4.1 复数项级数

zn | yn - |
| xn - | e , | yn - | e ,
| zn - a| | xn - | | yn - | 2e ,
lim
n
zn
a
.
5
§4.1 复数项级数
第
四
章 解
解
zn
in
i n
π in
e2
i
n
cos nπ i (sin nπ 1 ).
2
2n
析 函 数
由
{cos
nπ 2
}或
{sin
nπ 2
1 n
}发散，
即得
{
zn
}
也发散。
的 级
附 考察实序列{| zn |} 的收敛性。(其中 zn 见上例)
数 表 示
已知 | zn |
in i n
,
根据复数模的三角不等式有
1-
1 n
|zn |
1
1 n
,
lim
n
|
zn
|
1
,
故序列 {| zn |}收敛。
6
§4.1 复数项级数
数 表
lim
n
xn
0,
lim
n
yn
0
等价于
lim
n
zn
0,
示
因此
zn
收敛的必要条件是
lim
n
zn
0.
10
§4.1 复数项级数
第
P81 例4.2 部分
四
章 解
解
级数
n1
1 2n
收敛，
析
(几何级数 an , 0 a 1时收敛)
n1
函 数 的
但级数
1
n1 n
发散，
(
p 级数
n1
1 np
,
p 1时发散)
2. 复数序列极限存在的充要条件
解
定理
设 zn xn i yn, a i ,
则
lim
n
zn
a
的充要条件是
析 函
lim
n
xn
,
lim
n
yn
.
数 的
证明 充分性 “ ”
级 数
若 lim n
xn
,
lim
n
yn
,
表 示
则 e 0, N , 当 n N 时，
|zn - a| a | xn - |
级 数 表 示
若
lim
n
zn
a
,
则
e
0,
N,
当 n N 时，| zn - a| e ,
| yn - | a | xn - |
| xn - | | zn - a| e , | yn - | | zn - a| e ,
lim
n
yn
,ห้องสมุดไป่ตู้
lim
n
yn
.
4
§4.1 复数项级数
第 一、复数序列
四 章
§4.1 复数项级数
第 二、复数项级数
四 章
1. 基本概念
解 定义 设 {zn }n1,2, 为一复数序列，
析 函
(1) 称 zn z1 z2 为复数项级数，简记为 zn .
数
n1
的 级 数
n
(2) 称 sn zk z1 z2 zn 为级数的部分和；
k 1
表 示
(3)
如果序列
9
§4.1 复数项级数
第 二、复数项级数
四 章
3. 复数项级数收敛的必要条件
解
定理
设 zn xn i yn ,
则
zn
收敛的必要条件是
lim
n
zn
0.
析 P80 定理4.3
函 数
证明 由于级数 zn 收敛的充要条件是 xn和 yn都收敛，
的 级
而实数项级数 xn 和 yn 收敛的必要条件是：
第 注 (1) 序列{| zn |} 收敛
四
章
(2)
lim
n
|
zn
|
0
序列 { zn } 收敛；
lim
n
zn
0.
解
析 函 数
例
设 zn
10000n n!
in,
讨论序列 {zn }的收敛性。
的 级 数
解
lim
n
| zn
|
lim
n
10000n n!
0,
lim
n
zn
0,
表 示
即序列 {zn } 收敛。
7
级
数
因此级数 zn 发散。
表
示
11
§4.1 复数项级数
第
P81 例4.2 部分
四
章 解
解
zn
1 n2
in
1 n2
iπn
e2
析
函 数
1 n2
cos
πn 2
i
1 n2
sin
πn 2
记为
xn i yn ,
的
级 数
由于级数 | xn | 和 | yn | 均为收敛， (绝对收敛)
表 示
故有级数 xn和 yn 均收敛，即得级数 zn 收敛。
在复数项级数中是否也能引入绝对收敛的概念呢？
12
§4.1 复数项级数
第 二、复数项级数
四 章
4. 复数项级数的绝对收敛与条件收敛
解 定义 (1) 若 | zn | 收敛，则称 zn 绝对收敛。
析 函
P81
(2) 若 | zn | 发散， zn 收敛，则称 zn 条件收敛。
数 的
定理 若 | zn | 收敛，则 zn 必收敛。 P80 定理4.4
n
zn
a
,
或
zn a , (n ).
3
§4.1 复数项级数
第 一、复数序列
四 章
2. 复数序列极限存在的充要条件
解 析 函
定理
P78
设 zn xn i yn, a i ,
则
lim
n
zn
a
的充要条件是
定理 4.1
lim
n
xn
,
lim
n
yn
.
数 的
证明 必要性 “ ”
|zn - a|
zn
第 四
第四章 解析函数的级数表示
章
§4.1 复数项级数
解
析 §4.2 复变函数项级数
函
数 §4.3 泰勒级数
的
级 §4.4 洛朗级数
数
表
示
1
§4.1 复数项级数
第 四
§4.1
复数项级数
章 一、复数序列
解 析
二、复数项级数
函
数 的
级
数
表
示
2
§4.1 复数项级数
第 一、复数序列
四 章
1. 基本概念
解 定义 设 zn 为复数，称 {zn }n1,2, 为复数序列。
级数 xn 和 yn 都收敛。
数 的
证明 令 n 和 n 分别为级数 xn 和 yn 的部分和，
级
n
数
则级数 zn 的部分和 sn zk n i n ,
表
k 1
示
由于序列 {sn }收敛的充要条件是{ n } 和{ n } 都收敛，
即得级数 zn 收敛的充要条件是 xn 和 yn 都收敛。
{sn
}
收敛，即
lim
n
sn
s,
则称级数收敛，
并且极限值 s 称为级数的和；
(4) 如果序列 {sn }不收敛，则称级数发散。
8
§4.1 复数项级数
第 二、复数项级数
四 章
2. 复数项级数收敛的充要条件
解 定理 设 zn xn i yn , 则级数 zn 收敛的充分必要条件是
析 函
P80 定理 4.1
级 数
证明 由 | zn | 收敛，
xn2 yn2 收敛，
表
示
又 | xn | xn2 yn2 , | yn | xn2 yn2 ,
根据正项级数的比较法可得， | xn | 和 | yn | 均收敛，
xn 和 yn 均收敛， zn 收敛。
析 函
极限 设 {zn }n1,2, 为一复数序列，又设 a 为一确定的复数，
数 的
如果对任意给定的 e > 0，相应地存在自然数 N，使得
级
当 n > N 时，总有 | zn - a | < e 成立，则称复数序列 {zn }
数 表
收敛于复数 a，或称 a 为复数序列 {zn }的极限，记作
示
lim