天一大联考2019-2020学年度高中毕业班阶段性测试(五)文科数学试卷含解析

天一大联考2019—2020学年高中毕业班阶段性测试（五）
文科数学
专生注意
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴答题卡上的指定位置，
2．回答选择题时，选出每小题答案后．用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}5,4,3,2,1,1-=A ，{}
0)5)(1(<--∈=x x N x B ，则B C A =
A ．{3}
B ．{2，3}
C ．{2，3，5}
D ．{-1，1，5} 2．已知复数i i
z +-=
215
，则z 的共轭复数为 A ．1 +3i B ．1-3i C ． -1 +3i D ． -1 -3i 3．在一堆从实际生活得到的十进制数据中，一个数的首位数字是)9,,2,1(Λ=d d 的概率为)1
1lg(d
+，这被称为本福特定律．以此判断，一个数的首位数字是1的概率约为
A ．10%
B ．11%
C ． 20%
D ．30%
4．某公司以客户满意为出发点，随机抽选2000名客户，以调查问卷的形式分析影响客户满意度的各项因素．每名客户填写一个因素，下图为客户满意度分析的帕累托图．帕累托图用双直角坐标系表示，左边纵坐标表示频数，右边纵坐标表示频率，分析线表示累计频率，横坐标表示影响满意度的各项因素，按影响程度（即频数）的大小从左到右排列，以下结论正确的个数是
①35.6%的客户认为态度良好影响他们的满意度； ②156位客户认为使用礼貌用语能响他们的满意度； ③最影响客户满意度的因素是电话接起快速；
④不超过10%的客户认为工单派发准确影响他们的满意度.
A ．1
B ．2
C ．3 B ．4
5．已知2tan =α．则
)
4
3sin()45cos(παπα+-
= A ．3 B ． 1 C ．1- D ．3- 6．已知函数⎩⎨
⎧≤+>-=,
0,1,0,12)(x a x x x f x
若3)1(=-f ，则不等式5)(≤x f 的解集为
A ．[-2．1]
B ．[ -3，3]
C ．[-2．2]
D ．[ -2，3]
7．已知实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≤+-≥+-0120120223y x y x y x ，则y x z -=的取值范围是
A ．]43,3[--
B ．]0,4
3
[-
C ．[-3，0]
D ．[0，3] 8．执行如图所示的程序框图．若输出的值30=S ，则p 的取值范围为
A ．（18，30]
B ．[18，30]
C ．（0，30]
D ．[18，30）
9．已知函数)2
sin(
)(x x f +=π
与)0)(2sin()(πϕϕ<≤+=x x g ，它们的图象有一个横坐标为
3
π
的交点，将函数g （x ）的图象向左平移
12
π
个单位长度，所得图象的一条对称轴方程为 A ．12π-=x B ．127π=x C ．125π=x D ．12
11π
=x
10．已知函数)(),(x g x f 的定义域为)1(+x f R ，是奇函数，g （x+1）是偶函数，若)()(x g x f y ⋅=的图象与x 轴有5个交点，则)()(x g x f y ⋅=的零点之和为
A ．5-
B ．5
C ．10-
D ．10
11．已知直四棱柱1111D C B A ABCD -的侧棱长为8．底面矩形的面积为16．一个小虫从C 点出发沿直四棱柱侧面绕行一周后到达线段1CC 上一点M ，若⊥AM 平面BD A 1．则小虫爬行的最短路程为 A ．8 B ．16 C ．652 D ．174
12．已知从圆C:)0(2
2
2
>=+r r y x 上一点Q （0，r ）作两条互相垂直的直线与椭圆14
12:
2
2=+y x τ相切，同时圆C 与直线013:=--+m y mx l 交于A ，B 两点则AB 的最小值为 A ．32 B ．4 C ．34 D ．8 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在等边三角形ABC 中，AB =2．E 、F 分别为AB 、BC 的中点.则⋅= ．
14．双曲线)2
0(1sin 2222π
θθ≤<=-
y x C ：的离心率的最大值是 ． 15．已知球O 的内接正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 在线段1BD 上，过点P 垂直于1BD 的平面截球O 所得的截面圆的面积为
π3
2
．则线段PB 的长为 ． 16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，B ，c ，角B 为钝角，设△ABC 的面积为S ．若
)(4222a c b a bS -+=，则C A sin sin +的取值范围是 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分
17．（12分）已知数列{}n a 满足12211
-=++n n n n a a ，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且75644b b b b =，
111==b a 。

（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）⎪⎩
⎪
⎨⎧+=为奇数，为偶数n b n n p n ,,21
n 求数列{}n p 的前2n 项n 2S .
18．（12分）如图．已知圆柱内有一个三棱柱BCD A -，AD 为圆柱的一条母线，DF ，BC 为下底面圆O 的直径，AD=BC=2．
（Ⅰ）在圆柱的上底面圆内是否存在一点E ，使得EF//平面ABC ？证明你的结论． （Ⅱ）设点M 为棱AC 的中点，NC DN 2=，求四棱锥ADNM B -体积的最大值．
19．（12分）某科研小组为了研究一种治疗新冠肺炎患者的新药的效果，选50名患者服药一段时间后，记录了这些患者的生理指标x 和y 的数据，并统计得到如下的2x2列联表（不完整）:
60≤y 60>y
合计 7.1≤x 12 36 7.1>x
7 合计
其中在生理指标x>1.7的人中．设A 组为生理指标y ≤60的人，B 组为生理指标y>60的人，他们服用这种药物后的康复时间（单位:天）记录如下: A 组:10，11，12，13，14，15，16 B 组:12，13，15，16，17，14，25
（Ⅰ）填写上表，并判断是否有95%的把握认为患者的两项生理指标x 和y 有关系；
（Ⅱ）从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率
附：22
()()()()()n ad bc K a b a c b d c d -=++++
其中n a b c d =+++．
P （K 2≥k ） 0.050 0.010
0.001
k
3.841 6.635 10.828
20．（12分）已知O 为坐标原点，抛物线)0(22
>=p py x C ：的焦点坐标为)2
1
,0(，点A ．B 在该抛物线上且位于y 轴的两侧，3=⋅． （Ⅰ）证明：直线AB 过定点（0，3）；
（Ⅱ）以A ，B 为切点作C 的切线，设两切线的交点为P ，点Q 为圆1)1(2
2
=+-y x 上任意一点，求PQ 的最小值.
21．（12分）已知函数2
2)(x e x f x
-=．
（Ⅰ）设x
e x
f x
g )
()(=，判断)(x g 在),0(+∞上零点的个数； （Ⅱ）证明:10
9
)1011(25)1(2+-->-x x f
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==2
,
2t
y t x （t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin =θρ，M 为曲线2C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16=⋅OP OM ．
（Ⅰ）求点P 的轨迹3C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设1C 与3C 的交点为A ，B ，求△AOB 的面积
23．[选修4 -5:不等式选讲]（10分）
若对于实数x ，y 有313,421≤+≤-y x ．
（Ⅰ）求6
1
-
+y x 的最大值M ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足M b a =+21，证明:9
50)2)(1(≥++b a。