理论力学第十一章动量矩定理

★常见规则形状物体的转动惯量
●均质圆盘（圆柱）：质量为m, 半径为R
R
O
JO
1 2
mR2
z
zC
●均质细直杆：质量为m，杆长为l O
C
JC
J zc
1 ml 2 12
Jo
Jz
1 3
ml 2
●均质圆环：质量为m，半径为R
JO mR2
★ 平行移轴定理
J z J zC md 2
C为质心
★ 回转半径
Jz
JO
d 2
dt 2
mga
即：
d 2
dt 2
mga
JO
0
解： 令 2 mga
JO
——固有频率
得
2 0
通解为 O sin(
mgat )
JO
周期为 T 2 2 JO
mga
例11-3 用于测量圆盘转动惯量的三线摆中，
三根长度相等（l）的弹性线，等间距悬挂被测量的圆盘。
已知圆盘半径为 R、重量为W。
★ 动量矩守恒
dLO
dt
M
e O
MOe＝0
LO 恒矢量
如果外力系对于定点的主矩等于零， 则质点系对这一点的动量矩守恒。
dLz
dt
M
e z
M
e z
0
LOz C
如果外力系对于定轴之矩等于零，
则质点系对这一轴的动量矩守恒。
思考两：人A、B 同时爬绳，设两人质量相同， 讨
论下面几种情形：
（1）A以绝对速度v 爬绳，B不爬，问B的绝对速度 为多少？
i1
i1
质点系对z轴的动量矩
n
Lz M z mivi i 1
3. 质点系为刚体时的动量矩
n
n
●刚体平移时 LO ri miv ( miri ) v = mrC v
i 1
i 1
LO rC mvC
●刚体定轴转动
z
n
n
L z M z mivi miviri
i n1
i 1n
■刚体平面运动微分方程
应用相对质心的动量矩定理(投影式）
dLC
dt
d dt
(JC)
JC
i
MC (Fi(e) )
应用质心运动定理(矢量式）
maC Fi Fie
i
刚体平面运动微分方程
maCx mxC Fxe
maCy myC Fye
JC JC M C (F e )
i
例11-4 半径为r的均质圆轮，在 倾角θ的固定斜面上，从静止 开始向下作无滑动的滚动。 求：1、圆轮滚动到任意位置 时，质心的加速度；
m
2 z
其中ρz —回转半径
★ 确定转动惯量的方法
● 积分法 ● 组合法 ● 实验法
§11-3 动量矩定理（§11-2 ）
★ 质点的动量矩定理 ★ 质点系的动量矩定理 ★ 动量矩守恒
★ 质点的动量矩定理
由
d(mv) F
dt
r d(mv) r F dt
r d(mv) d(r mv) dr mv
思考（：2）开始时两人静止在同一高度，而后两人 分别以相对于绳子的速度vAr , vBr 同时爬绳，问谁 先到达顶点？
（3）在（2）中绳子移动的速度为多少？ （4）象这样的爬绳比赛能比出谁的力气大吗？
思考：
？无论力偶加
在哪里，为什 么圆盘总是绕 着质心转动
思考：
？无论力偶加
在哪里，为什 么圆盘总是绕 着质心转动
FN
l
sin
aC
1 2
l
sin
6g sin l (13sin2
a
at
1
cos l cos
B
CB
2
3g sin cos 3sin2
O
mg
A
Cα
B
aC
FN
aB aCt B
aC
例11-7
滑轮C质量为m，可视为均 质圆盘。轮上绕以细绳， 绳的一端固定于O点，求滑 轮下降时轮心 C 的加速度 和绳的拉力。
第十一章 动量矩定理
第十(Th二eor章em of动the量Mo矩men定t of理Momentum)
2020年9月29日
第十一章 动量矩定理
§11-1 质点和质点系的动量矩 §11-2 刚体对轴的转动惯量（§11-4 ）
§11-3 动量矩定理（§11-2 ）
§11-4 刚体绕定轴的转动微分方程（§11-3 ） §11-5 质点系相对于质心的动量矩定理 §11-6 刚体的平面运动微分方程
O
A
C
B
解:取AB杆为研究对象，分析受力和运动。 应用平面运动微分方程得:
maC mg FN
1 12
ml 2
FN
l
sin
补充运动学条件:
以B为基点 aC aB aCt B
aC
aCt B
sin
1 2
l
sin
O
mg
A
Cα
B
aC
FN
aB aCt B
aC
maC mg FN
1 12
ml 2
dLz
dt
M
e z
例11-1 已知 m、JO、m1、m2、r1、r2， 不计摩擦。
求：（1）滑轮转动的角加速度；
（2）滑轮O处的约束力； （3）绳索的拉力。
解：（1）取系统为研究对象
O FN
mg
LO JO m1v1r1？+ m2v2r2 v2
(JO m1r12 m2r22（) 顺时针） m2 g
MO mv
质点对z轴的动量矩
mv
M z mv MO mv z
Or
对比力对点之矩 MO F r F
对比力对轴之矩 M z F MO F z
2. 质点系的动量矩 第i个质点的动量矩
MO mivi ri mivi
z
vi
r m2
i mi m1
O
y
质点系的动量矩
x m3 mn
n
n
LO MO mivi ri mivi
设F’T 为FT 在圆盘周边切 线方向上的分量：
z
C´
B´
A´
FT
θ FT
FT
C
B
O
A
W
应用刚体绕定轴转动的动量 矩定理：
T 2π lJ z RW
J
z
R 2T 4π
2W 2l
§11-5 质点系相对于质心的动量矩定理
★ 相对质心的动量矩 ★一般情况下质点系的动量矩 ★刚体平面运动时的动量矩 ★质点系相对质心的动量矩定理
R
2
2 C
纯滚动的条件为： FS fS FN
Rr
2 C
FT
R
2
2 C
fS mg
FT
fS mg
R2 Rr
2 C
2 C
P r C
R
FT
FS
FN
➢纯滚动时，摩擦力FS一般并未达到最大值，需通过方程求解。
➢纯滚动问题往往都需要补充运动学条件： aC R
例11-6
均质直杆AB长l ，质量 为m ，静止于光滑水平 面上如图所示。若突然 把绳 OA 剪断，求此瞬 时点 B 的加速度和杆AB 的角加速度。
vi
O m2 ri
m m1
i
y
dLO
dt
M
e O
x m3 mn
Fn
Fi
质点系对于定点O的动量矩对时间的一阶导
数，等于作用在系统上所有外力对于同一
点的主矩 .
●质点系对于定点的动量矩定理（矢量式）
dLO
dt
MOe
●质点系对于定点的动量矩定理（投影式）
dLx
dt
M
e x
dLy
dt
M
e y
z
C´
B´
A´
怎样才能测量出圆盘转动惯量？
C OA B
例：三线摆
解：让三线摆作微小扭转振动建立振动周期与转 动惯量之间的关系，通过测量振动周期，就可以 测量出圆盘转动惯量。
设圆盘绕 z 轴转过微小角度，几何关系为：
z
C´
B´
A´
θ
C
B
OA B
A
z
C´
B´
A´
FT
θ FT
FT
C
B
O
A
W
分析圆盘受力
■ 实际问题
？ 谁最先到达
顶点
■ 实际问题
？ 谁最先到达
顶点
■ 实际问题
？无论力偶加在
哪里，为什么 圆盘总是绕着 质心转动
■ 实际问题
？为什么二者转 动方向相反
■ 实际问题
航天器是怎样 实现姿态控制 的
§11-1 质点和质点系的动量矩
1. 质点的动量矩
MO mv r mv
动量矩矢量是定位矢量
§11-4 刚体绕定轴的转动微分方程（§11-3 ）
dLz
dt
d J z
dt
J z
M (F) z
刚体定轴转动时的微分方程
Jz Mz F
或
Jz Mz F
例11-2 物理摆（复摆），已知 m, JO。, a 求: 微小摆动的周期。
解：
JO
d2
dt 2
mga sin
微小摆动时， sin
FN
根据圆轮作纯滚动的条件 aC =r
F
1 2
maC
,
aC
2 3
gsin
2、圆轮不发生滑动所需要的最小摩擦因数:
F
1 mgsin
3
FN
fs
fsmin
1 3
tan
例11-5
质量为m、半径为R、惯性半径为c 的均质鼓轮，半径 r 处缠有细
绳，在水平拉力FT 的作用下发生纯滚动，不计滚动摩阻。
求：（1）鼓轮与地面的摩擦力FS及质心C 的加速度。
miωri
r i
பைடு நூலகம்
mi ri 2
mivi
r
i 1
i 1
i
n
记 J z miri2
ω
为刚体i 对z轴的转动惯量
Lz J z
§11-2 刚体对轴的转动惯量（§11-4 ）
Jz = miri2 ★常见规则形状物体的转动惯量 ★ 平行移轴定理 ★ 回转半径 ★ 确定转动惯量的方法
§11-2 刚体对轴的转动惯量（§11-4 ）
★ 相对质心的动量矩
LC MC mivi ri mivi
vi vC vir
LC = rimivC rimivir
其中
ri mivC ( miri)vC 0 （rC
miri 0） m
LC ri mivi ri mivir
即：质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度或
v1
MO (F (e) ) (m1r1 m2r2 )g（顺时针）
m1 g
dLO M (F (e) )
dt
O
d
dt
(m1r1 m2r2 )g JO m1r12 m2r22
解：（2）由质心运动定理
FN (m m1 m2
aCy
yC
mi yi mi
)g
(m
m1
m2
)aCy
O
FN
m1a1 m2a2
0
②
rC
d dt
mvC
rC
Fie
③ rC Fie rC Fie
★质点系相对质心的动量矩定理
dLC
dt
ri Fi(e) 即
dLC dt
M
e C
质点系相对质心的动量矩定理
质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶 导数，等于作用于质点系上的外力系对质心的 主矩。
不仅适用于惯性参考系，而且适用于非惯 性参考系。
★刚体平面运动时的动量矩
y S
F2
O
在平移系中，任意质点
y
Fi
vir
mi对平面图形质心C轴的
动量矩为：LC rimivir
ri
C aC
F1
mi x
Fn x
刚体对平面图形质心 的动量矩为：
LC rimivir＝( miri2 )
i
i
LC JC
一般情况 LO MO mvC JC
★质点系相对质心的动量矩定理
（2）鼓轮纯滚动的条件。
解：以鼓轮为对象，受力为P、 FT 、 FN 、 FS 。
平面运动微分方程：
P
r
maC FT FS
C
0 FN P mC2 FSR FTr
R
FT
FS
FN
共有四个未知量，需补充运动学条件（纯滚动）： aC R
aC
RR
mR
r 2
FT
2 C
FS
Rr
2 C
FT
dt
dt dt
v dr dt
r d(mv) d(r mv)
dt
dt
dLO dt
MO F
矢量式
质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作 用于质点上的力对该点的矩。
★ 质点系的动量矩定理
0
d
dt
i
ri mivi
i
MO (Fii )
i
MO (Fie )
MO (Fie )
i
F2
z
F1
y
OF
W＝mxg
θ FN
2、圆轮在斜面上不发生滑动所需要的最小 摩擦因数。
解：分析圆轮的受力和运动
mxC maC mgsin F 由平面运动微分方程 myC 0 FN mgcos
JC Fr
解：1、根据平面运动微分方程
maC mgsin F
F
W＝mg
0 FN mgcos
θ
JC Fr
mg
m m1 m2
(m1r1 m2r2 )
m m1 m2
v2
m2 g
v1
FN (m m1 m2 )g (m1r1 m2r2 )
m1 g
解：（3）分别以两重物为研究对象
m1g FT1 m1a1 m1r1
FT1 m1 (g r1 )
FT2 m2 g m2a2 m2r2 FT2 m2 (g r2 )
LO rC mvC LC
dLO d
dt dt
rC mvC LC
ri Fie (rC + ri) Fie
rC Fie ri Fie
③
即
drC dt
mvC
rC
d dt
mvC
dLC dt
rC
Fie
dLC dt
由于
① ① drC dt
② vC ,
drC dt
mvC
以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同.
★一般情况下质点系的动量矩
LO ri mivi rC ri mivi rC mivi ri mivi
mivi m vC , ri mivi LC
LO rC mvC LC MO mvC LC 平面问题 LO MO mvC LC
O C
解:取滑轮为研究对象，分析受力和运动。
应用平面运动微分方程得:
maC mg FT
1 2
mr 2
FT
r
补充运动学条件:
aC r
ac
2 3
g
FT
1 3
mg
O
mg
FT
Cα
aC
■ 思考
a
b
一细长杆和一圆盘按二种方式连接：a.刚 性连接（固结）b.铰接。问：运动时有什 么不同？