴{}1S =正正，正反，反正，反反;⑵样本空间为{}21,2,3,...S =； ⑶样本空间为{}305S t t =≤≤.2.设,,A B C 表示三个事件,试用,,A B C 表示下列事件. ⑴A 与B 都发生,而C 不发生; ⑵,,A B C 至少有一个发生; ⑶,,A B C 都发生; ⑷,,A B C 都不发生; ⑸,,A B C 不都发生; ⑹,,A B C 至少有两个发生; ⑺,,A B C 中最多有一个发生.解⑴ABC ;⑵A B C ⋃⋃;⑶ABC ;⑷ABC ;⑸ABC ;⑹AB BC CA ⋃⋃; ⑺AB BC CA ⋃⋃或AB BC CA ⋃⋃.3.设,,A B C 是三个事件,计算下列各题.⑴若()0.4,()0.25,()0.25,P A P B P A B ==-=求B 发生,但A 不发生的概率.⑵若()0.2,()0.6,P A B P B -==,求,A B 都不发生的概率.⑶若()0.7,()0.3,P A B P B ⋃==,求A 发生,但B 不发生的概率. ⑷若()()()0.25,()()0,()0.125P A P B P C P AB P BC P AC ======,求,,A B C 至少有一个发生的概率;,,A B C 都不发生的概率;C 发生,,A B 都不发生的概率.⑸若111(),(|),(|),432P A P B A P A B ===求,A B 至少发生一个的概率. ⑹若()0.2,(|)0.5,(|)0.6,P AB P B A P B A ===分别求事件,A B 的概率. 解⑴()()()()0.15,P A B P A P AB P AB -=-⇒=B 发生,但A 不发生的概率：()()()0.1P BA P B P AB =-=;⑵()1()()0.2P AB P B P A B =-+-=;⑶()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，A 发生,但B 不发生的概率：()0.4P A B -=；⑷()0()0P AB P ABC =⇒=，,,A B C 至少有一个发生的概率：()()()()()()()()0.625P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ⋃⋃=++---+=；,,A B C 都不发生的概率：()1()0.375P ABC P A B C =-⋃⋃=；C 发生,,A B 都不发生的概率：()()()()()()()0.125P CAB P C P AC BC P C P AC P BC P ABC =-⋃=--+=;⑸()1(|)(),()12P AB P B A P AB P A =⇒= ,A B 至少发生一个的概率：1()()()()3P A B P A P B P AB ⋃=+-=;⑹()()(|)()0.4,()P A P AB P B A P A P A -=⇒=,4.从0,1,2,…,9这十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率.⑴三个数字中不含0和5; ⑵三个数字中不含0或5; ⑶三个数字中含0但不含5.解设事件,A B 分别表示三个数字中不含0和5，则⑴三个数字中不含0和5的概率：383107()15C P AB C ==；⑵三个数字中不含0或的概率：33399831014()()()()15C C C P A B P A P B P AB C +-⋃=+-==;⑶三个数字中含0但不含5的概率：33983107()()()30C C P AB P B P AB C -=-==. 5.把3个球随机地放入4个杯子中,求有球最多的杯子中球数是1,2,3的概率各是多少.解设事件,,A B C 分别表示有球最多的杯子中球数是1,2,3，则有球最多的杯子中球数是1的概率是：3433()48A P A ==；有球最多的杯子中球数是3的概率是：341()416P C ==；有球最多的杯子中球数是2的概率是：9()1()()16P B P A P C =--=.6.12个球中有4个是白色,8个是红色.现从这12个球中随机地取出两个,求下列事件的概率. ⑴取到两个白球; ⑵取到两个红球;⑶取到一个白球,一个红球.解⑴取到两个白球的概率：242121()11C P A C ==；⑵取到两个红球的概率：2821214()33C P B C ==；⑶取到一个白球,一个红球的概率：114821216()33C C P C C ==。
《概率论与数理统计》1-123(频率与概率)
某一事件发生
它包含的一个样本点出现
三、事件间的关系及其运算
试验E S(样本空间) 事件A 必然事件 S 基本事件
不可能事件
A(子集) 样本点
1.事件的关系
① 包含、相等关系 A发生必然导致B发生
AB
称事件A包含于B或B包含A.
文氏图(Venn图)
A与B相等 ，记为A=B
例1: 产品有长度、直径、外观三个质量指标，
②(有﹏放﹏回﹏选﹏取﹏)从n个不同元素中有放回地抽取r个，依 次排成一列，称为可重复排列，排列数记
例 将三封信投入4个信箱，问在下列情形下各有几种 投法？ ⑴ 每个信箱至多允许投入一封信。 ⑵ 每个信箱允许投入的信的数量不受限制。 解：⑴ 无重复排列:
⑵ 可重复排列:
Ⅳ. 组合 从n个元素中每次取出r个元素，构成一组，称为从n个 元素里每次取出r个元素的组合。 组合数为 或 几个常用性质：
两两互不相容。
证明 由三公理中的可列可加性，令
则由性质1可得 所以下式成立
如果
则
①
≤
②
，0≤
≤1
(加法公式) 推广：
P11
例1 (天气问题) 某人外出旅游两天，据天气预报知： 第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3， 两天都下雨的概率为0.1 试求下列事件的概率： (1) 第一天下雨，第二天不下雨; (2) 第一天不下雨，第二天下雨; (3) 至少有一天下雨; (4) 两天都不下雨; (5) 至少有一天不下雨
解：设A、B分别表示第一、二天下雨 则 (1) (2) (3) (4) (5)
例2 (订报问题) 在某城市中，共发行三种报纸A，B，
C，订购A，B，C的用户占用分别为45%，35%，30%，
概率论与数理统计第1-3章复习资料
其中λ = n P 例2：在例1的试验中，求： （1）A=“点数和为奇数的概率”； （2）B=“点数不同的概率” 例3：某产品40件，其中有次品3件。现从其中任取3件， 求下列事件的概率： （1）A=“3件中恰有2件次品”；（111/9880） （2）B=“ 3件中至少有1件次品”（633/2964）
xi R , i 1 , , n , n 元函数
F ( x1 ,, xn ) P( X 1 x1 ,, X n xn ) ( 是 X 1 ,, X n ) 的分布函数。
（1）’
注：r, v 取值的规律称 r, v 的分布，分布函数是描 述 r, v 的概分布的主要方法之一。 （二）分布函数的性质： 一维：1、有界性：0 F ( X ) 1
m 4、由公式 P( A) 进行计算 n
（二）几何概型 所求概率为： P（A）=[A所包含的区域度量] / [样本空间的度量] （三）条件概率及其全概率公式 1、条件概率：若P(B) ＞0，则
P( A B) P( AB) P( B)
2、全概率公式 如果B1,…,Bn为一完备事件组，即满足： （1） B1,…,Bn两两不相容i=1, …,n；
例4：一盒装有10只晶体管，其中有4只次品，6只正品，随 机地抽取 1只测试，直到4只次品晶体管都找到。求最后 一只次品晶体管在下列情况发现的概率： （1）A=“在第 5 次测试发现”。（2/105） （2）B=“在第10次测试发现”。（2/5） 例5：将编号1，2，3的三本书任意地排列在书架上，求事件 A=“至少有一本书自左到右的排列顺序号与它的编号相同” 的概率。 例6：五个乒乓球，其中三个旧球，二个新球，每次取一个， 共取两次，以有放回和无放回两种方式求下列事件的概率： （1）A=“两次都取到新球”； （2）B=“第一次取到新球，第二次取到旧球”； （3）C=“至少有一次取到新球”。
概率统计第1章
条件： m n ,
7/28/2017
即 m = 0, 1, 2, ……, n.
常见模型(3) ——彩票问题幸运35选7:P21
购买：从01，……，35 中选7个号码. 开奖：7个基本号码，1个特殊号码.
并： A B 交： A B = AB 差： A B 对立： A A 与 B 至少有一发生 A 与 B 同时发生 A发生但 B不发生 A 不发生
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
注意：对立→互不相容，反之不然 应用举例：P7
事件运算的图示
AB
AB
AB
事件的运算性质
德莫根公式
A B A B;
1.2.1 概率的公理化定义
定义1.2.1：设Ω为一个样本空间，Ｆ为Ω的某些 子集组成的一个事件域，如果对任意一个事件A Ｆ，定义在Ｆ上的一个实质函数P(A)满足
非负性公理：若 AＦ，则P(A)0;
正则性公理： P(Ω)=1;
可列可加性公理：若A1, A2, ……, An ……
例1.1.1
口袋中有a 个白球、b 个黑球，从中一个一个不返 回地取球。A = “取到最后一个是白球”， B = “取到最后一段是白球”。问 A 与 B 的关系？ 解：1) 显然，B 发生必然导致A发生，所以 BA;.
2) 又因为A发生必然导致B发生，所以 AB， 由此得 A = B.
1.1.6 事件的运算
P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6， 求 P(AB).
解：因为 P(AB) = P(A)P(AB) ，所以先求 P(AB) 由加法公式得 P(AB) = P(A)+P(B)P(AB) = 0.4+0.30.6=0.1 所以 P(AB) = P(A)P(AB) = 0.3
概率论与数理统计理工类第四版简明版1-3章课后答案
1.1 随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点．习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.1.2 随机事件的概率1.3 古典概型1.4 条件概率1.5 事件的独立性复习总结与总习题解答习题3. 证明下列等式：第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3}, 定义随机变量X如下：X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3则X取每个值的概率为P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2}, 得λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.习题2设随机变量X的分布律为 P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52; (2)P{1≤X≤3}; (3)P{X>3}.解答：(1)P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=115+215+315=25;(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题4一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22⋅1C53=110, P{X=4}=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35,所以X的分布律为P{X≤m-1}=∑k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化为1-0.9m=0.4, 解上式得m≈4.85≈5,因此，以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6, 求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X, 它可能的值只有两个，即0和1. X=0表示未投中，其概率为 p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次，其概率为 p2=P{X=1}=0.6.则随机变量的分布律为2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0,是随机变量X的分布函数，则X是___________型的随机变量.解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1问F(x)是否为某随机变量的分布函数.解答：首先，因为0≤F(x)≤1,∀x∈(-∞,+∞).其次，F(x)单调不减且右连续，即F(0+0)=F(0)=0, F(1+0)=F(1)=1,且 F(-∞)=0,F(+∞)=1,所以F(x)是随机变量的分布函数.习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,试写出X的分布函数F(x)，并画出图形.解答：由题意知X的分布律为：X 135Pk 0.30.50.2所以其分布函数F(x)=P{X≤x}={0,x<10.3,1≤x<30.8,3≤x<51,x≥5.F(x)的图形见图.习题4设离散型随机变量X的分布函数为 F(x)={0,x<-10.4,-1≤x<10.8,1≤x<31,x≥3,试求：(1)X的概率分布； (2)P{X<2∣X≠1}.解答：(1)X -113pk 0.40.40.2(2)P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.习题5设X的分布函数为F(x)={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,求P{0.4<X≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}.解答：P{0.4<X≥1.3}=P{1.3}-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6,P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P{1.7<X≤2}=F(2)-F(1.7)=1-1=0.习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.解答：F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x≥a2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x)=12πe-(x+3)24(-∞<x<+∞),则Y=¯∼N(0,1).解答：应填3+X2.由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1), 所以Y=3+X2∼N(0,1).习题2已知X∼f(x)={2x,0<x<10,其它, 求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).解答：P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.当X≤0时，F(x)=0;当0<x<1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;当X≥1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故F(x)={0,x≤0x2,0<x<1.1,x≥1习题3设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求：(1)A,B的值；(2)P{-1<X<1}; (3)概率密度函数F(x).解答：(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1, ∴A=1;又 \becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0, ∴B=-1.(2) P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.习题5某型号电子管，其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答：设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx=-100x∣150+∞=100150=23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为 p=(2/3)3=8/27.习题6设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答：设X为每位乘客的候车时间，则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布，其参数n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,所以P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.习题7设X∼N(3,22).(1)确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c};(2)设d满足P{X>d}≥0.9,问d至多为多少?解答：因为X∼N(3,22), 所以X-32=Z∼N(0,1).(1)欲使P{X>c}=P{X≤c},必有1-P{X≤c}=P{X≤c},即P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c-32)=12, 所以 c-32=0, 故c=3.(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9,即P{X≤d}≤0.1.于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282,所以d≤0.436.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则X∼N(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得P{X≥x}=0.1,即1-P{X<x}=0.1,所以1-F(x)=0.1, 即 1-Φ(x-400060)=0.1, 所以Φ(x-400060)=0.9.查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997, 因此 x-400060≈1.28,即x=4077件，就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上.习题11设某城市男子身高X∼N(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.解答：X∼N(170,36), 则X-1706∼N(0,1).设公共汽车门的高度为xcm，由题意P{X>x}<0.01, 而P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,即Φ(x-1706)>0.99, 查标准正态表得x-1706>2.33, 故x>183.98cm.因此，车门的高度超过183.98cm时，男子与车门碰头的机会小于0.01.习题12某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(40,102); 第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N(50,42), 求：(1)若动身时离开车时间只有60分钟，应走哪一条路线？(2)若动身时离开车时间只有45分钟，应走哪一条路线？解答：设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则 X∼N(40,102),Y∼N(50,42).哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725, P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,所以有60分钟时应走第二条路.(2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075所以只有45分钟应走第一条路.解答：因为 sinxnπ2={1,当n=4k-10,当n=2k-1,当n=4k-3,所以Y=sin(π2X)只有三个可能值-1,0,1. 容易求得 P{Y=-1}=215,P{=0}=13,P{Y=1}=815故Y的分布律列表表示为总习题解答习题1从1∼20的整数中取一个数，若取到整数k的概率与k成正比，求取到偶数的概率.解答：设Ak为取到整数k, P(Ak)=ck, k=1,2,⋯,20.因为P(⋃K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1，所以c=1210,P{取到偶数}=P{A2∪A4∪⋯∪A20} =1210(2+4+⋯+20)=1121.习题2若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中几炮.解答：若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个10重伯努利概型，X服从二项分布，其参数为n=10,p=0.7, 故(1)P{X=3}=C103(0.7)3(0.3)7≈0.009;(2)P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)8]≈0.998;(3)因X∼b(10,0.7), 而k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×0.7=[7.7]=7,故最可能命中7炮.习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.解答：1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为2500×120元=30000元.设1年中死亡人数为X, 则X∼b(2500,0.002), 则保险公司在这一年中应付出200000X(元)，要使保险公司亏本，则必须 200000X>300000即X>15(人).因此，P{保险公司亏本}=P{X>15}=∑k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P{保险公司获利不少于100000元}=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}=∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上.P{保险公司获利不少于200000元}=P{300000-200000X≥200000}=P{X≤5}=∑k=05C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈∑k=05e-55kk!≈0.615961,即保险公司获利不少于200000元的概率接近于62%.习题4一台总机共有300台分机，总机拥有13条外线，假设每台分机向总机要外线的概率为3%, 试求每台分机向总机要外线时，能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数.解答：设分机向总机要到外线的台数为X, 300台分机可看成300次伯努利试验，一次试验是否要到外线. 设要到外线的事件为A, 则P(A)=0.03, 显然X∼b(300,0.03), 即P{X=k}=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2,⋯,300),因n=300很大，p=0.03又很小,λ=np=300×0.03=9,可用泊松近似公式计算上面的概率. 因总共只有13条外线，要到外线的台数不超过13，故P{X≤13}≈∑k=0139kk!e-9≈0.9265, (查泊松分布表)且同时向总机要外线的分机的最可能台数k0=[(n+1)p]=[301×0.03]=9.习题5在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数t2的泊松分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计), 求：(1)某一天从中午12至下午3时没有收到紧急呼救的概率；(2)某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率.解答：(1)t=3,λ=3/2, P{X=0}=e-3/2≈0.223;(2)t=5,λ=5/2, P{X≥1}=1-P{X=0}=1-e-5/2≈0.918.习题6设X为一离散型随机变量，其分布律为X -101pi 1/22-13/2-2(2)由F(x)=P{X≤x}计算X的分布函数F(x)={0,1/2,2-1/2,1,x<-1-1≤x<00≤x<0x≥1.习题9设连续型随机变量X的分布密度为f(x)={x,0<x≤12-x,1<x≤20,其它,求其分布函数F(x).解答：当x≤0时，F(x)=∫-∞x0dt=0;当0<x≤1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00tdt+∫0xtdt=12x2;当1<x≤2时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x(2-t)dt=0+12+(2t-12t2)∣1x=-1+2x-x22;当x>2时，F(x)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2x0dt=1,故F(x)={0,x≤212x2,0<x≤1-1+2x-x22,1<x≤21,x>2.习题10某城市饮用水的日消费量X(单位：百万升)是随机变量，其密度函数为：f(x)={19xe-x3,x>00,其它,试求：(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率；(2)水日消费量介于600万升到900万升的概率.解答：先求X的分布函数F(x). 显然，当x<0时，F(x)=0, 当x≥0时有F(x)=∫0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x≥00,x<0,所以P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(X≤6}=1-F(6)=1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2,P{6<X≤9}=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.习题11已知X∼f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0), 求常数c及P{a-1<X≤a+1}.解答：由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1,而∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx=c∫a+∞e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1, 从而c=eλ a. 于是P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1-e-λ.注意，a-1<a, 而当x<a时，f(x)=0.习题12已知X∼f(x)={12x2-12x+3,0<x<10,其它, 计算P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}.解答：根据条件概率;有P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}=P{X≤0.2,0.1<X≤0.5}P{0.1<X≤0.5}=P{0.1<X≤0.2}P{0.1<X≤0.5}=∫0.10.2(12x2-12x+2)dx∫0.10.5(12x2-12x+3) dx=(4x3-6x2+3x)∣0.10.2(4x3-6x2+3x)∣0.10.5=0.1480.256=0.578125.习题15设K在(0,5)上服从均匀分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.解答：因为K∼U(0,5), 所以 fK(k)={1/5,0<k<50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的充要条件为(4K)2-4⋅4(K+2)≥0,即 K2-K-2≥0,亦即(k-2)(K+1)≥0,解得K≥2(K≤-1舍去), 所以P{方程有实根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.习题13若F1(x),F2(x)为分布函数，(1)判断F1(x)+F2(x)是不是分布函数，为什么？(2)若a1,a2是正常数，且a1+a2=1. 证明：a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.解答：(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函数.(2)由F1(x),F2(x)单调非减，右连续，且 F1(-∞)=F2(-∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)单调非减，右连续，且 a1F1(-∞)+a2F2(-∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.从而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.习题16某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者考试成绩X∼N(μ,σ2), 已知90分以上12人，60分以下83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人是否能被录取？解答：要解决此问题首先确定μ,σ2, 因为考试人数很多，可用频率近似概率.根据已知条件P{X>90}=12/526≈0.0228,P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772;又因为P{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ, 所以有Φ(90-μσ)=0.9772, 反查标准正态表得90-μσ=2 ①同理：P{X≤60}=83/526≈0.1578; 又因为P{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,故Φ(60-μσ)≈0.1578.因为0.1578<0.5,所以60-μσ<0, 故Φ(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422, 反查标准正态表得μ-60σ≈1.0 ②联立①，②解得σ=10,μ=70, 所以，X∼N(70,100).某人是否能被录取，关键看录取率. 已知录取率为155526≈0.2947, 看某人是否能被录取，解法有两种：方法1：P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119,因为0.2119<0.2947(录取率), 所以此人能被录取.方法2：看录取分数线. 设录取者最低分为x0, 则P{X≥x0}=0.2947(录取率),P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053,反查标准正态表得x0-7010≈0.54, 解得x0≈75. 此人成绩78分高于最低分，所以可以录取.习题17假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为λ=0.1t的泊松分布，X表示连续两次地震之间间隔的时间(单位：年).(1)证明X服从指数分布并求出X的分布函数；(2)求今后3年内再次发生地震的概率；(3)求今后3年到5年内再次发生地震的概率.解答：(1)当t≥0时，P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t,∴F(t)=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t;当t<0时，F(t)=0,∴ F(x)={1-e-0.1t,x≥00,x<0,X服从指数分布(λ=0.1);(2)F(3)=1-e-0.1×3≈0.26;(3)F(5)-F(3)≈0.13.习题18100件产品中，90个一等品，10个二等品，随机取2个安装在一台设备上，若一台设备中有i个(i=0,1,2)二等品，则此设备的使用寿命服从参数为λ=i+1的指数分布.(1)试求设备寿命超过1的概率；(2)已知设备寿命超过1，求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率 .解答：(1)设X表示设备寿命. A表示“设备寿命超过1”，Bi表示“取出i个二等品”(i=0,1,2)，则X的密度函数为fX(x)={λe-λx,x>00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002,P(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1, P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2,P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3,由全概率公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32.(2)由贝叶斯公式：P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93.解答：由Y=2X+3, 有 y=2x+3,x=y-32,x′=12,由定理即得 fY(x)={0,y<3(y-32)3e-(y-32),y≥3.习题21设随机变量X的概率密度fX(x)={e-x,x>00,其它,求Y=eX的概率密度.解答：因为α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.类似上题可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1<y<+∞0,其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.习题22设随便机变量X的密度函数为 fX(x)={1-∣x∣,-1<x<10,其它,求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数.解答：X的取值范围为(-1,1), 则Y的取值范围为[1,2). 当1≤y<2时，FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}=P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1(1-∣x∣)dx=2∫0y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,从而Y的分布函数为 FY(y)={0,y<11-(1-y-1)2,1≤y<2,1,其它Y的概率密度为fY(y)={1y-1-1,1<y<20,其它.第三章多维随机变量及其分布=14+0+0=14.习题3(2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};解答：P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.习题3(3)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求： (3)F(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.习题4设X,Y为随机变量，且P{X≥0,Y≥0}=37,P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0} =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}=47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列数值中的值： (0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.解答：(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：{X=-1,Y=0}, {X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表：函数F(x,y)在平面各区域的表达式 F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求边缘概率密度fY(y).解答：fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0x4.8y(2-x)dy,0≤x≤10,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤10,其它.fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它.习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0), 其概率密度为f(x,y)=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答：由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1，且由正态分布图形的对称性，知P{X≤Y}=P{X>Y},故P{X≤Y}=12.3.3 二维随机变量函数的分布习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它,(1)问X和Y是否相互独立？(2)求Z=X+Y的概率密度.解答：(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x≤0\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0,由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0,显然f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0,所以X与Y不独立.(2)用卷积公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx.当{x>0z-x>0 即 {x>0x<z时，f(x,z-x)≠0,所以当z≤0时，fZ(z)=0;当z>0时，fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.于是，Z=X+Y的概率密度为 fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.习题6设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度.解答：据题意，X,Y的概率密度分布为 fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={e-y,y≥00,y<0,由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy =∫0+∞fX(z-y)e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可见：当z≤0时，有fX(z-y)=0, 故fZ(z)=∫0+∞0⋅e-ydy=0;当z>0时，fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即fZ(z)={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={be-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函数U=max{X,Y}的分布函数.解答：（1）由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1，确定常数b. ∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1，所以b=11-e-1，从而 f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（2）由边缘概率密度的定义得fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它，fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0<y<+∞,0,其它（3）因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y独立，故FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u)，其中FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1，所以FX(x)={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1.同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0，因此 FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.习题9设随机变量X,Y相互独立，且服从同一分布，试明：P{a<min{X,Y}≤b}=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.解答：设min{X,Y}=Z,则P{a<min{X,Y}≤b}=FZ(b)-FZ(a),FZ(z)=P{min{X,Y}≤z}=1-P{min{X,Y}>z} =1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z} =1-[P{X>z}]2,代入得P{a<min{X,Y}≤b}=1-[P{X>b}]2-(1-[P{X>a}]2)=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.证毕.复习总结与总习题解答习题1在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：(1)放回抽样；(2)不放回抽样.我们定义随机变量X,Y如下：X={0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品, Y={0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,试分别就(1),(2)两种情况，写出X和Y的联合分布律.解答：(1)有放回抽样，(X,Y)分布律如下：P{X=0,Y=0}=10×1012×12=2536; P{X=1,Y=0}=2×1012×12=536,P{X=0,Y=1}=10×212×12=536, P{X=1,Y=1}=2×212×12=136,(2)不放回抽样，(X,Y)的分布律如下：P{X=0,Y=0}=10×912×11=4566, P{X=0,Y=1}=10×212×11=1066,P{X=1,Y=0}=2×1012×11=1066, P{X=1,Y=1}=2×112×11=166,习题2假设随机变量Y服从参数为1的指数分布，随机变量Xk={0,若Y≤k1,若Y>k(k=1,2),求(X1,X2)的联合分布率与边缘分布率.解答：因为Y服从参数为1的指数分布，X1={0,若Y≤11,若Y>1, 所以有P{X1=1}=P{Y>1}=∫1+∞e-ydy=e-1, P{X1=0}=1-e-1,同理P{X2=1}=P{Y>2}=∫2+∞e-ydy=e-2, P{X2=0}=1-e-2,因为P{X1=1,X2=1}=P{Y>2}=e-2，P{X1=1,X2=0}=P{X1=1}-P{X1=1,X2=1}=e-1-e-2,P{X1=0,X2=0}=P{Y≤1}=1-e-1,P{X1=0,X2=1}=P{X1=0}-P{X1=0,X2=0}=0,故(X1,X2)联合分布率与边缘分布率如下表所示：习题3在元旦茶话会上，每人发给一袋水果，内装3只橘子，2只苹果，3只香蕉. 今从袋中随机抽出4只，以X记橘子数，Y记苹果数，求(X,Y)的联合分布.解答：X可取值为0,1,2,3,Y可取值0,1,2.P{X=0,Y=0}=P{∅}=0, P{X=0,Y=1}=C30C21C33/C84=2/70,P{X=0,Y=2}=C30C22C32/C84=3/70, P{X=1,Y=0}=C31C20C33/C84=3/70,P{X=1,Y=1}=C31C21C32/C84=18/70 , P{X=1,Y=2}=C31C22C31/C84=9/70,P{X=2,Y=0}=C32C20C32/C84=9/70, P{X=2,Y=1}=C32C21C31/C84=18/70,P{X=2,Y=2}=C32C22C30/C84=3/70, P{X=3,Y=0}=C33C20C31/C84=3/70,P{X=3,Y=1}=C33C21C30/C84=2/70, P{X=3,Y=2}=P{∅}=0,所以，(X,Y)的联合分布如下：习题4设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X与Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处：解答：由题设X与Y相互独立，即有pij=pi⋅p⋅j(i=1,2;j=1,2,3), p⋅1-p21=p11=16-18=124,又由独立性，有p11=p1⋅p⋅1=p1⋅16故p1⋅=14.从而p13=14-124-18, 又由p12=p1⋅p⋅2, 即18=14⋅p⋅2.从而p⋅2=12. 类似的有p⋅3=13,p13=14,p2⋅=34.将上述数值填入表中有习题5设随机变量(X,Y)的联合分布如下表：求：(1)a值；(2)(X,Y)的联合分布函数F(x,y)；(3)(X,Y)关于X,Y的边缘分布函数FX(x)与FY(y).解答：(1)\because由分布律的性质可知∑i⋅jPij=1, 故14+14+16+a=1,∴a=13.(2)因F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}①当x<1或y<-1时，F(x,y)=0;②当1≤x<2,-1≤y<0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}=1/4;③当x≥2,-1≤y<0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}=5/12;④当1≤x<2,y>0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=1,Y=0}=1/2;⑤当x≥2,y≥0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1} +P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0} =1;综上所述，得(X,Y)联合分布函数为F(x,y)={0,x<1或y<-11/4,1≤x<2,-1≤y<05/12,x≥2,-1≤y<01/2,1≤x<2,y≥01,x≥2,y≥0.(3)由FX(x)=P{X≤x,Y<+∞}=∑xi<x∑j=1+∞pij, 得(X,Y)关于X的边缘分布函数为：FX(x)={0,x<114+14,1≤x<214+14+16+13,x≥2={0,x<11/2,1≤x<21,x≥2,同理，由FY(y)=P{X<+∞,Y≤y}=∑yi≤y∑i=1+∞Pij, 得(X,Y)关于Y的边缘分布函数为FY(y)={0,y<-12/12,-1≤y<01,y≥0.习题6设随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={c(R-x2+y2),x2+y2<R0,x2+y2≥R,求：(1)常数c; (2)P{X2+Y2≤r2}(r<R).解答：(1)因为1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dydx=∫∫x2+y2<Rc(R-x2+y)dxdy=∫02π∫0Rc(R-ρ)ρdρdθ=cπR33,所以有c=3πR3.(2)P{X2+Y2≤r2}=∫∫x2+y2<r23πR3[R-x2+y2]dxdy=∫02π∫0r3πR3(R-ρ)ρdρdθ=3r2R2(1-2r3R).习题7设f(x,y)={1,0≤x≤2,max(0,x-1)≤y≤min(1,x)0,其它,求fX(x)和fY(y).解答:max(0,x-1)={0,x<1x-1,x≥1, min(1,x)={x,x<11,x≥1,所以，f(x,y)有意义的区域(如图)可分为{0≤x≤1,0≤y≤x},{1≤x≤2,1-x≤y≤1},即f(x,y)={1,0≤x≤1,0≤y≤x1,1≤x≤2,x-1≤y≤1,0,其它所以fX(x)={∫0xdy=x,0≤x<1∫x-11dy=2-x,1≤x≤20,其它,fY(y)={∫yy+1dx=1,0≤y≤10,其它.习题8若(X,Y)的分布律为则α,β应满足的条件是¯, 若X与Y独立，则α=¯,β=¯.解答：应填α+β=13;29;19.由分布律的性质可知∑i⋅jpij=1, 故16+19+118+13+α+β=1,即α+β=13.又因X与Y相互独立，故P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}, 从而α=P{X=2,Y=2}=P{X=i}P{Y=j},=(19+α)(14+α+β)=(19+α)(13+13)=29,β=P{X=3,Y=2}=P{X=3}P{Y=2}=(118+β)(13+α+β)=(118+β)(13+13)，∴β=19.习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)={ce-(2x+y),x>0,y>00,其它,(1)确定常数c; (2)求X,Y的边缘概率密度函数；(3)求联合分布函数F(x,y); (4)求P{Y≤X};(5)求条件概率密度函数fX∣Y(x∣y); (6)求P{X<2∣Y<1}.解答：(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1求常数c.∫0+∞∫0+∞ce-(2x+y)dxdy=c⋅(-12e-2x)\vline0+∞⋅(-e-y)∣0+∞=c2=1,所以c=2.(2)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞2e-2xe-ydy,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0,fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0+∞2e-2xe-ydx,y>00,其它={e-y,y>00,y≤0.(3)F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dvdu={∫0x∫0y2e-2ue-vdvdu,x>0,y>00,其它={(1-e-2x)(1-e-y),x>0,y>00,其它.(4)P{Y≤X}=∫0+∞dx∫0x2e-2xe-ydy=∫0+∞2e-2x(1-e-x)dx=13.(5)当y>0时，fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)={2e-2xe-ye-y,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0.(6)P{X<2∣Y<1}=P{X<2,Y<1}P{Y<1}=F(2,1)∫01e-ydy=(1-e-1)(1-e-4)1-e-1=1-e-4.习题10设随机变量X以概率1取值为0, 而Y是任意的随机变量，证明X与Y相互独立.解答：因为X的分布函数为F(x)={0,当x<0时1,当x≥0时, 设Y的分布函数为FY(y),(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则当x<0时，对任意y, 有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{∅∩(Y≤y)}=P{∅}=0=FX(x)FY(y);当x≥0时，对任意y, 有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{S∩(Y≤y)}=P{Y≤y}=Fy(y)=FX(x)FY(y),依定义，由F(x,y)=FX(x)FY(y)知，X与Y独立习题12设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为若X与Y相互独立，求参数a,b,c的值.解答：关于X的边缘分布为由于X与Y独立，则有p22=p2⋅p⋅2 得b=(b+19)(b+49) ①p12=p1⋅p⋅2 得19=(a+19)(b+49) ②由式①得b=29, 代入式②得a=118. 由分布律的性质，有a+b+c+19+19+13=1,代入a=118,b=29, 得c=16.易验证，所求a,b,c的值，对任意的i和j均满足pij=pi⋅×p⋅j.因此，所求a,b,c的值为a=118,b=29,c=16.习题13已知随机变量X1和X2的概率分布为且P{X1X2=0}=1.(1)求X1和X2的联合分布律；(2)问X1和X2是否独立？解答：(1)本题是已知了X1与X2的边缘分布律，再根据条件P{X1X2=0}=1, 求出联合分布. 列表如下：再由p⋅1=p-11+p11+p01, 得p01=12, p-10=p-1⋅=p-11=14,p10=p1⋅-p11=14,从而得p00=0.(2)由于p-10=14≠p-1⋅⋅p⋅0=14⋅12=18, 所以知X1与X2不独立.习题14设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)={1πR2,x2+y2≤R20,其它,(1)求X与Y的边缘概率密度；(2)求条件概率密度，并问X与Y是否独立？解答：(1)当x<-R或x>R时，fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=∫-∞+∞0dy=0;当-R≤x≤R时，fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=1πR2∫-R2-x2R2-x2dy=2πR2R2-x2.于是fX(x)={2R2-x2πR2,-R≤x≤R0,其它.由于X和Y的地位平等，同法可得Y的边缘概率密度是：fY(y)={2R2-y2πR2,-R≤y≤R0,其它.(2)fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)注意在y处x值位于∣x∣≤R2-y2这个范围内，f(x,y)才有非零值，故在此范围内，有fX∣Y(x∣y)=1πR22πR2⋅R2-y2=12R2-y2,即Y=y时X的条件概率密度为fX∣Y(x∣y)={12R2-y2,∣x∣≤R2-y20,其它. 同法可得X=x时Y的条件概率密度为fY∣X(y∣x)={12R2-x2,∣y∣≤R2-x20,其它.由于条件概率密度与边缘概率密度不相等，所以X与Y不独立.习题18设随机变量X与Y相互独立，其概率密度函数分别为fX(x)={1,0≤x≤10,其它, fY(y)={Ae-y,y>00,y≤0,求：(1)常数A; (2)随机变量Z=2X+Y的概率密度函数.解答：(1)1=∫-∞+∞fY(y)dy=∫0+∞A⋅e-ydy=A.(2)因X与Y相互独立，故(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={e-y,0≤x≤1,y>00,其它.于是当z<0时，有F(z)=P{Z≤z}=P{2X+Y≤z}=0;当0≤z≤2时，有F(z)=P{2X+Y≤z}=∫0z/2dx∫0z-2xe-ydy=∫0z/2(1-e2x-z)dx;当z>2时，有F(z)=P{2X+Y≤2}=∫01dx∫0z-2xe-ydy=∫01(1-e2x-z)dx.利用分布函数法求得Z=2X+Y的概率密度函数为fZ(z)={0,z<0(1-e-z)/2,0≤z<2(e2-1)e-z/2,z≥2.习题19设随机变量X,Y相互独立，若X与Y分别服从区间(0,1)与(0,2)上的均匀分布，求U=max{X,Y}与V=min{X,Y}的概率密度.解答：由题设知，X与Y的概率密度分别为fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={1/2,0<y<20,其它,于是，①X与Y的分布函数分别为FX(x)={0,x≤0x,0≤x<11,x≥1, FY(y)={0,y<0y/2,0≤y<21,y≥2,从而U=max{X,Y}的分布函数为FU(u)=FX(u)FY(u)={0,u<0u2/2,0≤u<1u/2,1≤u<21,u≥2,故U=max{X,Y}的概率密度为fU(u)={u,0<u<11/2,1≤u<20,其它.②同理，由FV(v)=1-[1-FX(v)][1-FY)]=FX(v)+FY(v)-FX(v)FY(v)=FX(v)+FY(v)-FU(v),得V=min{X,Y}的分布函数为FV(v)={0,v<0v2(3-v),0≤v<11,v≥1,故V=min{X,Y}的概率密度为fV(v)={32-v,0<v<10,其它.注：(1)用卷积公式，主要的困难在于X与Y的概率密度为分段函数，故卷积需要分段计算；(2)先分别求出X,Y的分布函数FX(x)与FY(y), 然后求出FU(u)，再求导得fU(u); 同理先求出FV(v), 求导即得fV(v).。
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有关独立性的推论2
推论2：设A、B为两个事件， 则下列四对事件： A和B， Ā和B， A和¯ B， Ā和¯ B中，只要有 一对事件独立，其余三对也独立. 思路：只证A和B独立，则Ā和B独立. Proof: AB+ Ā B=B P(Ā B)=P(B-AB)= P(B)-P(AB) = P(B)-P(A )P( B)= P(B)(1-P(A )) = P(B) P(Ā)
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有关独立性的推论1
推论1：设A、B为两个事件， P(B)>0，则A和 B独立的充要条件： P(A)= P(A|B) proof: (必要性) 由独立性知, P(AB)=P(A)P(B),而乘法公 式为 P(AB)= P(A|B) P(B), 则 P(A)P(B)=P(A|B)P(B), 又因为P(B)>0,所以 P(A)= P(A |B) 。 (充分性) 因为P(A)= P(A|B)，所以 P(AB)=P(A|B) P(B)=P(A)P(B)
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例题与解答
例1：一批产品100件,有80件正品，20件次品， 其中甲生产的为60件，有50件正品，10件次品， 余下的40件均由乙生产.现从该批产品中任取一 件，记A=“正品”，B=“甲生产的产品”计算 P(A),P(B),P(AB),P(B|A), P(A|B) . 解： P(A)=80/100=0.8, P (B)=60/100=0.6, P(AB)=50/100=0.5(AB表示甲生产的正品)， P(B|A)=50/80=0.625(样本空间为A)=P(AB)/P(A) P(A|B)=50/60=0.83 (样本空间为B) =P(AB)/P(B) (当然可用条件概率公式)
2
引例
某温泉开发商通过网状管道向25个温泉浴场供应矿 泉水，每个浴场要安装一个阀门，这25个阀门购自 两家生产厂，其中部分还是有缺陷的，具体如下表
无缺陷 生产厂1 生产厂2 10 8
有缺陷 5 2
3
续
为作试验，随机地从25个阀门选出一个，考察 如下两个事件： A=“选出的阀门来自生产厂1” B=“选出的阀门是有缺陷的” 问题：当已知事件B发生的条件下，事件A再发 生的概率是多少？
§1.3条件概率和独立性
一.条件概率 二.乘法公式 三.事件独立性 在实际应用中，常需要了解随机事件A、B 之间有无联系、影响，如：当A已经发生后，B 再发生的概率(或B发生后,A发生的概率)。这就 是下面要介绍的“条件概率”( P(A|B)和 P(B|A) )。 注意:P(A|B)和P(AB)是不同的概念。一般说来, P(A|B)都比P(AB)要大。 生活中有许多关于条件概率的趣事，有时也 会令人迷惑。 1
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引例
例 一口袋中装有a只黑球和b只白球，采用有放回 的摸球，求： (1)在已知第一次摸得黑球的条件下，第二次摸出黑球 的概率； (2)第二次摸出黑球的概率.
解：以事件A表示第一次摸得黑球，事件B表示第二次摸得黑球，则 a a2 ba P(A)= , P ( AB ) , P ( AB ) , 所以 2 2 a+b ( a b) ( a b) P(AB) a P( B A)= ,而 P(A) ab a P ( B ) P ( AB ) P ( AB ) . ab
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例题与解答
例7：一个袋内装有4个球，其中全红、全黑、 全白色的球各一个，另一个是涂有红、黑、白 的彩球，从中任取一个，记事件A、B、C分别 表示取到的球上涂有红色、黑色、白色.试判断 A与B的独立性, A与C的独立性, B与C的独立性. 解:古典概型，P(A)=P(B)=P(C)=2/4=0.5 P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4=0.25 P(AB)= P(A) P(B), P(BC)= P(B) P(C), P(AC) = P(A) P(C). ★ 3个事件中任何2个事件都独立，称该3个事件 两两独立.
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条件概率定义
定义：设两个事件A、B，若P(A)>0,则称 P(B|A)= P(AB)/ P(A) 为事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率。 注意： (1) 当A =Ω时,条件概率P(B|Ω)就是无条件概率 P(B)，因为： P(B|Ω)= P(ΩB)/P(Ω)= P(B)/ 1= P(B) 。 (2) 条件概率P(B|A)满足概率公理化定义中的3个 条件，因此条件概率P(B|A)也是概率，因此具 备概率的一切性质。
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古典概型中条件概率的计算
设试验为古典概型， ＃Ω= n ,＃A=m , ＃AB=k, P(B|A)= P(AB)/ P(A) =(＃AB/ ＃Ω)/(＃A/ ＃Ω)=(k/n)/(m/n)=k/m ★ P(B|A)= k/m,其中m为A的样本点数，k为AB的样 本点数 考虑的样本空间是A ★比较P(B|A)= k/m 和 P(BA)= k/n 考虑的样本空间是Ω
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例题与解答
例2: 10个产品中有7个正品, 3个次品,按不放回 抽样,抽取2个，如果已知第一次取到次品，计 算第二次又取到次品的概率？ 思路：第一次的抽取的样本空间是7个正品和 3个次品；第二次的抽取的样本空间是7个正品 和 2个次品. 解：Ai=“第i次取到次品”，i=1,2.现求P(A2 |A1). 由于已知第一次取到次品，因此在抽取第2个 产品检验时，剩余的产品共9个，其中只有2个 次品. 因此， P(A2 |A1)=2/9. 10
2 P( A1 ) 5
3 P( A2 | A1 ) 6
P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) P( A4 | A1 A2 A3 )
4 P( A4 | A1 A2 A3 ) 8
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3 P( A3 | A1 A2 ) 7
例题与解答
例4:假设在空战中,若甲机先向乙机开火,则击落乙机 的概率为0.2;若乙机未被击落,就进行还击,击落甲机的 概率为0.3;若甲机亦未被击落,则再次进攻乙机,击落乙 机的概率为0.4,在这几个回合中,分别计算甲、乙被击 落的概率？ 解：设U=“甲机被击落”，A =“乙机被击落”，Ai=“乙 机在第i被击落”,i=1,2. P(U)=P(Ā1U)= P(U|Ā1)P( Ā1)=0.3*0.8=0.24 A=A1+A2 , P(A)=P(A1+A2) = P(A1 ) + P( A2) P(A1)=0.2 , P (A2) =P(Ā1ŪA2) = P(Ā1) P(Ū|Ā1)P( A2 |Ā1Ū) =0.7*0.4*0.8=0.224 P(A)= P(A1) + P(A2)=0.2+0.224=0.424
3 P( EH ) P( E H ) P( H ) [1 P( E H )]P( H ) (1 ) 0.07 0.04 7
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续
(2)随意找一个学生，他视力有缺陷但听力没有缺陷的 概率是多少？
P ( E H ) P ( H E ) P ( E ) (1 0.1) 0.3 0.27
作业
12 19 21 25
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乘法公式
乘法公式：对于两个事件A与B, (1)若P(A)>0,则P(AB)= P(B|A) P(A)； (2)若P(B)>0,则P(AB)= P(A|B) P(B)。 推广： (1) 当P(AB)>0时, P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB). (2) P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An-1) （前提:作为条件的事件,其概率大于零。） Proof:由于A AB，故P(A)≥ P(AB)>0 P(ABC)=P(AB)P(C|AB)= P(A)P(B|A)P (C|AB) (注意条件)
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例题与解答
例 某市的一项调查表明：该市有30%的学生的视力 有缺陷，7%的学生听力有缺陷，3%的学生视力与听 力都有缺陷，记 E=“学生视力有缺陷”, P(E)=0.30 H=“学生听Байду номын сангаас有缺陷”, P(H)=0.07 EH=“学生视力与听力都有缺陷”, P(EH)=0.03 问题 (1) 随意找一个学生，他视力没缺陷但听力有缺陷的概 率是多少？
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独立性的直观含义
独立性的直观定义:两个事件A和Ｂ，若其中任 何一个事件发生的概率不受另外一个事件发生 与否的影响,则称事件A和Ｂ独立. 该定义很有用,在实际应用中,往往根据问题的 实际意义去分析判断两事件是否独立.
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例题与解答
例6:甲、乙二人各投篮一次，设甲投中的概率 为0.7，乙投中的概率为0.8，求甲、乙二人至 少有一人投中的概率. 解一：记A=“甲投中”，B= “乙投中”，可以 认为A、B是独立事件，A+B则表示至少有一 人投中.P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)= P(A)+P(B)P(A) P( B)=0.94 解二：A和B独立可知Ā和¯ B也独立 P(A+B)= 1-P ¯ (A+B)=1- P (Ā ¯B)=0.94 二人至少有一人投中的对立事件是二人中没有 1人投中.
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练习
一台戏有两位主要演员甲与乙，考察如下两个 事件 A=“演员甲准时到达排练场” B=“演员乙准时到达排练场” 并设A与B独立，假如P(A)=0.95,P(B)=0.70,那么 (1)两位演员都准时到场的概率； (2)两位演员都未准时到场的概率； (3)两位演员中仅有一位准时到场的概率。 0.665, 0.015, 0.32
引例
例：试验E为掷一颗骰子，A=“掷出偶数点”， B=“掷出2点”。求P(A), P(AB), P(B|A)。 解：样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},A={2,4,6},B={2} P(A)=n A/nΩ=3/6 , P(AB)=n AB/nΩ =1/6; 在A发生的条件下,许多不确定因素已排 除，故样本空间从Ω变为A，则 P(B|A) =1/3=(1/6)/(3/6)= P(AB)/P(A) 考虑P(B|A)表示的前提是A发生,这时计算概率 时的样本空间变成了A,而不是Ω; P(B|A)是在A 发生的条件下,B 发生的概率,故A,B都要发生; 因此, P(B|A)等于P(AB)与P(A)的比.