数学锐角三角函数的专项培优易错试卷练习题

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．

（1）求∠BPQ的度数；

（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，

【答案】（1）∠BPQ=30°；

（2）该电线杆PQ的高度约为9m．

【解析】

试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；

（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．

试题解析：延长PQ交直线AB于点E，

（1）∠BPQ=90°-60°=30°；

（2）设PE=x米．

在直角△APE中，∠A=45°，

则AE=PE=x米；

∵∠PBE=60°

∴∠BPE=30°

在直角△BPE中，BE=

3

3

PE=

3

3

x米，

∵AB=AE-BE=6米，

则3

，

解得：3

则BE=（33+3）米．

在直角△BEQ中，

QE=

3

3

BE=

3

3

（33+3）=（3+3）米．

∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．

答：电线杆PQ的高度约9米．

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

2．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．

（1）求证：△MED∽△BCA；

（2）求证：△AMD≌△CMD；

（3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S 2，当S2=17

5

S1时，求cos∠ABC的

值．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=5 7 .

【解析】

【分析】

（1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA；（2）由∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM，从而可证明∠AMD=∠CMD，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD；

（3）易证MD=2AB，由（1）可知：△MED∽△BCA，所以

2

1

1

4

ACB

S MD

S AB

⎛⎫

==

⎪

⎝⎭

，所以

S△MCB=1

2

S△ACB=2S1，从而可求出S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=

2

5

S1，由于1

EBD

S ME

S EB

=，从而可

知

5

2

ME

EB

=，设ME=5x，EB=2x，从而可求出AB=14x，BC=

7

2

，最后根据锐角三角函数的

定义即可求出答案．【详解】

（1）∵MD∥BC，∴∠DME=∠CBA，

∵∠ACB=∠MED=90°， ∴△MED ∽△BCA ；

（2）∵∠ACB=90°，点M 是斜边AB 的中点， ∴MB=MC=AM ， ∴∠MCB=∠MBC ， ∵∠DMB=∠MBC ， ∴∠MCB=∠DMB=∠MBC ， ∵∠AMD=180°﹣∠DMB ，

∠CMD=180°﹣∠MCB ﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC ， ∴∠AMD=∠CMD ， 在△AMD 与△CMD 中，

MD MD AMD CMD AM CM =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

， ∴△AMD ≌△CMD （SAS ）； （3）∵MD=CM ， ∴AM=MC=MD=MB ， ∴MD=2AB ，

由（1）可知：△MED ∽△BCA ， ∴

2

114

ACB S MD S

AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴S △ACB =4S 1， ∵CM 是△ACB 的中线， ∴S △MCB =

1

2

S △ACB =2S 1， ∴S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=2

5

S 1， ∵

1EBD

S ME

S

EB

=

， ∴1125

S ME

EB S =

，

∴

5

2

ME EB =， 设ME=5x ，EB=2x ， ∴MB=7x ， ∴AB=2MB=14x ， ∵

1

2

MD ME AB BC ==，

∴BC=10x ， ∴cos ∠ABC=105

147

BC x AB x ==. 【点睛】

本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.

3．如图，已知点从出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以

为顶点作菱形

，使点

在第一象限内，且

；以

为圆心，

为

半径作圆．设点运动了秒，求： （1）点的坐标（用含的代数式表示）； （2）当点在运动过程中，所有使

与菱形

的边所在直线相切的的

值．

【答案】解：（1）过作

轴于，

，

， ，

，

点的坐标为．

（2）①当

与

相切时（如图1），切点为，此时

，

，，

．