二次函数yax bx c的图象和性质课件
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二次函数二次函数的图象与性质二次函数y=axbxc的图象与性质课件华东师大
二次函数二次函数的图象与性质课件xx年xx月xx日•引言•基本概念•图象与性质目录•表达式与系数•应用举例•回顾与总结01引言二次函数是数学学科中的重要内容，是中考、高考的热点之一通过学习二次函数的图象与性质，可以更好地理解数学学科中的知识点之间的联系和转化课程背景掌握二次函数的图象和性质会用二次函数的图象和性质解决实际问题培养学生的思维能力和创新意识学习目标主要内容二次函数的图象与性质辅助内容二次函数的应用举例、二次函数的拓展内容概述02基本概念y=ax^2+bx+c(a\neq0)定义式顶点式一般式y=a(x-h)^2+ky=ax^2+bx+c(a\neq0)030201开口方向：a>0时，开口向上；a<0时，开口向下顶点：(-b/2a,\frac{4ac-b^2}{4a})与y轴交点：(0,c)对称轴：x=-b/2a有最小值当a>0时，最小值为\frac{4ac-b^2}{4a}；当a<0时，最大值为\frac{4ac-b^2}{4a}区间讨论在区间(m,n)上，当a>0时，二次函数单调递增；当a<0时，二次函数单调递减判别式Δ=b^2-4ac，决定函数图像与x轴有无交点值域当Δ<0时，值域为\{y|y≥\frac{4ac-b^2}{4a}\}或\{y|y≤\frac{4ac-b^2}{4a}\}二次函数性质0102030403图象与性质总结词对于二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)，其图象关于对称轴x=-b/2a对称。
详细描述当a、b、c取不同的值时，二次函数的图象表现出不同的形状和位置。
但无论图象如何变化，其对称轴始终保持不变，都为x=-b/2a。
这一性质对于理解和掌握二次函数的图象和性质非常重要。
图象对称性二次函数图象的变化规律与a、b、c的符号及对称轴位置有关。
总结词在y轴左侧，当a<0时，二次函数图象单调递减；当a>0时，图象先减后增。
二次函数图像与性质ppt课件
D．f(1)＞25
答案：A
三基能力强化
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足 f(4)＝f(1)，那么( )
A．f(2)＞f(3) B．f(3)＞f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)的大小关系不确定 答案：C
三基能力强化
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区
间[0，m]上有最大值3，最小值2，则
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)待定系数法．(2) 二次函数的单调性．
【解】 (1)依题意，方程f(x)＝ax2 ＋bx＝x有等根，
则有Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1. 2分 又f(－x＋5)＝f(x－3)， 故f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴－2ba＝1，解得 a＝－12，
∴f(x)＝－21x2＋x. 5 分
基础知识梳理
2．二次函数的图象及其性质
基础知识梳理
基础知识梳理
基础知识梳理
二次函数可以为奇函数吗？ 【思考·提示】 不会为奇 函数．
三基能力强化
1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在
区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的
范围是( )
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤2＋2＝(x＋a)2＋2 －a2的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5，或－a≥5， 解得a≤－5，或a≥5. 10分
规律方法总结
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a ＞0)在区间[m，n]上的最值．
当－2ba＜m 时，函数在区间[m， n]上单调递增，最小值为 f(m)，最大 值为 f(n)；
基础知识梳理
1．二次函数的解析式有三种常用表 达形式
二次函数的图像与性质ppt课件
函数的凹凸性
当a>0时，函数凹；当a<0时，函数凸。
函数的零点和方程
零点是方程y=0的解，方程求解可以用二次公式。
二次函数的应用
1
抛物线运动
抛物线可以描述物体在空中的轨迹，如
弹性系数
2
抛出物体的运动轨迹。
二次函数可以表示材料的弹性特性，如
描述力和变形的关系。
3
跳水成绩预测
通过二次函数建模，可以预测跳水运动
二次函数的图像与性质 ppt课件
通过本课件，你将深入了解二次函数的定义和表达式，并学习二次函数的图 像特征，如开口方向、对称轴、最值点和零点等。还将探究二次函数的性质， 如增减性、凹凸性、最值和零点方程。从抛物线运动到报价模型，掌握二次 函数的应用。最后，了解二次函数的变形与拓展，包括平移、缩放、翻转和 混合运用。同时，我们将解决常见错误和实际问题应用。
常见错误和解决方法
1 符号错误
检查符号的正确使用，特别是a的正负。
3 图像理解错误
注意开口方向、对称轴和最值点的判断。
2 方程解法错误
仔细检查求解方程是否正确，特别是二次方 程。
4 实际问题应用
将数学模型应用到实际问题时，需考虑问题 的实际情况并合理使用二次函数。
开口方向
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时， 抛物线开口向下。
最值点
最值点是抛物线的最高点（当a>0）或最 低点（当a<0）。最值点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
二次函数的性质
函数的增减性
当a>0时，函数单调递增；当a<0时，函数单调 递减。
函数的最值
最值主要由最值点确定，注意开口方向和a的值 来确定最值。
二次函数的图像和性质ppt课件
二次函数的图像和性质ppt课件
contents
目录
• 引言 • 二次函数的定义和公式 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的实际应用 • 总结与回顾 • 课后作业与思考题
01 引言
课程背景介绍
01
二次函数是数学中基础知识之一 ，掌握好二次函数的图像和性质 对于后续学习代数、几何等数学 领域都有重要的意义。
二次函数的定义
01
02
03
定义
一般地，形如$y = ax^2 + bx + c$（$a$、$b$、 $c$是常数，$a \neq 0$ ）的函数叫做二次函数。
解释
二次函数是包含未知数的 二次多项式的函数，其未 知数的最高次数为2。
示例
$y = 2x^2 + 3x - 4$是 一个二次函数。
二次函数的公式
01
02
03
04
当x增大时，如果a>0，y值会 随之增大；如果a<0，y值会
随之减小。
当x增大时，如果a>1，y值会 快速增大；如果0<a<1，y值
会缓慢增大。
当x减小时，如果a>0，y值会 随之减小；如果a<0，y值会
随之增大。
当x减小时，如果a>1，y值会 快速减小；如果0<a<1，y值
会缓慢减小。
减。
当$\Delta = 0$时，函
数有一个实根；当
$\Delta < 0$时，函数
没有实根。
极值：当$a > 0$时，二 次函数在区间$(-\infty, -b/2a)$上单调递增，在 区间$(-b/2a,+\infty)$ 上单调递减，此时$b/2a$为极小值点；当 $a < 0$时，二次函数在 区间$(-\infty, -b/2a)$ 上单调递减，在区间$(b/2a,+\infty)$上单调递 增，此时$-b/2a$为极 大值点。
contents
目录
• 引言 • 二次函数的定义和公式 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的实际应用 • 总结与回顾 • 课后作业与思考题
01 引言
课程背景介绍
01
二次函数是数学中基础知识之一 ，掌握好二次函数的图像和性质 对于后续学习代数、几何等数学 领域都有重要的意义。
二次函数的定义
01
02
03
定义
一般地，形如$y = ax^2 + bx + c$（$a$、$b$、 $c$是常数，$a \neq 0$ ）的函数叫做二次函数。
解释
二次函数是包含未知数的 二次多项式的函数，其未 知数的最高次数为2。
示例
$y = 2x^2 + 3x - 4$是 一个二次函数。
二次函数的公式
01
02
03
04
当x增大时，如果a>0，y值会 随之增大；如果a<0，y值会
随之减小。
当x增大时，如果a>1，y值会 快速增大；如果0<a<1，y值
会缓慢增大。
当x减小时，如果a>0，y值会 随之减小；如果a<0，y值会
随之增大。
当x减小时，如果a>1，y值会 快速减小；如果0<a<1，y值
会缓慢减小。
减。
当$\Delta = 0$时，函
数有一个实根；当
$\Delta < 0$时，函数
没有实根。
极值：当$a > 0$时，二 次函数在区间$(-\infty, -b/2a)$上单调递增，在 区间$(-b/2a,+\infty)$ 上单调递减，此时$b/2a$为极小值点；当 $a < 0$时，二次函数在 区间$(-\infty, -b/2a)$ 上单调递减，在区间$(b/2a,+\infty)$上单调递 增，此时$-b/2a$为极 大值点。
二次函数的图像和性质(共48张PPT)
C、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2﹣bx 来说，图象开口向上，对称轴 x= ＞0，应在 y 轴的右侧，故符合 题意； D、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2﹣bx 来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误； 故选：C．
即当 x＜－2ba时， 当 x＜－2ba时，y 随 x y 随 x 的增大而减
的增大而增大；在对 小；在对称轴的右
称轴的右侧，即当 x 侧，即当 x＞－2ba ＞－2ba时，y 随 x 的 时，y 随 x 的增大
增大而减小，简记为 而增大，简记为
“左增右减” “左减右增”
15
最值
抛物线有最 抛物线有最
1、二次函数的图像和性质
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
(a，b，c 为常数，a≠0)
a<0
a>0
图象
13
开口 对称轴、顶点
抛物线开口向 抛物线开口向
上，并向上无限 下，并向下无限
延伸
延伸
对称轴是x＝－
b 2a
，顶点坐标是
－2ba，4ac4－a b2
14
增减性
在对称轴的左侧， 在对称轴的左侧，即
低点，当 高点，当
x＝－2ba时， x＝－2ba时，
y 有最小值， y 有最大值，
y ＝ 最小值
y ＝ 最大值
4ac－b2 4a
4ac－b2 4a
16
2、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征
与系数a，b，c的关系
项目 字母
字母的符号
图象的特征
a＞0 a
a＜0
即当 x＜－2ba时， 当 x＜－2ba时，y 随 x y 随 x 的增大而减
的增大而增大；在对 小；在对称轴的右
称轴的右侧，即当 x 侧，即当 x＞－2ba ＞－2ba时，y 随 x 的 时，y 随 x 的增大
增大而减小，简记为 而增大，简记为
“左增右减” “左减右增”
15
最值
抛物线有最 抛物线有最
1、二次函数的图像和性质
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
(a，b，c 为常数，a≠0)
a<0
a>0
图象
13
开口 对称轴、顶点
抛物线开口向 抛物线开口向
上，并向上无限 下，并向下无限
延伸
延伸
对称轴是x＝－
b 2a
，顶点坐标是
－2ba，4ac4－a b2
14
增减性
在对称轴的左侧， 在对称轴的左侧，即
低点，当 高点，当
x＝－2ba时， x＝－2ba时，
y 有最小值， y 有最大值，
y ＝ 最小值
y ＝ 最大值
4ac－b2 4a
4ac－b2 4a
16
2、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征
与系数a，b，c的关系
项目 字母
字母的符号
图象的特征
a＞0 a
a＜0
二次函数的图像与性质-完整版课件
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）的解即为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，二次函数与 $x$ 轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，有 一个交点；当 $Delta < 0$ 时，没有交点。
• 分析：根据题意设交点坐标为$(-1, y_1)$和$(3, y_2)$，代入直线方程可得两个方程。又因为这两个点也在抛 物线上，所以代入抛物线方程也可得两个方程。联立这四个方程即可求出二次函数的解析式。
• 示例2：已知二次函数$y = ax^2 + bx + c (a • eq 0)$的图像与直线$y = x + m (m • eq 0)$相交于两点，且这两点关于原点对称，求二次函数的解析式。 • 分析：根据题意设交点坐标为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，由于两点关于原点对称，所以有$x_1 = -x_2$和
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二次函数的图像与性质-完
整版课件
汇报人：XXX
2024-01-29
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 二次函数性质探讨 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景举例说明 • 总结回顾与拓展延伸
目录
CONTENTS
零点存在性及个数判断方法
零点定义
二次函数零点存在 性判断方法
对于函数f(x)，若存在x0∈D， 使得f(x0)=0，则称x0为函数 f(x)的零点。
通过判别式Δ=b^2-4ac来判断 。当Δ>0时，二次函数有两个 不相等的零点；当Δ=0时，二 次函数有两个相等的零点（即 一个重根）；当Δ<0时，二次 函数无零点。
二次函数二次函数的图象与性质二次函数y=axbxc的图象与性质课件
THANKS
谢谢您的观看
本课程将介绍二次函数的图象与性质，并通过具体实例来帮 助学员掌握二次函数的运用。
课程目标与内容概述
1
掌握二次函数的图象与性质，了解二次函数的 表达式、对称轴、顶点等基本概念。
2
熟悉二次函数的各种形式，包括一般式、顶点 式、交点式等，并能够进行互化。
3
通过典型例题解析，让学员掌握二次函数的解 题方法和技巧，提高数学应用能力。
对未来学习的展望与建议
深入学习
建议学员在掌握本课件内容后，进一步学习高级的数学 知识，如三角函数、微积分等，以拓展数学知识体系。
实践应用
鼓励学员将二次函数的知识应用到实际生活中，如解决 实际问题、进行数学建模等，以培养数学思维和解决问 题的能力。
持续学习
建议学员保持对数学领域的新发展和应用的关注，不断 学习和更新知识，提高自己的数学素养。
与其他数学知识的综合运用
01 02
与方程的综合运用
二次函数通常与一元二次方程结合在一起，因为一元二次方程的解就 是二次函数的零点。因此，在解决一些实际问题时，需要将二次函数 与其他数学知识综合运用。
与三角函数的综合运用
在解决一些实际问题时，如振动问题、波动问题等，需要将二次函数 与三角函数综合运用。
图像
02
过点$(1,0)$的曲线，在$(0, + \infty)$上单调递增。
性质
03
当$a>1$时，函数为增函数，当$0<a<1$时，函数为减函数
。
04
二次函数的实践应用
求解实际问题的应用案例
投资收益问题
假设一个投资者在某个项目上投资了$a元，年利率为b，经过c年后，他从该项目中获得的 收益为y元。那么，二次函数$y=ax^{2}bxc$可以用来预测未来收益。
二次函数图像和性质复习PPT课件
二次函数复习
.
1
1.二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c (a，b，c是常数， a≠0）的函数叫做二次函数
自变量x的取值范围是：任意实数
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必
须根据题意确定自变量的取值范围.
.
2
2.二次函数的表达式：
（1 ）二次函数的一般形式:函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0)
解这个方程组得
a 1
b
4
c 3
∴这个函数的解析式是：y=x2-4x+3
.
10
练习：根据下列已知条件， 求二次函数的解析式：
(1)抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5)
(2)抛物线顶点为M(－1,2)且过点N(2,1)
(3)抛物线过原点，且过点(3,－27)
(4)已知二次函数的图象经过点（1，0）， (3，0),(0，6)求二次函数的解析式。
∴ PQ=CO=3, ∴ |y|=3，
-1 B0
∴ 3= -x2+2x+3, ∴x1=0,x2=2 。
P
3 Q Ax
∴p(2,3)
或-3= -x2+2x+3， x2_2x-6=0
x=1±√7，∴p(1+√7,-3),p. (1-√7 ,-3)
12
在对称轴右侧，y随x的增大而. 减小
y x
y x
4
1、下列函数中，是二次函数的是 ① ② ③ ⑦ .
① yx2 4x1 ② y 2x2
③ y1(x1)24
2
④ y 4 ⑤ ym2xnxp ⑥ y 3x
⑦
x
⑧
y 3(x2)x (1)
y(x1)2x2
.
1
1.二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c (a，b，c是常数， a≠0）的函数叫做二次函数
自变量x的取值范围是：任意实数
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必
须根据题意确定自变量的取值范围.
.
2
2.二次函数的表达式：
（1 ）二次函数的一般形式:函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0)
解这个方程组得
a 1
b
4
c 3
∴这个函数的解析式是：y=x2-4x+3
.
10
练习：根据下列已知条件， 求二次函数的解析式：
(1)抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5)
(2)抛物线顶点为M(－1,2)且过点N(2,1)
(3)抛物线过原点，且过点(3,－27)
(4)已知二次函数的图象经过点（1，0）， (3，0),(0，6)求二次函数的解析式。
∴ PQ=CO=3, ∴ |y|=3，
-1 B0
∴ 3= -x2+2x+3, ∴x1=0,x2=2 。
P
3 Q Ax
∴p(2,3)
或-3= -x2+2x+3， x2_2x-6=0
x=1±√7，∴p(1+√7,-3),p. (1-√7 ,-3)
12
在对称轴右侧，y随x的增大而. 减小
y x
y x
4
1、下列函数中，是二次函数的是 ① ② ③ ⑦ .
① yx2 4x1 ② y 2x2
③ y1(x1)24
2
④ y 4 ⑤ ym2xnxp ⑥ y 3x
⑦
x
⑧
y 3(x2)x (1)
y(x1)2x2
二次函数的图像和性质ppt课件
二次函数与其他数学知识的综合应用
与三角函数的结合
在解决一些复杂的数学问题时，二次函数与三角函数经常需要结合使用，如振 动和波动的问题。
与解析几何的结合
二次函数图像与直线、圆等几何图形结合时，可以形成一些有趣的几何问题， 如切线、相交弦等。
05
习题与解答
基础习题
01
02
03
题目1
请画出二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的图像。
题目6
已知二次函数$f(x) = x^2 - 2x$在区间$(1,3)$上有零 点，求该零点的近似值。
答案与解析
题目1答案与解析：答案略，
解析略。
01
题目2答案与解析：答案略，
解析略。
02
题目3答案与解析：答案略，
解析略。
03
题目4答案与解析：答案略，
解析略。
04
题目5答案与解析：答案略，
解析略。
详细描述
对于开口向上的二次函数，其最小值出现在顶点处，可以通过公式x=-b/2a求得顶点的 横坐标，进而求得最小值；对于开口向下的二次函数，其最大值出现在顶点处，同样可
以通过公式x=-b/2a求得顶点的横坐标，进而求得最大值。
二次函数的增减性
总结词
由二次函数的开口方向和对称轴决定，对称轴左边函数值随x增大而减小，对称轴右边函数值随x增大而增大。
05
题目6答案与解析：答案略，
解析略。
06
THANK YOU
感谢聆听
二次函数的图像和性质ppt课 件
目
CONTENCT
录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 习题与解答
二次函数的图象与性质(第一课时) 课件(共34张PPT)北师大版初中数学九年级下册
（g为定值）
此外，二次函数在建筑学上也有重要应用，如抛物线型隧道、抛物线型拱桥、抛物线型吊桥、抛物线型弯道等.要确定这些抛物线的形状，需要对地质、地形、气象、水力、材料等因素进行综合分析.
这节课 你学到了什么？
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
１．某一物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是：
（m为定值）
2．导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流强度I之间的关系是：
（R为定值）
Q=RI2
3．g表示重力加速度，当物体自由下落时，下落的距离s与下落时间t之间的关系是：
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线 y=x2.
开口向上
(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，（0，0）
是，对称轴是 y 轴．
（-2，4）和（2，4）；
（-3，9）和（3，9）等等．
（-1，1）和（1，1）；
(3)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．
探究1 请作出二次函数 y=x2 的图象．
x
…
…
y
…
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
(2)在直角坐标系中描点.
(3)用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数 y=x2 的图象.
y=x2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(1)你能描述图象的形状吗？
此外，二次函数在建筑学上也有重要应用，如抛物线型隧道、抛物线型拱桥、抛物线型吊桥、抛物线型弯道等.要确定这些抛物线的形状，需要对地质、地形、气象、水力、材料等因素进行综合分析.
这节课 你学到了什么？
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
１．某一物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是：
（m为定值）
2．导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流强度I之间的关系是：
（R为定值）
Q=RI2
3．g表示重力加速度，当物体自由下落时，下落的距离s与下落时间t之间的关系是：
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线 y=x2.
开口向上
(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，（0，0）
是，对称轴是 y 轴．
（-2，4）和（2，4）；
（-3，9）和（3，9）等等．
（-1，1）和（1，1）；
(3)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．
探究1 请作出二次函数 y=x2 的图象．
x
…
…
y
…
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
(2)在直角坐标系中描点.
(3)用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数 y=x2 的图象.
y=x2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(1)你能描述图象的形状吗？
二次函数二次函数的图象与性质二次函数y=axbxc的图象与性质第课件
性质
有最大值，当x=-b/2a时取得最大 值，最大值为[4ac-b2]/4a
二次函数y=ax2bxcx的图象与性质
总结词
定义
混合型二次函数
y=ax2bxcx，其中a≠0，b≠0，c≠0
图象
性质
抛物线，对称轴为直线x=-c/2a，顶点为(c/2a，[4ac-bc]/4a)
有最大值，当x=-c/2a时取得最大值，最大 值为[4ac-bc]/4a
二次函数y=axbxc的图象与性质 第课件
xx年xx月xx日
目录
• 二次函数的图象 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 特殊二次函数的图象与性质 • 二次函数与其他函数的关系 • 二次函数的学习方法与技巧
01
二次函数的图象
定义与表达式
二次函数定义
一般形式为y=ax^2+bx+c (a\neq0)，其中a、b、c为常数
开口方向与大小
开口方向
当a>0时，抛物线开口向上；当 a<0时，抛物线开口向下
开口大小
a的绝对值越大，抛物线开口越小； a的绝对值越小，抛物线开口越大
对称轴位置
当a、b同号时，对称轴在y轴左侧； 当a、b异号时，对称轴在y轴右侧
顶点位置
当x=-b/2a时，二次函数取得极值 点；当x=-b/2a时，二次函数取得 最值点
善于利用数学工具，例如计算器、电脑软件等，帮助 自己更好地学习和理解。
学会总结和发现二次函数的规律和特点，例如对称性 、极值点等。
多做练习题，加深对概念和性质的理解，提高解题能 力和思维水平。
相关习题推荐
习题1
给定二次函数的解析式为y=x2+2x+3，求函数的对称轴、顶点坐标和开口方向。
二次函数的图像和性质PPT课件
顶点形式
二次函数的顶点形式是f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
二次函数图像的性质
对称轴
二次函数的对称轴是x = -最大值。
开口方向
二次函数开口向上当且仅当a > 0，开口向下当且仅当a < 0。
二次函数的变换
导数
二次函数的导数是一条直线，表示了函数的变化率。
凹性质
二次函数的凹性质取决于a的值，a > 0时函数向上凹，a < 0时函数向下凹。
凸性质
二次函数的凸性质取决于a的值，a > 0时函数向上凸，a < 0时函数向下凸。
二次函数的非负和非正性质
1 非负性质
2 非正性质
当a > 0时，二次函数的图像位于x轴以上。
建筑
物理
二次函数的图像和性质可应用 于建筑设计，优化结构和形状。
P物理实验中，二次函数可以 用于描述运动曲线和力学模型。
总结和展望
通过本课程，我们深入了解了二次函数的图像和性质，掌握了解析和图像求 解的方法，并应用于实际领域。希望你喜欢这次学习！继续思考和探索，创 造性地应用二次函数。
1
平移
平移变换可通过改变顶点来实现，横向平移表示为f(x ± h)，纵向平移表示为f(x) ± k。
2
缩放
缩放变换可通过改变a的值来实现，a > 1时函数变窄，0 < a < 1时函数变宽。
3
反转
反转变换可通过改变a的符号来实现，a > 0时函数朝上，a < 0时函数朝下。
二次函数的导数和凹凸性质
二次函数的图像和性质
欢迎来到二次函数的图像和性质课程！通过本课程，您将学习二次函数的定 义和表达形式，并探索其图像的性质和变换。让我们开始吧！
二次函数的顶点形式是f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
二次函数图像的性质
对称轴
二次函数的对称轴是x = -最大值。
开口方向
二次函数开口向上当且仅当a > 0，开口向下当且仅当a < 0。
二次函数的变换
导数
二次函数的导数是一条直线，表示了函数的变化率。
凹性质
二次函数的凹性质取决于a的值，a > 0时函数向上凹，a < 0时函数向下凹。
凸性质
二次函数的凸性质取决于a的值，a > 0时函数向上凸，a < 0时函数向下凸。
二次函数的非负和非正性质
1 非负性质
2 非正性质
当a > 0时，二次函数的图像位于x轴以上。
建筑
物理
二次函数的图像和性质可应用 于建筑设计，优化结构和形状。
P物理实验中，二次函数可以 用于描述运动曲线和力学模型。
总结和展望
通过本课程，我们深入了解了二次函数的图像和性质，掌握了解析和图像求 解的方法，并应用于实际领域。希望你喜欢这次学习！继续思考和探索，创 造性地应用二次函数。
1
平移
平移变换可通过改变顶点来实现，横向平移表示为f(x ± h)，纵向平移表示为f(x) ± k。
2
缩放
缩放变换可通过改变a的值来实现，a > 1时函数变窄，0 < a < 1时函数变宽。
3
反转
反转变换可通过改变a的符号来实现，a > 0时函数朝上，a < 0时函数朝下。
二次函数的导数和凹凸性质
二次函数的图像和性质
欢迎来到二次函数的图像和性质课程！通过本课程，您将学习二次函数的定 义和表达形式，并探索其图像的性质和变换。让我们开始吧！
二次函数的图象与性质第5课时二次函数yax2bxc的图象与性质课件北师大版数学九年级下册
简记： 左同 右异
ab＞0（a，b同号） 对称轴在y轴左侧
b
ab＜0（a，b异号） 对称轴在y轴右侧
c=0
图象过原点
c
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
简记： 左同 右异
例 二次函数y=αx2+bx+c的图象如图，则( C )
A.b>0,c>0
B.b>0,c<0
C.b<0,c<0
D.b<0,c>0
y
由与轴交点在轴负半轴上得：c<0
由对称轴在轴右侧得：
b 2a
＞0
又开口向上得：a>0
∴b<0
O
x
针对训练 D
2. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：
问题 怎样将y=2x2－8x+7化成 y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式？
例1：①求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴、顶点坐标和增减性.
解： y = 2x2－8x+7
y=2x2－8x+7
= 2(x2－4x)+7 “提”：提出二次项系数；
= 2(x2－4x+4)－8+7
“配”：括号内配成完全平 方式(一次项系数绝对值一
B B
二、二次函数系数与图象的关系
(1)a决定抛物线的开口方向
当a >0时，开口向上； y
当a <0时，开口向下． y
O
x
O
x
(2)b与a决定对称轴的位置
当b与a同号，即
b 2a
＜0
时，
对称轴在y轴左侧；
二次函数的图象和性质(1)精选ppt
(-2,-4)
(2,-4)
顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下.
当x<0时，ຫໍສະໝຸດ 数值y随x的增大而增大； 当x>0时，函数值y随x的增大而减小.
当x=0时,函数 y 整a理x2取得最大值 ymax 05
y 2x2
y x2
y 1 x2 2
整理
6
如图所示的四个二次函数的图像所对应的
函数分别是① y ax2 ; ②y bx2 ;③
(1)求二次函数的表达式；
(2)求抛物线与过点(0，-2)且与x轴
平行的直线的两个交点与顶点构成
的三角形的面积.
整理
16
9．如图，直线AB过x轴上的点A(2，0)，且 与抛物线y=ax2相交于B、C两点，B点坐标为
(1，1). (1)求直线和抛物线所表示的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在一点D，使得 S△OAD=S△OBC，若不存在，说明理由；若存在， 请求出点D的坐标.
D.都是关于y轴对称的抛物线，有公共的
顶点
整理
11
4．若对任意实数x，二次函数y=(a+1)x2
的值总是非负数，则a的取值范围是
（）
A.a≥－1
B.a≤－1
C.a>－1
D.a<－1
整理
12
5．如图，函数y=－a(x+a)与y=－ax2(a≠0)在
同一坐标系上的图象是（ ）
整理
13
6．已知a<－1，点(a－1，y1)，(a,y2), (a+1，y3)都在函数y=x2的图象上，则 （） A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2
整理
17
整理
二次函数的图像与性质课件
面积问题
矩形面积问题
通过二次函数表示矩形面 积与边长之间的关系，解 决最大面积问题。
三角形面积问题
利用二次函数表示三角形 面积与高或底之间的关系， 求解最大或最小面积。
梯形面积问题
通过二次函数表示梯形面 积与上底、下底和高之间 的关系，解决面积优化问 题。
利润问题
总利润与销售量关系
利用二次函数表示总利润与销售量之间的关系，找到最大利润点。
韦达定理的应用
韦达定理可用于求解一元二次方程的两个根的平方和、倒数和等问题，简化计算过程。同时，在解决 与二次函数相关的问题时，韦达定理也具有重要的应用价值。例如，在求解二次函数的顶点坐标、对 称轴等问题时，可以利用韦达定理进行求解。
PART 05
二次函数在实际问题中应 用
REPORTING
WENKU DESIGN
定价策略
通过二次函数分析商品定价与销售量、成本之间的关系，制定最优 定价策略。
成本控制
利用二次函数表示成本与产量之间的关系，寻求最低成本方案。
抛物线型问题
抛物线顶点与对称轴
01
通过二次函数的图像分析，确定抛物线的顶点坐标和对称轴方
程。
抛物线开口方向与最值
02
根据二次函数的系数判断抛物线的开口方向，并找到函数的最
与x轴交点
二次函数与x轴的交点即为方程的根。当Δ=b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实根，图像 与x轴有两个交点；当Δ=0时，方程有两个相等的实根（重根），图像与x轴有一个交点；当 Δ<0时，方程无实根，图像与x轴无交点。
PART 03
二次函数性质探讨
REPORTING
WENKU DESIGN
伸缩变换
二次函数二次函数y=axbxc的图象课件ppt
02
在代数中，二次方程和二次函数有密切的联系，可以解决诸如
一元二次方程根的分布等问题。
在微积分中，二次函数可以研究最值、单调性等问题，以及与
03
其它函数的交点等性质。
如何用二次函数解决实际问题
列出方程
首先需要针对实际问题列出二次方 程或二次函数。
求解
利用数学方法求解二次函数的极值 点、对称轴、与坐标轴的交点等关 键点。
平移距离
将二次函数图像沿x轴平移n个单位，则用“左加右减”的原则，将n/|a|代入到函 数解析式中。
变换的定义及操作
变换类型
变换包括旋转、缩放、翻转等，这些变换都是以图像中心为 基准点进行旋转、缩放或翻转。
变换操作
将二次函数图像逆时针旋转θ角度，则将x轴与y轴上分别乘以 cosθ与sinθ；缩放则将x轴与y轴上分别乘以大于1或小于1的 系数；翻转则将x轴与y轴上分别乘以-1。
利用描点法作出函 数图像的基本形状 。
05
二次函数图像的应用及意义
二次函数图像在数学学科中的应用
理解二次函数图像有助于理解二次函数的性质 和概念。
在解决几何问题时，二次函数图像可以提供重 要的几何意义和辅助线。
通过观察二次函数图像，可以更好地掌握二次 函数的极值、单调区间等数学特征。
二次函数图像在其他学科中的应用
描点
在函数图像上描出$(x,y)$点， 其中$x$满足$x=h$，$y$为函
数值。
参数法作图
确定参数
选择合适的参数$t$，使$(x,y)$满足二次函数表达式。
确定图像
根据参数方程确定二次函数的图像。
如何用两种方法作出二次函数的图像
首先根据二次函数 表达式确定顶点坐 标和对称轴。
二次函数yax+bx+c的图象和性质 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
【例 1】已知二次函数 y＝2(x－1)2＋m 的图象上有三个点，
坐标分别为 A(2，y1)，B(3，y2)，C(－4，y3)，则y1，y2，y3的大
小关系是( )
A．y1>y2>y3 C．y3>y1>y2
B．y2>y1>y3 D．y3>y2>y1
解析：∵二次函数的解析式为 y＝2(x－1)2＋m，
章末整合提升
热点一 二次函数的图象与性质 二次函数的图象是抛物线，其性质主要体现在开口方向、 对称轴、顶点坐标、增减性、最值、对称性等方面，熟练掌握 这些性质是学好本章的前提和基础． 再者注意 y＝a(x－h)2＋k 的图象与函数 y＝ax2 的图象的关 系，它们形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平 移得到．平移的规律是：“h 左加右减，k 上加下减”．二次函 数的一般形式 y＝ax2＋bx＋c 可以转化为顶点式 y＝a(x－h)2＋k 加以分析．
3．如图 22-1，在 Rt△OAB 中，∠OAB＝90°，O 为坐标原 点，边 OA 在 x 轴上，OA＝AB＝1 个单位长度，把 Rt△OAB 沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度后得AA1B1.
(1)求以 A 为顶点，且经过点 B1 的抛物线的解析式； (2)若(1)中的抛物线与 OB 交于点 C，与 y 轴交于点 D，求 点 C，D 的坐标．
综上所述，若函数 y＝mx2－6x＋1 的图象与 x 轴只有一个 交点，则 m 的值为 0 或 9.
【跟踪训练】
4．抛物线 y＝2x2－5x＋3 与坐标轴的交点共有_____3__个．
5．已知关于 x 的函数 y＝ax2＋x＋1(a 为常数)． (1)若函数的图象与 x 轴恰有一个交点，求 a 的值； (2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在 x 轴上方，求 a 的取值范围．
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C.b= - 8
D.b= - 8 , c= 18
6.若一次函数 y= ax + b 的图象经过第二、三、四象限，
则二次函数y = ax2 + bx - 3的大致图象是
( C)
y
y
y
y
ox -3
A2021/2/21
ox -3
B
ox -3
C
ox -3
D 17
7.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c 与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （C ）
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
2021/2/21
8
练习:
1.抛物线y=x2-bx+3的对称轴是 x=2,求b的值.
2.已知二次函数y=-x2+2x+c的最 大值是4,求c的值.
2021/2/21
9
例4：若抛物线y=x2-4x+c的顶点
在x轴上，求c的值。
变化：抛物线y=x2-4x+c的顶点在 y=x+1上，求c的值。
解题时可以考虑多种方法
y
D. 各式中不成立的是B( )
E. A.b2-4ac>0
B.abc>0
F. C.a+b+c=0
D.a-b+c-<10 o 1 x
2021/2/21
16
5.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平
移3个单位,得抛物线y = x2 - 2x+1,则 ( B )
A.b=2
B.b= - 6 , c= 6
提取二次项系数
的图象?
3
1.配方:
老师提示:
配方后的表达 式通常称为配 方式或2021顶/2/2点1 式
3x2
2x1153配 系方 数绝:加对上值再一减半去的一平次方项
3x12
2 3
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
3x122.
化简:去掉中括号
3
直接画函数y=ax²+bx+c的图象
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标. ∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2). 3.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
(2)当m取何值时,函数图象与y轴交 点纵坐标是1;
(3)当m取何值时,函数最小值是-2.
2021/2/21
13
例7 已知抛物线 y1x2(m 4)x2(m 1 )
和(1)求y证2: 不x论2m4取x何6值,抛物线y1的顶点
总在y2抛物线上;
(2)当抛物线经过原点时,求y1的解析式, 在同一坐标系中作出两个图象;
●(3,-5) X=3
5
yaxb24acb2. 2a 4a
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法
推导出它的对称轴和顶点坐标.
例.求次函数 yax2bxc
y=ax²+bx+c的对 称轴和顶点坐标．
ax2 b xc a c
提取二次项系数 配方:加上再
2
2021/2/21
7
例：指出抛物线: yx25x4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴 的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时） ，这样就可以画出它的大致图象。
1.配方:
老师提示:
这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.
2021/2/21
ax2b ax2ba22ba2a c减数的去绝平一对方次值项一系半 aaxx2b2aba2244aa4c4acab22b.2化简整式:去理,后掉:两前中项三括合项号并化同为类平项方6 形
顶点坐标公式 yaxb24acb2. 2a 4a
2021/2/21
14
指出下列抛物线的开口方向、求出 它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交 点坐标、与x轴的交点坐标。并画出 草图。
yx2 5x6
2021/2/21
15
1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在
A.第一象限
B.第二象限
（ C）
C.第三象限
D.第四象限
2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的
因此,二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.
它的对称轴是 :x直 线 b . 2a
它的顶点 2ba,是 4a4ca b2.
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
?
1 .y2x2 1x2 1;32.y 5x28x0 3;19
3.y2x1x2; 4 .y 3 2 x 1 2 x .
x
… -2 -1 0 1 2 3 4 …
y3x122 … 29 14 5 2 5 14 29 …
4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2 的图象．
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4
学了就用,别客气
y3x26x5
y2x212x13
●(1,2)
?
X=1
作出函数y=2x2-12x+13的图象.
2021/2/21
顶点都在 A.直线y = x上 B.直线y = - x上
（B）
C.x轴上
D.y轴上
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a- 1的最小值是2,则a的值是
()
A
A. 4
B. -1
C. 2 + b x + c 的图象如下,与x
C. 轴的一个交点为(1,0),则下列
2021/2/21
10
练习：已知抛物线y=-3x2-2x+m的
顶点在直线 求m的值
y=3x+
1 上， 3
2021/2/21
11
例5：抛物线y=2x2+bx的对称轴在 y轴的右侧。求b的取值范围。
2021/2/21
12
例6 已知二次函数
ym x22 (m 2 )xm 3
(1)当m取何值时,函数图象关于y轴 对称;
二次函数yax bx c的图象和性质课件
2021/2/21
1
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性
质
y
2021/2/21
x
2
函数y=ax²+bx+c的图象
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线
y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
怎样直接作出 y3x26x5
函数y=3x2-6x+5 3x2 2x5
y ox
y ox
y ox
y ox
A
B
C
D
2021/2/21
18
请你总结函数 函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象和性质
想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2 的图象之间的关系是什么？
2021/2/21
19
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：