第四章 运输问题

第四章运输问题本章主要介绍运输问题的及其特殊情形——指派问题的求解方法，其基本要求为：1.能用表上作业法求简单的运输问题的最优解2.会用匈牙利算法求标准指派问题的解。

二．运输问题线性规划模型的特征请与课本（102页）引例比较以下，看看模型的结构与形式是否一致，同时注意了解课本103页下面的加工问题和运输问题的联系。

由上面的模型可以看出，运输问题显然是一个线性规划问题，因我们学过的单纯形法求解，但求解时对每一个等式必须加上一个人工变量（参考当约束条件方程为等式约束时求初始基本可行解的方法），这样将使一个很小规模的运输问题变得较为烦琐。

本章主要介绍的表上作业法求解运输问题，要比一般单纯形法简便得多。

三．表上作业法介绍表上作业法是一种迭代算法，也是从先求出初始基本可行解，然后用检验数判定是否最优解，若是就停止计算，否则就要对解进行调整、判定，直到求出最优解为止。

因为关于以上计算都可以在产销平衡表中进行，所以叫表上作业法。

第一节运输问题的线性规划模型我们在这里再给出一个实际的运输问题的模型。

例1．某公司经销甲产品，它下设有A1 A2 A3三个加工厂，每日产量分别为：A1 ——7吨，A2 ——4吨，A3——9吨。

该公司把这些产品分别运往B1B2B3B4四个销售点，各销售点每日的销量为：B1——3吨，B2——6吨，B3——5吨，B4——6吨。

从各工厂到销售点的单位产品的运价为下表所示，问该公司应该如何调运产品，在满足各销售点需要量的前提下，使总运费最少？解：总产量为20吨，总需求量也为20吨，故产销平衡。

设：x ij 表示有第个加工厂运往第个销售点的甲产品的数量（吨），则可得到该问题的数学模型如下：设某种货物有m 个产地A 1，A 2，…，A m ，产量分别为a 1，a 2，…，a m个单位；另外有n 个销地B 1，B 2，…，B n ，销量分别为b 1，b 2，…，b n 个单位，又假设产销是平衡的，即∑∑===m j nj ji ba 11。

此外，还知道由产地A i 向销地B j 运输每单位货物的运价为c ij 。

问应该如何调运这种货物才能使总的运费为最小？解 设x ij 为由产地A i 向销地B j 调运这种货物的数量，连同单位运价c ij ，可以列成表6-1及表6-2。

依题设，由A i 运出去的货物总量应该等于A i 的产量，所以有∑==nj i ija x1， i =1，2，…，m 。

同样，运进B j 的货物总量应该等于B j 的销量，可得∑==n j j ijb x1， j =1，2，…，n 。

单 位 运 价 表表6-1平 衡 表表6-2在表6-2中，这两组等式为第i 行的未知数x i 1，x i 2，…，x in 的和等于第一行右端的a i ，而第j 列的未知数x 1j ，x 2j ，…，x mj 的和等于这一列底下的b j 。

从表6-1及表6-2中还可以看出，总的运费应该是z =∑∑==ni nj ij ij x c 11。

因此，我们可以把上面的问题归纳为下述线性规划问题min z =∑∑==ni nj ij ij x c 11 )16(-满足 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛=≥====∑∑∑∑====m i n j j i ij m j j ij ni i ij b a x n j b x m i a x 11110,,,2,1,,,,2,1, )46()36()26(---这就是运输问题的数学模型。

观察运输问题线性规划模型约束方程的系数矩阵结构具有以下特点。

（1） 元素非1即0（2） 每一列正好有两个非零元素，所有变量在前m 个（本例为3个）约束中各出现一次，在后n 个（本例为4 个）约束里也都出现了一次。

（3） 所有的约束条件（不包括非负约束）都是等式。

（4） 产量之和等于销量之和。

除了经常遇到的煤炭、粮食、钢铁、木材等物资的调运问题外，在其它工作中有时也会遇到类似的问题。

例如 设有m 台机床，要加工n 种零件。

第i 台机床必须加工出a i 个零件 （i =1，2，…，m ），而第j 种零件必须有b j 个（j =1，2，…，n ），且∑∑===ni nj j i b a 11，c ij 为第i 台机床上加工第j 种零件时每一件的加工费。

问这些零件应如何分配给这m 台机床，使总的加工费为最小？显见，当设x ij 为第i 台机床加工第j 种零件的个数时，就化为一个运输问题。

运输问题既然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

但由于这个问题具有一种固定的结构，比较特殊，所以可以采用另外简便的解法。

本章介绍表上作业法及匈牙利方法。

第二节 初始基本可行解的求法和用单纯形法解线性规划问题一样，运输问题的最优解也一定可以在基本可行解中找到。

当找到初始基本可行解以后，要判别是否是最优解，不是最优解时就要进行调整，直到找到最优解为止。

下面先来研究运输问题的基本可行解所具有的特征。

运输问题有m +n 个约束条件，包含m ×n 个变量。

在讨论线性规划的标准型式时，一般都假设约束方程组中没有多余方程。

但在产销平衡的运输问题的约束方程组中，其增广矩阵的前m 行的和减去后n 行的和恰好得到一个零向量。

因此，约束方程组的增广矩阵的行是线性相关的。

也就是说，约束方程组中存在多余方程。

可以证明，在m +n 个约束方程式中的任意m +n －1个都是线性无关的，从而运输问题的每一组基应由m +n -1个基变量组成。

怎样的m +n －1个变量11j i x ，22j i x ，…，s s j i x （s = m +n －1）组成一组基呢？为此，我们先引入闭回路的概念，然后给出有关定理。

定义 凡是能排列成下列形式的变量的集合称为一个闭回路：11j i x ，22j i x ，22j i x ，22j i x ，…，11j i x ，22j i x （6-5）其中i 1，i 2，…，i 3互不相同，j 1，j 2，…，j 3互不相同，这些出现在式(6-5)中的变量称为这个闭回路的顶点。

例如，设m =3，n =4，则x 21，x 22，x 13，x 14，x 34，x 31就是一个闭回路。

这里i 1=2，i 2=1，j 1=1，j 2=3，j 3=4。

若把闭回路的顶点在表中画出，并且把相邻的两个变量（以及最后一个变量与第一个变量）用一条直线相连（称这些线为闭回路的边），那末上述闭回路就具有表6-3所示形状。

又如12x ，13x ，23x ，22x 和11x ，12x ，32x ，34x ，24x ，21x 也是闭回路，它们画在表上分别如表6-4及表6-5所示。

定理1m+n－1个变量（s = m+n－1）构成基本可行解的充要条件是它不含闭回路。

（证略）有了上述准备，下面介绍几种常用的运输运输的的初始基本可行解的求法。

一、西北角法为清楚起见，用下例介绍这个方法，并将运价表和平衡表合并在一个表中，将单位运价c ij写在左下角，x ij写在右上角。

例1 根据表6-6，求初始基本可行解。

A1 2 x119 x1210 x137 x149A2 1 x21 3 x22 4 x23 2 x24 5解首先，由于最下一行各数字之和与最右一列各数字之和都为21，故满足平衡条件。

从左上角的变量x11开始，先给x11以尽可能大的值，为此令x11=min｛3，9｝=3由x11=3可以看出，x21与x31必须为0，即已经决定了3个未知量的值了。

通常，先画好一张空格表，把求出的未知数以值填在表上。

我们约定，在3的外面画一个圈，在0的地方打上×。

然后再决定x12的值（即未求出x ij值的表的左上角的变量），仍旧使x12取尽可能大的值，不准看出，这时应取x12=min｛9－3，8｝=6在表内x12的位置上填上6并画圈，x13，x14这时应为0，故打上×。

用同样的方法，可以得出x22 =2，x32 =0，x23 =3，x24 =0，x33 =1，x34 =6（见表6-7）。

A1 2 ③9 ⑥10 ×7 ×9A2 1 × 3 ② 4 ③ 2 × 5A38 × 4 × 2 ① 5 ⑥7不难看出，填在表上的数（×代表0）是一组可行解。

此外，画圈的数共有m+n－1个，并且可以证明，用这种方法求得的解是一组基本可行解，而且m+n －1个画圈的地方正好是基变量。

例2 根据表6-8，求初始基本可行解。

A 2 2 x 213 x 224 x 232 x 245 A 3 1x 314x 322x 335x 348解 容易看出，应该取11x =2，21x =0，31x =0。

按上方法，令12x =min ｛3－2，1｝=1。

这时，显然13x ，14x ，22x 及32x 都必须为0。

但我们只在一个方向上打×，即或在行上，或在列上打×，然后决定22x 的值，它应该等于min ｛0，5｝=0，此时在22x 处写上0，并画上圈，而在32x 处打上×，继续做下去，可以得到23x =5，24x =0，33x =2，34x =6，（见表6-9）。

A 1 7 ② 8 ① 1 ×4 × 8 A 2 2 ×6 ○05 ⑤ 8 × 5 A 3 1 ×4×2②7 ⑥8在x 22处写0并画圈的目的是使带圈的个数保持为m +n －1个。

因为前面已经说过，画圈的地方正好是基变量，而基变量必须是m +n －1个。

从以上例子可以看出，西北角法的一般步骤为：1．先决定左上角变量的值，令这个变量取尽可能大的值，并在这个位置上所填的数外面画上圈。

2．在填数的格子所在行或列的应该为0的格子上打×。

若行或列都应该取0，则在行上打了×以后，就不能在列上打×。

反之，在列上打×后就不能在行上打×。

3．对没有填数及打×的地方重复上述步骤，若剩余空格的左上角的变量应取0，则应写上0并画圈。

二、最小元素法用西北角法求初始基本可行解时没有考虑c ij 的值，若能将c ij 的值考虑进去，常可使求得的基本可行解对应的目标函数∑∑===m i nj ij ij x c z 11的值小些。

这就能够接近于最优解，从而减小迭代次数。

仍以例1为例，最小元素法不是从x 11开始，而是从c ij 取最小值的空格开始（若有几个地方同时达到最小，则可任取一个）。

在例1中，c 21=1最小，故我们先定x 21的值，和西北角法一样，给x 21以尽可能大的值，即令x 21= min ｛3，5｝=3，在x 21处填上3并画圈，然后在x 11，x 31处打上×。