数学物理方程第十章球函数

第十章 球函数
10.1 轴对称球函数
(1
x2
)
d 2 dx2
2x
d dx
l(l
1)
0
一、勒让德多项式
x 1 有限 l 0,1,2,
1.代数表示
ak 2
k(k 1) l(l 1) (k 2)(k 1)
(k l)(k (k 2)(k
l 1) 1)
ak
设最后一个不为零点系数有 k l
Pl (x)
1 2l l!
dl dxl
(x2
1)l
证：
1 2l l!
(
x
2
1)l
1 2l l!
k
l 0
(1)k
l!
x 2(l k )
(l k)!k!
l
(1)k
k 0
2l
(l
1 k
x )!k!
2(l
k
)
1 d l
2l l ! dxl
(x 1)l
dl dxl
l
(1)k
k 0
2l
(l
1 k
)!k
x2(lk !
[
d l1 dxl 1
(x2
1)l
]
1 1
1
dx
1
d l1 dxl 1
(x2
1)l
d dx
[
dl dxl
(x2
1)l ]}
第一项为零，即
Nl2
(
21l l!)2
(1)1
1 1
dx
d l1 dxl 1
(x2
1)l
d dx
[
dl dxl
(x2
1)l ]
进行 l 次分步积分后
N
2 l
(
21l l!)2 (1)l
x2 1ei d
Βιβλιοθήκη Baidu
1 x2 2x [
x2 1ei (x2 1)ei2 1]li
x2 1ei d
2i 0
2 x2 1ei
1 [ x2 2x x2 1ei (x2 1)ei2 1]ld
2 0
2 x2 1ei
1 [x x2 1 1 (ei ei )]ld
0
2
1 [x i 1 x2 cos ]l d
f0
(
f1
3 f3 )x 2
f3
5 2
x3
f0
f1x
f3
1 (5x3 2
3x)
f0 4
f3
5 2
2
f3
4 5
f
(
x)
4P0
21 5
P1
4 5
P3
f1
3 f3 2
3
f1
3
6 5
21 5
例2 f (x) x
f (x)
则对 k l 2
al 2
l(l 1) 2(2l 1)
al
l(l 1) (2l)! 2(2l 1) 2l (l!)2
适当乘本征函 数以常数使得
al
(2l)! 2l (l !)2
(1)l
(2l 2)! 2l (l 1)!(l 2)!
al 2 k
(1)k
(2l 2k)! k!2l (l k)!(l 2k)!
1
dx( x2
1
1)l
d 2l dx2l
(x2
1)l
只有最高次幂才不为零，故
u ( x,
y, z)
p1z
4 0r 2
P1(cos )
再逐次进行分步积分，得
N
2 l
2 2l 1
即
Nl
2 2l 1
三、广义傅立叶级数
定义在区间 [1,1]的函数 f (x) 可以展开为广义傅立叶级数
展开系数为 或区间 [0, ] 的函数
)
l k 0
(1)k
(2l
2k)(2l 2k 1)L 2l (l k)!k !
(l
2k
1) xl2k
l
(1)k
k 0
2l (l
(2l 2k)!
xl2k
k)!k!(l 2k!)
＃
3.积分表示（施列夫积分）
由科西公式 C 绕 z=x 点。
Pl (x)
1 dl 2l l! dxl
(x2
(5
cos3
3cos
)
P2k1(0) 0
总有 x 。
P2k (0)
(1)k
(2k )! k!22k k!
唯一不含 x 的项 l 2k
1
0.5
-1
-0.5
-0.5
Pl (x), (1 x 1)
0.5
1
-1
Pl (cos ), (0 )
1 0.5
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-1
2. 微分表示（罗德里格斯公式）
0
P1(1) 1
P1(1) (1)l
1
Pl (x)
0
[x i
1 x2 cos ]l d
x cos
一个公式
1
Pl (x)
0
[cos i sin cos ]l d
Pl (x)
1
cos i sin cos ld
0
1 [cos2 sin2 cos2 ]l /2d 0
1 [cos2 sin2 ]l /2d 1 d 1
1)l
1
2i
1 2l l!
C
(z 2 1)l (z x)l1
dz
设半径为
x2 1
C 上 z x x2 1ei dz i x2 1ei d
1
2i
1 2l l!
(z 2 1)l C ( z x)l1
dz
1
2i
1 [(x
2l l! 0
(
x2 1ei )2 1]l i x2 1ei )l 1
f (x) fl Pl (x), l 0
fl
2l 1 1 2 1
f
(x)Pl (x)dx
f ( ) 展开为
f ( ) fl Pl (cos ), l0
系数为
fl
2l 1 20
f
( )Pl (cos )sind
例： 在 [1,1] ，中将 f (x) 2x3 3x 4 展开为广义傅立叶级数。
解：
比较
Pl (x)
[l / 2]
(1)k (1)k
k 0
(2l 2k)! k!2l (l k)!(l 2k)!
xl2k
展开式最多含三阶勒让德多项式。
P0 (x) 1
P1(x) x
P2
(x)
1 2
(3x2
1)
P3
(x)
1 2
(5x3
3x)
f (x) 2x3 3x 4 f0P0 f1P1 f2P2 f3P3
0
0
即
Pl (x) 1
二、 正交关系和模
1. 正交关系
(x) 1
1
Pk (x)Pl (x)dx 0
1
2. 模
1
Nl2 [Pl (x)]2 dx
1
(
21l l!)2
1
dx
1
dl dxl
(x2
1)l
d d l1 dx [ dxl1
(x2
1)l ]
( 21l l!)2{ddxll
(x2
1)l
u 0
1 (r 2 u ) 1 (sin u ) 1 2u 0
r 2 r r r 2 sin
r 2 sin2 2
偏微分方程 常微分方程组 广义傅立叶级数
分离变量
本征值问题
特殊函数
勒让德多项式 贝塞耳函数 （特殊函数）
勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式； 贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳、 超几何，汇合超几何等函数。
[l / 2] ：小于、等于 l 的最大整数。
勒让德多项式： P0 (x) 1
[l / 2]
Pl (x) (1)k
k 0
(2l 2k)!
xl2k
k!2l (l k)!(l 2k)!
P1(x) x cos
P2
(x)
1 2
(3x2
1)
1 4
(3cos2
1)
P3
(x)
1 2
(5x3
3x)
1 8