例谈反证法在数学证明中的应用

例谈反证法在数学证明中的应用

【摘要】反证法是解决数学问题时常用的数学方法之一，它在数学解题中广泛使用，特别是有些问题，用反证法更简捷明了。文章阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般步骤，重点论述了反证法在中学数学证明中的应用。

【关键词】反证法证明假设矛盾结论

有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。

一、对“反证法”的概述

（一）反证法的概念及其逻辑依据

1.反证法的概念

假设命题判断的反面成立，在已知条件和“否定命题判断”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理﹑定理、题设、临时假定相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定命题判断的反面不成立，即证明了命题的结论一定是正确的，当命题由已知不易直接证明时,改证它的逆命题的证明方法叫反证法。

2.反证法的逻辑依据

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。

矛盾律： 在同一论证过程中， 对同一对象的两个互相矛盾（对立）的判断， 其中至少

有一个是伪的。

排中律： 在同一论证过程中， 对同一对象的两个互相矛盾的判断， 不能为伪， 其中

必有一个是真的。

（二）反证法的证明步骤

设待证的命题为“若A 则B ”，其中A 是题设，B 是结论，A 、B 本身也都是数学判断，那

么用反证法证明命题一般有三个步骤：

1. 反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立；

2. 归谬：由“反设”出发，以通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件﹑已知的公理

定理﹑定义﹑反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；

3. 结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，

从而肯定了结论成立。

二、反证法在数学证明中的应用

反证法在数学证明中的应用非常广泛，反证法虽然是在平面几何教材中出现的，但对数

学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。那么，究竟什么样

的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题

一般用反证法来证比较方便。

1.否定性命题

结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入

手，而用反证法就容易多了。

例1 求证:当 n 为自然数时 ,2(2 n + 1) 形式的数不能表示为两个整数的平方差。

证明：假设有整数 a , b ,使）（1n 22b a 22+=-，

即 (a + b)(a - b)=2(2n + 1)

① 当 a ,b 同奇、 同偶时 , a + b 、 a - b 皆为偶数 ,

(a + b)(a - b) 应是4的倍数 ,但2(2n+ 1) 除以4余2 ,矛盾。

② 当a ，b 一奇一偶时 ,a + b 、a - b 皆为奇数 ,

(a + b)(a - b) 应是奇数 ,但2(2n + 1)为偶数 ，矛盾。

所以假设错误 ,即2(2n + 1) 形式的数不能表示为两个整数的平方差。

2.限定性命命题

结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。

例2 1的九个圆，证明：至少有两个小圆的公共部分的面积不小于9

π。 证明： 假设每个小圆的公共部分的面积都小于9

π，而九个小圆共有2936C =个公共部分，九个小圆的公共部分面积要小于3649

ππ⨯=，又大圆面积为5π，则九个小圆应占面积要大于945πππ-=，这是不可能的，故至少有两个小圆的公共部分面积不少于9

π。 例3 试证： 由三个小于1的实数a ，b ，c 构成的三个乘积（1-a ）b ，（1-b ）c ，（1-c ）

a 至少有一个不大于4

1。 证明：a ，b ，c 中如果有一个小于或等于零， 则命题成立。 假设0﹤a ，b ，c ﹤1且（1-a ）b ﹥

41，（1-b ）c ﹥41，（1-c ）a ﹥41，由第一式有（1-a ）ab ﹥4

a ，∵1-a 与a 都是正数，

b 也是正数。 ∴ 4a ﹤（1-a ）ab ≤ [2a a 1+-）（]2b=4

b ，因此a ﹤b 。 同理由第二、 第三式可得b ﹤

c ，c ﹤a ，即a ﹤b ﹤c ﹤a 矛盾。

故三个乘积（1-a ）b ，（1-b ）c ，（1-c ）a 至少有一个不大于

4

1。 3.无穷性命题

结论是无穷的，结论涉及的对象无法一一列出，而它的反面是有限的、肯定的命题。

例4 求证：质数的个数是无穷的。

证明：假设质数的个数有限，不妨设为k 个，则可以将全体质数列举如下：p 1，p 2，……

p k 。令q= p 1·p 2·……·p 1k +，其中q 是自然数，又令P 是q 的大于1的质因数；

因为p 1，p 2，……，p k 是全体质数，所以，一定有某个P i =P ，(1≤i ≤k)。

显然p 1·p 2·……·p k 是P 的倍数，所以P=1，这与P 是大于1的质因数相矛盾 ，

所以，质数的个数是无穷的。

例5 求证：2是无理数。

分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。

而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设2是有理数时，

就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将2表示为一个分数。

证明： 假设2是有理数，则存在b a N b a ,.,且∈互质，使2222b a b

a =⇒=，从而，a 为偶数，记为c a 2=，所以224c a =，所以222

b

c =，则b 也是偶数。由a ,b

均为偶数与a 、b 互质矛盾，故2是无理数。

4.逆否命题

原命题与它的逆否命题是同真同假的，某些命题，可以用反证法来证明它的逆否命题，

从而带来方便。

例6 证明：1,034222≠-≠--+-b a b a b a 则。

分析：将“1,034222≠-≠--+-b a b a b a 则”视为原命题。要证明原命题为真命题，

可以考虑证明它的逆否命题“1=-b a ，则34222--+-b a b a =0”为真命题，从而达到证明

原命题为真命题的目的。

证明：若 1=-b a ，则

34222--+-b a b a

= ()()()322---+-+b b a b a b a

= 322--++b b a

= 1--b a

= 0

∴ 原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题。

5.唯一、存在型命题

即结论是证“ 唯一性” ，“ 存在性”的命题。

例7 求证：方程x = sinx 的解是唯一的。

证明：显然，x=0是方程的一个解。以下用反证法证明方程的解是唯一的。