实变函数复习思考题

实变函数复习思考题

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题后的括号内.)

1. E 是实数全体，则E 是（ ）.

A. 可数；

B.不可数；

C.有限集；

D.不可测集.

2. 有限个可数集的并集是（ ）.

A.可数；

B.不可数；

C.有限集；

D.以上都不对.

3. 若A 是有限集或可数集,B 是不可数集,则（ ）.

A. A B 是可数；

B. A B 是不可数；

C. A B c =；

D. A B B =.

4. 设()f x 是定义在n E ⊂

上的实函数,则下列式子不成立的是（ ）. A.11[]n E f a E f a n ∞=⎡⎤≥=>-⎢⎥⎣⎦； B.11[]n E f a E f a n ∞=⎡⎤>=≥+⎢⎥⎣⎦； C. 1[][]n E f E f n ∞==+∞=

>； D. []1[]n E f a E a f a n ∞

=≥=≤<+. 5. 设Q 是1R 中有理数全体,则在1R 中Q 的导集Q '是（ ）.

A. Q ;

B. ∅;

C. 1R ;

D. 1

\R Q .

6. 设{}n G 是一列开集,1

n n G G ∞==,则G 一定是（ ）.

A.开集;

B.闭集;

C. G δ型集;

D. 开集，也是闭集.

7. 设{}G λλ∈Λ是一族开集, Λ

∈=λλG G ,则G 一定是（ ）. A.开集; B.闭集; C. G δ型集; D. 开集，也是闭集.

8. 设{}F λλ∈Λ是一族闭集,F F λλ∈Λ=

,则F 一定是（ ）.

A.开集;

B.闭集;

C.F σ型集;

D. 开集，也是闭集.

9. 设{}n F 是一列闭集,1

n n F F ∞

==,则F 一定是（ ）.

A.开集;

B.闭集;

C.F σ型集;

D. 开集，也是闭集.

10. 设Q 是1中有理数全体，则mQ =（ ）.

A.0;

B.+∞;

C.1;

D.不存在.

11. 关于Cantor 集P ,下述说法不成立的是（ ）.

A. P 无内点;

B. P 中的点都为孤立点;

C. P 中的点都为聚点;

D. P 是闭集.

12. 设E 是任一可测集,则( )．

A.E 是开集; B ．E 是闭集;

C.0ε∀>,存在开集G E ⊃,使得(\)m G E ε<; D ．E 是F σ型集或G δ型集.

13. 设{}n E 是一列可测集合,且12n E E E ⊂⊂⊂⊂,则有( ).

A.1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭;

B. 1lim n n n n m E mE ∞→∞

=⎛⎫= ⎪⎝⎭;

C. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭;

D. 1lim n n n n m E mE ∞→∞

=⎛⎫= ⎪⎝⎭.

14. 设{}n E 是一列可测集合,且12n E E E ⊃⊃⊃⊃,1mE <+∞,则有( ).

A.1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭;

B. 1lim n n n n m E mE ∞→∞

=⎛⎫= ⎪⎝⎭;

C. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭;

D. 1lim n n n n m E mE ∞→∞

=⎛⎫= ⎪⎝⎭.

15. 设n

E R ⊂,mE <+∞,{}()n f x 在E 上几乎处处收敛于()f x .则( ). A ．{}()n f x 在E 上处处收敛于()f x ;

B ．{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x ;

C. {}()n f x 在E 上一致收敛于()f x ;

D. 存在{}()n f x 的子列{}()i n f x ,使得{}

()i n f x 在E 上一致收敛于()f x .

16. 设()f x 是可测集E 上的可测函数,则对任意的实数a ,有( )．

A ．[]E f a ≥是闭集;

B ．[]E f a >是开集; C. []E f a =是零测集; D ．以上都不对.

17. 设()f x 是定义在E 上的实值函数.令{}()max (),0f x f x +=,{}()min (),0f x f x -=-,则下

述哪个说法不成立的是（ ）

A ．()f x +与()f x -

都是定义E 上的非负函数;

B ．()()()f x f x f x +-=-,()()()f x f x f x +-=+; C.[0][0]E f E f +-≥≥=∅;

D ．()f x 在

E 上可测⇔()f x +与()f x -都在E 上可测.

18. 设{}()n f x 是可测集E 上的几乎处处有限的可测函数,则下述命题中是( )错误的．

A ．{}sup ()n n f x 是可测函数;

B ．{}inf ()n n

f x 是可测函数;

C. 若()()n f x f x ⇒,则()f x 是可测的; D ．若()()n f x f x ⇒,则() ()n f x f x →.

19. 设在可测集E 上()()n f x f x ⇒,()()n f x g x ⇒.则( ).

A.()()f x g x =,x E ∈;

B. ()()f x g x ≠,x E ∈;

C. ()()f x g x =..a e 于E ;

D. ()()E E

f x dx

g x dx =⎰⎰. 20. 设()f x 是可测集E 上的可测函数,则()f x 是（ ）.

A. Lebesgue 可积函数;

B. ()f x 在E 上几乎处处连续;

C.存在简单函数列{}()n x ϕ使()()n x f x ϕ→.a e 于E ;

D. []0mE f =+∞=.

21. 设()f x 是可测集E 上的非负可测函数,则()f x ( )．

A ．是E 上的连续函数;

B ．是E 上的勒贝格可积函数;

C.是E 上的简单函数; D ．在E 上的积分确定.

22. 设()f x 是可测集E 上的有界可测函数,则 ( )．

A ．存在简单函数列{}()n x ϕ使在E 上一致收敛于()f x ;

B ．()f x 是E 上的勒贝格可积函数;

C. ()f x 是E 上的黎曼可积函数; D ．()f x 在E 上的积分确定.