带电粒子在有界匀强磁场中的运动归类解析
第51讲 带电粒子在有界匀强磁场中的运动(课件)
高考一轮复习讲练测
第51讲 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
目录
CONTENTS
01
复习目标
02
网络构建
03
知识梳理 题型归纳
04
真题感悟
内容索引
考点1：四类常见有界磁场
知识考点
考点2：四类常见模型
考点3：带电粒子在磁场中运动 多解问题
夯基·必备基础 知识梳理
知识点1 带电粒子在有界磁场中圆心 、半径和时间的确定方法
夯基·必备基础知识 知识点 常见多解类型及分析
夯基·必备基础知识 知识点 常见多解类型及分析
提升·必备题型归纳 考向 带电粒子在磁场中运动多解问题
BC
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真题感悟
真题感悟 BC
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夯基·必备基础知识 知识点2 四类常见有界磁场特点
【类型四】三角形、四边形边界磁场1．三角形边界磁场：带电粒子速度的大小不同， 运动半径不同，出射点的位置也不同。
2．四边形边界磁场：带电粒子射入磁场的初速度方向与边界垂直，速度不同，对应不 同的粒子轨迹；粒子速度不变，磁感应强度可调时，也可对应类似轨迹。
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考向2 圆形边界磁场
B
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考向3 平行边界磁场
AD
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提升·必备题型归纳 考向4 三角形、四边形边界磁场
C
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02 四类常见模型
夯基·必备基础知识θBmq
，t2＝T2
＝πm Bq
；
图乙中粒子在磁场中运动的时间 t＝θm； Bq
高三专题带电粒子在场中的运动归类解析(学生版)
带电粒子在场中运动高考题型归类解析1、带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动基本问题找圆心、画轨迹是解题的基础。
带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。
【例1】（04天津）钍核Th 23090发生衰变生成镭核Ra 22688并放出一个粒子。
设该粒子的质量为m 、电荷量为q ，它进入电势差为U 的带窄缝的平行平板电极1S 和2S 间电场时，其速度为0v ，经电场加速后，沿ox 方向进入磁感应强度为B 、方向垂直纸面向外的有界匀强磁场，ox 垂直平板电极2S ，当粒子从p 点离开磁场时，其速度方向与ox 方位的夹角︒=60θ，如图所示，整个装置处于真空中。
（1）写出钍核衰变方程；（2）求粒子在磁场中沿圆弧运动的轨道半径R ； （3）求粒子在磁场中运动所用时间t 。
2、带电粒子在磁场中轨道半径变化问题。
导致轨道半径变化的原因有：①带电粒子速度变化导致半径变化。
如带电粒子穿过极板速度变化；带电粒子使空气电离导致速度变化；回旋加速器加速带电粒子等。
②磁场变化导致半径变化。
如通电导线周围磁场，不同区域的匀强磁场不同；磁场随时间变化。
③动量变化导致半径变化。
如粒子裂变，或者与别的粒子碰撞；④电量变化导致半径变化。
如吸收电荷等。
总之，由qBm vr =看m 、v 、q 、B 中某个量或某两个量的乘积或比值的变化就会导致带电粒子的轨道半径变化。
【例2】（06年全国2）如图所示，在x ＜0与x ＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B 1与B 2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B 1＞B 2。
一个带负电的粒子从坐标原点O 以速度v 沿x 轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O 点，B 1与B 2的比值应满足什么条件？3、带电粒子在磁场中运动的临界问题和带电粒子在多磁场中运动问题带电粒子在磁场中运动的临界问题的原因有：粒子运动范围的空间临界问题；磁场所占据范围的空间临界问题，运动电荷相遇的时空临界问题等。
带电粒子在有界匀强磁场中运动时的常见情形解题绝招单边界
v
N
②由一点 和三线确 定圆心 ?
是相切；
③根据题意看是否 具有周期性。
③知一半 径，根据 M 题意定半 径长度
N v
4、解题步骤
(3)如何确定“半径”
方法一:物理方程求解.半径R＝mv/Bq; 方法二:几何方法求解.一般由数学知识(勾股定 理、三角函数、相似三角形等)计算来确定.
(4)如何确定“圆心角与时间” B
(6)大弦对大角：圆心角大，在磁场运动时间长
6、难
(1)定轨迹
有没有对称性，周期性，相切
(2)数学方法求解半径
只要能解决问题，什么正确的数学方 法（通常是几何规律）都可以用！
7、注意问题
(1)对象有无计重力 (2)组合场中，要求出边界速度的方 向和大小：
若粒子从磁场进入电场，通常速度方向与 电场同一直线或垂直，做匀变速直线运动 或类平抛运动。
规律方法 带电粒子在复合场中运动的分析方法
相切 对称等
基本方法+ 大胆推测+绝招傍身， 问题自然迎刃而解
Thank you.
规律方法 带电体在复合场中运动的归类分析 (1)磁场力、重力并存 ①若G与F洛平衡 带电体做匀速直线运动． ②若G与F洛不平衡 带电体做复杂曲线运动，机械能守恒. (2)电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子) ①若F电与F洛平衡 带电体做匀速直线运动． ②若F电与F洛不平衡 电荷做复杂曲线运动,用动能定理解答. (3)电场力、磁场力、重力并存 ①若三力平衡 带电体做匀速直线运动． ②若重力与电场力平衡,带电体做匀速圆周运动． ③若合力不为零,带电体可能做复杂的曲线运动,可用能量守恒定 律或动能定理求解.
解题绝招
M
q, m
带电粒子在有界匀强磁场中的运动归类解析
带电粒子在有界匀强磁场中的运动归类解析一、单直线边界磁场1．进入型：带电粒子以一定速度υ垂直于磁感应强度B 进入磁场. 规律要点：（1）对称性：若带电粒子以与边界成θ角的速度进入磁场，则一定以与边界成θ角的速度离开磁场.如图1所示.（2）完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的圆弧轨道恰构成一个完整的圆；正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场时，两粒子轨道圆弧对应的圆心角之和等于2πrad ，即2+-+=ϕϕπ，且2-=ϕθ（或2+=ϕθ）.2．射出型：粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子.规律要点：（以图2中带负电粒子的运动轨迹为例）（1）最值相切：当带电粒子的运动轨迹小于12圆周时且与边界相切（如图2中a 点），则切点为带电粒子不能射出磁场的最值点（或恰能射出磁场的临界点）；（2）最值相交：当带电粒子的运动轨迹大于或等于12圆周时，直径与边界相交的点（图2中的b 点）为带电粒子射出边界的最远点.图2中，在ab 之间有带电粒子射出，设ab 距离为x ，粒子源到磁场边界的距离为d ，带电粒子的质量为m ，速度为υ，则m υr=Bqa O r-d二、双直线边界磁场规律要点：最值相切：当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同一种粒子时，粒子能从另一边界射出的上、下最远点对应的轨道分别与两直线相切.图3所示.对称性：过粒子源S 的垂线为ab 的中垂线.在图3中，ab 之间有带电粒子射出，可求得ab=最值相切规律可推广到矩形区域磁场中.例1．一足够长的矩形区域abcd 内充满磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad 宽为L ，现从ad 中点O 垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为0υ方向与ad 边夹角为30°，如图4所示。
已知粒子的电荷量为q ，质量为m （重力不计）。
（1）若粒子带负电，且恰能从d 点射出磁场，求0υ的大小；（2）若粒子带正电，使粒子能从ab 边射出磁场，求0υ的取值范围以及此范围内粒子在磁场中运动时间t 的范围。
2019-2020学年人教版高二物理(选修3-1)期末备考专题07 带电粒子在有界匀强磁场中的运动(解析版)
2019-2020学年人教版高二物理（选修3-1）期末备考：重点、难点、热点突破专题07 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 主题一 带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动1．有单平面边界的磁场问题从单平面边界垂直磁场射入的正、负粒子重新回到边界时的速度大小、速度方向和边界的夹角与射入磁场时相同。
2．有双平行平面边界的磁场问题带电粒子由边界上P 点以如图所示方向进入磁场。
(1)当磁场宽度d 与轨迹圆半径r 满足r ≤d 时(如图中的r 1)，粒子在磁场中做半圆周运动后从进入磁场时的边界上的Q 1点飞出磁场。
(2)当磁场宽度d 与轨迹圆半径r 满足r >d 时(如图中的r 2)，粒子将从另一边界上的Q 2点飞出磁场。
【例1】 如图所示，直线MN 上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场，质量为m 、电荷量为－q (q ＞0)的粒子1在纸面内以速度v 1＝v 0从O 点射入磁场，其方向与MN 的夹角α＝30°；质量为m 、电荷量为＋q 的粒子2在纸面内以速度v 2＝3v 0也从O 点射入磁场，其方向与MN 的夹角β＝60°。
已知粒子1、2同时到达磁场边界的A 、B 两点(图中未画出)，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。
求：(1)两粒子在磁场边界上的穿出点A 、B 之间的距离d ；(2)两粒子进入磁场的时间间隔Δt 。
【答案】 (1)4mv 0qB (2)πm 3qB【解析】(1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，有qvB ＝m v 2r ，则r ＝mv qB故d ＝OA ＋OB ＝2r 1sin 30°＋2r 2sin 60°＝4mv 0qB。
(2)粒子1做圆周运动的圆心角θ1＝5π3粒子2圆周运动的圆心角θ2＝4π3粒子做圆周运动的周期T ＝2πr v ＝2πm qB粒子1在匀强磁场中运动的时间t 1＝θ12πT 粒子2在匀强磁场中运动的时间t 2＝θ22πT 所以Δt ＝t 1－t 2＝πm 3qB。
带电粒子在复合场中的运动(归类解析与练习)
带电粒子在复合场中的运动一 带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动（1） 圆心的确定：带电粒子垂直进入磁场后，一定做圆周运动，其速度方向一定沿圆周的切线方向，因此圆心的位置必是两速度方向垂线的交点（或某一速度方向的垂线和圆周上两点连线中垂线的交点），如图所示（2） 运动半径大小的确定：一般先作入射点、出射点对应的半径，并作出相应的辅助三角形，然后利用三角函数求解半径的大小。
（3） 运动时间的确定：首先利用周期公式T=,求出运动周期T ，然后求出粒子运动的圆弧所对应的圆心角α，其运动时间t= T 。
（4） 圆心角的确定①带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向的夹角φ叫做偏向角。
偏向角等于圆心角即φ=α。
②某段圆弧所对应的圆心角是这段圆弧弦切角的二倍，即α=2备注：只有当带电粒子以垂直于磁场方向射入匀强磁场中时，带电粒子才能做匀速圆周运动，两个条件缺一不可。
例题1 如图所示，一束电子（电荷量为e ）以速度v 垂直边界射入磁感应强度为B ，宽为d 的匀强磁场中，穿过磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角为300。
求：（1）电子的质量；（2）电子穿过磁场所用的时间。
二 “磁偏转”与“电偏转”的区别“磁偏转”和“电偏转”是分别利用磁场和电场对运动电荷施加的洛伦兹力和电场力的作用，从而控制其运动备注：磁偏转中动能不变；电偏转中由于电场力做功，动能改变（常用动能定理）。
例题2 在如图所示宽度范围内，用场强为E的匀强电场可使初速度是v0的某种带正电粒子偏转θ角．在同样宽度范围内，若改用方向垂直于纸面向外的匀强磁场，使该粒子穿过该区域，并使偏转角也为θ（不计粒子的重力），问：（1）匀强磁场的磁感应强度是多大？（2）粒子穿过电场和磁场的时间之比是多大？三质谱仪1 质谱仪是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具2 质谱仪的工作原理：将质量数不等、电荷数相等的不同带电粒子，经同一电场加速后再经速度选择器进入同一磁场偏转，由于粒子质量不同导致轨道半径不同而达到分离不等质量粒子的目的。
带电粒子在“有界”磁场中运动问题分类解析
带电粒子在“有界”磁场中运动问题分类解析在物理学中，带电粒子在磁场中的运动问题一直是一个非常重要的研究方向。
无论是理论上的研究还是实验上的探测，都需要我们对带电粒子在磁场中运动的物理规律进行深入的了解和研究。
在本文中，我们将着重研究带电粒子在“有界”磁场中运动的问题，并对其进行分类解析。
“有界”磁场的概念在真实的物理现象中，带电粒子往往会受到非常复杂的磁场影响。
但是，在某些特殊情况下，带电粒子受到的磁场受限于空间的某些特定区域，我们就将这种磁场称为“有界”磁场。
当带电粒子受到“有界”磁场的影响时，我们可以更加精确地研究其在磁场中运动的规律。
问题分类带电粒子在“有界”磁场中运动的问题可以分为三类：匀强磁场、非匀强磁场和旋转磁场。
下面我们依次对这三类问题进行探讨。
匀强磁场中的运动当带电粒子在匀强磁场中运动时，其受力方向始终垂直于磁场方向，磁场的大小和方向都是不变的。
这种情况下，我们可以通过洛伦兹力公式求解带电粒子的运动轨迹。
具体来说，当带电粒子的速度为v，电荷为q，受到的磁场强度为B时，带电粒子所受的洛伦兹力大小为F=qvB，方向垂直于速度和磁场的方向。
由于洛伦兹力的方向与速度方向垂直，所以带电粒子在匀强磁场中的轨迹为一个圆形。
非匀强磁场中的运动当带电粒子受到的磁场不再是匀强磁场时，其运动状态也会相应发生变化。
在非匀强磁场中，带电粒子受到的磁场强度和方向均发生变化，从而影响其运动状态。
此时，我们需要采用更加复杂的计算方法求解带电粒子的运动轨迹。
旋转磁场中的运动在旋转磁场中，带电粒子的磁场方向和大小都是随时间变化的。
这种情况下，带电粒子的运动将更加复杂。
经过分析，我们可以发现，在旋转磁场中，带电粒子的轨迹为多个圆形或椭圆形，其大小和形状随时间的变化而发生了改变。
结论总的来说，带电粒子在“有界”磁场中的运动问题是非常复杂的。
对于这些问题，在实践研究中，我们需要根据实际情况和研究目的，灵活采取不同的方法和技巧。
1.3.2 专题 带电粒子在有界磁场中的运动 课件-2023年高二物理人教版(2019)
③半径关系：r=R/tanθ=Rtanα
④运动时间:t= 2θT/2 π= θT/ π
(2)不沿径向射入时，速度
o’
方向与对应点半径的夹角
相等（等角进出）
o
•
（3）非径向入射的距离和时间推论：
①若r 轨迹<R边界，当轨迹直径恰好是边界圆的一
条弦，此时出射点离入射点最远，且Xmax=2r，
角（弦切角）相等。若出射点到入射点之间距离为d，则
d=2R
1
t T
2
d=2Rsinθ
t
T
d=2Rsinθ
t T
【例1】水平直线MN上方有垂直纸面向里范围足够大的有界匀强磁场,磁感应强度为B,正、负电子同时从MN边界O点以与MN成45°角的相
同速率v射入该磁场区域(电子的质量为m,电荷量为e),正、负电子间的
射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角。当筒转过90°时，该粒
子恰好从小孔N飞出圆筒。不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，
则带电粒子的比荷为(
)
【变式训练】在真空中半径 r =3×10-2m的圆形区域内有一匀强磁场，磁场
的磁感应强度B=0.2 T，方向如图所示，一个带正电的粒子以v0=1×106 m/s
（3）到入射点最远距离：
①和边界相交时，离出射点最远距离是以出射点为端点的直径或半径。
②和边界相切时，离出射点最远的距离是以出射点和切点为端点的弦长。
【例1】(多选)如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，三个
质量和电荷量相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着
带电粒子在“有界”磁场中运动问题分类解析
带电粒子在“有界”磁场中运动问题分类解析一、求解带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动时，一般先根据题意画岀运动的轨迹, 确定圆心，从而根据几何关系求岀半径或圆心角，然后利用半径公式、周期公式求解。
1、首先确定圆心： 一个基本思路： 圆心一定在与速度方向垂直的直线上。
三个常用方法： 方法一：利用两个速度垂线的交点找圆心 由于向心力的方向与线速度方向互相垂直，洛伦兹力（向心力）沿 半径指向圆心，知道两个速度的方向，画岀粒子轨迹上两个对应的 洛伦兹力，其延长线的交点即为圆心。
例1:如图1所示，一个质量为 m 电荷量为q 的带电粒子从x 轴上 的P （ a ，0）点以速度V,沿与x 正方向成60 °的方向射入第一 象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y 轴射岀第一象限。
求匀强磁 场的磁感应强度 B 和射岀点的坐标。
解析：分别由射入、射岀点做两条与速度垂直的线段，其交点 圆心，由图可以看岀，轨道半径为ra2a，洛仑兹力是向心力 qBvsin 60 43射岀点的纵坐标为（叶rsin30 ° ） =1.5r,因此射岀点坐标为（0，方法二：利用速度的垂线与弦的中垂线的交点找圆心带电粒子在匀强磁场中做匀速运动时，如果已知轨迹上的两点的位置和其中一点的速 度方向，可用联结这两点的弦的中垂线与一条半径的交点确定圆心的位置。
例2:电子自静止开始经 M 、N 板间（两板间的电压为 U ）的 厂电场加速后从A 点垂直于磁场边界射入宽度为 d 的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置 P 偏离入射方向的距离为L ，如图2所示，求：（1） 正确画岀电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图； （2） 匀强磁场的磁感应强度 .（已知电子的质量为 m ，电量为 解析：（1）联结AP 的线段是电子圆运动轨道上的一条弦，做弦 子通过A 点时的速度方向与磁场左边界垂直，AP 弦的中垂线 OC 与磁场左边界的交点 O 即是电子圆运动的圆心，为半径画圆弧，如图 3所示，电子进入磁场后做匀速圆周运动，设其半径为veBv m —rB= 2L ；2mUJ —— L d Y e方法三：利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入和射岀时的速度的方向和射入时的位置，而不知道射岀点的位置，应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心。
带电粒子在磁场中的运动题型归类
作出图示的二临界轨迹
，故电子击中档板的范围在P1P2间；对SP1弧由图知
OP1 (2L) 2 L2 3L
对SP2弧由图知
OP2 (4L) 2 L2 15 L
【总结】本题利用了动态园法寻找引起范围的“临界轨迹”及“临 半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R0的大小关系 确定范围。
（1）若粒子带负电，它将从x轴上A点离开磁场，运动方向发生 的偏转角
A点与O点相距
若粒子带正电，它将从y轴上B点离开磁场，运动方向发生的偏转角 B点与O点相距
（2）若粒子带负电，它从O到A所用的时间为
若粒子带正电，它从O到B所用的时间为
【总结】受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能 带负电荷，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中运动轨迹不 同，导致形成双解。
图9-15
图9-16
【审题】若带电粒子带负电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆 心为O1，粒子向x轴偏转，并从A点离开磁场。若带电粒子带正 电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O2，粒子向y轴偏转， 并从B点离开磁场。粒子速率一定，所以不论粒子带何种电荷， 其运动轨道半径一定。只要确定粒子的运动轨迹，即可求解。 【解析】粒子运动半径： 。如图9-16，有 带电粒子沿半径为R的圆运动一周所用的时间为
有:
；
R0
d 1 Cos
故粒子必能穿出EF的实际运动轨迹半径R≥R0 mv0 d 即: R
qB 1 Cos
有:
。
v0
qBd m(1 Cos)
由图知粒子不可能从P点下方向射出EF，即只能从P点 上方某一区域射出；又由于粒子从点A进入磁场后受 洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG 直线上方射出；由此可见EF中有粒子射出的区域为PG， 且由图知: dSin
专题 带电粒子在有界匀强磁场中运动
3mv A. 2ae
mv B. ae
√3mv
C. 4ae
3mv D. 5ae
解决带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中 的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态， 根据匀强磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 (1)刚好穿出或刚好不能穿出匀强磁场的条件是带电粒子在匀强磁场中运 动的轨迹与边界相切。 (2)当以一定的速率垂直射入匀强磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大， 则带电粒子在有界匀强磁场中的运动时间越长。 (3)比荷相同的带电粒子以不同的速率v进入磁场时，圆心角越大的，运 动时间越长。
2πa D. v
例4 (2020·全国卷Ⅲ)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a 和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。 一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷 量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内， 磁场的磁感应强度最小为
例1 如图所示，在边界PQ上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一对比荷相同 的正、负离子同时从边界上的O点沿与PQ成θ角的方向以相同的速度v射 入磁场中，不计离子重力，则正、负离子 A.在磁场中的运动时间相同 B.在磁场中运动的位移相同
√C.出边界时两者的速度相同
D.正离子出边界点到O点的距离更大
两离子在磁场中运动周期为 T＝2qπBm，
v Br
由粒子的运动轨迹(如图)，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。
粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，
则粒子轨迹半径R＝r， 又 qvB＝mvR2， 则粒子的比荷mq ＝Bvr。
(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应 强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速 度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入 射方向改变了60°，求磁感应强度B′的大小及此 次粒子在磁场中运动所用时间t。
带电粒子在匀强磁场中的运动(知识小结)
带电粒子在匀强磁场中的运动（知识小结）一．带电粒子在磁场中的运动（1）带电粒子在磁场中运动时，若速度方向与磁感线平行，则粒子不受磁场力，做匀速直线运动；即 ① 为静止状态。
② 则粒子做匀速直线运动。
（2）若速度方向与磁感线垂直，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力起向心力作用。
（3）若速度方向与磁感线成任意角度，则带电粒子在与磁感线平行的方向上做匀速直线运动，在与磁感线垂直的方向上做匀速圆周运动，它们的合运动是螺线运动。
二、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动1．运动分析：洛伦兹力提供向心力，使带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．(4)运动时间： (Θ 用弧度作单位 )1．只有垂直于磁感应强度方向进入匀强磁场的带电粒子，才能在磁场中做匀速圆周运动．2．带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速率的大小有关，而周期与速率、半径都无关．三、带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动(往往有临界和极值问题)(一)边界举例:1、直线边界（进出磁场有对称性）规律：如从同一直线边界射入的粒子，再从这一边射出时，速度与边界的夹角相等。
速度与边界的夹角等于圆弧所对圆心角的一半，并且如果把两个速度移到共点时，关于直线轴对称。
2、平行边界（往往有临界和极值问题）（在平行有界磁场里运动，轨迹与边界相切时，粒子恰好不射出边界）3、矩形边界磁场区域为正方形，从a 点沿ab 方向垂直射入匀强磁场：若从c 点射出，则圆心在d 处若从d 点射出，则圆心在ad 连线中点处4.圆形边界（从平面几何的角度看，是粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。
）特殊情形：在圆形磁场内,沿径向射入时，必沿径向射出一般情形：磁场圆心O 和运动轨迹圆心O ′都在入射点和出射点连线AB 的中垂线上。
或者说两圆心连线OO ′与两个交点的连线AB 垂直。
（二）求解步骤：（1）定圆心、（2）连半径、（3）画轨迹、（4）作三角形．（5）据半径公式求半径，2．其特征方程为：F 洛＝F 向． 3．三个基本公式： (1)向心力公式：qvB ＝m v 2R ； (2)半径公式：R ＝mv qB ； (3)周期和频率公式：T ＝2πm qB ＝1f ； 222m t qB m qB T θππθπθ==⨯=⨯v L =t再解三角形求其它量；或据三角形求半径，再据半径公式求其它量（6）求时间1、确定圆心的常用方法：(1)已知入射方向和出射方向(两点两方向)时，可以作通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－6甲所示，P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆心．(2)已知入射方向和出射点的位置时(两点一方向)，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－6乙所示，P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆心．(3)两条弦的中垂线(三点)：如图3－6－7所示，带电粒子在匀强磁场中分别经过O 、A 、B 三点时，其圆心O ′在OA 、OB 的中垂线的交点上．(4)已知入射点、入射方向和圆周的一条切线：如图3－6－8所示，过入射点A 做v 垂线AO ， 延长v 线与切线CD 交于C 点，做∠ACD 的角平分线交AO 于O 点，O 点即为圆心，求解临界问题常用到此法．(5)已知入射点，入射速度方向和半径大小2．求半径的常用方法 ：由于已知条件的不同，求半径有两种方法：一是：利用向心力公式求半径；二是：利用平面几何知识求半径。
专题 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
量为m，电量为q的带正电粒子（不计重力），
从左边极板间中点处垂直磁场以速度v平行极板
Lv
射入磁场，欲使粒子不打在极板上，则入射速
+q , m
B
度v应满足什么条件？
L 原因3.临界状态不唯一形成多解
任务二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
思考：造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 的原因？
原因1.磁场方向不确定形成多解
任务二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
思考：造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 的原因？
例2. 如图，在第I象限范围内有垂直xOy平面的匀强磁场B。质量为
m、电量大小为q的带电粒子(不计重力)，在xOy平面里经原点O射
入磁场中，初速度为v0，且与x轴成60º角，
y
试分析计算：
B
带电粒子在磁场中运动时间多长？
60º v
原因2.带电粒子电性不确定形成多解
60º
O 120º
x
任务二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
思考：造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
的原因？
O
例3.如图，长为L的水平不带电极板间有垂直纸
面向内的匀强磁场B，板间距离也为L，现有质
例4.如图所示，边长为l的等边三角形ACD内、外分布着方向相反
的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，能沿
∠CAD的平分线方向发射不同速度的粒子，粒子质量均为m，电
荷量均为＋q，不计粒子重力。则粒子以下列
哪一速度发射时不能通过D点
qBl A. 4m
qBl B. 2m
√3qBl Cபைடு நூலகம் 4m
例1.如图所示，A点的粒子源在纸面内沿垂直OQ方向向上射出一束带负 电荷的粒子，粒子重力忽略不计.为把这束粒子约束在OP之下的区域， 可在∠POQ之间加垂直纸面的匀强磁场.已知OA间的距离为s，粒子比荷 为 q/m ，粒子运动的速率为v，OP与OQ间夹角为30°.则所加磁场的磁感 应强度B满足条件？
带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题探析
带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题探析 甘肃省 兰州市第五十八中学 李秀明 邮编730060【摘要】带电粒子在有界匀强磁场中的运动类问题，因其能有效考察学生数理结合能力、图形图像能力、空间思维能力而成为历年高考的热点之一。
本文从带电粒子在匀强磁场中运动的基本物理模型出发，结合数学知识探究解决此类问题的一般规律。
【关键词】带电粒子 匀强磁场一、 带电粒子在匀强磁场中的受力特点和运动规律电量为q 的带粒子以速度v 垂直进入匀强磁场B 时，受到的洛仑兹力f=qvB 始终与运动方向垂直，因此在匀强磁场中做匀速圆周运动，且有： F 向=f=r v 2m解得：圆周运动半径r=qB m v 圆周运动周期T=qB m 2v r2ππ=二、 带电粒子在有界匀强磁场中的运动规律当带电粒子穿越有界匀强磁场区域时，带电粒子在磁场中垂直磁场方向的平面内的运动轨迹为一段圆弧，两端点的半径和圆弧围成一个扇面，其几何尺寸与圆周运动的半径相联系，在磁场中运动的时间与扇面的圆心角相对应。
解决这类问题的核心是正确画出在磁场中运动的扇面，然后利用半径公式求解相关距离，利用周期公式求解在磁场中运动所需时间。
例一、如图1所示，带电量为q 的正电荷以速度v 从a 点射入垂直纸面向里的匀强磁场B 中，入射方向与磁场边界的夹角为θ，求出射点到入射点间的距离及带电粒子在磁场中运动的时间。
解析：（1）、带电粒子在磁场中运动轨迹如图，根据带电粒子在磁场中圆周运动规律和几何关系知：圆周半径：r=qB m v ① 出射点b 到入射点a 之间的距离：L=2rsin ②解得：L=θsin qBmv 2结论：两点间距离与带电粒子的比荷、入射速度、入射方向、磁感应强度都有关。
vv正电荷 负电荷图6图5 （2）、根据几何关系和对称性可知，带电粒子在磁场中运动的圆弧对应的圆心角为θπ2-2，因此：T 2t 2-2πθπ= ③而T=qBm 2π ④ 解得：()qB m 2-2t θπ=结论：带电粒子在磁场中运动的时间与速度v 无关。
《带电粒子在有界匀强磁场中的运动》课件
思考：o1为线段EF的中点吗？
m t Bq
θ O
B
R
比较学习： 这点与带电粒子在匀强电场中的偏转情况一 样吗？
◆带电粒子在矩形磁场区域中的运动
v
o
圆心在磁场原边界上 B
d
B
①速度较小时粒子作半圆 运动后从原边界飞出；② 速度在某一范围内时从侧 面边界飞出；③速度较大 时粒子作部分圆周运动从 对面边界飞出。 量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
v v v v
M
d
B N
带电粒子沿逆时针方向做半径相同的匀速圆周运动，如果从 下板进入场区的带电粒子不从板间穿出，则这些正电荷就都 不从板间穿出．
eBd 3eBd v 2m m
2.如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂 直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边 中点O方向垂直磁场射入一速度方向跟ad边夹角 θ=300 、大小为v0的带电粒子，已知粒子质量为m、 电量为q，ab边足够长，ad边长为L，粒子的重力不 计。求：⑴.粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围。 ⑵.如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求粒子 在磁场中运动的最长时间。 b a
5L L 2 r2 r L (r ) 4 2 qBr2 5qBL 5qBL v2 v m 4m 4m
拓展：一大群这种带电粒子沿平行于板的方向从各个 位置以速度v从金属板的左端射入板间，为了使这些正 电荷都不从板间穿出，这些带电粒子的速度需满足什 么条件?
5d
＋ ＋ ＋ ＋
穿透磁场时的速度与电子原来的入射方向的夹
角为300.求: (1)电子的质量 m (2)电子在磁场中的运动时间t B e v
第3节 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
sin 60∘
3
从A运动到B，粒子转过的圆心角为60∘ ，粒子转过的中心角为120∘ ，根据运动时
间相同可得运动周期为 : = 2: 1，再根据洛伦兹力做向心力可得 =
运动周期为 =
正确。
2π
=
2π
，根据电荷量相等可得 :
2
，所以
= : = 2: 1，故C错误，D
第11章 磁场
第3节 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
考点一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
带电粒子在有界磁场中的运动
1.直线边界（进出磁场具有对称性，如图所示）
2.平行边界（往往存在临界条件，如图所示）
3.圆形边界（进出磁场具有对称性）
（1）沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。
（2）不沿径向射入时，如图乙所示。
后从点沿圆形边界的直径入射，从射入磁场到射出磁场，氕核11 H和
氘核12 H的速度方向分别偏转了60∘ 和120∘ 角，已知氕核11 H在磁场中
运动的时间为0 ，轨迹半径为，则(
BD
A.氘核12 H在该磁场中运动的时间为20
B.氘核12 H在该磁场中运动的时间为40
1
2
1
D.氘核12 H在该磁场中运动的轨迹半径为
射入时粒子速度方向与半径的夹角为 ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为 。
4.多边形边界或三角形区域磁场
带电粒子在多边形边界或三角形区域磁场运动时，会有不同的临界情景，解答该类问
题主要把握以下两点：
（1）射入磁场的方式：①从某顶点射入；②从某边上某点以某角度射入。
（2）射出点的判断：经常会判断是否会从某顶点射出。
破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关
带电粒子在有界磁场中的运动分类解析
ｄ Ｖ － －
ｆ ｆ ห้องสมุดไป่ตู้ｆ
２ Ｒ。
因朝 不 同方 向 发 射 的 ａ 粒子 的圆轨迹 都经 过 Ｓ， 由此
子 。图 中板 ＭＮ 上 方 是 磁 感 应强 度大 小为 Ｂ、 方 向垂 直纸 面 向里 的匀 强磁 场 ， 板 上 有两 条宽度分别为 ２ 和 ｄ的缝 ， 两
图 ２
．
代 人 数 据 解 得： Ｒ ＝
０ ． １ ｍ一１ ０ ｃ ｒ ｒ ｌ ， 可 见 Ｒ＜ ＜
２ ｄ
． ．
×
【 例２ 】（ ２ ０ ０ ４ ・ 广东 ：
＿
垂直纸面 向里 的匀 强 磁场 。带 电粒
子 由 边 界 上 Ｐ 点 从 图示 方 向进 入 磁
卷・ １ ８ ） 如图 ３ ， 真空 室 内 ｘ ｘ ｘ ｘ ； ｘ ｘ ｘ ｘ 存 在 匀强 磁 场 ， 磁场方 向 ｘ × ｘ ｘ ｉ ｘ ｘ ｘ ｘ
中学 教 学 参 考
专题 论析
带 电粒 子在 有 界 磁 场 中的运 动 分 类 解 析
湖北 宜 昌市三峡 高中（ ４ ４ ３ １ ０ ０ ） 席 晓阳 纵观近几年的高考理综 物理试题 ， 带 电粒 子在有 界 磁场 中的运 动年年 都考 ， 备 受高考 命题 者的青 睐 ， 而 且 我们注意到在新课标 全国卷 中， 带 电粒子在有 界磁场 中 的运动往往 是 以压 轴题 的形 式 出现 。这充 分说 明带 电 粒子在有界磁场 中的运动问题是 高考 的重 点和热 点 ， 也 是难点 ， 所 以无 论 是高考 第一 轮复 习还是 第 二轮 复习 ， 这部分 内容 都应 该作 为重 点复 习。带 电粒 子在 有界 磁 场 中的运 动问题综合性较强 ， 解决 这类 问题 既要用 到物 理 中的洛仑兹力 、 圆周 运动 知识 ， 又要 用到数 学 中的平 面几何 、 三角函数 和解析几 何知识 。而 且有时候 又牵涉 到临界情况 ， 思维 含量 高 ， 难 度大 。笔 者认 为要 处理 好 这部分内容的复习教学 ， 除了要搞好基 础知识 的复习外 （ 比如圆心 的确定 ， 准确 、 清 晰地 画 出运 动轨 迹 ， 半 径 和 时间 的确定等 ） ， 更要 注意 归纳 总结带 电粒 子在 有界磁
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1、进入磁场.
正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场时，两粒子轨道圆弧对应的圆心角之和等于2πrad ，即2+-+=ϕϕπ，且2-=ϕθ（或2+=ϕθ）.
2、射出型：粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子.
规律要点：（以图2中带负电粒子的运动轨迹为例）
（1）最值相切：当带电粒子的运动轨迹小于
1
2
圆周时且与边界相切（如图2中a 点），则切点为带电粒子不能射出磁场的最值点（或恰能射出磁场的临界点）；
（2）最值相交：当带电粒子的运动轨迹大于或等于
1
2
圆周时，直径与边界相交的点（图2中的b 点）为带电粒子射出边界的最远点.
图2中，在ab 之间有带电粒子射出，设ab 距离为x ，粒子源到磁场边界的距离为d ，带电粒子的质量为m ，速度为υ，则
m υr=
Bq
a O r -d
二、双直线边界磁场
规律要点：
最值相切：当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同一种粒子时，粒子能从另一边界射出的上、下最远点对应的轨道分别与两直线相切.图3所示.
对称性：过粒子源S 的垂线为ab 的中垂线.
－
在图3中，ab
之间有带电粒子射出，可求得ab=最值相切规律可推广到矩形区域磁场中.
例1．一足够长的矩形区域abcd 内充满磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad 宽为L ，现从ad 中点O 垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为0υ方向与ad 边夹角为30°，如图4所示。
已知粒子的电荷量为q ，质量为m （重力不计）。
（1）若粒子带负电，且恰能从d 点射出磁场，求0υ的大小；
（2）若粒子带正电，使粒子能从ab 边射出磁场，求0υ的取值范围以及此范围内粒子在磁场中运动时间t 的范围。
解析：此例包括单直线边界进入型、双直线边界中的最值相切两种类型。
（1）为单直线边界进入型，由图5可知：O 1为轨道圆心，由于对称性，速度的偏转角θ1＝60°，故轨道半径12
L
r =
据2
001m υq υB r =， 则102qBr qBL
υm m
==
（2）当0υ最大时，轨道与cd 相切：
11cos602
L
R R -︒=，得R 1=L
则1max qBR qBL υm m
==
当0υ最小时，轨道与ab 相切：
22sin 302
L R R +︒=，得23L
R =
则2min 3qBR qBL υm m == 03q B L q B L
υm m
∴<≤
带电粒子从ab 边射出磁场，当速度为max υ时，运动时间最短。
min 15053606m t T Bq
π==
速度为min υ时，运动时间最长 m a x 24043603
m
t T Bq π== ∴粒子运动时间t 的范围5463m m
t Bq Bq
ππ≤< 三、圆形边界
1．圆形磁场区域：
（1）相交于圆心：带电粒子沿指向圆心的方向进入磁场，则出磁场时速度矢量的反向延长线一定过圆心，即两速度矢量相交于圆心；如图6.
（2）直径最小：带电粒子从圆与某直径的一个交点射入磁场则从该直径与圆的另一交点射出时，磁场区域最小.如图7所示.
2．环状磁场区域：
（1）带电粒子沿（逆）半径方向射入磁场，若能返回同一边界，则一定逆（沿）半径方向射出磁
’
图8
图4
图5
O 3
O 2
O 1 60°
场；
（2）最值相切：如图8，当带电粒子的运动轨迹与圆相切时，粒子有最大速度υm 或磁场有最小磁感应强度B .
例2．地磁场可以“屏蔽”来自太空的带电粒子，防止这些高速运动的带电粒子对地球带来的危害.在高能物理实验中，为了避免宇宙射线中的带电粒子对实验的影响，可在实验装置外加磁场予以屏蔽.如图9所示，半径为r 2的圆管形实验通道为实验中高能带电粒子的通道，在r 2到r 1的圆环形加有匀强磁场.假设来自太空的带电粒子的最大速度为υ，粒子均沿半径方向射入磁场区，为了使这些粒子均不能进入实验通道，则磁感应强度B 至少为多大？已知带电粒子的质量均为m ，电荷量均为-q .
解析：要使带电粒子不进入实验通道，则粒子运动的轨道只能与半径为r 2
的内圆相切，如图8，因此由几何关系可得
()
2
2221r+r =r +r ① m υ
r=
Bq
② 联立解得 221222r -r m υ=r Bq ，即(
)
2
22
12
2m υr B=q r -r
图9 m υ。