沪科版九上数学第21章：二次函数与反比例函数知识点总结

沪科版九上数学第21章:二次函数与反比例函数强化记忆知识点

知识点1：二次函数的图象与系数的关系.

二次函数2y ax bx c =++中图象与系数的关系:（1）二次项系数a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． a>0时，开口向上，a<0时，开口向下。a 越大，开口越小。a 越小，开口越大。（2）一次项系数b ，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．若

0>ab ，则对称轴a b x 2-

=在y 轴左边，若0

x 2-=在y 轴的右侧。若b=0，则对称轴a

b

x 2-=＝0,即对称轴是y 轴.概括的说就是“左同右异,y 轴0” （3）常

数项c ，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．当0c >时，交点在y 轴的正半轴上 ;当0c =时，抛物线经过原点，;当0c <时，交点在y 轴的负半轴上, 简记为“上正下负原点0”(4) △=b 2－4ac 决定了抛物线与x 轴交点的个数. ① 当0∆>时，抛物线与x 轴有两个交点 ② 当

0∆=时，

抛物线与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，抛物线与x 轴没有交点.另外当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．

注：a +b +c 表示x=1时，对应的函数值。a -b +c 表示x= －1时，对应的函数值.

4a +2b +c 表示x=2时，对应的函数值。9a -3b +c 表示x= －3时，对应的函数值.等

知识2：一次函数的图象与系数的关系.

一次函数:y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0) 中图象与系数的关系:

（1）走向：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限

b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩

⎨

⎧<>00

b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩

⎨⎧<<00

b k 直线经过第二、三、四象限 （2）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.

（3）截距: 当b>0时，图象交于y 轴正半轴, 当b<0时，图象交于y 轴负半轴,当b=0时，图象交于原点.

（4）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.

知识3：反比例函数的图象与系数的关系以及反比例函数性质. 反比例函数:y ＝

x

k

（k 为常数，k ≠0）中图象与系数的关系: （1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。

（2）反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x 轴、y 轴，但与x 轴、y 轴没有交点。

3） 越大，图象的弯曲度越小， 越小，图象的弯曲度越大，双曲线越靠近坐标轴．

反比例函数

y ＝x

k

（k 为常数，k ≠0）

k 的取值 k ＜0 k ＞0

图像

性质 a)

x 的取值范围是x ≠0；y 的取值范围是y ≠0; b)

函数的图像两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大。 a) x 的取值范围是x ≠0；y 的取值范围是y ≠0;

b)

函数的图像两支分别位

于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小。 （1）反比例函数解析式x

k

y =（k ≠0）的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像

上一个点的坐标即可求出k ）为了计算的方便通常变形成k=xy,即k 等于图像上任意一

个点的横坐标与纵坐标的乘积。

（2） 反比例函数y ＝

x

k

（k ≠0）中的比例系数k 的几何意义:表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。如图，过双曲线y ＝

x

k

（k ≠0）上的任意一点P （x , y ）做x 轴、y 轴的垂线PA 、PB ，所得矩形OBPA 的面积:S OA PA x y xy k =⋅=⋅==矩形OAPB

推论：过双曲线上的任意一点做坐标轴的垂线，连接原点，所得三角形的面积为

2k

(3）反比例函数y ＝x

k

（k ≠0）图象的对称性：① 图象关于原点对称:即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（

，

）在双曲线的另一支上． ②图象关于直线y=-x 和y=x 对称:

即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则(-b,-a)或（b,a ）在双曲线的另一支上．

1111

S S 2222

OPA OPB OA PA x y xy k

∆∆==⋅=⋅==

y x

O 反比例函数图像与性质口诀:

反比例函数双曲线，待定只需一个点，k 为正,图在一、三(象)限；k 为负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减；图在二、四正相反,两个分支分别增;线越长越近轴,永远与轴不沾边.图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线.

知识点4：二次函数的图象的性质 二次函数y=ax 2+bx+c 图象的性质

函数的图象

图象特点

函数性质

① 当a>O 时向上无限伸展；

当a

②当a>O 时开口向上； 当a

顶点为(－a

b 2,a b a

c 442

-)．

②a>O 时，当x=－

a

b

2时，y 有最小值 为a b ac 442-；a

b 2时，y 有最

大值为a

b

ac 442

-．

③对称轴为x=－

a

b 2， 当a>O 时，对称轴左侧图象从左到右下降，对称轴右侧图象从左到右上升；

当a

② a>O 时，当x<－a

b

2时，y 随x 的增大而减小；当x>－

a

b

2时，y 随x 的增大而增大； ③

a

2时，y 随x 的增大而增

大；当x>－a

b

2时，y 随x 的增大而减小．

二次函数2

()y a x h k =-+的图像和性质

a ＞0 a ＜0

图 象 开 口 向上 向下 对 称 轴 x=h x=h 顶点坐标 (h,k)

(h,k)

最 值 当x ＝ h 时，y 有最 小值

当x ＝ h 时，y 有最 大 值

增减性

在对称轴左

侧

即当x

y 随x 的增大而 减小

y 随x 的增大而 增大