2015届苏科版中考数学复习课件(第16课时_二次函数的应用)

命题角度： 1．利用二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、跳水等抛 物线形问题； 2．利用二次函数解决拱桥、护栏等问题．
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第16课时┃ 二次函数的应用
例 1 如图 16－1，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球 从 O 点正上方 2 m 的 A 处发出， 把球看成点， 其运行的高度 y(m) 与运行的水平距离 x(m)满足关系式 y＝a(x－6)2＋h.已知球网与 O 点的水平距离为 9 m，高度为 2.43 m，球场的边界距 O 点的 水平距离为 18 m. (1)当 h＝2.6 时， 求 y 与 x 的函数表达式(不要求写出自变量 x 的取值范围)； (2)当 h＝2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明 理由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求 h 的取值范围．
第16课时┃ 二次函数的应用
方法点析
二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的 问题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关 系式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题 中的取值解决利润最大问题．
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第16课时┃ 二次函数的应用
探究三
二次函数在几何图形中的应用
命题角度： 1．二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往涉及最 大面积，最小距离等． 2．在写函数表达式时，要注意自变量的取值范围．
第16课时
二次函数的应用
第16课时┃ 二次函数的应用
考 点 聚 焦
考点1 二次函数的应用
二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型， 这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问 题．应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最 节省方案等问题．
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第16课时┃ 二次函数的应用
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第16课时┃ 二次函数的应用
解 析
(1)设t＝kx＋b，代入t与x的两组对应值，求出k，b
即可． (2)建立毛利润与x之间的函数关系式，求出最大毛利润即可． 解：(1)设t＝kx＋b，把(38，4)，(36，8)代入得
k＝－2， 解得 ∴t＝－2x＋80. b ＝ 80. 4＝38k＋b， 8＝36k＋b，
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当球刚能过网，此时函数图像过点(9，2.43)，y＝a(x－6)2＋h 的图像还过点(0，2)，
8 m. 3
第16课时┃ 二次函数的应用
方法点析
利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际 问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数表达 式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入表达式 求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
x≥45， 方案B：由题意，得 解得45≤x≤49.在对称轴右 250－10（x－25）≥10，
侧，w随x的增大而减小， 所以，当x＝45时，w取最大值为1250元． 因为2000元＞1250元，所以方案A的最大利润更高．
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第16课时┃ 二次函数的应用
中考预测 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶 段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售 单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． (1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与 销售单价x(元)之间的函数表达式； (2)当销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？ (3)商场的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方 案： 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过 30元； 方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少 为25元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
第16课时┃ 二次函数的应用
解：(1)∵AB＝x m，则 BC＝(28－x)m， ∴x(28－x)＝192，解得 x1＝12，x2＝16. 当 x1＝12 时，BC＝16 m；当 x2＝16 时，BC＝12 m. ∴x 的值为 12 或 16. (2)根据题意，得 S＝x(28－x)＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196. ∵在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分别是 15 m 和 6 m，
图 16－2
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(1)直接根据矩形的面积列出一元二次方 程，求出其解即可；(2)首先根据矩形的面积公式建立 S 与x之间的函数关系式，然后配方，把二次函数的表达 式转化为顶点式，然后根据二次函数的性质求函数的最 值．
解 析
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解 析
第16课时┃ 二次函数的应用
解：(1)∵h＝2.6，球从 O 点正上方 2 m 的 A 处发出， ∴y＝a(x－6)2＋h 过点(0，2)， 1 2 ∴2＝a(0－6) ＋2.6，解得 a＝－ ， 60 1 故 y 与 x 的函数表达式为 y＝－ (x－6)2＋2.6. 60 1 (2)当 x＝9 时，y＝－ (9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43， 60 所以球能越过球网； 1 当 y＝0 时，－ (x－6)2＋2.6＝0， 60 解得 x1＝6＋2 39＞18，x2＝6－2 39(舍去)． 故球会出界．
图 16－1
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第16课时┃ 二次函数的应用
(1)根据h＝2.6和函数图像经过点(0，2)，可用待定 系数法确定二次函数的表达式． (2)要判断球能否越过球网，就 是求x＝9时对应的函数值，若函数值大于或等于网高 2.43，则 球能越过网，反之则不能；要判断球是否会出界就是求抛物线 与x轴的交点坐标，若该交点坐标小于或等于18，则球不会出 界，反之就会出界；要判断球是否会出界，也可以求出x＝18时 对应的函数值，并与0相比较．(3)先根据函数图像过点(0，2)， 建立h与a之间的关系，从而把二次函数化为只含有字母系数 h的 形式，要求球一定能越过球网，又不出边界时h的取值范围，结 合函数的图像，就是要同时考虑当x＝9时对应的函数y的值大于 2.43，且当x＝18时对应的函数y的值小于或等于0，进而确定h 的取值范围．
考点2
建立平面直角坐标系，用二次函数的图像解决实际问题
建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题互相 转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全 等、圆等知识解决问题，求二次函数的表达式是解题关 键．
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归 类 探 究
探究一 利用二次函数解决抛物线形问题
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探究二
二次函数在营销问题方面的应用
命题角度： 二次函数在销售问题方面的应用．
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第16课时┃ 二次函数的应用
例 2 [2014· 常州] 某小商场以每件 20 元的价格购进一种 服装， 先试销一周， 试销期间每天的销售量 t(件)与每件的销售 价 x(元/件)如下表所示： x(元/件) 38 36 34 32 t(件) 4 8 12 16 假定试销中每天的销售量 t(件)与销售价 x(元/件)之间满足 一次函数关系． (1)试求 t 与 x 之间的函数关系式； (2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下， 每件服装的 销售价定为多少时， 该小商场销售这种服装每天获得的毛利润 最大？每天的最大毛利润是多少？ (注：每件服装销售的毛利 润＝每件服装的销售价－每件服装的进货价 )
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方法点析
用二次函数模型探究实际问题中的最值问题，一般 是先列出二次函数表达式，整理成顶点式．当二次项系 数小于0时，有最大函数值，即为顶点的纵坐标，自变 量的取值即为顶点的横坐标；当二次项系数大于 0时， 有最小函数值，即为顶点的纵坐标，自变量的取值即为 顶点的横坐标．
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如何定价利润最大 教材母题 [苏科版九下P29练习] 某商场以每件42元的价格购进一种 服装，由试销知，每天的销量t(件)与每件的销售价x(元)之间的 函数关系为t＝204－3x. (1)试写出每天销售这种服装的毛利润 y(元)与每件销售价 x(元)之间的函数表达式(毛利润＝销售价－进货价 )； (2)每件销售价为多少元，才能使每天的毛利润最大？最大 毛利润是多少？
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第16课时┃ 二次函数的应用
解：(1)y＝(x－42)t ＝(x－42)(204－3x) ＝－3x2＋330x－8568. (2)y＝－3x2＋330x－8568 ＝－3(x－55)2＋507. 当x＝55时，y有最大值，y最大值＝507. 答：每件销售价为55元时，每天的毛利润最大，为 507元．
(2)设毛利润为w，则w＝xt－20t＝(x－20)t＝(x－20)(－2x＋80) ＝－2x2＋120x－1600＝－2(x－30)2＋200. ∴当x＝30时，w最大＝200. 答：每件服装的销售价定为30元时，该小商场销售这种服装每天 获得的毛利润最大，每天的最大毛利润是200元．
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例 3 [2014· 成都] 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助 如图 16－2 所示的直角墙角(两边足够长)， 用 28 m 长的篱笆围成 一个矩形花园 ABCD(篱笆只围 AB，BC 两边)，设 AB＝x m. (1)若花园的面积为 192 m2，求 x 的值； (2)若在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分别是 15 m 和 6 m，要将这棵树围在花园内 (含边界，不考虑树的粗细 )，求花园 面积 S 的最大值．
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第16课时┃ 二次函数的应用
(3)当球正好过点(18，0)时，抛物线 y＝a(x－6)2＋h 还过点(0，2)，代入表达式， 1 a ＝－ ， 2＝36a＋h， 54 1 8 得 解得 此时二次函数的表达式为 y＝－ (x－6)2＋ . 54 3 8 0＝144a＋h， h ＝ ， 3 8 此时球若不出边界，则 h≥ . 3 2.43＝a（9－6）2＋h， 将两点坐标代入表达式，得 2 2＝a（0－6） ＋h， 43 a ＝－ ， 2700 193 8 193 8 解得 此时球要过网，则 h≥ .∵ ＞ ，∴h≥ . 75 3 75 3 193 h＝ 75 ， 故若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围是 h≥
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第16课时┃ 二次函数的应用
解：(1)w＝(x－20)[250－10(x－25)]＝－10x2＋700x－10000. (2)w＝－10x2＋700x－10000＝－10(x－35)2＋2250.所以，当x＝35时，w 有最大值2250. 即当销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大． (3)方案A：由题可得20＜x≤30， 因为a＝－10＜0，对称轴为x＝35， 抛物线开口向下，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，所以，当x＝30 时，w取最大值为2000元．
x≥6， ∴ 解得 28－x≥15，
6≤x≤13.
∵a＝－1<0，且对称轴为 x＝14， ∴在 6≤x≤13 范围内，S 随 x 的增大而增大， ∴当 x＝ 13 时， S 有最大值， S 最大值 ＝－ (13 － 14)2 ＋ 196 ＝ 195(m2)． 答：花园面积 S 的最大值为 195 m2.