信号与线性系统第五章 复频1-4

FT: 实频率 LT: 复频率S
是振荡频率 是振荡频率，
控制衰减速度
四、拉普拉斯变换LT的物理意义
1 f (t ) 2



F ( j )e d
jt

1

0
F ( j ) cos t ( ) d
FT中：子信号为ejwt，±w的频率分量相加，得到一个
et (-t)
f1(t)=f(t) e-t
e-t t
新信号： f1(t)=f(t) e-t = e( -)t (t) +e( -)t (-t)
只要> > ， f1(t)一定收敛。
f1(t)=f(t) e-t
F ( j ) 1



f1 (t )e
jt
dt



f (t )e t e jt dt




f (t )e( j )t dt
f (t )e st dt F (s)
s= +j > >


F ( s) Ld f (t )



f (t )e dt
st
双边拉普拉斯正变换
或象函数
二、拉普拉斯反变换L-1T
F ( j ) 1



f1 (t )e jt dt
1 f1 (t ) 2



F1 ( j )e jt d
=f(t) e-t
( j ) t
1 f (t ) f1 (t )e 2
t



F1 ( j )e
j
j
d
2 j j
1
j
F ( s)e st ds
1 1 f (t ) L d F ( s) 2j
F ( s) Ld f (t )

F ( s)e st ds
双边拉普拉斯反变换 > > 收敛域



f (t )e dt
st
双边拉普拉斯变换
（幅度不变的）正弦波； 振幅为 1 F ( j ) d

f (t ) L
1
F (s)
2 j j
1
j
F ( s)e st ds
LT中：子信号为est = e t+jwt ， ±w的频率分量（或共轭的 s和s*）相加，得到幅度变化的正弦波et coswt 。
五、复平面上的点与复指数函数est相对应 1、复平面s上的每一共轭点或实轴上的每一点都分别 唯一地对应于一个确定的时间函数est模式。 j
第五章 连续时间系统的复频域分析
Laplace transform 8学时
重点内容：
1、正反拉氏变换（双边）定义、性质
2、利用拉普拉斯变换分析线性连续系统
3、系统函数H(s)及其框图和流图
第五章作业
5.3; 5.4; 5.6 (2),(4); 5.8 ; 5.9 (b),(d); 5.12 (1),(3); 5.13 ; 5.14 (3); 5.15 (2);
共轭复根 et cos(t )
j
sest
0
0


0








j
0
0
0









① =0，→等幅正弦振荡（w≠0） ② >0，→指数增幅正弦振荡（w≠0） ③ <0，→指数减幅正弦振荡（w≠0）
§5-3 拉普拉斯变换的收敛区
Region of convergence
1、有始信号拉普拉斯变换的收敛区
2、左边信号拉普拉斯变换的收敛区
3、双边信号拉普拉斯变换的收敛区
对右边函数f(t) 若存在0 使 f1(t)=f(t) e-t
lim f ( t )e t 0
> 0
t
f 1 ( t ) f ( t )e t 有界
原信号：f(t)=et(t)
>0
新信号：f1(t)=f(t) e-t = e( -)t (t)
只要足够大，使 - <0， f1(t)总能收敛。
原信号： f(t)=et(t)+et (-t)
> >0
> >0时，f(t)负半边收敛，正半边发散。 f(t) et(t)
5.16; 5.24; 5.25;5.26; 5.28; 5.29;
5.30; 5.31; 5.32(1); 5.33(1);
§5-1 引言
为何引入拉普拉斯变换？
f ( t ) F ( j ) f ( t )e jt dt

狄利赫利条件：


f (t ) .dt
三、单边拉普拉斯变换
对有始信号f(t) (t) =f(t)


F (s) L f (t ) 0
复频谱
f (t )e dt
st
Re[s]>
1 1 f (t ) L F ( s) 2j

ห้องสมุดไป่ตู้
j
j
F ( s )e st ds (t )
单边拉普拉斯反变换
0

0


0

2、s的实部反映复指数est= e t ejwt幅度变化的速率，
j
0

0


0

3、虚部w反映复指数函数因子 ejwt作周期变化的频率
4、复频域也会出现负频率，它表示一对共轭复频率s=
+j与s*= -j的指数函数构成一个幅度按指数规律 变化的正弦振荡 e t coswt
s平面
jw
0
收敛区
0称为收敛坐标

收敛轴
s平面上的垂线Re(s)= 0称为收敛边界（或收敛轴） 收敛区间一定是一个开区间，不包含收敛轴。 0可以为负。
例1：求信号 f ( t ) e 2 t ( t )
单边拉氏变换
2
s2
f1 ( t ) f ( t )e t e ( 2 ) t ( t )
F ( s ) 0 f ( t )e st dt 1
j
S平面
2
收敛轴

收敛域
一、单边LT的收敛区（ 0 ， + ） 收敛条件为> 0
缺点：条件比较苛刻，很多函数不满足此条件。
• (t)
•增长信号 e at (a 0) •周期信号
cos1t
§5-2 拉普拉斯变换
本节重点内容 1、双边拉普拉斯正、反变换 2、单边拉普拉斯正、反变换 3、拉普拉斯变换的物理意义 4、复平面上的点与复指数函数est相对应
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换