数学物理方程第十章球函数
球函数 数学物理方法
第十章球函数1000)(',)(0)()()(')()(''c z w c z w z w z q z w z p z w 级数解法一、二阶常微分方程的二阶常微分方程：数。
定解条件，逐个确定系幂级数，并代入方程和的为中心，带有待定系数表示为以级数解法：将方程的解0z ,sin cos 0'"x B x A y y y 的通解为例如：都可展为幂级数。
、处，在x x x sin cos 0 、方程的常点和奇点1为方程的常点。
点解析，则在和）常点：如果（00)()(1z z z q z p 为方程的奇点。
的非解析点，则和是）奇点：如果（00)()(2z z q z p z 否则，为非正则奇点。
为正则奇点；的二阶极点，则的一阶极点，最多是若00)()(z z q z p z00)()(k kk z z c z w 条件确定系数。
递推关系，再根据定解为零，找出系数之间的，令合并后各系数分别代入方程，合并同幂项将00)()(k kk z z c z w 法、常点邻域内的级数解2域内单值解析。
件的解存在，并在此区这个区域中满足定解条内单值解析，则方程在在、）定理：若（R z z z q z p ||)()(10）确定系数（2)0()ln()()()()()0()()()(00,1002000012121b z z z Aw z z b z z z w a z z a z z z w n s s k kks k kks 数解、正则奇点邻域中的级3两个线性无关解为：002010001)()()()()()()()(k kk k kk z z q z q z z z q z z p z p z z z p0)()(k sk k z z c z w 设解的形式为：20)(0)()()(')()(''z z z w z q z w z p z w 两边方程0)()()()(')()()('')(202020 z w z q z z z w z p z z z w z z 0)()()(')()()('')(11020 z w z q z w z p z z z w z z)()()()()()()1)((00000000k sk kk kk k s k k k kk k sk kz z c z z q z z c s k z z p z z c s k s k 零，可得判定方程：令最低次幂项的系数为0)1(00 q sp s s 是较小的根。
球函数
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
−1
1
8
d d 2 dP 2 dP k {Pl [(1 − x ) ] − Pk [(1 − x ) l ]}dx ∫−1 dx dx dx dx
1
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
方程(5)满足自然周期条件的解是
Φ (ϕ ) = A cos mϕ + B sin mϕ
若取m = 0
Φ(ϕ ) = 常数
d 2R dR r + 2r − l (l + 1) R = 0 2 dr dr
2
(6)
1
d d 2 = ∫ [ (1 − x ) Pl ′Pk − (1 − x 2 ) Pl Pk′]dx −1 dx dx
1
= [(1 − x )( Pl′Pk − Pl Pk′ )]
2
1 −1
9
[ k ( k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx l
−1
1
= [(1 − x )( Pl ′Pk − Pl Pk′)]
d 2Θ dΘ (1 − x 2 ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
dΘ d 2Θ (1 − x ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
⎧(1 − x 2 ) y ′′ − 2 xy ′ + l (l + 1) y = 0 ⎪ ——本征值问题 ⎨ ⎪当x = ±1时y ( x)有限 (自然边界条件 ) ⎩
数学物理方法第十章球函数幻灯片
勒让德多项式的性质
奇偶性 Pl(-x) = (-1)l Pl(x)
零点定理 L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。
正交性
– 正交性公式 –模 – 正交性应用例题
完备性
– 完备性公式 – 广义傅立叶系数 – 完备性应用例题
勒让德多项式的正交性
正交性
1
P k ( x ) P l ( x ) d 0 , x P k (c ) P l (o c ) s s d o i 0 n ,s ( k l )
根据 完 0 l， 1 A A lb l备 a ll B B lb la 性 l l1 1 得 A A 1 l 1 b 3 B a a ： 2 l 3 1 ,B 1 0 b a 3 2 b a 3 3
勒让德多项式的应用
例题 4
半径为a的导体球面附近的电场分布为 f = Acosθ，确 定球外空间的电势 u 。
P l(0) (1)(k2 (k 2)k! !1)!!,l2k
0,
l2k1
(2k)!246(2k) (2k1)!135(2k1) 0!!(1)!1
根本递推公式
( k 1 ) P k 1 ( x ) ( 2 k 1 ) x k ( x ) P k k 1 ( x P ) P k 1 '( x ) ( k 1 ) P k ( x ) x k '( x P ) k k ( x P ) x k '( x P ) P k 1 '( x ) ( x 2 1 ) P k '( x ) kk ( x x ) k P k 1 ( P x )
P l(x)2 1 ll!d dllx (x2 1 )l
P l(x)2 1i2 1 l ((z z 2 x1 )l) l1dz
球的方程与性质
球的方程与性质球是一种经典的几何体，具有很多独特的性质和方程。
在本文中，我们将探讨球的方程以及与之相关的性质。
通过理解这些概念，我们可以更好地应用它们解决实际问题。
1. 球的方程球可以用方程表示。
常见的球方程是标准方程和一般方程。
标准方程：如果我们知道球的中心坐标和半径，我们可以使用标准方程来表示球。
对于球心在原点的球来说，其标准方程为：x^2 + y^2 + z^2 = r^2其中 (x, y, z) 是球面上的任意一点，r 是球的半径。
一般方程：如果球心不在原点，我们可以使用一般方程来表示球。
一般方程形式为：(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2其中 (a, b, c) 是球心的坐标，r 是球的半径。
通过了解球的方程，我们可以更准确地描述球面上的各个点。
2. 球的性质球具有许多独特的性质，下面我们来讨论其中的一些。
2.1 球面积和体积球的面积和体积是球的重要特性。
球的表面积可以通过以下公式计算：S = 4πr^2其中 S 是球的表面积，r 是球的半径。
球的体积可以通过以下公式计算：V = (4/3)πr^3其中 V 是球的体积，r 是球的半径。
这些公式是计算球面积和体积的基本工具，对于解决与球有关的问题非常有用。
2.2 球与其他几何体的关系球与其他几何体之间存在一些特殊的关系。
球与平面的交点可以形成三种不同的情况：无交点、一个交点和两个交点。
这些交点的情况取决于球心与平面的位置关系。
球与直线的关系也有几种不同情况。
当直线与球没有交点时，我们称之为相离。
当直线与球相切于球面上一点时，我们称之为相切。
当直线与球相交于两个不同的点时，我们称之为相交。
通过研究球与其他几何体的关系，我们可以更好地理解球的性质及其在空间几何中的应用。
3. 实际应用球体在现实生活中有许多应用，下面我们来看几个例子。
3.1 球体的碰撞在物理学中，球体的碰撞是一个重要的研究领域。
例如，当一个球体在碰撞过程中改变速度和方向时，我们需要使用球体碰撞的物理原理来分析和计算。
Chap._10 球函数
d l 1 2 d d l -2 2 l l 1 dx l 1 ( x 1) dx dx l-2 ( x 1) dx
分部积分l次
( 1)l N l2 2 l 2 (l! ) 2 ( 1)l 2l 2 (l! ) 2
1
d l 1 2 d l 1 2 ( x 1)l l 1 ( x 1)l dx 1 dx l 1 dx
4
利用
(k 2)(k 1) ak ak 2 (k l )(k l 1)
k (k 1) ak 2 ak , (k l 2)(k l 1)
l (l 1) l (l 1) (2l )! al 2 al l 2 2(2l 1) ( 2)(2l 1) 2 (l! ) 1 (2l )! (2l 2)! 1 l ( 1) l , ( 2)(2l 1) 2 (l 1)!(l 2)!l 2 (l 1)!(l 2)!
2
2 i i( ) 2
x x 1e
将此代入积分表式
x x 1e
2
i
13
1 1 Pl ( x ) 2i 2l 1 2 1 2 1 2
2
x x 2 1ei 1
2
x 1
2 2 i
l
l 1
2 N l Pl ( x) dx , (l 0,1,2,) 1 2l 1
1 2
18
用
l 1 dl 2 x 1 Pl ( x ) l l 2 l! dx
1 2 N l 2l 2 (l! ) 2 1 2l 2 (l! ) 2 1 2l 2 (l! ) 2
球函数
2k + 1 Ak = 2a k
∫
+1
−1
半径为r 的半球， 例3 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为u0 cos θ ， 底面绝热， 底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
∆ u = 0, r < a , θ < π / 2 定 解 问 题 为 ： u | r = r0 = u 0 cos θ u |θ = π = 0 2
24
∞
∞
右边按球函数展开： 右边按球函数展开：
1 u0 sin 2 θ cos ϕ sin ϕ = u0 (3sin 2 θ ) sin 2ϕ 6 1 = u0 P22 (cos θ ) sin 2ϕ 6
比较系数得: 比较系数得
1 r0 B = u0 6 其它系数为零
2 2 2
方程的解为： 方程的解为：
∑
∞ l =0
( Al r l + B l r − l −1 ) Pl (cos θ )
球内解要求 u ( 0 , θ ) 有界，半通解化为 u=
∑
∞ l =0
Al r l Pl (cos θ )
2
由边界条件得： = x
根据完备性：
∑
∞ l=0
Al a l Pl ( x )
Ax 2 Pk ( x ) dx =
2
∑
k=0
( − 1) k ( 2 l − 2 k ) ! x l−2k 2 l k !( l − k ) !( l − 2 k ) !
♦ 微分表示
d Pl ( x ) = l 2 l ! dx
1
l l
( x 2 − 1) l
展开
l 1 1 l! 2 l ( x − 1) = l ∑ ( x 2 ) ( l − k ) ( − 1) k 2l l! 2 l ! k =0 (l − k ) ! k !
球函数
arccos x,
x cos ,
8
d d dx d sin , d dx d dx
1 d d (sin ) sin d d 1 d d dx 2 ( sin ) sin dx dx d
1 d d 2 ( sin )( sin ) sin dx dx
13
方程的奇点：如果方程中的系数函数 p(z)和q(z)中至少有一
个在某点z0不解析，则点z0就叫作此方程的奇点。
如，Legendre方程
d2y dy 2 (1 x ) 2 2 x l (l 1) y 0, dx dx
在有限远处，x=－1、＋1为方程的奇点。 x=0为常点。
二、常点邻域上的级数解 首先，我们不加证明地介绍下面的定理。。
其应用。
1
第一节 勒让德(Legendre)方程的导出 在解球形域上的三维稳态问题时，常把Laplace方程写成
球坐标形式
1 2 u 1 u 1 2u u 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 0. 2 r r r r sin r sin
根据Taylorห้องสมุดไป่ตู้数展开的唯一性，
ak 2
k (k 1) 2k l (l 1) k (k 1) l (l 1) ak ak . (k 2)(k 1) (k 2)(k 1)
ak 2 (k l )(k l 1) ak . (k 2)(k 1)
3
关于Y的偏微分方程，叫做球函数方程。
d 2 dR (r ) l (l 1) R 0, 对于径向方程 dr dr
d 2R dR 2 r 2r l (l 1) R 0, 2 dr dr
数学物理方法第十章
m 0,1, 2, l l 0,1, 2,
轴对称球函数
1 sin l l 1 0 sin
d 2 d (1 x ) 2 2 x l ( l 1) 0 dx dx
k
[l / 2：小于、等于 ]
P0 ( x ) 1 P 1 ( x ) x cos
2 1 (3 cos 2 1) P2 ( x ) 1 ( 3 x 1 ) 2 4 3 1 (5 cos 3 3 cos ) P3 ( x ) 1 ( 5 x 3 x ) 2 8 1 ( 35 x 4 30 x 2 3) P4 ( x ) 8 1 64
勒让德多项式的完备性：任意一个在区间 [-1,1]中分段连续的函数f(x)，在 平均收敛意义下，可展开为级数
f ( x ) f l Pl ( x ),
2
l 0
lim 平均收敛： N
1
1
f ( x ) f l Pl ( x ) dx 0
l 0
N
15
正交性
al 4
(l 2)(l 3) (l 2)(l 3) (2l 2)! (2l 4)! 2 al 2 (1)2 ( ) 1 4(2l 3) 2 2!(2l 3) 2l (l 1)!(l 2)! 2! 2l (l 2)!(l 4)!
3
问题的引出
u 0
偏微分方程 分离变量
1 2 u 1 u 1 2 u 0 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 2 r r sin r sin r r
常微分方程组 本征值问题 广义傅立叶级数 勒让德多项式 贝塞耳函数 （特殊函数）
大学物理-球函数
u12ur 10有0限,
(0 r a) u1 ra u0
(1) (2)
2u2 0
(a r )
(3)
u2
ra u0 ,
lim
r
u2
E0 r
cos
(4)
(2) 对称性及通解形式。本题有轴对称性，因为接地 导体为等势体，故球内、外电势可分别表示为
(5)
(3) 定系数。将式 (5) 的 u2 代入式 (4) 得到
函数 Ylm ( , ) 进行展开
(8-3-19)
其中展开系数 Clm 可以利用 Ylm ( , ) 的正交归一性求得
(8-3-20)
d
(d = sindd：立体角元)
(四) 球坐标系下拉普拉斯方程的通解 球坐标系下的拉普拉斯方程为：
分离变量，令 其中： 则，特解为
由叠加原理，得到通解： 通解的另一种形式：
Yl m (0,)
(l
(l
m )!(2l
m )!4
1)
Pl
m
(1)ei
m
由 (8-2-7) 式知，当 m' = 0 时，Pl m (1) 0，而 Pl (1) = 1。故
Yl m (0,)
(2l
4
1)
m0
将上式代入 (8-3-24) 得到
B0
4
2l 1Yl*m源自(',')
Am
4
2l
一方面，如果以 k' 为轴建立球坐标系，则 k'' 的极角和方位
角分别用 , 表示。如前图所示 (图中未画出 角)。
以 , 和 '' , '' 为变量的球函数是 = l (l + 1) 的方
第十章 球函数
2 lm
故物理上取归一化球函数
1 m Ylm (θ , ) = Pl (cosθ )eim Nlm
place方程的解
指数形式: u (r , θ , ) = ∑ ∑ A
l l=0 m =l ∞
rl + lm
1 l k 2 l lk 1
∞ l =1 l l
2l + 1 fl = 2
1
∫ f (x )P (x )dx , (8 )
l
1
二.Laplace方程在轴对称时的通解 在轴对称时物理量绕对称轴转动不变,在球坐 标下Laplace方程: △u= 0的通解为
Bl l u (r , θ ) = ∑ Al r + l +1 Pl (cos θ ), (1) r l =1
∞
(1)式有两系数需要两条件来确定,对球坐标有 两自然边界条件,r=0与r→∞,球内解包含r=0, ∞ Bl = 0, u = ∑ Al r l Pl (cos θ ), (2 ) u有限, l =0 而Al由球面的边界条件确定,同样对球外区域 两系数由球面的边界条件与r→∞, 两个条件 确定.
Pl ( x ) =
l l 1 或 2 2
(2l 2n )! l 2 n ∑ ( 1) n!2l (l n )!(l 2n )! x .(1) n =0
n
前几项为
P0(x)= 1, P1(x) =x=cosθ, P2(x)=(3x2-1)/2, ….. 一般勒让德多项式的幂次取决L 当L为偶数时都为偶次幂项,L为奇数时都为奇次幂项. 对特殊点x=1,0
=
∑
∞
球函数方程与球函数
Helmholtz 方程加上齐次边界条件可构成 固有值问题。 固有值问题。
2
球函数方程与球函数
一维Helmholtz方程 X ′′( x) + λX ( x) = 0 方程: 一维 方程 r2vrr +rv +vθθ +λ r2v =0 二维Helmholtz方程： 方程： 二维 方程 r
Φ′′(θ) + n2Φ(θ) = 0 v(r,θ ) = R(r)Φ(θ ) ⇒ 2 r R′ (r) + rR′(r) + (λ r2 − n2 )R(r) = 0
现在来研究球域上的三维Helmholtz方程。 方程。 现在来研究球域上的三维 方程 在球坐标系下Helmholtz方程可表达为 在球坐标系下 方程可表达为
r 2 R′′(r ) + 2rR′(r ) + (k 2 r 2 − λ ) R(r ) = 0
(2)
(3)
称为球函数方程； 方程 (3)称为球函数方程；若 k =0,则 (2)为欧拉方 程。若 方程： 的Bessel方程： 方程
1/ 2 k ≠ 0, 令 y(r) = r R(r)，则 ( 2 )可化为关于 y(t )
9
球函数方程与球函数
球函数系具有如下正交性： 球函数系具有如下正交性：
0 2π π Ynm (θ , ϕ )Yl k (θ , ϕ ) sin θdθ dϕ = 2πδ m ( n + m )! ∫0 ∫0 2 n + 1 ( n − m )!
m≠ k or n ≠l m=k and n =l
第10章_球函数
2
球坐标系中
u 0
1 Y 1 Y (sin ) 2 l (l 1)Y 0 球函数方程 2 sin sin
Y ( , ) [ A cos(m ) B sin(m )] ( )
式中 x cos
2 2 m d d 连带勒让德 (1 x 2 ) 2 2 x ] 0 [l (l 1) 方程 dx dx 1 x2
(2l 4)! (l 2)(l 3) 2 al 2 (1) l 2!2 (l 2)!(l 4)! (4)(2l 3)
al 4
al 6
(2l 6)! (l 4)(l 5) 3 al 4 (1) l 3!2 (l 3)!(l 6)! (6)(2l 5)
(一) 勒让德多项式 (1) 勒让德多项式的具体表达式 勒让德方程的级数解： y ( x)
a x
k 0 k
k
[l (l 1) 2] l (l 1) a3 a1 a2 a0 3 2 2 1 l (l 1) k (k 1) ak 2 ak (k 2)(k 1)
l n 0,1, 2, ,[ ] 2
[l/2]表示不超过 l/2的最大整数
l [ ] 2
l
l/2
(l 1) / 2
k
[ l /2]
(l 为偶数) (l 为奇数)
k
(2l 2k )! l 2 k x Pl ( x) ak x (1) l 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0 k 0
l
11
1 d 1 d l 2 ( x 1) l l l l 2 l ! dx 2 l ! dx
球面的参数方程公式
球面的参数方程公式球面是三维空间中的一种几何体，它是由一个半径为r的圆在空间中绕着圆心旋转一周形成的。
球面是一种非常重要的几何体，在物理学、数学、计算机图形学等领域都有广泛应用。
在本文中，我们将介绍球面的参数方程公式及其应用。
一、球面的参数方程公式球面的参数方程公式可以用向量形式表示，即：r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k其中，i、j、k分别是三维坐标系中的单位向量，x(u, v)、y(u, v)、z(u, v)是u、v两个参数的函数。
球面的参数方程公式也可以用三角函数表示，即：x = r sinθ cosφy = r sinθ sinφz = r cosθ其中，r是球的半径，θ是极角，φ是方位角。
极角是从球心到点P的连线与正z轴的夹角，范围是0到π。
方位角是从正x轴到点P的连线与x轴的夹角，范围是0到2π。
二、球面的应用球面在物理学、数学、计算机图形学等领域都有广泛应用。
下面我们将介绍一些球面的应用。
1. 物理学中的球面在物理学中，球面是一种非常重要的几何体，它在天体物理学、地球物理学、量子力学等领域都有广泛应用。
例如，在天体物理学中，球面用来描述行星、恒星、星系等天体的形状和运动规律。
在地球物理学中，球面用来描述地球的形状和地球物理场的分布。
在量子力学中，球面用来描述电子的轨道和波函数。
2. 数学中的球面在数学中，球面是一种常见的几何体，它在微积分、拓扑学、微分几何等领域都有广泛应用。
例如，在微积分中，球面用来描述三维空间中的曲面积分和曲线积分。
在拓扑学中，球面是一个拓扑流形，它是一个连续的、可微的、无边界的曲面。
在微分几何中，球面是一个重要的曲面，它有很多重要的性质和定理。
3. 计算机图形学中的球面在计算机图形学中，球面是一种常用的几何体，它被广泛应用于三维建模、动画制作、游戏开发等领域。
例如，在三维建模中，球面用来描述三维物体的表面形状和纹理贴图。
10.3球函数
m
（2）复数形式的球函数： 线性独立的l阶球函数共有2l＋1个， 对应m 0, 有一个球函数Pl (cos ) Pl m (cos ) sin m m 1, 2,...l , 有2个球函数： m P l (cos ) cos m cos m i sin m eim 由欧拉公式， cos m i sin m e im m l , l 1,...0,1, 2,...l 可重新组合为：Yl m ( , ) Pl |m| (cos )eim , l 0,1, 2,3... | m | 表示m既可取正整数，也可取负整数
[Clm cos m Dlm sin m ]Pl m (cos )
m l ,当m l的项为零 l m，l m, m 1, m 2,...
例：半径为r0的球形区域内部没有电荷，球面上的电势为 u0 sin 2 cos sin , u0为常数，求球形区域内部的电势分布。 解：这是静电场电势分布问题
m
u 0在球坐标下的解为：ul ,m (Cl r l Dl
1
l 1
)Y ( , )
l 称为球函数的阶。
一般情况下，球函数方程的分离变数形式的解为 sin m m 0,1, 2,...l Y ( , ) Pl (cos ) ， cos m l 0,1, 2,3...
数理方程总结(球函数)
球函数Legendre 多项式Helmholtz 方程球坐标下分离变量得到连带Legendre 方程21d d sin 0sin d d sin μθλθθθθΘ⎛⎫⎡⎤+-Θ= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦作变换cos x θ=，()y θ=Θ改写为()22101d dy x y dx dx x μλ⎡⎤⎡⎤-+-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦讨论0μ=情况：1. 三个正则奇点：1,z =±∞，其余全平面解析 z=0邻域内两个线性无关解()2210122212!22n n n n n w z n νννν∞=+⎛⎫⎛⎫Γ-Γ+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫Γ-Γ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑21n w +n 1，-1对数发散：21ln 1z-，在设()()()11nn n w z z c z ρ∞==--∑。
得到指标方程解120ρρ==得到两个线性无关解()()()()2011112!nn n z P z n n ννν∞=Γ++-⎛⎫= ⎪Γ-+⎝⎭∑()()()()()()2211ln 22121111111 (12)2!z Q z P z z n z n n n ννγψννν+⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦Γ++-⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪Γ-+⎝⎭⎝⎭∑2. 方程条件改变球内区域Laplace 方程轴对称边值问题20|u u f ∇==∑其中∑代表球面上的变点i ii令最下两个构成本征值问题，作变换()cos ,x y θθ==Θ，()1λνν=+变为同之前的两个结果，可以得到在0或1的邻域出发求解由于0出的解对数发散，要求ν取特殊值在1邻域得到()()()12y x c P x c Q x νν=+由于Q 发散，其系数为0，令1c 为1。
P 在1收敛，在-1对数发散3. ✧ ()11l P =✧2()()33532P x x x =- ✧ ✧✧✧✧ 由此得到的Legendre 多项式在0点的值：()()()()222!02!ll ll P l =-()2100l P +=✧ Legendre 多项式为l 次多项式，最高项系数为()22!2!l l l c l =4. Legendre 多项式的正交性Legendre 多项式为前述本征值问题的解 作为本征函数有正交性：()()110lkP x P x dx -=⎰证1：由本征值问题直接证明（仿照14.1，写出两个微分方程l 和k ，交叉相乘相减，分部积分得到相似的结果，由边界条件得到为0） 证2：求解积分()11k l x P x dx -=⎰当k l ±()(()111111121112!112!l kk l l l l l k l l d x P x dx x l dxd x x l dx ------=⎡=--⎢⎢⎣⎰⎰⎰前一项为0，继续分部积分l()12211ln x x dx --⎰ ()()()p q p q ΓΓΓ+得到结果为()!221!n l n ++5. Legendre 多项式的模方由之前的结论得到乘方求积分后，低次项全部为0，得到()()()11212!!!222!21!21l l l l l l l l c x P x dx l l l +-==++⎰6. Legendre 多项式的完备性任意在区间[-1,1]分段连续的函数f(x),在平均收敛的意义下，可以展开为级数7. Legendre 多项式生成函数将生成函数函数在0()0l l l P x t ∞==∑由此得到多项式递推关系 8. Legendre 多项式递推关系 ✧ ()()()1121()1l l l l xP x l P x lP +-+=++✧()()()()11'2''l l l l P x P x xP x P x +-=-+Laplace 方程在球坐标下求解1. 一般的Laplace 方程设在电场强度为E 0的均匀电场中放进一个接地导体球，球的半径为a 。
10. 球函数
∫+1
−1 Pk (x)Pl (x)dx = 0,
(k ≠ l)
∫π 0
Pk (cosθ )Pl (cosθ ) sinθdθ
=
0.
带权的正交
(k ≠ l)
• （三）勒让德多项式的模：
∫ Nl2 =
+1
[
−1
Pl
(x)]2 dx
=
2. 2l +1
• 利用罗德里格斯公式，并采用分部积分的办法可 以证明上式成立。p280
我们发现对于奇数和偶数次幂的级数解只有一个能满足自然边界条件的解它要求?必须为整数从而使无穷级数截断为有限阶称作?阶勒让德多项式
第十章 球函数
• §10.1 轴对称球函数 • §10.2 连带勒让德函数 • §10.3 球谐函数
• 球函数方程：
1
sin θ
∂
∂θ
⎜⎛ sin θ
⎝
∂Y
∂θ
⎟⎞ + ⎠
§10.2 连带勒让德函数
• （一）连带勒让德的函数满足的方程(m≠0)：
(1
−
x2
)
d 2Θ dx 2
−
2x
dΘ dx
+
[l(l
+
1)
−
m2 1− x2
]Θ
=
0.
• A. x0=0是方程的常点，可以用常点的级数解法。首先做变 换Θ=(1-x2)m/2y(x)，方程变为：
(1-x2)y’’-2(m+1)xy’+[ℓ(ℓ+1)-m(m+1)]y=0.
1
sin2 θ
∂ 2Y
∂ϕ 2
+ l(l
数学物理方法--球函数
1.轴对称球函数（m=0）
一. 勒让德多项式
(1) 一般表达式
级数表示
约定级数中最高次幂 xl 的系数是
(2l)! al 2l (l !)2
反用系数递推公式
ak 2
k 2 k l(l 1) (k 2)(k 1)
ak
Pl
(x)
[l / 2] k 0
2l
(1)k (2l 2k )! k !(l k )!(l 2k )!
u
|ra
u0
cos (
2
)
9
利用莱布尼茨求导规则把勒让德方程求导m次:
(1 x2 )P[m] 2(m 1)xP[m] [l(l 1) m2]P[m] 0(m 0,1, 2, )
m
所以 y(x) Pl[m](x) (1 x2 ) 2 Pl[m] (x) 通常记作: Plm (x)
Pl m
u |ra f ( )
u 0
(r2R' )'l(l 1)R 0
(sin' )'l(l 1) sin 0 (0),( )有界
x cos
r2R"2rR'l(l 1)R 0
[(1 x2 )' ]'l(l 1) 0 (1)有界
R Al rl Bl rl1
f ( )
l 0
Rl
(a)
Pl
(cos
)
u
l 0
Rl
(r)Pl
(cos
)
8
例 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为 u0 c，os 底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
u 0, r a, / 2
定解问题为：u |rr0 u0 cos
球谐函数方程
球谐函数方程
球谐函数（Spherical Harmonics）是用于描述空间球坐标系下，具有特定对称性和归一化条件的特殊函数。
这些函数在物理学、地球物理学、气象学和空间科学等领域有广泛应用。
球谐函数方程包括Legendre方程、Helmholtz方程等，这些方程在求解球坐标系下的偏微分方程时非常重要。
例如，在电磁学中，球谐函数可以用于描述球面波在各向同性的均匀介质中的传播特性。
需要注意的是，球谐函数方程的具体形式取决于所求解的偏微分方程以及所选择的球坐标系。
因此，要了解球谐函数方程的具体形式，需要查阅相关的数学文献或专业书籍。
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f (x) fl Pl (x), l 0
fl
2l 1 1 2 1
f
(x)Pl (x)dx
f ( ) 展开为
f ( ) fl Pl (cos ), l0
系数为
fl
2l 1 20
f
( )Pl (cos )sind
例： 在 [1,1] ，中将 f (x) 2x3 3x 4 展开为广义傅立叶级数。
第十章 球函数
10.1 轴对称球函数
(1
x2
)
d 2 dx2
2x
d dx
l(l
1)
0
一、勒让德多项式
x 1 有限 l 0,1,2,
1.代数表示
ak 2
k(k 1) l(l 1) (k 2)(k 1)
(k l)(k (k 2)(k
l 1) 1)
ak
设最后一个不为零点系数有 k l
1)l
1
2i
1 2l l!
C
(z 2 1)l (z x)l1
dz
设半径为
x2 1
C 上 z x x2 1ei dz i x2 1ei d
1
2i
1 2l l!
(z 2 1)l C ( z x)l1
dz
1
2i
1 [(x
2l l! 0
(
x2 1ei )2 1]l i x2 1ei )l 1
Pl (x)
1 2l l!
dl dxl
(x2
1)l
证：
1 2l l!
(
x
2
1)l
1 2l l!
k
l 0
(1)k
l!
x 2(l k )
(l k)!k!
l
(1)k
k 0
2l
(l
1 k
x )!k!
2(l
k
)
1 d l
2l l ! dxl
(x 1)l
dl dxl
l
(1)k
k 0
2l
(l
1 k
)!k
x2(lk !
0
0
即
Pl (x) 1
二、 正交关系和模
1. 正交关系
(x) 1
1
Pk (x)Pl (x)dx 0
1
2. 模
1
Nl2 [Pl (x)]2 dx
1
(
21l l!)2
1
dx
1
dl dxl
(x2
1)l
d d l1 dx [ dxl1
(x2
1)l ]
( 21l l!)2{ddxll
(x2
1)l
f0
(
f1
3 f3 )x 2
f3
5 2
x3
f0
f1x
f3
1 (5x3 2
3x)
f0 4
f3
5 2
2
f3
4 5
f
(
x)
4P0
21 5
P1
4 5
P3
f1
3 f3 2
3
f1
3
6 5
21 5
例2 f (x) x
f (x)
1
dx( x2
1
1)l
d 2l dx2l
(x2
1)l
只有最高次幂才不为零，故
u ( x,
y, z)
p1z
4 0r 2
P1(cos )
再逐次进行分步积分，得
N
2 l
2 2l 1
即
Nl
2 2l 1
三、广义傅立叶级数
定义在区间 [1,1]的函数 f (x) 可以展开为广义傅立叶级数
展开系数为 或区间 [0, ] 的函数
[l / 2] ：小于、等于 l 的最大整数。
勒让德多项式： P0 (x) 1
[l / 2]
Pl (x) (1)k
k 0
(2l 2k)!
xl2k
k!2l (l k)!(l 2k)!
P1(x) x cos
P2
(x)
1 2
(3x2
1)
1 4
(3cos2
1)
P3
(x)
1 2
(5x3
3x)
1 8
u 0
1 (r 2 u ) 1 (sin u ) 1 2u 0
r 2 r r r 2 sin
r 2 sin2 2
偏微分方程 常微分方程组 广义傅立叶级数
分离变量
本征值问题
特殊函数
勒让德多项式 贝塞耳函数 （特殊函数）
勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式； 贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳、 超几何，汇合超几何等函数。
解：
比较
Pl (x)
[l / 2]
(1)k (1)k
k 0
(2l 2k)! k!2l (l k)!(l 2k)!
xl2k
展开式最多含三阶勒让德多项式。
P0 (x) 1
P1(x) x
P2
(x)
1 2
(3x2
1)
P3
(x)
1 2
(5x3
3x)
f (x) 2x3 3x 4 f0P0 f1P1 f2P2 f3P3
则对 k l 2
al 2
l(l 1) 2(2l 1)
al
l(l 1) (2l)! 2(2l 1) 2l (l!)2
适当乘本征函 数以常数使得
al
(2l)! 2l (l !)2
(1)l
(2l 2)! 2l (l 1)!(l 2)!
al 2 k
(1)k
(2l 2k)! k!2l (l k)!(l 2k)!
x2 1ei d
1 x2 2x [
x2 1ei (x2 1)ei2 1]li
x2 1ei d
2i 0
2 x2 1ei
1 [ x2 2x x2 1ei (x2 1)ei2 1]ld
2 0
2 x2 1ei
1 [x x2 1 1 (ei ei )]ld
0
2
1 [x i 1 x2 cos ]l d
)
l k 0
(1)k
(2l
2k)(2l 2k 1)L 2l (l k)!k !
(l
2k
1) xl2k
l
(1)k
k 0
2l (l
(2l 2k)!
xl2k
k)!k!(l 2k!)
＃
3.积分表示（施列夫积分）
由科西公式 C 绕 z=x 点。
Pl (x)
1 dl 2l l! dxl
(x2
(5
cos3
3cos
)
P2k1(0) 0
总有 x 。
P2k (0)
(1)k
(2k )! k!22k k!
唯一不含 x 的项 l 2k
1
0.5
-1
-0.5
-0.5
Pl (x), (1 x 1)
0.5
1
-1
Pl (cos ), (0 )
1 0.5
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-1
2. 微分表示（罗德里格斯公式）
[
d l1 dxl 1
(x2
1)l
]
1 1
1
dx
1
d l1 dxl 1
(x2
1)l
d dx
[
dl dxl
(x2
1)l ]}
第一项为零，即
Nl2
(
21l l!)2
(1)1
1 1
dx
d l1 dxl 1
(x2
1)l
d dx
[
dl dxl(x2 Nhomakorabea1)l ]
进行 l 次分步积分后
N
2 l
(
21l l!)2 (1)l
0
P1(1) 1
P1(1) (1)l
1
Pl (x)
0
[x i
1 x2 cos ]l d
x cos
一个公式
1
Pl (x)
0
[cos i sin cos ]l d
Pl (x)
1
cos i sin cos ld
0
1 [cos2 sin2 cos2 ]l /2d 0
1 [cos2 sin2 ]l /2d 1 d 1