第四章 运输问题

第四章运输问题

本章主要介绍运输问题的及其特殊情形——指派问题的求解方法，其基本要求为：

1.能用表上作业法求简单

的运输问题的最优解

2.会用匈牙利算法求标准

指派问题的解。

二．运输问题线性规划模型的特征

请与课本（102页）引例比较以下，看看模型的结构与形式是否一致，同时注意了解课本103页下面的加工问题和运输问题的联系。

由上面的模型可以看出，运输问题显然是一个线性规划问题，因我们学过的单纯形法求解，但求解时对每一个等式必须加上一个人工变量（参考当约束条件方程为等式约束时求初始基本可行解的方法），这样将使一个很小规模的运输问题变得较为烦琐。本章主要介绍的表上作业法求解运输问题，要比一般单纯形法简便得多。

三．表上作业法介绍

表上作业法是一种迭代算法，也是从先求出初始基本可行解，然后用检验数判定是否最优解，若是就停止计算，否则就要对解进行调整、判定，直到求出最优解为止。因为关于以上计算都可以在产销平衡表中进行，所以叫表上作业法。

第一节运输问题的线性规划模型

我们在这里再给出一个实际的运输问题的模型。

例1．某公司经销甲产品，它下设有A1 A2 A3三个加工厂，每日产量分别为：A1 ——7吨，A2 ——4吨，A3——9吨。该公司把这些产品分别运往B1B2B3B4四个销售点，各销售点每日的销量为：B1——3吨，B2——6吨，B3——5吨，B4——6吨。从各工厂到销售点的单位产品的运价为下表所示，问该公司应该如何调运产品，在满足各销售点需要量的前提下，使总运费最少？

解：总产量为20吨，总需求量也为20吨，故产销平衡。

设：x ij 表示有第个加工厂运往第个销售点的甲产品的数量（吨），则可得到该问题的数

学

模

型

如

下

：

设某种货物有m 个产地A 1，A 2，…，A m ，产量分别为a 1，a 2，…，a m

个单位；另外有n 个销地B 1，B 2，…，B n ，销量分别为b 1，b 2，…，b n 个单位，又假设产销是平衡的，即

∑∑===m j n

j j

i b

a 1

1

。

此外，还知道由产地A i 向销地B j 运输每单位货物的运价为c ij 。问应该如何调运这种货物才能使总的运费为最小？

解 设x ij 为由产地A i 向销地B j 调运这种货物的数量，连同单位运价c ij ，可以列成表6-1及表6-2。

依题设，由A i 运出去的货物总量应该等于A i 的产量，所以有

∑==n

j i ij

a x

1， i =1，2，…，m 。

同样，运进B j 的货物总量应该等于B j 的销量，可得

∑==n j j ij

b x

1

， j =1，2，…，n 。

单 位 运 价 表

表6-1

平 衡 表

表6-2

在表6-2中，这两组等式为第i 行的未知数x i 1，x i 2，…，x in 的和等于第一行右端的a i ，而第j 列的未知数x 1j ，x 2j ，…，x mj 的和等于这一列底下的b j 。

从表6-1及表6-2中还可以看出，总的运费应该是

z =∑∑==n

i n

j ij ij x c 11。

因此，我们可以把上面的问题归纳为下述线性规划问题

min z =∑∑==n

i n

j ij ij x c 11 )16(-

满足 ⎪⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛=≥====∑∑∑∑====m i n j j i ij m j j ij n

i i ij b a x n j b x m i a x 11110,,,2,1,,,,2,1, )46()36()26(---

这就是运输问题的数学模型。

观察运输问题线性规划模型约束方程的系数矩阵结构具有以下特点。

（1） 元素非1即0

（2） 每一列正好有两个非零元素，所有变量在前m 个（本例为3个）约束中各出现一

次，在后n 个（本例为4 个）约束里也都出现了一次。 （3） 所有的约束条件（不包括非负约束）都是等式。

（4） 产量之和等于销量之和。

除了经常遇到的煤炭、粮食、钢铁、木材等物资的调运问题外，在其它工作中有时也会遇到类似的问题。

例如 设有m 台机床，要加工n 种零件。第i 台机床必须加工出a i 个零件 （i =1，2，…，m ），而第j 种零件必须有b j 个（j =1，2，…，n ），且∑∑===n

i n

j j i b a 1

1

，

c ij 为第i 台机床上加工第j 种零件时每一件的加工费。问这些零件应如何分配给这m 台机床，使总的加工费为最小？

显见，当设x ij 为第i 台机床加工第j 种零件的个数时，就化为一个运输问题。

运输问题既然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。但由于这个问题具有一种固定的结构，比较特殊，所以可以采用另外简便的解法。本章介绍表上作业法及匈牙利方法。

第二节 初始基本可行解的求法

和用单纯形法解线性规划问题一样，运输问题的最优解也一定可以在基本可行解中找到。当找到初始基本可行解以后，要判别是否是最优解，不是最优解时就要进行调整，直到找到最优解为止。下面先来研究运输问题的基本可行

解所具有的特征。

运输问题有m +n 个约束条件，包含m ×n 个变量。在讨论线性规划的标准型式时，一般都假设约束方程组中没有多余方程。但在产销平衡的运输问题的约束方程组中，其增广矩阵的前m 行的和减去后n 行的和恰好得到一个零向量。因此，约束方程组的增广矩阵的行是线性相关的。也就是说，约束方程组中存在多余方程。可以证明，在m +n 个约束方程式中的任意m +n －1个都是线性无关的，从而运输问题的每一组基应由m +n -1个基变量组成。

怎样的m +n －1个变量11j i x ，22j i x ，…，s s j i x （s = m +n －1）组成一组基呢？为此，我们先引入闭回路的概念，然后给出有关定理。

定义 凡是能排列成下列形式的变量的集合称为一个闭回路：

11j i x ，22j i x ，22j i x ，22j i x ，…，11j i x ，22j i x （6-5）

其中i 1，i 2，…，i 3互不相同，j 1，j 2，…，j 3互不相同，这些出现在式(6-5)中的变量称为这个闭回路的顶点。

例如，设m =3，n =4，则x 21，x 22，x 13，x 14，x 34，x 31就是一个闭回路。这里i 1=2，i 2=1，j 1=1，j 2=3，j 3=4。若把闭回路的顶点在表中画出，并且把相邻的两个变量（以及最后一个变量与第一个变量）用一条直线相连（称这些线为闭回路的边），那末上述闭回路就具有表6-3所示形状。

又如12x ，13x ，23x ，22x 和11x ，12x ，32x ，34x ，24x ，21x 也是闭回路，它们画在表上分别如表6-4及表6-5所示。