工程流体力学 第二章

CV
dV vn dS CS t
dV vn dS CS t

dV

CV
任一瞬时，流体系统内物理量对时间的变化率等于该瞬时取 定的控制体内物理量的当地导数与通过控制面的输运量之和
例 粘性不可压流体流经一圆管，已知进流段速度为均匀 r2 的V2，至末端已发展为完全的抛物线分布

CS
vn dS 0
vn dS 0

CS
v1S1 v2 S 2
dM d dt dt
定常流动中， 从控制体内流 出的质量流量 等于流入控制 体的质量流量
对于任意一个流体系统，质量守恒定律的数学表达式为

V
dV 0
（2.3.5）
对比两 式可得 输运 公式
d dt
d dt

V
V
dV
加速度:
由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而实用上也 无须知道个别质点的运动情况，所以除了少数情况 外，在工程流体力学中很少采用拉格朗日法。
2．欧拉(Euler)法
欧拉法以以考察不同流体质点通过固定空间 点的运动情况来了解整个流动空间内的流动情况,, 即着眼于各种运动要素的场分布.流场法,是空间-时间描述法。
单位时间内
流体流出的质量－流体流入的质量＝控制体内流体质量的减少量

CS
v n d S d V CV dV CV t t CV t d V CS v nd S 0 连续性积分 方程 （2.3.9）
定常流动
不可压缩 流体
加速度是流速场的全 导数。 全加速度,随体导数,质点导数 u u( x, y, z, t )
du u u dx u dy u dz a dt t x dt y dt z dt u u u u ux uy uz t x y z
当地加速度 迁移加速度
流管 --- 由流线组成的管状曲面。 流束 --- 流管内的流体。 总流 ------多个流束的集合。 例 管道内、渠道内的流动流体可以被当成是一个总流。 过水断面,流量,断面平均流速 过水断面---与流束或总流流线成正交的断面。 dA, A 流量---单位时间内通过某一过水断面的流体体 积称为流量。 Q dQ udA
平面流场（忽略重力作用）
2
2
＋
p

C
方程表明：沿流线速度和压强的变化是相互制约的，流速高 的点上压强低，流速低的点上压强高。
思
考
1. 轿车高速行驶时，为何感觉车身变轻？
ux ux ( x, y, z, t ) u y u y ( x, y, z, t )
p p( x, y, z, t )
uz uz ( x, y, z, t )
( x, y, z, t )
x, y, z ,t--欧拉变量，其中x，y，z与时间t有关。
欧拉法是常用的方法。
欧拉法中的加速度 -- 质点速度矢量对时间的变化率。
v v v z y x 均质不可 0 v 0 压流体 x y z v x v y 0 不可压缩流体的二维流动 x y
例 不可压缩流体平面流动的速度分布为
u ax2 y 2 x ,
求 a, b 的值。
v xy by
解 由不可压缩流体二维流动的连续性方程知
v2 v1 v3 v4
dx dy dz u ( x, y, z, t ) v( x, y, z, t ) w( x, y, z, t )
dr v 0
迹线与流线的区别

流线的性质： 对于非定常流场，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重 合； 对于定常流场，流线与迹线重合。 流线不能相交（驻点和速度无限大的奇点除外）。 流线的走向反映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分 布。
F ma
X方向
dvx p pdydz p dydz f x dxdydz dxdydz x dt 1 p dvx fx x dt
同理可得
1 p dv y fy y dt 1 p dvz fz z dt
dv v a ( v ) v dt t
2.5.1 理想流体沿流线的伯努利方程
伯努利方程的推导
（1）理想流体
（2）定常流动
欧拉运动方程
V 0 t
（3）质量力有势
U U U dU dx dy dz x y z f x dx f y dy f z dz
（4）不可压缩
（5）沿流线积分
P dP d dx dy dz vx vy vz 1
得
y x
dx dy x t y t
积分后得到：
ln x t ln y t ln c
( x t )( y t ) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
三．流管, 流束、流量和平均流速
2.3 连续性方程
系统（system）——由确定的流体质点组成的流体团或流 体体积V(t)。系统边界面S(t)在流体的运动过程中不断 发生变化。 反映了拉格朗日观点
控制体(control volume)—
—相对于坐标系固定不变
的空间体积V 。是为了研 究问题方便而取定的。边 界面S 称为控制面。 映了欧拉观点 反
当地加速度
迁移加速度
欧拉运 动方程
静止流体
v f p ( v ) v t 1 f 1

1
p 0
f
1

p
考虑粘性 N-S方程
v f p v ( v ) v t
2
2.5 伯努利方程
伯努利（瑞典），1738，《流体动力学》 ——“流速增加，压强降低”
a, b, c --- t = t0 时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日变量，用来指定质点。 t --- 时间变量。
质点位置是 t 的函数，对 t 求导可得速度和加速度：
x u t y 速度: v t z w t
u 2 x 2 ax t t v 2 y 2 ax t t w 2 z 2 az t t
第二章
流体力学基本方程
1. 流体运动的基本概念-流体运动的特征 2. 4个重要方程：
连续性方程 － 根据质量守恒定律导出 运动方程－ 根据牛顿第二运动定律导出 伯努利方程－ 根据能量守恒定律导出 动量积分方程和动量矩积分方程－ 根据动量定理 和动量矩定理导出. 这些方程是分析研究和解决流体力学问题的基础.
S (t )
V (t )
S
V
Байду номын сангаас
Control Surface
Control Volume
F (t )
System
微分形式的 连续性方程
x方向 dt时间内 流入的流体质量
v x dydzdt
流出的流体质量 X方向质量 的净流入量
图2.3.1 控制体
v x ( v x dx)dydzdt x
u v 2ax 1 x b 0 x y
由此得到 a 0.5 ,
b 1 。
例 气体以速度u(x)在多孔壁圆管中流动， 管径为d0，气体从壁面细孔被吸出的平均 速度为v，试证明下式成立
u 4 v t x d0
dx
u x
d0
v
积分形式的 连续性方程


流体质点：是从作为连续介质的流体中取出的宏观尺 度非常小而微观尺度又足够大的任意一个物理实体。 它具有5层含义： 宏观尺度非常小：几何尺寸可不计，视为一几何点; 微观尺度足够大：>>分子的平均自由行程; 包含足够多分子的物理实体，也称“微团”或“控 制体”; 形状可任意划分； 具有一定的物理量，如速度、加速度、压力和密度 等. 空间点: 是一个几何点，表示空间位置。 特点一：空间点是固定不动的，仅仅是一个几何位 置; 特点二：同一空间点，不同时刻被不同的流体质点 所占据或经过。
2-1 描述流体运动的方法
1．拉格朗日(Lagrange)法
拉格朗日法 从流体质点的运动着手,描述每一个 流体质点自始至终的运动过程.如果知道的了所有 流体质点的运动规律,那么整个流体的运动规律也 就清楚了. 是质点--时间描述法。
质点运动的轨迹
x x(a, b, c, t ) y y (a, b, c, t ) z z (a, b, c, t )

迹线和流线的区别： 迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与Lagrange观 点对应； 流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与Euler 观点对应。
例 已知平面流动 ux x t 解 由式
dx dy ux u y
uy y t
求 t = 0 时，过点 M (-1，-1) 的流线。
，求轴线处的速度Vmax 解：由质量守恒定律
v1 vmax 1 2 r 0

CS
vn dS 0
2 r0 0
v2r0 v1 2rdr 0 vmax 2v2
2.4 运动微分方程
理想流体运 动微分方程
图2.4.1控制体
牛顿第二运动定律

v y dx v x dy v z dx v x dz
伯努利方程
（速度水头）
v2 p z C 2 g g
（压强水头）
物理意义
几何意义
（位置水头）
z
p g
v2 2g
单位重量流体的重力势能 位置水头 单位重量流体的压强势能 压力水头
单位重量流体的动能 总机械能
流速水头 总水头
v2 p z 2 g g
v x dxdydzdt x
Y方向质量的净流入量 Z方向质量的净流入量

v y y
dxdydzdt
vz dxdydzdt z
dxdydzdt t
控制体内流体 质量的增加量 由质量守恒定理得
连续性微分方程
v x v y v z 0（2.3.1） t x y z
质点的加速度包括两个部分： （1）当地加速度（时变加速度,局地加速度） — 特定空间点处速度对时间的变化率； （2）迁移加速度（位变加速度,对流加速度） — 对应于质点空间位置改变所产生的速度变化。
二、迹线 (path line)
迹线：流体质点的运动轨迹线 Lagrange法：迹线方程
r xa, b, c, t i ya, b, c, t j za, b, c, t k
dr vdt
dx dy dz dt u x, y, z, t vx, y, z, t wx, y, z, t
初始时刻 t t0 时质点的坐标 a, b, c 分得该质点的迹线方程。
，积
二、流线(streamline)

流线：某一时刻处处与速度矢量相切的空间曲线-瞬时性。 任一时刻t，曲线上每一点处的切向量 都与该点的速度向量 相切。 dr dxi dyj dzk v x, y, z, t 流线微分方程：
A A
断面平均流速
Q V A
Q AV
五．一元流,二元流,三元流
一元流动 -- 流动参数只与一个坐标变量有关。 例
x
u u ( x, t )
二元流动- 流动参数与两个坐标变量有关。
B M
z
M y
s
B
u u ( s, z , t )
三元流动(空间流动) -- 流动参数与三个坐标变量有关。
u u u u a ux uy uz t x y z
三个分量。
u x u x u x u x ax ux uy uz t x y z u y u y u y u y ay ux uy uz t x y z u z u z u z u z az ux uy uz t x y z