《数学分析 》知识点

Fx Gx
， J yv

Fy Gy
Fv Gv
， Juy

Fu Gu
Fy ， Gy
u J xv ， v Jux ， u J yv ， v Juy ．
x
Juv x
Juv y
Juv y
Juv
4．平面曲线 F (x, y) 0 在点 P0 (x0 , y0 ) 的切．线．方程为 Fx (x0 , y0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 )( y y0 ) 0 ，
fn (x)

sin nx n
,n
1, 2, 收敛域为 (, )
，极限函数为
f
(x)

0
．
2．（1）函数列 fn (x) nxenx2 , n 1, 2,在 (0, ) 上不．一致收敛．
（2）函数列 fn (x)
x2 1 , n 1, 2, 在 (1,1) 上一致收敛． n2
．
z z x z y t x t y t
3．若函数 f 在点 P0 可微，则 f 在点 P0 沿任一方向 l(x0 , y0 , z0 ) 的方向导数都存在，且
fl (P0 ) fx (P0 ) cos f y (P0 ) cos fz (P0 ) cos ，其中 cos ， cos ， cos 为方向 l(x0 , y0 , z0 ) 的方向余弦，
《数学分析（3）》复习资料
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第十三章 函数列与函数项级数（5%）
1．（1）函数列
fn (x)

xn , n
1, 2, 收敛域为 (1,1] ，极限函数为
f
(x)

0, x 1,
1,
x

1.
．
（2）函数列
0
l
f
(x)

a0 2

n1
an
cos nx
， an

1
f (x) cos nxdx 2


f (x) cos nxdx ， n 1, 2,．
0
（2）奇函数的傅里叶级数：
f
(x)

n 1
bn
sin
n l
x
， bn

1 l
l f (x) sin n x dx 2
（3）函数列
fn (x)

1
x n2 x2
,n
1, 2, 在 (, )
上一致收敛．
（4）函数列
fn (x)

x n
,n
1, 2, 在[0, )
上不．一致收敛．
（5）函数列
fn (x)

sin
x n
,n
1, 2,
在 (, ) 上不．一致收敛．

3．（1）函数项级数 xn 在 (1,1) 上不．一致收敛． n0
f
(x) cos nxdx ， bn

1
f (x) sin nxdx ， n 1, 2,．

2． f (x) a0 2

n1

an
cos
n l
x

bn
sin
n l
x

，
a0
1 l
l l
f (x)dx ，
an
1 l
l l
f
(
x)
cos
n l
-3-
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即 cos
x0
， cos
y0
， cos
z0
．
x02 y02 z02
x02 y02 z02
x02 y02 z02
4．若 f (x, y, z) 在点 P0 (x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自变量的偏导数，则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 )) 为函数 f 在点 P0 的
（2）函数项级数
sin nx ， n2
cos nx 在 (, ) 上一致收敛． n2
（3）函数项级数
xn 在[r, r] 上一致收敛．
(n 1)!
（4）函数项级数
(1)n1 x2 (1 x2 )n
在 (,
)
上一致收敛．
（5）函数项级数
n xn
在
x

r
r
n0 (2n 1)!
n0 (2n)!
（6） arctan x (1)n xn1(1 x 1) n0 2n 1
（7） ex xn ( x ) n0 n!
3．幂级数的和函数

（1） xn
xk
( x 1)
(k 0,1, 2,) ．
法．线．方程为 Fy (x0 , y0 )(x x0 ) Fx (x0 , y0 )( y y0 ) 0 ．
5．空间曲线
L
：
F( G(
x, x,
y, y,
z z
) )

0 0
在点
P0
(
x0
,
y0
,
z0
)
处的
-4-
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切．线．方程为

x Fy

x0 Fz
f

2

y

f1
yf2
，
2z xy



z x

y

(
f1

yf

2
)
y

f11 1
f12 x
f2

y(
f

21
1

f

22

x)

f

2

f11 (x
y)
f12

xyf

22
．
6． 设 fx (P0 ) f y (P0 ) 0 ，令 fxx (P0 ) A ， fxy (P0 ) B ， f yy (P0 ) C ，
梯度，记作 gradf ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 )) ．向量 gradf 的长度（或模）为 gradf fx (P0 )2 f y (P0 )2 fz (P0 )2 ．
5．设 z

f (x
y, xy) ，
f
有二阶连续偏导数，则有 z x

f1 1

1．对于幂级数
n0
an xn
，若 lim n
n
an
（ lim an1 a n
n
）
则（i）当 0 时，收敛半径 R ，收敛域为 (, ) ；
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（ii）当 时，收敛半径 R 0 ，仅在 x 0 处收敛；
x, x,
y, y,
u, u,
v) v)

0 0
，有

Fx Gx
Fy Gy
Fu Gu
Fv Gv



x G x
y G y
u G u
v
，
G
v
则 Juv

Fu Gu
Fv Gv
， J xv

Fx Gx
Fv Gv
， Jux

Fu Gu

r
1上 一 致 收 敛
1上 不 一 致 收 敛

．
（6）函数项级数
xn 在[0,1] 上一致收敛． n2
（7）函数项级数
(1)n1 在 (, ) 上一致收敛． x2 n
（8）函数项级数
x2 (1 x2 )n1
在
(, )
上不．一致收敛．
第十四章 幂级数（10%）
1

xn ，
1

(1)n xn
( x 1) ．
1 x n0
1 x n0
m 1时，收敛域为（1，1）
（3）(1
x)m
1
mx

m(m 1) 2!
x2

m(m
1)(m n!

n
1)
xn

(1
x1)，1 m 0时，收敛域为（1，1]． m 0时，收敛域为[1，1]
f (x) 是以 2 为周期且在[ , ] 上可积的函数：
1．
f
(x)

a0 2

n1
(an
cos nx
bn
sin
nx)
， a0

1

f (x)dx ，

-2-
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an

1

3． lim ( x, y)(0,0)
x2 y2 x2 y2

0
，
(x,
lim
y)(0,0)
1 x2 y2 x2 y2
， lim (x, y)(0,0)
x2 y2
2，
1 x2 y2 1
lim (x
(x, y)(0,0)
y) sin
x2
1
y2

0
，



y Fz

y0 Fx



z Fx

z0 Fy

，

Gy
Gz


Gz
Gx


Gx
Gy

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法．线．方程为

Fy Gy
Fz Gz

(
x
nk
1 x
（2）

(1)n xn

(x)k (x
1)
(k 0,1, 2,) ．
nk
1 x

（3）
xn ln(1 x)
(1 x 1) ．
n1 n
（4）
n1
nxn1


(xn )
n1


n1
xn


x 1 x
则（i）当 AC B2 0 ， A 0 时， f 在点 P0 取得极小值； （ii）当 AC B2 0 ， A 0 时， f 在点 P0 取得极大值； （iii）当 AC B2 0 时， f 在点 P0 不能取得极值； （iv）当 AC B2 0 时，不能肯定 f 在点 P0 是否取得极值．
xx0 y y0
y y0 xx0
( x, y )( x0 , y0 )
2．若累次极限 lim lim f (x, y) 与 lim lim f (x, y) 存在但不相等，则重极限 lim f (x, y) 必不存在．
xx0 y y0
y y0 xx0
( x, y )( x0 , y0 )
（4） ln(1 x) (1)n1 xn (1)n xn1(1 x 1) ， ln(1 x) xn (1 x 1) ．
n 1
n
n0 n 1
n1 n

（5） sin x
(1)n x2n1 ， cos x (sin x) (1)n x2n ( x ) ．
第十八章 隐函数定理及其应用（10%） 1．隐函数 F (x, y) 0 ，则有 dy Fx ．
dx Fy
2．隐函数 F (x, y, z) 0 ，则有 z Fx ， z Fy ． x Fz y Fz
F F F F
3．隐函数方程组：
F( G(
(x,
lim
y )( 0,0)
sin(x2 y2 x2 y2
)
1．
第十七章 多元函数微分学（20%）
1．全微分： dz z dx z dy ． x y
z
z
z
x
y
2．
x
y
x
x y
y
s
t
s
t
s
t
s
t
z z x z y s x s y s
l
l
l
l f (x) sin n x dx ， n 1, 2,．
0
l
f
(x)

n1
bn
sin
nx
， bn

1
f (x) sin nxdx 2


f (x) sin nxdx ， n 1, 2,．
0
第十六章 多元函数的极限与连续（5%）
1．若累次极限 lim lim f (x, y) ， lim lim f (x, y) 和重极限 lim f (x, y) 都存在，则三者相等．
x
dx
，
bn
1 l
l l
f (x) sin n x dx ， n 1, 2,． l
3．（1）偶函数的傅里叶级数：
f
(x)

a0 2

n1
an
cos
n l
x
， an

1 l
l f (x) cos n x dx 2
l
l
l
l f (x) cos n x dx ， n 1, 2,．


1 (1 x2 )
( x 1) ．
（5）
n2
n(n
1) x n2

n1
(xn )


n1
xn
Leabharlann Baidu

x 1 x



1 (1 x2 )


1 (1 x)3
第十五章 傅里叶级数（10%）
( x 1) ．
（iii）当 0 时，收敛半径 R 1 ，收敛域为 (R, R) ，还要进一步讨论区间端点 x R 处的敛散性．
2．幂级数展开式：
（1）
f (x)
f (0)
f (0) 1!
x
f (0) x2 2!

f (n) (0) xn n!

（2）