3对偶原理习题

习 题 三
3.1 试建立下述LP 问题的对偶关系表，并写出其对偶问题：
（1）max z=4x 1+3x 2+6x 3
s.t. 1231231
23123360223402260,0,0
x x x x x x x x x x x x ++≤⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥≥≥⎩ （2）min w=60x 1+10x 2+20x 3 s.t. 1231231
23123321210,0,0
x x x x x x x x x x x x ++≥⎧⎪-+≥-⎪⎨+-≥⎪⎪≥≥≥⎩ （3）min w=5x 1-3x 2 s.t. 1231231231232422133
0,0,0
x x x x x x x x x x x x -+≥⎧⎪+-≥⎪⎨--≥⎪⎪≥≥≥⎩ （4）max z=4x 1+3x 2+6x 3 s.t.
1231231232410253150,0,0x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪≥≥≥⎩
3.2 试写出下述LP 问题的对偶问题：
（1）1.1（1）题 （2）1.5题 （3）2.4（5）题 （4）2.4（7）题
（5）min w=2x 1+2x 2+4x 3
s.t. 123123123232352373465
0,0
x x x x x x x x x x x ++≥⎧⎪++≤⎪⎨++=⎪⎪≤≥⎩ (6) min w=2x 1+3x 2+6x 3+x 4 s.t.
1234123412341243447212738182534
0,0,0x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++≥⎪⎨-+-≤⎪⎪≥≤≥⎩ 3.3 试证明LP 问题（P 2）是（D 2）的对偶，（P 2）是（D 2）的对偶。

3.4 试写出下述LP 问题的对偶问题：
（1）min w=C T X
s.t. (0)
AX b X a =⎧⎨≥≥⎩
(2) min z= 11m n ij ij i j c x
==∑∑
s.t. 11
,1,2,...,1,2,...0n ij i j m ij j i ij x a i m x b j n x ==⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪≥⎪⎪⎩
∑∑
(3) max z= 1n j
j j c x =∑
s.t. 11
,1,2,...,,1,2,...,0,1,2,...,()n ij j i j n ij j i j j
a x
b i r a x b i r r m x j s n ==⎧≤=⎪⎪⎪==++⎨⎪⎪≥=<⎪⎪⎩
∑∑
3.5 已知LP 问题：
min z= 5x 1+6x 2+3x 3
s.t. 1231231231231
2312231
235535020769307241510654510200,0,0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++≥⎧⎪+-≥⎪⎪+-≥⎪++≥⎪⎨+-≥⎪⎪+≥⎪-≥⎪⎪≥≥≥⎩ 试通过求解其对偶问题来确定该LP 问题的最优解。

3.6 已知LP 问题：
max z= x 1+2x 2
s.t.12121
2210,0x x x x x x -≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩
（1）试证明它与其对偶问题均无可行解。

（2）试构造一个LP 问题，使其本身及其对偶问题均无可行解。

3.7 已知（Ⅰ）（Ⅱ）两个LP 问题：
（Ⅰ）max z 1=1n j
j j c x =∑
s.t. 1
,1,2,...,0,1,2,...,n ij j i j j
a x
b i m
x j n =⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑ （Ⅱ）max z 2=1n j
j j c x =∑
1
,1,2,...,0,1,2,...,n
ij j i i j j
a x
b k i m
x j n =⎧≤+=⎪⎨⎪≥=⎩∑ 其中ij a ，i b ，i k 均为已知常数。

设1z *，2z *分别为（Ⅰ），（Ⅱ）的最优值，i y *（i=1,2,…,m ）为（Ⅰ）的对偶问题的最优解，求证： 21
1m
i i i z z k y *
*=≤+∑ 3.8 不用单纯形法，利用对偶性质和其它简便方法求解下述LP 问题：
(1) max w=4x 1+3x 2+6x 3
s.t. 1231231
233330223400,0,0x x x x x x x x x ++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥≥≥⎩
(2) max z=x 1-x 2+x 3
131231
23423
0,0,0x x x x x x x x -≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥≥⎩ 3.9 已知LP 问题：max z= 6x 1+8x 2
s.t.12121
252202100,0x x x x x x +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩
(1)写出它的对偶问题。

(2)用图解发求解原始、对偶问题。

识别两个问题的所有极点解。

(3)用单纯形法求解原始问题。

在每个单纯形表中，识别此问题的基本可行解及对偶问题的互补基本解。

指出它们相应于图解法中哪个极点。

(4)按表3-8的格式，列出该问题的全部互补基本解。

(5)用对偶单纯形法求解对偶问题，并将结果与（3）中结果进行对比。

(6)该问题是否满足互补松弛性？为什么？
3.10用对偶单纯形法求解下述LP 问题:
(1)min z= x 1+x 2
s.t.
12
1
12
12
24
5 36
0,0 x x
x
x x
x x
+≥⎧
⎪≤
⎪
⎨
+≥⎪
⎪≥≥⎩
(2) min z= 3x1+2x2+x3
s.t.
123
13
23
123
6
4
3
0,0,0 x x x
x x
x x
x x x
++≤
⎧
⎪-≥
⎪
⎨
-≥
⎪
⎪≥≥≥⎩
(3) 2.4(4)题
A，B两种设备上加工，有关数据如下表所示：
（1）如何充分发挥设备能力，使产品总产值最大？
（2）若为了提高产量，以每台时350元租金租用外厂A设备，问是否合算？
3.12 用对偶单纯形法求解下述LP问题:
（1）max z= 3x1-2x2-x3
s.t.
123
23
23
123
4
28
2 ,,0
x x x
x x
x x
x x x
--=⎧
⎪+≤⎪
⎨
-≥⎪
⎪≥
⎩
(2) max z= 2x1-x2+2x3
s.t.
123
13
23
123
6 26
20 ,,0
x x x
x x
x x
x x x
++≥⎧
⎪-+≥⎪
⎨
-≥⎪
⎪≥
⎩
(3) max z= 5x1-8x2-x3+4x4-11x5
s.t.
12345
12345
12345
12345
2972115 66293
783124 ,,,,0
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
--+-≥⎧
⎪--+-≤⎪
⎨
--+-≥⎪
⎪≥
⎩
3.13 用交替单纯形法求解3.12题。