高中物理竞赛理想气体

高中物理竞赛——理想气体

1、气体实验三定律

在压强不太大，温度不太低的条件下，气体的状态变化遵从以下三个实验定律

a 、玻意耳-马略特定律：一定质量气体温度不变时，P 1V 1 = P 2V 2或PV = 恒量

b 、查理定律：一定质量气体体积不变时，

1

1T P =

22T P 或T

P = 恒量

c 、盖·吕萨克定律：一定质量气体压强不变时，1

1T V = 2

2T V 或T

V = 恒量

【例题4】如图6-6所示，一端封闭、内径均匀的玻璃管长L = 100cm ，其中有一段长L ′= 15cm 的水银柱把一部分空气封闭在管中。当管水平放置时，封闭气柱A 长L A = 40cm 。现把管缓慢旋转至竖直后，在把开口端向下插入水银槽中，直至A 端气柱长"A L = 37.5cm 为止，这时系统处于静止平衡。已知大气压强P 0 = 75cmHg ，过程温度不变，试求槽内水银进入管内的水银柱的长度h 。

【解说】在全过程中，只有A 部分的气体质量是不变的，B 部分气体则只在管子竖直后质量才不变。所以有必要分过程解本题。

过程一：玻管旋转至竖直

A 部分气体，L A ′=

'A

A P P L A =

15

7575-×40 = 50cm

此时B 端气柱长L B ′= L − L A ′− L ′= 100 − 50 − 15 = 35cm 过程二：玻管出入水银槽

A 部分气体（可针对全程，也可针对过程二），

"

A P = "'

A

A L L '

A P = 5.3750×60 = 80cmHg

B 部分气体，"

B L =

"'

B B P P 'B L = L A 0P P P '

+"'

B L = 158075+×35 ≈ 27.6cm 最后，h = L - "A L − L ′− "B L

【答案】19.9cm 。

2、理想气体

宏观定义：严格遵守气体实验定律的气体。

微观特征：a 、分子本身的大小比起它们的间距可以忽略，分子不计重力势能；b 、除了短暂的碰撞过程外，分子间的相互作用可以忽略——意味着不计分子势能；c 、分子间的碰撞完全是弹性的。

*理想气体是一种理想模型，是实际气体在某些条件约束下的近似，如果这

些条件不满足，我们称之为实际气体，如果条件满足不是很好，我们还可以用其它的模型去归纳，如范德瓦尔斯气体、昂尼斯气体等。

理想气体压强的微观解释：P = 3

2n K ε，其中n 为分子数密度（n = V

N ）。

3、理想气体状态方程：一定质量的理想气体，

1

1

1T V P = 2

22T V P 或T

PV = 恒量

理想气体状态方程可以由三个试验定律推出，也可以由理想气体的压强微观解释和温度微观解释推导得出。 【例题5】如图6-7所示，在标准大气压下，一端封闭的玻璃管长96cm ，内有一段长20cm 的水银柱，当温度为27℃且管口向上竖直放置时，被封闭的气柱长为60cm 。试问：当温度至少升高到多少度，水银柱才会从玻璃管中全部溢出？

【解说】首先应该明确的是，这是一个只有唯一解的问题还是一个存在范围讨论的问题。

如果是前一种可能，似乎应该这样解：1

11T L P = 2

22T L P ，即

300

60

2076⨯+）（ =

2

T 9676⨯，得：T 2 = 380K

但是，仔细研究一下升温气体膨胀的全过程，就会发现，在某些区域，准静态过程是不可能达成的，因此状态方程的应用失去意义。

为了研究准静态过程是否可能达成，我们可以假定水银柱是受到某种制约而准静态膨胀的，这样，气柱的压强只受玻马定律制约（而与外界大气压、水银柱长没有关系），设为P 。而对于一般的末状态，水银柱在管中剩下的长度设为x 。从初态到这个一般的末态

1

11T L P = T PL ，即

300

60

2076⨯+）（ = T

)x 96(P -，得 P = x

96T 2.19-

隔离水银柱下面的液面分析，可知 P ≤ 76 + x 时准静态过程能够达成（P 可以随升温而增大，直至不等式取等号），而P ＞ 76 + x 时准静态过程无法达成（T 升高时，P 增大而x 减小），水银自动溢出。

所以，自动溢出的条件是：T ＞ 2

.191（－x 2 + 20x

+ 7296）

考查函数 y =

2

.191

（－x 2 + 20x + 7296）发现，

当x = 10cm 时，y max = 385.2K

而前面求出的x = 0时，T 只有380K ，说明后阶段．．．无须升温，即是自动溢出过程．．．．．．．．．．．．．（参照图6-8理解）。而T ＞ y max 即是题意所求。

【答案】385.2K 。

a 、推论1：

1

11T P ρ =

2

22T P ρ，此结论成功地突破了“质量一定”的条件约束，

对解某些特殊问题非常有效。

b 、克拉珀龙方程：原方程中，将“恒量”定量表达出来就成为PV = νRT ，其中ν为气体的摩尔数，这个结论被成为克拉珀龙方程。它的优点是能使本来针

对过程适用的方程可以应用到某个单一的状态。

c 、推论2：气体混合（或分开）时，

1

11T V P + 222T V P + … +

n

n n T V P ⇔

T

PV ，这

个推论很容易由克拉珀龙方程导出。

【例题6】图6-9是一种测量低温用的气体温度计，它的下端是测温泡A ，上端是压力计B ，两者通过绝热毛细管相连，毛细管容积不计。操作时先把测温计在室温T 0下充气至大气压P 0 ，然后加以密封，再将A 浸入待测液体中，当A 和待测液体达到热平衡后，B 的读数为P ，已知A 和B 的容积分别为V A 和V B ，试求待测液体的温度。

【解说】本题是“推论2”的直接应用

B A 0T )

V V (P + = A

A T PV + 0

B T PV

【答案】T A = B

B A 00

A PV )V V (P T PV -+

【例题7】图6-10所示是一定质量理想气体状态变化所经历的P-T

图线，该图线是以C 点为圆心的圆。P 轴则C 点的纵坐标P C 为单位（T 轴以T C 为单位）。若已知在此过程中气体所经历的最低温度为T 0 ，则在此过程中，气体密度的最大值ρ1和最小值ρ2之比ρ1/ρ2应等于多少？

【解说】本题物理知识甚简，应用“推论1”即可。

1

11T P ρ =

2

22T P ρ ⇒ 2

1ρρ = 1

221T P T P =

2

211T /P T /P

此式表明，T

P 越大时，ρ就越大。故本题归结为求T

P

的极大值和极小值。

方法一：P 与T 的关系服从圆的方程（参数方程为佳） T = T c + rcos θ P = P C + rsin θ

引入 y = T

P =

θ

+θ

+cos r T sin r P C C ，然后求这个函数的极值…

方法二：见图6-11，从T

P 的几何意义可知，T

P 等于状态点到原点的连线与T 轴夹角的正切值，求T

P 的极大和极小归结为求这个正切值

的极大和极小——很显然，当直线与圆周的两处相切时，出现了这样的极大和极小值。

θmax = α + β ，θmin =α − β

而 tg α= C

C T P

sin β=

2C

2C P T r

+ ⇒ tg β=

C 0C T T 2T T -

（注意：依题意，r = T C − T 0 ） 所以 tg θmax =

β

α-β

+αtg tg 1tg tg =

)

T T (P T T 2T )T T (T T T 2P 0C C 0C C 0C C 0C C ---+