空间向量的坐标表示

空间向量的坐标表示
1、平面向量的坐标表示及运算律：
(1)若a (a1, a2 ), b (b1, b2 ) 则 a b (a1 b1, a2 b2 ),
a b
a (a1, a2 )( R),
(a1 b1 , a2 b2 ),
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(2)若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
（3）若m＝(8,3,a)与n=(2b,6,5) 共线， 则a＋b＝ .
例3：已知直三棱柱ABC-A1B1C1中， 底面是直角三角形，且∠ACB＝900， 点M,N分别是AC、A1B1的中点，利用 向量的知识证明：MN∥平面BC-B1C1.
1:已知A(3,5,-7），B(-2,4,3), 则AB 的坐标为 ；
a (a1 , a2 , a3 )
例1、已知a (2, 3,5), b (3,1, 4)
求a b, a b,8a,
例2:(1)已知空间三个点的坐标为 A(1,5,-2),B(2,4,1),C=(p,3,q+2),若 A,B,C三点共线，则p＋q＝ .
（2）已知a＝(3,-2,6),b=(-1,4,-2), c=(7,5,λ),若三个向量共面，求实数λ 的值.
k
p ( x, y, z)
A(x,y,z)
i
Oj
y
2、空间向量的直角坐标运算律： 则:
设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
y
1、重点： （1）、熟练掌握空间向量坐标表示的各种运 算律； （2）、空间向量中的公式的形式与平面向
量中相关内容一致，因此可类比记忆； 2、难点：
确定空间几何体中顶点和向量的坐标；
练5:已知A(1,0,0），B(0,1,0), C=(0,0,2), 求一点D使DB∥AC,DC ∥AB.
练6：已知正方体ABCD－A1B1C1D1 中，点M、N分别在AC和C1D上，且 AM:MC=C1N:ND=2:1,求证： z MN∥BD1. A1 D1 B1 C1 N A D M B C x
p xa yb zc
1、空间向量的坐标表示：
给定一个空间直角坐标系和向量 p 且设 ，
i、 j、 k
为单位坐标向量， 由空间向量基本定理，存在唯一
的有序实数组 ( x, y, z ) ，使得 p xi y j zk 则有序实数组 ( x, y, z ) 叫做 p在空间直角坐标系Oz 上式可简记作 xyz中的坐标， p
2、已知a (3, 2,5), b (1,5, 1)
求(1)a b;
(2)3a b;
(3)6a;
练3:空间四个点A(1,0,1），B(4,4,6), C=(2,2,3),D(10,14,17),判定四点是否 共面，
练4：已知a=(0,0,1),b=(-1,3,2), c=(2,-1,3),d=(4,5,6),设d=xa+yb+zd, 则x，y，z的值是 。
则AB ( x2 x1 , y2 y1 )
2、空间向量基本定理：
如果三个向量 a、 b、 c 不共面，那么对空间任一 存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使得 向量 p ，
p xa yb zc
a
P
c
p
b
A'
c o Aa
C
p
bB
P’
B'
OP OA' OB' P' P xOA yOB zOC