解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略
新课改中“数形结合”应用一点思考
新课改中“数形结合”应用的一点思考摘要：数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题，或将图形信息全部转成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论.就高中数学中常见的几种类型题的解题方法做了一些对比，突出数形结合思想的特征.关键词：数形结合；函数图象；应用数形结合是通过“以形助数”或“以数助形”，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，解决问题的一种数学思想方法.它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用.具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论.数形结合应用广泛，不仅在解决选择题、填空题时显示出它的优越性，而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高考试题中也得到了加强，这种发展趋势在我几年来的新课改教学中也深有体会.下面就以下几种常见题型结合自己的教学感受做一点初步探讨。
一、解决集合、函数问题利用韦恩图、数轴及常见函数图象例1 设a=x|-2≤x≤a，b=y|y=2x+3且x∈a，c={z|z=x2且x∈a}，若c？哿b，求实数a的取值范围.点拨解决集合问题首先应看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决.【解析】∵y=2x+3在[-2，a]上是增函数，∴-1≤y≤2a+3，即b=y|-1≤y≤2a+3，作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下：（1）当-2≤a≤0时，a2≤z≤4，即c=z|a2≤z≤4，要使c？哿b，必须且只需2a+3≥4，得a≥■，与-2≤a必须且只需2a+3≥40≤a≤2，解得■≤a≤2.（3）当a>2时，0≤z≤a2，即c=z|0≤z≤a2，要使c？哿b，必须且只需a2≤2a+3a>2，解得2（4）当a0即x2+12x+3=-6a（x>0或x0或x（2）在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图象之中，将数（量）与图形结合起来进行分析、研究，可使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来.例4 在直角坐标系xoy中，■，■分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形abc中，■=2■+■，■=3■+k■，则k的可能值有（）a.1个b.2个c.3个d.4个所以k的可能值个数是2.解法二：（数形结合）如图，将a放在坐标原点，则b点坐标为（2，1），c点坐标为（3，k），所以c点在直线x=3上，由图知，只可能a、b为直角，c不可能为直角.所以k的可能值个数是2.图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种有效的思维策略.【规律小结】几何图形向量化，向量问题坐标化，运用向量坐标运算解决几何中的共线、垂直、夹角、距离等问题。
高考数学专题：解析几何新题型的解题技巧
0.
(16
k2)
2 1
32 1 16 16 k 2
0.
3
同理有： (16
k2 )
2 2
32 2 16 16 k 2
0.
3
若 16 k2 0, 则直线 l 过顶点 , 不合题意 . 16 k2 0,
1, 2 是二次方程 (16 k 2 ) x2 32x 16 16 k 2 0.的两根 . 3
32
1
2 k 2 16
解答过程：（ 1）设 A 、 B 坐标分别为 A(x 1, y1), B(x 2, y2 ) ,
则
x
2 1
a2
y
2 1
b2
1,
x
2 2
a2
y
2 2
b2
1,
二式相减得：
k AB
y1 y2
x1 x2
(x 1 x 2 )b 2 (y 1 y2 )a 2
2b 2
1 ( 1)
a2
k MN
24
1,
若以 若椭
所以 a2 2b 2 2(a 2 c2 ) ,
考查意图 : 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用
.
则 |AB| 等于
解：设直线 AB 的方程为 y x b ,
y
由
x2 3 x2 x b 3 0 x1 x2
1,
进而
y xb
可求出 AB 的中点 M (
1 ,
1
b) ,
22
11
又由 M ( ,
b) 在直线 x y 0 上可求出 b 1,
84
对于双曲线 C : c 2 , 又 y 3x 为双曲线 C 的一条渐近线
提高解析几何数学运算能力的策略——以20_23年高考全国乙卷理数第20题为例
提高解析几何数学运算能力的策略——以2023年高考全国乙卷理数第20题为例ʏ河南省郑州市第一〇一中学 冯连福解析几何数学运算能力是指在明晰运算对象(直线㊁圆㊁圆锥曲线等)的基础上,依据运算法则解决数学问题的能力㊂同学们在解析几何数学运算中存在的诸多问题,要通过数学运算专项训练,培养良好的数学运算习惯,增强数学运算的信心,提高数学运算的正确率,达到 敢计算 愿计算 会计算 的效果㊂下面以2023年高考全国乙卷理数第20题为例,说明提高解析几何数学运算能力的策略㊂题目:已知椭圆C :y2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率为53,点A (-2,0)在椭圆C 上㊂(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点(-2,3)的直线交椭圆C 于P ,Q 两点,直线A P ,A Q 与y 轴的交点分别为M ,N ,证明:线段MN 的中点为定点㊂解析:(1)由题意得b =2,c a =53㊂又a 2=b 2+c 2,解得a =3,b =2㊂椭圆C 的标准方程为y 29+x 24=1㊂(2)求解定点问题的常用方法是先猜后证㊂若直线P Q 的斜率趋于零,则点M ㊁N 趋于点(0,3),故MN 中点过定点(0,3),下面证明这个结论㊂策略一 点斜式正设㊂先用点斜式设出直线P Q ,再将直线方程与椭圆方程联立㊂设直线P Q 的方程为y =k (x +2)+3,即y =k x +2k +3,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (0,y M ),N (0,y N )㊂联立y =k x +2k +3,9x 2+4y 2-36=0,得(9+4k 2)x 2+(16k 2+24k )x +(16k 2+48k )=0㊂因此,x 1+x 2=-16k 2+24k4k 2+9,x 1x 2=16k 2+48k9+4k2㊂易知直线A P 的方程为y =y 1x 1+2(x +2),令x =0,则M 0,2y 1x 1+2㊂同理可得,N 0,2y2x 2+2 ㊂设MN 的中点为0,y M+yN2 ㊂所以y M +y N 2=y 1x 1+2+y 2x 2+2=(k x 1+2k +3)(x 2+2)+(k x 2+2k +3)(x 1+2)(x 1+2)(x 2+2)=2k x 1x 2+(4k +3)(x 1+x 2)+8k +12x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=3㊂MN 的中点是定点(0,3)㊂策略二 点斜式反设㊂先用点斜式反设直线P Q ,再将直线方程与椭圆方程联立,此策略计算量较策略一少一些㊂设直线P Q 的方程为x +2=k (y -3),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (0,y M ),N (0,y N )㊂联立x +2=k (y -3),y 29+x 24=1,得(9k 2+4)y 2-18(3k +2)k y +81k 2+108k =0㊂因此,y 1+y 2=18k (3k +2)9k 2+4,y 1㊃y 2=81k 2+108k9k 2+4㊂因为直线A P 的方程为y =y 1x 1+2(x +2),所以y M =2y 1x 1+2㊂同理,y N =2y 2x 2+2㊂故y M +y N2=y 1x 1+2+y 2x 2+2=y 1k (y 1-3)+y 2k (y 2-3)=1k ㊃y 1y 1-3+y 2y 2-3=1k ㊃2y 1y 2-3(y 1+y 2)y 1y 2-3(y 1+y 2)+9=1k ㊃54㊃(3k 2+4k )-3㊃18k ㊃(3k +2)27(3k 2+4k )-3㊃18k ㊃(3k +2)+9(9k 2+4)=1k ㊃108k36=3㊂故MN 的中点是定点(0,3)㊂策略三 斜截式正设㊂先用斜截式设出直线P Q ,再将直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理写出表达式,最后代入m =2k +3化简㊂此策略数学运算量较前两种少㊂设直线P Q 的方程为y =k x +m ,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (0,y M ),N (0,y N )㊂因为P Q 过(-2,3),所以m =2k +3㊂联立y =k x +m ,4y 2+9x 2-36=0,得(4k 2+9)x 2+8k m x +4m 2-36=0㊂故x 1+x 2=-8k m 4k 2+9,x 1x 2=4m 2-364k 2+9㊂则y M +y N2=y 1x 1+2+y 2x 2+2=2k x 1x 2+(2k +m )(x 1+x 2)+4mx 1x 2+2(x 1+x 2)+4㊂(思路一)直接代入韦达定理因此,y M +y N2=2k x 1x 2+(2k +m )(x 1+x 2)+8k +12x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=2k (4m 2-36)+(2k +m )(-8k m )+4m (4k 2+9)4m 2-36+2(-8k m )+4(4k 2+9)=8k m 2-72k -16k 2m -8k m 2+16m k 2+36m4m 2-16k m +16k2=36(m -2k )4(m -2k )2=9m -2k =3㊂所以MN 的中点是定点(0,3)㊂(思路二)先分离常数再代入韦达定理,计算量会少一些㊂因此,y M +y N2=2k x 1x 2+(2k +m )(x 1+x 2)+4mx 1x 2+2(x 1+x 2)+4=2k +3(x 1+x 2)+12x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=3㊂所以MN 的中点是定点(0,3)㊂策略四 斜截式反设㊂先用斜截式仅设出直线P Q ,再将直线方程与椭圆方程联立㊂设P Q :x =m y +n ,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)㊂因P Q 过(-2,3),故3m +n =-2,即b +2=-3m ㊂联立x =m y +n ,4y 2+9x 2-36=0,得4y 2+9(m y +n )2-36=0㊂则(4+9m 2)y 2+18m n y +9(n 2-4)=0㊂因此,y 1+y 2=-18m n 9m 2+4,y 1y 2=9(n 2-4)9m 2+4㊂其中Δ=(18m n )2-4(4+9m 2)㊃9(n 2-4)>0,则9m 2-n 2+4>0㊂由于A P :y =y 1x 1+2(x +2),故可得点M 0,2y 1x 1+2㊂同理可得,点N 0,2y 2x 2+2㊂故MN 中点的纵坐标为:y 1x 1+2+y 2x 2+2=y 1m y 1+n +2+y 2m y 2+n +2=y 1m (y 1-3)+y 2m (y 2-3)=2y 1y 2-3(y 1+y 2)m [y 1+y 2-3(y 1+y 2)+9]=1m ㊃2㊃9(n 2-4)+3㊃18m n9(n 2-4)+3㊃18m n +9(9m 2+4)=1m ㊃2(n 2-4)+6m n(3m +n )2=n 2-4+3m n2m=n (n +3m )-42m =3㊂故MN 的中点是定点(0,3)㊂策略五 点斜式正设+斜率同构㊂先对直线A P ㊁A Q 方程的点斜式正设,再与椭圆方程联立,求点P ,Q 坐标,最后斜率同构㊂设A P :y =k 1(x +2),A Q :y =k 2(x +2),设P (x P ,y P ),Q (x Q ,y Q )㊂设P Q :y -3=k (x +2)㊂联立y =k 1(x +2),y 29+x 24=1,得4k 21(x +2)2+9x 2=36㊂即(4k 21+9)x 2+16k 21x +16k 21-36=0㊂所以x A x P =16k 21-364k 21+9㊂由于x A =-2,故x P =18-8k 214k 21+9,y P =k 1(x P +2)=36k 14k 21+9㊂因为点P 在直线y -3=k (x +2)上,所以36k 14k 21+9-3=k ㊃364k 21+9㊂整理得12k 21-36k 1+36k +27=0㊂同理,12k 22-36k 2+36k +27=0㊂故k 1㊁k 2是12x 2-36x +36k +27=0的解,则k 1+k 2=3㊂因为M (0,2k 1),N (0,2k 2),所以MN 的中点是(0,k 1+k 2)㊂故MN 的中点是定点(0,3)㊂策略六 斜截式反设+斜率同构㊂先对直线A P ㊁A Q 方程的斜截式反设,再求点P ,Q 坐标㊂设B (-2,3),由B ,P ,Q 三点共线,得到1m 1+1m 2=3㊂设A P :x =m 1y -2,A Q :x =m 2y -2,P (x P ,y P ),Q (x Q ,y Q )㊂联立x =m 1y -2,y 29+x 24=1,得(4+9m 21)y 2-36m 1y =0㊂所以y A +y P =36m 14+9m21,解得y P =36m 14+9m 21,x P =m 1y P -2=18m 21-84+9m 21㊂P 点坐标为18m 21-84+9m 21,36m 14+9m 21㊂同理,Q 点坐标为18m 22-84+9m 22,36m 24+9m 22㊂因为B ,P ,Q 三点共线,所以y P -3x P +2=y Q -3x Q +2,代入化简得1m 1+1m 2=3㊂因为M 0,2m 1 ,N 0,2m 2,所以MN 的中点为定点(0,3)㊂策略七 点斜式正设+齐次化法㊂先用点斜式正设直线A P ㊁A Q 的方程,求出MN 中点坐标,联想齐次化㊂齐次化解题的要点是消常数项㊂设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)㊂则直线A P 的方程为y =y 1x 1+2(x +2),故M 0,2y 1x 1+2㊂同理可得,N 0,2y 2x 2+2㊂则MN 的中点为0,y 1x 1+2+y 2x 2+2㊂下面求y 1x 1+2+y 2x 2+2,联想齐次化㊂设直线P Q 的方程为m (x +2)+n y =1㊂因P Q 过(-2,3),故3n =1㊂联立m (x +2)+n y =1,9x 2+4y 2=36,得:9[(x +2)-2]2+4y 2=36㊂即(9-36m )(x +2)2-36n (x +2)y +4y 2=0,4y x +22-36n yx +2+9-36m =0㊂所以y 1x 1+2+y 2x 2+2=9n =3㊂故MN 的中点是定点(0,3)㊂策略八 坐标轴平移+齐次化法+一般式㊂由于MN 中点的纵坐标与斜率有关,为简化计算,自然联想到以点A 为坐标系原点建立坐标系㊂将椭圆向右平移2个单位,即以A 为原点建立平面直角坐标系,则平移后椭圆C 方程为y 29+(x -2)24=1,即9x 2+4y 2-36x =0㊂设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)㊂则直线A P 的方程为y =y 1x 1㊃x ,可得M 2,2y 1x 1㊂同理可得,N 2,2y 2x 2㊂故y M +y N 2=y 1x 1+y 2x 2㊂所以MN 的中点是2,y 1x 1+y 2x 2㊂下面求y 1x 1+y 2x 2㊂设P Q :m x +n y =1㊂因为直线P Q 过点(0,3),所以3n =1㊂联立m x +n y =1,9x 2-36x +4y 2=0,得9x 2-36x (m x +n y )+4y 2=0㊂整理得(9-36m )x 2-36n x y +4y 2=0㊂则4yx2-36n y x+(9-36m )=0㊂故y 1x 1+y 2x 2=9n =3,即平移后MN 的中点为(2,3)㊂故平移前MN 的中点为定点(0,3)㊂策略九 二次曲线系㊂此题是定点定值问题,背景是极点极线问题,故可用二次曲线系㊂设直线A P 的方程为x =m y -2,即x -m y +2=0㊂直线A Q 的方程为x =n y -2,即x -n y +2=0㊂直线P Q 的方程为y -3=k (x +2),即k x -y +2k +3=0㊂点A 处切线方程为x =-2,即x +2=0㊂设M (0,y M ),N (0,y N )㊂令x =0,则y M =2m ,y N =2n㊂M N 的中点为0,1m +1n ,即0,m +n m n㊂下面求m +nm n㊂过A ,B ,C 三点的二次曲线系方程为:(x -m y +2)(x -n y +2)+λ(x +2)㊃(k x -y +3+2k )=μy 29+x 24-1㊂对比两边展开式系数得:x 2项系数,1+λk =14μ;①y 2项系数,m n =19μ;②x y 项系数,-m -n -λ=0;③常数项,4+2λ(3+2k )=-μ㊂④由④得1+λk =-32λ-14μ㊂代入①式得μ=-3λ㊂由③得m +n =-λ㊂则m +n m n =-λ19μ=-λ19(-3λ)=3㊂故MN 的中点为定点(0,3)㊂策略十 斜率同构㊂先由点斜式正设A P ㊁A Q ㊁P Q 的方程,再联立求点P ㊁Q 坐标,最后将两点坐标代入椭圆方程,利用同构求出k 1+k 2值,即求出中点坐标㊂设直线A P 的方程为y =k 1(x +2),则点M 的坐标为(0,2k 1)㊂设直线A Q 的方程为y =k 2(x +2),则点N 的坐标为(0,2k 2)㊂则MN 的中点为(0,k 1+k 2)㊂下面求k 1+k 2的值㊂设直线P Q 的方程为y =k (x +2)+3㊂将直线A P 与直线P Q 联立,求点P 坐标㊂由y =k (x +2)+3,y =k 1(x +2),得:P3k 1-k -2,3k 1k 1-k㊂同理可得,点Q的坐标为3k 2-k -2,3k 2k 2-k㊂因为点P 在椭圆9x 2+4y 2=36上,所以93k 1-k -22+43k 1k 1-k2=36㊂即99(k 1-k )2-12k 1-k +4+36k 21(k 1-k )2=36,也即4k 21-12k 1+12k +9=0㊂同理,点Q 在椭圆9x 2+4y 2=36上,可得4k 22-12k 2+12k +9=0㊂所以k 1㊁k 2是方程4x 2-12x +12k +9=0的解㊂故k 1+k 2=124=3㊂所以MN 的中点为定点(0,3)㊂以上为常用解题策略,请同学们仔细领会㊁认真钻研,对于不同的情景选择合适的策略,提高自己的解析几何数学运算能力㊂注:本文系2023年度河南省基础教育教学研究项目 基于核心素养的高中生解析几何数学运算能力测评与对策研究 (立项编号J C J Y C 2303010018)研究成果㊂(责任编辑 徐利杰)。
解析几何解题策略
用三角函数求最值要有主
元变换思想，把三角函数 化为单一三角函数是难点。
三．几何策略
若题目中的条件与结论能蕴涵特定的几何特征
及几何意义，那么不妨借助图形，利用几何性质或 定义来处理最值问题。
1． 赋予特定的几何意义
有些最值问题具有相应的几何意义，如求分数最值联想到斜率公式，求平 方和最值联想到距离公式，由
ห้องสมุดไป่ตู้
3．线性规划 当实数对x、y所应的点
在一个区域或一条线段上
时 ， 求 最 值题 可 以 从 线性 规划的角度去处理。如若x、
y满足 ，则–2 x + y 的最大
值是 （略解）
4．利用平面几何知识 解析几何与平面几何是
密切相关的，灵活运用平面
几何知识亦会使一些最值问 题易于解决。
设而不求是解析几何的重要解题策略，在许多题目的 解答中，常常可以起到简化计算的作用。许多同学会问：什 么情况下，可以通过设而不求解答问题呢？本文介绍设而不 求的若干实施途径，供大家参考。 一、利用直线方程的两点式求直线方程时，利用直线方程的定义，实现设而不求
二、解答有关点在圆锥曲线上的问题时，借助圆锥曲线定义，整体考虑，实现设而 不求
三、解答与圆锥曲线的弦的中点、斜率有关的问题时，通过代点相减，实现设而不 求
四、对多元问题，围绕解题目标，通过逐步消元，实现设而不求
3．判别式
利用判别式求最值要有主元变换的思想，而且原方程必须存在实数解， 即原问题中的最值是存在的。
4．均值不等式
用均值不等式求最值要积累“配凑”技巧与方法，同时三条件“一正二定三 相等”缺一不可。
二．三角策略
圆、椭圆、双曲线的
参数方程，为我们将某些 最值问题转化为三角问题 且利用三角函数的有界性 来研究提供了可能性。利
初中数学数形结合题型的解题技巧
２ ０ １ ５ 年第 １ ｌ 期（ 下）
中学数学研究
分 析 ：本 例 如 果 不 考 虑 函 数 图
Ｌ
４ ７
／ 、 （ ２ ， ３ ）
是运 用代数 知识 处 理几何 图形 问题； 二是运 用几 何知识， 通
样 也就给我们提供 了数形结合 的条件 ． 由于 图形 的直 观性， 把数 量关 系借 助于 图形来说 明， 例
数方 法统一处 理几何 问题， 成为 现代数学 的先驱 ， 几何 问题 的代数化 ， 这乃 是数学 的一 大进步． 我们说 “ 数形结 合” 是发
挥数与形的双重优越性， 而不是用 几何取代代数 ．
一
的特点往往 能帮助 我们去 解决 困难 、 繁琐 的问题， 克服研究 数与式 的抽象枯燥 的推理及冗长 的计算 的困难．
１ 数 形结 合思 维概 述
１ ． １ 数形结合的本质 数 学 是研 究 客 观 世界 数 量关 系和 空 间形 式 的一 门科 学， 在初 中阶段 学 习的数 学， 分 成代数 和几 何 两 门学科， 在 代 数 中主 要 是 研 究 数量 关 系， 在 几何 中 主要 是研 究 空 间
中学数 学研 究
２ ０ １ ５年 第 １ １ 期 （ 下）
初 中数学数形结合题型 的解题技巧
江苏省江阴市南闸实验 学校 （ ２ １ ４ ４ ０ ５ ） 李 雷
数 学是一门研究空问形式与数量关 系的 自然科学． 人们 在认识和改造 自然 的过 程 中发现 “ 数” 与“ 形” 之间有着 紧密
的点 Ｐ与有序实数 对 （ Ｘ ， Ｙ ） 也 就 建 立 了… 一 对 应 的 关 系， 这
“解析几何”中常用的数学思想方法
“解析几何”中常用的数学思想方法数学思想是数学的灵魂，是将知识转化为能力的桥梁，也是解决问题的思维策略．《解析几何》内容中蕴含着丰富的数学思想，例谈如下：1.数形结合的思想数形结合是研究曲线与方程的最重要的思想方法．应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.例1．如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM =,试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程．思路分析：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：ＰＭ＝PN 2,即 ＰＭ２＝２ＰＮ２，结合图形由勾股定理转化为：)1(212221-=-PO PO ,设P(x ,y ),由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所求轨迹方程解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O 1（-2，0），O 2（2，0），由已知：ＰＭ＝PN 2,即ＰＭ２＝２ＰＮ２，因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212221-=-PO PO ，设P （x ,y ）则（x +2）2+y 2-1=2[(x -2)2+y 2-1]，即33)6(22=+-y x综上所述，所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）． 2.分类讨论的思想所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
例2．在平面直角坐标系中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程； （Ⅱ）求折痕的长的最大值。
高中数学解析几何的常见问题与教学策略
281教法研究2020年第11期高中数学解析几何知识有较强的综合性，涉及向量、不等式、函数等方面的知识内容。
想要有效解决解析几何问题，学生必须全面掌握相关的知识内容。
因此，数学教师应采取有效方法培养学生的综合素质，发展学生的数学建模能力、数学运算能力和逻辑推理能力。
本文探讨高中数学解析几何的常见问题，同时也对高中数学解析几何问题的教学起到抛砖引玉的作用。
1 高中数学解析几何的问题1.1 解析几何知识难度大解决解析几何问题时，需要使用代数转换方法，要处理较多的公式和字母代号。
一些学生在学习中可能不适应这种计算方式，不懂得如何进行化简。
此外，解析几何综合了代数公式和几何知识，学生在解题中要发散思维和数形结合思考。
总的来说，解析几何题目有题型灵活、计算量大、综合能力要求高、难度大的特点，对学生的要求较高。
1.2 学生的计算习惯不好解析几何解题中，计算量比较大。
一些题目看起来可能并不难，但是如果没有熟练掌握解析几何解题思路和化简的技巧，解题难度是比较大的。
一些计算能力和数学基础较弱的学生可能会直接放弃这种题目，由于他们的计算习惯不好，解题步骤不灵活，所以不仅计算量大、最终往往难以获得正确结果。
还有一部分学生在解题中相对焦躁，缺乏耐心和细心，更是难以解决问题。
1.3 基础知识掌握不扎实解析几何知识的综合性较强，在数学课堂教学中，数学教师会首先设计一些相对简单的题目，这是为了学生快速进入学习状态。
一些学生错误认为这方面题目难度普遍偏低，在基础知识学习中没有重视，所以在后续解决难题的时候，常常因为基础不扎实碰到困难，导致平时练习和考试中出现粗心做错题目或者不会做的情况。
2 高中数学解析几何的教学策略2.1 多角度解决问题高中数学解析几何的解题方法并不是唯一的，许多题目可以从不同的切入点来解决。
并且解析几何中蕴含着非常丰富的数学思想方法，这些思想方法贯穿着整个知识结构，也就是说：挖掘解析几何知识中数学思想方法的运用不仅具有着重要的实际意义，并且对于学生数学能力与素养的培养起着不可估量的作用。
论高中数学“数形结合”在解题中的应用
论高中数学“数形结合”在解题中的应用【摘要】高中数学中的“数形结合”概念是指通过数学知识和图形形式相结合，解决数学问题的方法。
本文从数形结合在解题中的重要性入手，探讨了数形结合在几何、代数、概率、数列以及解析几何题中的应用。
通过具体的例题分析，展示了数形结合在解题过程中的实际运用和优势，强调数形结合是解题的有效策略。
文章指出数形结合不仅可以帮助解题，还可以深化对数学概念的理解，从而提高学生的数学素养。
数形结合在高中数学学习中具有重要意义，是一种促进数学思维发展的有效方法。
通过本文的阐述，读者可以更好地理解数形结合的概念及其在解题中的应用，从而提升自己的数学学习能力。
【关键词】高中数学、数形结合、解题、几何题、代数题、概率题、数列题、解析几何题、有效策略、数学概念、重要意义1. 引言1.1 高中数学中的数形结合概念高中数学中的数形结合概念是指将数学中的代数和几何相结合，通过图形的形状和数学符号的运算相互联系，从而更好地理解和解决数学问题。
数形结合是一种将抽象的数学概念与具体的几何形状相结合的方法，通过这种方式可以更直观地理解和应用数学知识。
在数学学习中，数形结合的概念可以帮助学生更深入地理解数学概念，提高解题的效率和准确性。
通过将代数和几何相结合，学生可以更好地理解抽象概念，并将其应用到具体问题中。
数形结合的概念不仅可以帮助解决数学题目，还可以帮助学生培养逻辑思维和数学建模的能力。
高中数学中的数形结合概念对于学生的数学学习和能力提升具有重要意义。
通过深入理解数形结合的概念，学生可以更好地掌握数学知识，提高解题的能力，为将来的学习和工作打下良好的数学基础。
1.2 数形结合在解题中的重要性数形结合在解题中的重要性体现在数学问题解决过程中起着至关重要的作用。
通过将数学中的抽象概念与形象直观的图形结合起来，能够帮助学生更好地理解和应用所学知识。
数形结合可以让抽象的数学公式和定理变得更加具体和生动，使问题更容易被理解和解决。
(完整版)解析几何的解题思路、方法与策略分析
解析几何的解题思路、方法与策略高三数学复习的目的. 一方面是回顾已学过的数学知识. 进一步巩固基础知识. 另一方面. 随着学生学习能力的不断提高. 学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复. 而是有对所学知识进一步理解的需求. 如数学知识蕴涵的思想方法、 数学知识之间本质联系等等. 所以高三数学复习既要“温故” . 更要“知新” . 既能引起学生的兴趣. 启发学生的思维. 又能促使学生不断提出问题. 有新的发现和创造. 进而培养学生问题研究的能力．以“圆锥曲线与方程”内容为主的解题思想思路、方法与策略是高中平面解析几何的核心内容. 也是高考考查的重点．每年的高考卷中.一般有两道选择或填空题以及一道解答题. 主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的灵活运用. 而解答题注重对数学思想方法和数学能力的考查.重视对圆锥曲线定义的应用. 求轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系的考查．解析几何在高考数学中占有十分重要的地位.是高考的重点、热点和难点．通过以圆锥曲线为主要载体.与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合.结合数学思想方法.并与高等数学基础知识融为一体.考查学生的数学思维能力及创新能力.其设问形式新颖、有趣、综合性很强．基于解析几何在高考中重要地位.这一板块知识一直以来都是学生在高三复习中一块“难啃的骨头” ．所以研究解析几何的解题思路.方法与策略.重视一题多解.一题多变.多题一解这样三位一体的拓展型变式教学.是老师和同学们在高三复习一起攻坚的主题之一．本文尝试以笔者在实际高三复习教学中.在教辅教参和各类考试中遇到的几道题目来谈谈解析几何解题思路和方法策略．一、一道直线方程与面积最值问题的求解和变式例1 已知直线l 过点(2,1)M - .若直线l 交x 轴负半轴于A.交y 轴正半轴于B.O 为坐标原点.（1）设AOB ∆的面积为S .求S 的最小值并求此时直线l 的方程；（2）求OA OB +最小值； （3）求M MA B ⋅最小值．解：方法一：∵直线l 交x 轴负半轴.y 轴正半轴.设直线l 的方程为(2)1(0)y k x k =++>.∴）（0,12kk A -- )12,0(+k B . （1）∴422122)12(2≥++=+=kk k k S , ∴当1)22=k （时.即412=k .即 21=k 时取等号.∴此时直线l 的方程为221+=x y .（2）3223211221+≥++=+++=+k k k k OB OA .当且仅当22k =时取等号； （3）4212)1)(11(24411222222≥++=++=+⋅+=⋅k k k k k k MB MA . 当且仅当1k =时取等号；方法二：设直线截距式为)0,0(1><=+b a b y a x .∵过点(2,1)M -.∴112=+-ba （1）∵abb a -≥+-=22121. ∴822≥-⇒≥-ab ab .∴42121≥-==∆ab b a S AOB ； （2）322)2(3))(12(+≥+-=+-+-=+-=+=+ba ab b a b a b a b a OB OA ； （3）5)12)(2(52)1()2(2-+-+-=-+-=-++-=⋅-=⋅ba b a b a b a MB MA MB MA 422≥-+-=ab b a ． （3）方法三： θsin 1=MA .θcos 2=MB . ∴42sin 4cos sin 2≥==⋅θθθMB MA .当且仅当12sin =θ时最小.∴4πθ=．变式1：原题条件不变.（1）求△AOB 的重心轨迹；（2）求△AOB 的周长l 最小值．解：（1）设重心坐标为(,)x y .且(,0)A a .(0,)B b .则3a x =.3b y =.又∵112=+-ba .∴13132=+-y x . ∴2332312332)23(3123+-=+-+=+=x x x x x y .该重心的轨迹为双曲线一部分； （2）令直线AB 倾斜角为θ.则20πθ<<.又(2,1)M -.过M 分别作x 轴和y 轴的垂线.垂足为,E F , 则θsin 1=MA . θcos 2=MB .θtan 1=AE .θtan 2=BF ∴)20(tan 2tan 1cos 2sin 13πθθθθθ<<++++=l 2sin 2cos )2cos 2(sin22cos 2sin 22cos 23cos )sin 1(2sin cos 132222θθθθθθθθθθθ-+++=++++=)420(12cot )2cot 1(22cot 3πθθθθ<<-+++=. 令12cot-=θt . 则t>0. ∴周长10)2(213≥++++=t t t l ∴32cot 212cot =⇒=-θθ。
解析几何解答题的答题策略和技巧
解析几何解答题的答题策略和技巧解析几何解答题答题策略和技巧解析几何题目的解答通常涉及到代数和几何原理相结合。
要有效解决这些问题，遵循以下策略和技巧至关重要：理解题意仔细阅读题目，并确保理解要求。
确定您需要找到的内容，例如点的坐标、线的方程或图形的性质。
选择适当的坐标系根据问题中的信息，选择合适的坐标系。
笛卡尔坐标系（直线坐标系）通常用于描述二维空间，而极坐标系则适用于某些涉及角度或极半径的问题。
建立方程或不等式使用代数和几何原理建立方程或不等式。
这可能包括使用点-斜率形式、斜截距形式、点-线距离公式或其他相关概念。
求解方程或不等式运用代数技巧求解方程或不等式。
这可能涉及因子分解、平方、化简或三角函数的使用。
验证解将找到的解代回原始方程或不等式中，以确保其满足问题条件。
几何直觉在求解过程中，运用几何直觉来了解图形的形状和位置。
这可以帮助您做出假设和做出明智的决策。
技巧和注意事项简化问题：如果可能，将复杂的问题分解成更简单的部分，以便更容易解答。
利用对称性：在某些情况下，图形或方程可能具有对称性。
利用这些对称性可以简化问题。
使用图形计算器：图形计算器可以用于可视化图形并检查解。
保持整洁和有条理：使用清晰的数学符号并以有条理的方式显示您的工作步骤。
复查解：在完成解决方案后，花时间复查您的工作，以确保准确性和一致性。
特定类型问题的技巧点和线：使用点-斜率形式、斜截距形式或点-线距离公式求解点的坐标或线的方程。
圆：使用标准圆方程或圆心和半径来确定圆的性质。
双曲线：使用双曲线的标准方程或渐近线来求解焦点、顶点和渐近线。
抛物线：使用抛物线的标准方程来确定顶点、焦点和准线。
椭圆：使用椭圆的标准方程来确定中心、半轴和焦距。
通过遵循这些策略和技巧，您可以大大提高解析几何问题的解答能力。
记住，熟能生巧，因此定期练习和学习相关概念至关重要。
解析几何问题中常见的技巧专题课件高三数学一轮复习
高中总复习·数学（提升版）
破解解析几何问题常见的技巧 技巧1 回归定义，化繁为简
回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是 一种朴素而又重要的策略和思想方法.圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲 线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点.对于相关的圆锥曲线 中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到 化难为易、化繁为简、事半功倍的效果.
（1）当直线 AM 的斜率为1时，求点 M 的坐标；
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（2）当直线 AM 的斜率变化时，直线 MN 是否过 x 轴上的一定 点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点， 请说明理由.
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点弦所在直线的方程或弦的中点的轨迹方程等问题时，常用“点 差法”求解.
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A. ＝1 C. ＝1
B. ＝1 D. ＝1
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反思感悟 本题设出 A ， B 两点的坐标，却不求出 A ， B 两点的坐标，巧妙
地表达出直线 AB 的斜率，通过将直线 AB 的斜率“算两次”建立几何 量之间的关系，从而快速解决问题.
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技巧3 巧用“根与系数的关系”化繁为简 某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离
公式计算长度的方法来解；也可以利用一元二次方程，使相关的点的 同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线 段长度间的关系.后者往往计算量小，解题过程简捷.
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（1）求椭圆 E 的标准方程；
高中数学教学论文 浅谈解析几何题的解题策略 新人教版
浅谈解析几何题的解题策略解析几何题是同学们最害怕的题型，不仅计算量大，而且有时不知从何算起，找不到问题的切入点。
在高考中这类题得分率较低。
作为教者，我们要在平时鼓励大家动笔，争取获得步骤分；引导学生进行总结，加快问题的切入，争取时间有目的地去计算。
在二轮复习中，我想这样搭建本节的解题体系：一、与一些特殊条件有关的问题可优先特殊解法，减少运算提高准确率。
与定义中的量有关的问题可用几何法解题，与线段乘积有关的问题可用直线的参数方程，与过原点有关的长及角度问题可用极坐标方程。
今年高江苏高考题就出现了与焦点有关的线段的求值、证明题，用通法去解运算量就较大。
例1、（江苏省16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x ya b a b +=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和32e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若1262AF BF -=，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．解：（1）由题设知，222==ca b c e a+，，由点(1)e ，在椭圆上，得 2222222222222222111=1===1e c b c a b a a b b a b a a b+=⇒+⇒+⇒⇒，∴22=1c a -。
由点3e ⎛ ⎝⎭，在椭圆上，得 222224222244331311144=0=214e c a a a a a b a a-⎝⎭⎝⎭+=⇒+=⇒+=⇒-+⇒ ∴椭圆的方程为2212x y +=。
（2）由（1）得1(10)F -，，2(10)F ，，又∵1AF ∥2BF ， ∴设1AF 、2BF 的方程分别为=1=1my x my x +-，，()()11221200A x y B x y y >y >，，，，，。
高中数学数形结合的解题技巧与方法
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２４数学学习与研究㊀２０２０ ２１高中数学数形结合的解题技巧与方法高中数学数形结合的解题技巧与方法Һ吴德发㊀（福建省华安县第一中学，福建㊀华安㊀３６３８００）㊀㊀ʌ摘要ɔ一直以来，数学都是高中课程中的重点学科，通过数学教学可以对高中生的逻辑思维以及抽象思维进行培养，使其掌握数学思想与方法，这对学生未来的学习以及发展都十分重要．而在数学思想之中，数形结合属于一种重要思想，更是高中生解题的重要法宝．本文旨在对数形结合这种解题技巧以及解题方法加以探究，希望能给广大高中数学教师实际教学提供相应参考．ʌ关键词ɔ高中数学；数形结合；解题技巧前言：在高中数学中，数形结合属于一种重要的数学思想，高中生在解决数学问题时，经常会用到数形结合这种思想，其在高中阶段的数学方法当中占据重要地位．一般来说，数形结合是按照问题出现的根本原因，借助数字与图形或者图系方式对问题加以解析．因为数形结合这种方法具有非常强的实用性，学生在解题时经常用到数形结合，因此，数学教师对数形结合这种解题技巧以及方法应该加以重视．一㊁一般方程中数形结合的应用求ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝０型方程的解的情况，可以化为函数ｙ＝ｆ（ｘ）与ｙ＝ｇ（ｘ）图像的交点情况来讨论，这样一来可以将代数上看不清楚的问题化为几何图像问题．例如，方程ｌｎｘ＝ｃｏｓｘ解的个数为．分析：如图１所示，观察题中等式两边的两个函数ｙ＝ｌｎｘ和ｙ＝ｃｏｓｘ的图像，由两图像只有１个交点，可得方程ｌｎｘ＝ｃｏｓｘ解的个数为１．故填１．图１二㊁不等式中数形结合的运用例如，已知不等式１６－ｘ２＋８ｘ－ｘ２＞４，求该不等式的解集．分析：可对原不等式１６－ｘ２＋８ｘ－ｘ２＞４加以变形，这样就可以得到以下形式：１６－ｘ２＞４－８ｘ－ｘ２，变形之后获得的不等式等价于原不等式，之后令ｙ１＝１６－ｘ２，ｙ２＝４－８ｘ－ｘ２，可把上面两个不等式实施二次变形，进而可以得到等式：ｘ２＋ｙ２１＝１６（ｙ１ȡ０），（ｘ－４）２＋（ｙ２－４）２＝１６（ｙ２ɤ４）．通过观察，能够看出上述两式全都为半圆．这样一来，学生可在一个坐标系中把相应图形画出来，如图２所示．图２这样便可十分直观地得到两个半圆之间的交集实际上就是所求不等式的解集，即ｘ｜０ɤｘɤ４{}．再如，假设变量ｘ与ｙ满足下面的约束条件：ｘ＋２ｙ－５ɤ０，ｘ－ｙ－２ɤ０，ｘȡ０，{则函数ｚ＝２ｘ＋３ｙ＋１的最大值是（㊀㊀）．Ａ．１１㊀㊀㊀㊀Ｂ．１０㊀㊀㊀㊀Ｃ．９㊀㊀㊀㊀Ｄ．８．５分析：如图３所示，根据题设条件可以画出阴影部分这个可行域．图３之后联系图形便可得到，函数ｚ＝２ｘ＋３ｙ＋１在直线ｘ＋２ｙ－５＝０和ｘ－ｙ－２＝０的交点处可取得最大值．根据ｘ＋２ｙ－５＝０，ｘ－ｙ－２＝０{可得ｘ＝３，ｙ＝１，{因此交点坐标为（３，１）．此时ｚ＝２ˑ３＋３ˑ１＋１＝１０，因此答案为Ｂ．三㊁解析几何中数形结合的运用例如，现已知曲线ｙ＝１＋４－ｘ２与直线ｙ＝ｋ（ｘ－２）＋４存在相异的两个交点，求ｋ的取值范围．㊀图４分析：把曲线ｙ＝１＋４－ｘ２加以适当变形，这样能得到ｘ２＋（ｙ－１）２＝４（１ɤｙɤ３），由此能够知道曲线ｙ＝１＋４－ｘ２是以定点Ａ（０，１）为圆心，以２为半径的圆，但是题设当中隐含１ɤｙɤ３这个条件，因此是上半圆．（如图４所示）而直线ｙ＝ｋ（ｘ－２）＋４是过定点Ｂ（２，４）的，当直线ｙ＝. All Rights Reserved.㊀㊀㊀１２５㊀数学学习与研究㊀２０２０ ２１ｋ（ｘ－２）＋４绕着点Ｂ按顺时针方向进行旋转时，直线与圆相交的点保持在弧线ＭＴ（不包括Ｔ点）上即可满足题设要求．又交点Ｍ位于直线ｙ＝１上，因此可以得到Ｍ的坐标为（－２，１）．直线ＢＭ可以通过点斜式这个计算方法加以求解，ｋＭＢ＝３４，而点Ｔ到点Ａ的距离和圆的半径是相等的，设直线ＢＴ的斜率为ｋ，能够列出等式｜１＋２ｋ－４｜１＋ｋ２＝２，进而解出ｋ＝５１２．因此，最后可得ｋ５１２＜ｋɤ３４{}．四㊁复数问题中数形结合的应用借助复平面上两点间的距离公式和直线㊁圆㊁圆锥曲线等知识，再利用复数的意义求解问题，比单纯利用代数计算优越得多．例如，如果复数ｚ满足ｚ＋ｉ＋ｚ－ｉ＝２，那么｜ｚ＋ｉ＋１｜的最小值是（㊀㊀）．Ａ．１㊀㊀㊀㊀Ｂ．２㊀㊀㊀㊀Ｃ．２㊀㊀㊀㊀Ｄ．５分析：如图５所示，复平面内满足｜ｚ＋ｉ｜＋｜ｚ－ｉ｜＝２的点的集合是线段ＡＢ，而｜ｚ＋ｉ＋１｜表示线段ＡＢ上的点到点Ｐ（－１，－１）的距离，图５由图知｜ｚ＋ｉ＋１｜的最小值是１，故选Ａ．五㊁最值问题中数形结合的运用例如，在平面直角坐标系中，抛物线ｙ＝ｘ２上异于坐标原点Ｏ的两个不同动点Ａ，Ｂ满足ＡＯʅＢＯ，如图６所示．图６（１）求әＡＯＢ的重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程．（２）әＡＯＢ的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解：（１）设әＡＯＢ的重心Ｇ为（ｘ，ｙ），Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），又Ｏ（０，０），则ｘ＝（ｘ１＋ｘ２）３，ｙ＝（ｙ１＋ｙ２）３，ìîíïïïï㊀①ȵＯＡʅＯＢ，设直线ＯＡ，ＯＢ的斜率分别为ｋＯＡ，ｋＯＢ，ʑｋＯＡｋＯＢ＝－１，即ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝０，②又ȵ点Ａ，Ｂ在抛物线上，有ｙ１＝ｘ２１，ｙ２＝ｘ２２，代入②化简得ｘ１ｘ２＝－１，ʑｙ＝（ｙ１＋ｙ２）３＝１３（ｘ２１＋ｘ２２）＝１３［（ｘ１＋ｘ２）２－２ｘ１ｘ２］＝１３ˑ（３ｘ）２＋２３＝３ｘ２＋２３，所以，重心Ｇ的轨迹方程为ｙ＝３ｘ２＋２３．（２）ＳәＡＯＢ＝１２｜ＯＡ｜｜ＯＢ｜＝１２（ｘ２１＋ｙ２１）（ｘ２２＋ｙ２２），由（１）得ＳәＡＯＢ＝１２ｘ２１＋ｘ２２＋２ȡ１２２ｘ２１ｘ２２＋２＝１２２（－１）２＋２＝１２ˑ２＝１．当且仅当ｘ２１＝ｘ２２，即｜ｘ１｜＝｜ｘ２｜＝１时，等式成立．故әＡＯＢ的面积存在最小值，且最小值为１．再如，如果实数ｘ，ｙ满足等式（ｘ－２）２＋ｙ２＝３，求ｙｘ的最大值．㊀图７解析：上述问题直接采用代数的办法不好解决，若将其与曲线问题结合来看，在几何上看ｙｘ能够达到清晰简洁的效果，如图７所示，在直角坐标系中，（ｘ－２）２＋ｙ２＝３是以（２，０）为圆心，３为半径的圆，ｙｘ＝ｙ－０ｘ－０表示圆上任意一点Ｐ（ｘ，ｙ）与原点连线的斜率，当ＯＰ与圆相切，øＰＯＱ＝６０ʎ时，ｙｘ取得最大值３．结㊀语综上可知，近年来，伴随课程改革逐渐深入，高中阶段的数学教学变得越发复杂，更加重视培养高中生的发散思维以及创新思维．所以，数学课上，教师需引导高中生对数形结合这种思想加以巧妙运用，以此来使数学问题的解决更加简单灵活，并拓展高中生的解题思路，促使其解题能力和解题效率得到提高．ʌ参考文献ɔ［１］吴金华．数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用分析［Ｊ］．数学学习与研究，２０１８（２３）：３５．［２］文林． 数 形 结合：中学数学作图解题技巧应用实践［Ｊ］．数学学习与研究，２０１８（２２）：１１９．［３］陈文雅．高中数学课堂渗透 数学思想方法 的策略与途径分析［Ｊ］．数学教学通讯，２０１８（１８）：４２－４３．. All Rights Reserved.。
解析几何中求距离最值问题的方法与策略
解析几何中求距离最值问题的方法与策略作者：洪其强来源：《广东教育·高中》2013年第10期关于解析几何中的距离的最值问题，是我们在高考复习中经常遇到的一种题型，它有时以函数最值的形式出现，有时直接以解析几何题的形式出现，对于这种题型的处理方法，如果得当，就会达到事半功倍的效果.本文以几个例题来谈谈有关这种题型的最佳解决方法.一、直线上一点到两已知点的距离的最值问题1. 同侧求差取最大，直接连接找交点.例1. 设有两点P（3，x）、Q（2，y），其中x+y=2，且x、 y∈R+，求P、Q到原点O的距离之差的最大值，并求取得最大值时的x和y 的值.分析：由题意可知=|OP|-|OQ|= - = - ，即在x轴上求一点M（x，0），使它到点A（0，3）和点B（2，2）距离的差取得最大值 .又A、B两点都在x轴的同侧，为此，连接AB并延长使之交x轴于一点，易证该点即是所求的点M，从而AB的长就是所求的最大值.解析：由分析易得|OP|-|OQ|的最大值为|AB|= ，此时直线AB的方程为y=- x+3.令y=0得x=6即所求的x=6，y=-4.2. 异侧求差取最大，找出对称直接连.例2. 在直线l∶3x-y-1=0上求一点M使它到点A（4，1）和点B（0，4）的距离的差最大.分析：由题意可知A、B两点分别在直线l的两侧，故设B（0，4）点关于直线l∶3x-y-1=0的对称点为B′，易求得B′（3，3），连接AB′并延长交于l一点，易证该点即是所求的点M.解析：由分析易得|MA|-|MB|的最大值为|AB′|= ，此时直线AB′的方程为y=-2x+9.由3x-y-1=0，y=-2x+9？圯x=2，y=5，故所求M点为（2，5）.3. 异侧求和取最小，直接连接找交点.例3. 求函数f（x）= + 的最小值.分析： f（x）= += + 表示动点P（x，0）到定点A（-3，3），B（5，-1）的距离之和，而A、B两点分别位于x轴的上下两侧，由此连接AB交x轴于一点，易证该点即是所求的P点.解析：由题意及分析易得直线AB的方程为y=- x+ ，令y=0得x=3即所求的P点为（3，0）.4. 同侧求和取最小，找出对称直接连.例4. 在直线l∶x-y+9=0上任取一点P，又知M（-3，0），N（3，0），试问P点在何处时|PM|+|PN|取得最小值？解析：由题意可知M（-3，0），N（3，0）在直线l同侧，要使|PM|+|PN|取得最小值.设M（-3，0）点关于直线l∶x-y+9=0的对称点为M′，易求得M′（-9，6），连接M′N并延长交l于一点，易证该点即是所求的点P. 又直线M′N的方程为y=- x+ ，即x+2y-3=0.由x-y+9=0，x+2y-3=0，得x=-5，y=4，即所求P点位置为（-5，4）.点评：由上可知，上述问题可用如下口诀给予解决：同侧求差取最大，直接连接找交点；异侧求差取最大，找出对称直接连；异侧求和取最小，直接连接找交点；同侧求和取最小，找出对称直接连.二、利用数形结合求距离的最值问题例5. 设m≥1，求坐标平面上两点A（m+ ，m-），B（1，0）之间距离的最小值.分析：此题若直接用距离公式求解，比较麻烦. 如果从轨迹图形入手，最简捷.先将动点的轨迹求出来，将动点与定点的距离最值问题转化为定点与轨迹上的点的距离的最值问题.解析：A不是动点吗？那么A的轨迹是什么？这是十分自然的联想，由x=m+ ，y=m- 可知，A点的轨迹方程为x2-y2=4，绘出如上图所示的双曲线的一支，立即可以看出，|AB|的最小值为1 .三、将两个动点转化为只有一个动点例6. 如图，设P为圆（x-3）2+y2=1上的动点，Q为抛物线y2=x上的动点，求|PQ|的最小值.分析：利用圆上动点到圆心的距离等于常数的特点，将圆的动点转化为圆心定点，从而两个动点的距离最值问题，就转化为一个动点到一个定点的距离的最值问题.本题P，Q两点都是动点，如果设这两个点的坐标来求，显然非常困难. 这就需要把这两个变量转化为一个变量来处理. P点在圆上运动，但P点到圆心M（3，0）的距离是定值，利用这个定值来解决.解析：设Q（y2，y），则|QM|2=（y2-3）2+y2=y4-5y2+9=（y2- ）2+ ≥ .取等号当且仅当y=± .故|PQ|的最小值为 -1.四、利用圆锥曲线的定义将折线段转化为直线段来求距离的最值问题例7. 已知椭圆 + =1内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使得|MP|+2|MF|取得最小值.分析：利用圆锥曲线的定义将折线段转化为直线段来求最值.解析：a2=4，b2=3，c2=1即F（1，0）. 由M向右准线作垂线，垂足为N，则 = = .即|MN|=2|MF|.故|MP|+2|MF|=|MP|+|MN|.显然当M，P，N共线时，|MP|+|MN|最小，由 + =1，得x=±，因为x>0，所以M（，-1）.（作者单位：贵州省龙里中学）责任编校徐国坚。
数形结合法在高数解题中的技巧应用
㊀㊀㊀解题技巧与方法１２３㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０６数形结合法在高数解题中的技巧应用数形结合法在高数解题中的技巧应用Һ杨蕊鑫㊀（云南锡业职业技术学院，云南㊀个旧㊀６６１０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ代数与几何是数学学科的两大组成部分，而高数主要包含的教学内容是微积分与解析几何，并且二者之间的内在联系较深，在具体解题时往往需要配合应用，从当前高校学生的解题情况来看，未能形成良好的数形结合思维，导致很多学生在解题时没有清晰的思路．基于此，文章依据数形结合法的主要特点，简要分析其在高数解题的具体应用，得出了数形结合法在高等数学解题中的重要作用，提出了数形结合法在高数解题教学中的应用建议．ʌ关键词ɔ高数解题；数形结合；应用方法引㊀言数学主要研究的是空间形式与数量关系，因此 数 和 形 之间存在十分紧密的关系．通过数形结合，可以将数学题目相对抽象化的数量关系转变成相应的几何图形，立足图形探寻存在的数量联系，以此实现化难为易．除此之外，利用数形结合的方式分析图形性质，能形象化和直观化呈现抽象性的数学概念，再由代数的分析计算强化严谨性．一㊁例谈高数解题中数形结合法的具体应用（一）三角函数的对称性及坐标变换１．证明微积分公式（１）ʏπ２０ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝ʏπ２０ｆ（ｃｏｓｘ）ｄｘ；（２）ʏπ０ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝２ʏπ２０ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ．证明：（１）令ｘ＝π２－ｔ，则有ʏπ２０ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝－ʏ０π２ｆｓｉｎπ２－ｔ()()ｄｔ＝ʏπ２０ｆ（ｃｏｓｔ）ｄｔ＝ʏπ２０ｆ（ｃｏｓｘ）ｄｘ．（２）设ｘ＝π－ｔ，则有ʏππ２ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝－ʏ０π２ｆ（ｓｉｎ（π－ｔ））ｄｔ＝ʏπ２０ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ，ʏπ０ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝ʏπ２０ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＋ʏππ２ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝２ʏπ２０ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ．在第一个积分公式的整个证明过程中，能将其解释为ｔ由π２变化成０时，π２－ｔ由０变化成π２，即ʏπ２０ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝－ʏ０π２ｆｓｉｎπ２－ｔ()()ｄｔ，由ｓｉｎπ２－ｔ()＝ｃｏｓｔ即证明积分公式成立，在这一过程中利用的是正㊁余弦函数图像的对称性，二者关于ｘ＝π４对称，因此 设ｘ＝π２－ｔ 能理解成ｘ＋ｔ２＝π４．证明第二个积分公式的过程可以解释成ｔ由π２变化到π时，π－ｔ由π２变化至０，也就是ʏππ２ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝－ʏ０π２ｆ（ｓｉｎ（π－ｔ））ｄｔ，从ｓｉｎ（π－ｔ）＝ｓｉｎｔ证明积分公式成立，在这一过程中运用的是正弦函数曲线关于ｘ＝π２对称，因此设 ｘ＝π－ｔ 可以理解成ｘ＋ｔ２＝π２．这道例题证明过程中是根据三角函数图像的对称性，利用换元法，遇到此类问题如果能抓住这一解题要点，就能正确判断怎样换元．２．求ʏ２π０（ｘ－ｓｉｎｘ）２ｓｉｎｘｄｘ．解：为了运用三角函数图像的对称性，应将积分区间转变成［－π，π］，换元得ｕ＝ｘ－π，通过函数图像的对称性，可得ʏ２π０（ｘ－ｓｉｎｘ）２ｓｉｎｘｄｘ＝ʏ２π０（ｘ２ｓｉｎｘ－２ｘｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｎ３ｘ）ｄｘ＝ʏπ－π［－（ｕ２＋２ｕπ＋π２）ｓｉｎｕ－２（ｕ＋π）ｓｉｎ２ｕ－ｓｉｎ３ｕ］ｄｕ＝－４πʏπ０ｕｓｉｎｕｄｕ－４πʏπ０ｓｉｎ２ｕｄｕ．换元ｕ＝π－ｘ，再利用例１的结论，得ʏπ０ｕｓｉｎｕｄｕ＝π２ʏπ０ｓｉｎｕｄｕ＝πʏπ２０ｓｉｎｕｄｕ＝π．直接由例１（２）的结论能得出ʏπ０ｓｉｎ２ｕｄｕ＝２ʏπ２０ｓｉｎ２ｕｄｕ＝π２，所以ʏ２π０（ｘ－ｓｉｎｘ）２ｓｉｎｘｄｘ＝－６π２．３．描绘函数ｚ＝ｘｙ的图像．解：令ｘ＝ε＋η，ｙ＝ε－η，那么ｚ＝ｘｙ能转换成ｚ＝ε２－η２，即为双曲函数，函数图像是一个双曲抛物面，在空间直角坐标系中将ｚ＝ε２－η２的图像绘制出来，然后把ε轴与η轴在水平方向顺时针旋转π４弧度，分别作为ｘ轴与ｙ轴，由此得到ｚ＝ｘｙ的图像．该题的本质为旋转坐标轴．４．计算曲线积分ɥｒｘ２ｄｓ，其中Γ：ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝ａ２，ｘ＋ｙ＋ｚ＝０，{解法１：通过对称性可得ɥｒｘ２ｄｓ＝ɥｒｙ２ｄｓ＝ɥｒｚ２ｄｓ＝１３ɥｒ（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝ａ２３ɥｒｄｓ＝ａ２３｜Γ｜，其中｜Γ｜为Γ的长度，因此其属于过球心平面所截得的一个大圆，因此Γ＝２πａ，即ɥｒｘ２ｄｓ＝２π３ａ３．这种解题方法主要借助曲线积分具备的轮换对称性特征，但是对于高数初学者而言，掌握这种方法的难度较大，建议通过变换空间直角坐标系的方法解决，将坐标原点Ｏ作为新的坐标系原点，将平面π：ｘ＋ｙ＋ｚ＝０㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２４数学学习与研究㊀２０２３ ０６作为μＯｖ的平面，而且将过原点且和平面π垂直的直线作为ω轴建立一个新的右手直角坐标系Ｏ－μｖω，在这一坐标系中，Γ的方程是Γ：μ２＋ｖ２＝ａ２，可得ɥｒｘ２ｄｓ＝ɥμ２＋ｖ２＝ａ２ｘ２（μ，ｖ，ω）ｄｓ．解法２：坐标系变化，令μｖωéëêêêùûúúú＝１－１０１１－２１１１éëêêêùûúúúｘｙｚéëêêêùûúúú，即ｘｙｚéëêêêùûúúú＝－１２１６１３１２１６１３０－２６１３éëêêêêêêêùûúúúúúúúμｖωéëêêêùûúúú，所以ｘ＝１２μ＋１６ｖ＋１３ω，ｙ＝－１２μ＋１６ｖ＋１３ω，ｚ＝－２６ｖ＋１３ω．ìîíïïïïïï由于坐标属于旋转变换，而且旋转矩阵Ａ＝－１２１６１３１２１６１３０－２６１３éëêêêêêêêùûúúúúúúú为单位阵，因此坐标经过转变没有改变ｄｓ，进而可得ɥｒｘ２ｄｓ＝ɥｒ１２μ＋１６ｖ＋１３ωæèçöø÷２ｄｓ＝ɥｒ１２μ２＋１６ｖ２＋１３ω２æèçöø÷ｄｓ＝１２＋１６()ˑ１２ʏｒ（μ２＋ｖ２）ｄｓ＝１３ˑ２πａˑａ２＝２３πａ３．虽然这种解题方式相对烦琐，可却方便了学生理解和掌握．（二）函数和图形之间的对应关系虽然高数中很多习题具有常规解法，可如果能利用数形结合的方法，将函数和图像相结合，能大大简化问题的求解过程，还有利于学生理清知识点间的联系．１．已知ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）范围内二次可导，证明存在εɪ（ａ，ｂ），使ｆ（ｂ）＋ｆ（ａ）－２ｆａ＋ｂ２()＝ｆᶄ（ε）（ｂ－ａ）２４．由题为泰勒公式题，常见解法是：证法１：记ｃ＝ａ＋ｂ２，将ｆ（ｘ）在ｘ＝ｃ处一阶泰勒展开，取ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ，得ｆ（ａ）＝ｆ（ｃ）＋ｆᶄ（ｃ）（ａ－ｃ）＋１２（ａ－ｃ）２ｆᵡ（ε１）（ａ＜ε１＜ｃ），ｆ（ｂ）＝ｆ（ｃ）＋ｆᶄ（ｃ）（ｂ－ｃ）＋１２（ｂ－ｃ）２ｆᵡ（ε２）（ｃ＜ε２＜ｂ）．两式相加，可得ｆ（ａ）－２ｆａ＋ｂ２()＋ｆ（ｂ）＝（ｂ－ａ）２４ｆᵡ（ε），εɪ（ε１，ε２）⊂（ａ，ｂ）．证法２：如果换一个解题思路，这道问题就涉及了二阶导数，加之一元二次函数的二阶导数为一个常数，为此可以建立函数ｙ＝ｇ（ｘ）（一元二次函数），让函数满足ｇᵡ＝４（ｂ－ａ）２㊃[ｆ（ｂ）＋ｆ（ａ）－２ｆａ＋ｂ２()]，而且抛物线ｙ＝ｇ（ｘ）和函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图形存在的重合点有三个，那么令ｃ＝ａ＋ｂ２，且过重合的三点（ａ，ｆ（ａ）），（ｂ，ｆ（ｂ）），（ｃ，ｆ（ｃ））的抛物线，ｙ＝ｇ（ｘ）＝（ｘ－ｂ）（ｘ－ｃ）（ａ－ｂ）（ａ－ｃ）ｆ（ａ）＋（ｘ－ｃ）（ｘ－ａ）（ｂ－ｃ）（ｂ－ａ）ｆ（ｂ）＋（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）（ｃ－ａ）（ｃ－ｂ）ｆ（ｃ）．记Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ），针对辅助函数Ｆ（ｘ），在［ａ，ｂ］上运用罗尔定理可得存在εɪ（ａ，ｂ），使ｆᵡ（ε）＝ｇᵡ（ε）＝４（ｂ－ａ）２［ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）－２ｆ（ｃ）］，所以ｆᵡ（ε）＝（ｂ－ａ）２４＝[ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）＋２ｆａ＋ｂ２()]．第一种证法需要使用布达定理与泰勒公式，而第二种证法仅需使用罗尔定理，因此第二种方法更便捷．总之，高数解题不应只牢记题型，而要利用数形结合的方法，简化运算或证明的过程．２．求曲线ｆ（ａ）＝ｘｌｎｅ＋１ｘ()（ｘ＞０）的渐近线方程．解法１：因为曲线在（０，＋ɕ）不存在水平与铅直渐近线，且由于ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ）ｘ＝ｌｉｍｘң＋ɕｌｎｅ＋１ｘ()＝１，ｌｉｍｘң＋ɕ［ｆ（ｘ）－ｘ］＝ｌｉｍｘң＋ɕｘｌｎ（ｅ＋１ｘ）－ｘ[]＝ｌｉｍｘң＋ɕｌｎ（１＋１ｅｘ）１ｘ＝ｌｉｍｘң＋ɕ１ｅｘ１ｘ＝１ｅ，因此ｙ＝ｘ＋１ｅ．解法２：有关泰勒公式，其是以函数在某个点的信息对其附近取值进行描述的公式，函数如果足够光滑，且已知在某点的各阶导数数值，在此基础上通过一个多项式近似在这一点邻域中函数的值，具体解法如下：通过泰勒公式可得ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｘｌｎｅ＋１ｘ()＝ｘ１＋ｌｎ１＋１ｅｘ()()＝ｘ１＋１ｅｘ＋ｏ１ｘ()()＝ｘ＋１ｅ＋ｏ（１），因此ｆ（ｘ）＝ｘｌｎｅ＋１ｘ()（ｘ＞０）的渐进线方程为ｙ＝ｘ＋１ｅ．二㊁数形结合法在高数解题教学中的重要作用通过前文举例数形结合法在解题过程中起到的主要作用如下：（一）辅助学生强化对抽象问题的理解纵观高等数学的整个知识体系，微积分起源于结合问题．针对学习高等数学，起到一定的指导作用．在每一章节中均会涉及相应的知识，教师在解题教学中采取数形结合法，可以将抽象的问题利用直观形象的图形语言加以描述，方便学生进一步理解，特别是问题涉及有关定理㊁概念，借助图形寻找到正确的证明思路．㊀㊀㊀解题技巧与方法１２５㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０６（二）帮助学生树立学习高等数学的自信针对数形结合而言，其核心理念是将抽象理论结合具体图形，形象化处理一些抽象的数学概念．一方面，教师借助这种方式可以在解题过程中锻炼学生的抽象思维能力，让学生掌握其中涉及的基础知识，另一方面，教师可以利用这种方式帮助学生简化处理数学理论㊁数学概念等知识，进而有效地提高学生的解题效率．基于此，数形结合要将 数 的理结合 形 的特点，双方相互配合为解决高数问题提供思路，学生不仅不会认为学习高数知识相对枯燥，还能帮助其树立起学习自信，而且在此过程中能够启发学生深度思考问题．三㊁数形结合法在高数解题教学中的应用建议数学作为重要的基础学科，是对现实世界中全部的空间形式以及数量关系作为研究对象的一种应用型学科． 形 作为数学抽象的最终结果，一方面，囊括了现实空间，另一方面，将几何图形与函数图像等相关抽象空间包含其中． 数 则是广泛意义上的形式化对象，既包含数㊁式，又包含各种方程㊁导数和矩阵等．通常分析数形结合的实质内涵，更倾向于一种特殊的思维模式，在学习数学知识和解题的过程中，针对抽象㊁形象思维展开相互转化，帮助学生明确相对复杂的数学关系，还能够实现数量和图形二者之间的联系及变化．综上所述，数形结合的实质在于把 数 和 形 统一起来并进行转化，将 数 和 形 的优势发挥出来，从而有效激发学生的抽象与形象思维．教师在解题教学应注意以下几方面：（一）有意识引导学生利用数形结合法在具体的高数解题教学过程中，教师自身要具备引导学生通过数形结合法分析处理数学问题的意识，无论是在推导证明还是解题计算上，均要让学生看到数形结合法能大大降低解题难度㊁帮助理解与巩固知识点．与此同时，在数学习题布置上，教师可以有意设计一些需要和用数形结合法来解决的问题，以此引导学生主动运用数形结合法进行解题的习惯．（二）有效运用信息化教学技术现阶段，信息化技术已经成了十分常见的教学辅助手段，在高数解题教学中，可以利用云课堂㊁微课等现代化教学工具，通过视频㊁图像或动态图等信息化技术引导学生通过数形结合的方法解题．借助信息技术的功能优势将抽象内容具象化，并且将数量关系结合数学图形㊁将静态教学结合动态教学均有利于活化数学内容，降低学生学习理解相关知识点的难度，在接受和吸收的基础上会更加灵活熟练地运用到解题中．此外，学生在课后练习中结合实际需求随时调整例题学习速度㊁解题演示进度等，让 形 与 数 的变化更直观清晰地呈现．（三）注重对学生求简意识的培养采用这种解题方法不仅有利于解题思路的拓展，让学生豁然开朗，而且可以使学生提高自身的求简意识，防止陷入复杂的推理和计算之中，将解题过程大大简化．很多高等数学问题若只是拘泥在 数 或者 形 上，虽然能够解决问题，但是过程过于烦琐，如果结合问题条件和问题结论之间的内在联系，再对数式特征进行分析，又展示基本几何意义，依托数形结合的方法剖析问题，会大幅提高学生的解题效率．比如，计算ʏ４２（ｘ－２）（４－ｘ）ｄｘ．如图所示，通过分析定积分的几何意义，可得ʏ４２（ｘ－２）（４－ｘ）ｄｘ＝π２，和常规解题方法相比更简便．再比如，求在约束条件ｘ２＋２ｙ２＝４下，函数ｚ＝ｘ＋ｙ的最值．一般学生会选择直接通过拉格朗日乘数法计算函数最值，可是直接以几何方法化简略显烦琐．因为ｘ２＋２ｙ２＝４是一个椭圆，那么可以将ｚ＝ｘ＋ｙ视作斜率是－１的一条直线，假设椭圆上存在任意一点Ｐ，那么这道题能被转换成点Ｐ在椭圆上运动时，求在ｙ轴或ｘ轴上，过该点的截距最值．通过几何图形可知，仅需计算直线和椭圆相切时的ｚ值即可．由此可见，在实际教学中教师要引导学生分析题目的主要特点，然后找出其中潜在的规律，依托几何意义通过结合理念或者是图形直观，使得数量关系能被形象化呈现，从而简化解答问题的流程．与此同时，教师提出几何图形虽然可以辅助学生理解问题，可是不能取替推理论证．图１㊀曲边梯形（四）注重对学生创新意识的培养通过 数 和 形 之间的结合，用于挖掘 形 的结构与 数 的特征存在的联系，将数量意义赋予几何图形的表达性质上，从而以合适数量关系完成 翻译 ，能够在 形 中将代表性的结果抽象出来，然后以归纳㊁计算或是建模等方法获得新的概念㊁理论及方法．从某种角度来讲，数形结合在数学学习的过程中是一条创新途径，因此教师在实际教学中要有意识地利用实例向学生渗透，帮助其拓展数学思维空间，既要尊重形象思维又要展示发展数学的整个思维过程，以此激发学生的创造性思维的同时完成对学生创新意识㊁创新能力的培养．总之，在众多数学思想方法中数形结合法占据十分重要的地位，也在高等数学的解题过程中发挥关键的功能作用．教师要突出这种思想方法在解题中的优越性，从不同的角度对问题进行思考㊁分析，从而使学生尽快掌握其本质并逐渐提高学生的思维能力与解题能力．结㊀语在高数解题中数形结合法发挥着十分关键的作用，在促进学生形象思维发展的同时，有利于开发学生的创新潜力．教师应有效运用数形结合法，辅助学生解析相对抽象的数学知识概念，以更加直观的形式开拓解题思路，提高学生的答题效率，提高学生对问题的分析与解决能力．ʌ参考文献ɔ［１］张建华．数形结合在高等数学教学中的应用探讨［Ｊ］．江西电力职业技术学院学报，２０２２（０１）：５１－５２，５５．［２］方倩珊． 数 形 结合思想在高等数学中的应用［Ｊ］．高等数学研究，２０１７（０６）：５４－５７．［３］宋洪雪，丁秀梅，郦志新．例谈数形结合在高数解题中的应用［Ｊ］．高等数学研究，２０１３（０６）：３０－３２，５５．［４］韩以安．数形结合法在高数解题中的技巧应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０１３（２１）：１４．。
特殊关系巧转化,解析几何妙处理
特殊关系巧转化,解析几何妙处理
韩毅
【期刊名称】《数学之友》
【年(卷),期】2024(38)5
【摘要】解析几何中的共线关系、平行关系、垂直关系、对称关系等几个特殊关系,一直是高考命题的热点与难点之一.结合实例剖析,就共线、平行、垂直以及对称这几个特殊的常见关系的转化法、思维与技巧方法加以展开,归纳解题技巧与策略,
引领并指导数学教学与复习备考.
【总页数】3页(P54-56)
【作者】韩毅
【作者单位】陕西省洛南中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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解析几何中的数学思想
教学实践2014-03解析几何的本质是用代数的方法研究几何问题，解几知识中，蕴含着深刻的数学思想，对解几本质的考查往往通过对其思想应用的考查得以体现。
首先是由解几本质特征所决定的函数与方程思想，数形结合思想，其次是研究几何问题常用到的化归与转化的思想方法，分类与整合的思想方法，一般与特殊的思想方法等。
一、数形结合思想解析几何的基本思想就是数形结合，因为数与形是数学中最古老、最基本的研究对象，在解题中要善于将数形结合的数学思想运用于对圆锥曲线和平面几何性质以及相互关系的研究，即通过“以形辅数”“以数解形”“数形结合”将抽象的数学问题与直观的几何图形相结合，从而达到优化解题的途径。
例1（2012年福建理19题）如图椭圆E ∶x2a2+y2b2（a >b >0）的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e =12，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8。
（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线l ∶y =kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x =4相交于点Q ，试探究在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。
评析：本题是一道循规蹈矩的解析几何题，对于问题（2）在探求“数”与“形”之间的联系时，若发现只需判断∠PMQ 为直角即证明MP ，MQ 即可将问题化繁为简.然而，在平时如果能注意结合探究教学，不难得出如下结论：已知F 1（-c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆C ∶x2a2+y 2b2=1（a >b >0）的左右焦点，点P （x 0，y 0）为椭圆上的一个动点，过点P 作椭圆的切线e 1与过右焦点F 2作与焦半径PF 2垂直的直线l 2交于点Q ，则点Q 的轨迹即为椭圆的左准线x =a2c，那么，由此进行必要的合情推理，是可以猜想出所求的点M 应该是右焦点，设为M （x 0，0），这样就大大减少了计算量。
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解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略
数学创新思维培养就是以强烈的创新意识进行熏陶感染，鼓励将个人储备的知识信息进行重新组合，从而形成一些具有较高价值的新发现、新设想。
数学创新思维培养在创造性思维的形成过程中起到十分关键的作用，其不仅有助于扎实、牢固地掌握数学基础知识，同时也可以借助数学知识这一载体，有效掌握正确的数学思想方法，体会数学知识的应用价值，进而树立正确的数学观与数学创新意识。
因此，本文以高中数学几何解题技巧之数形结合为研究对象，围绕速解高中解析几何方法中的数形结合进行了分析，并对数形结合在解析几何几种题型中的运用进行了举例说明。
一、“数”“形”结合解题法的理论概述
（一）方法释义
首先，关于解析几何的释义，其泛指几何学上一个小分支，主要用代数方法研究集合对象之间的关系和性质，因此也称作“坐标几何”。
其包括平面解析几何和立体解析几何两部分，其中，平面解析几何是二维空间上的解析几何；立体解析几何是三维空间上的解析几何，而立体解析几何则比平面解析几何更加复杂、抽象。
其次，关于数形结合的释义，即是把题目所给条件中的“数”与“形”一一对应，用简单的、直观的几何图形以及条件之间的位置关系把复杂的、抽象的数学语言以及条
件之间的数量关系结合起来，通过形象思维与抽象思维之间的结合，以形助数，或以数解形，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，以起到优化解题途径的目的。
（二）解题思路
在遇到解析几何时，能清楚条件与问题之间的数量关系与位置关系，将“数”与“形”一一对应，便能够快速找到解题突破点。
事实上，当熟练掌握到数形结合方法，能够举一反三时，遇到的所有题目都将是同一题目了。
因此，掌握数形结合思，就必须厘清下列关系：第一点，复数、三角函数等以几何条件和几何元素为背景建立的概念；第二点，题目所给的等式或代数方程式的结构中所含明显的几何意义；第三点，函数与图象的对应关系；第四点曲线与方程的对应关系；第五点，实数与数轴上的点的对应关系。
二、“数”“形”结合法在几何解题中的实例解析
（一）解析几何中圆类问题
实践证明，数形结合对速解圆类问题的帮助很大，因为在一般解题过程中，解析几何圆类问题主要围绕求圆与圆之间的位置关系、圆与直线的位置关系、圆的标准方程等几方面展开。
比如在判断圆与直线的位置关系时，通过建立直角坐标系，便可以直观地观察到直线在圆外，但是答题需要写出确切的答题步骤才能得分。
这时就需要有“数”“形”结合解题思想的辅导——以数解形：通过计算圆心到直线的距离，距离比圆的半径大即表明直线在圆外。
这是最基本的用“数”“形”结合方式解答圆类问题。
为更为详尽的说明，下文将针对对“数”“形”结合法速解解析几何圆类问题作出例题说明：
例题1：已知曲线y=1+√（4-x2）与直线y=k（x-2）+4交于两个不同的点，求实数k的取值范围。
解析：将曲线y=1+√（4-x2）变形，得x2+（y-1）2=4（1≤y≤3），可知曲线是以点A（0，1）为圆心，2为半径的圆，但是值域y要大于1，因此是上半圆；
直线y=k（x-2）+4过定点B（2，4）；当直线绕点B按顺时针旋转至直线与圆相切，当直线与圆的一个交点在弧线MT之间都满足题目要求，符合题意；
而交点M在直线y=1上，因此可算出M点的坐标，即M（-2，1）；
直线BM可用点斜式法计算出来，例题1kMB=3/4，即点M到点A之间的距离等于半径；
列等式∣1+2k-4∣/√（1+k2），可解得kBT=5/12。
因此，k∈（5/12，3/4]。
（二）解析几何不等式问题
运用数形结合法解决解析几何中的不等式问题主要是将原不等式化解，通常能化解为某个曲线方程，然后将曲线方程在数轴上表示，注意计算过程中值域与定义域，然后几个图形的交集就是该不等式的解集。
三、结语
基于上述可知，合理运用“数”“形”结合的方法，对于解析几何的答题速度与准确度都有着相当大的优势，其不仅能够减少运算量，还能显著节省答题时间，提高解题正确率。