数学思想方法与新题型解析

数学思想方法与新题型解析一. 本周教学内容：数学思想方法与新题型解析 二. 重点、难点：数学思想反映着数学概念、原理及规律的联系和本质，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能、方法的关键。

在解综合题时，尤其需要用数学思想来统帅，分析、探求解题的思路，优化解题的过程，验证所得的结论。

在初中数学中常用的数学思想有方程思想、数形结合思想、转化思想和分类讨论思想。

（一）方程思想在初中数学中，我们学习了许多类型的方程和方程组的解法。

例如，一元一次方程、一元二次方程，可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法，二元一次方程组、三元一次方程组的解法，以及二元二次方程组的解法等，所以我们如果能把实际问题或数学问题转化成解上述方程或方程组，问题就容易解决了。

所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得到解决。

用方程思想分析、处理问题，思路清晰，灵活、简便。

1. 方程思想的最基本观点——几个未知数，列几个独立的方程我们知道在一般情况下，几个未知数在几个独立的方程的制约下有确定的解。

在涉及数量关系的问题中，用这一基本思想来分析、处理，能较为容易地找到解题途径。

例1. 已知：x x 12、是关于x 的方程x x m 2220++=的两个实数根，且x x 12222-=，求m 的值。

分析：本题中涉及三个未知数x x m 12、、，需列出三个方程，题目中已给出了一个关于x x 12、的方程x x 12222-=，那么只需再找出两个关于x x 12、和m 的方程即可。

解法1 依题意，得∆=->+=-=-=⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪440222121221222m x x x x mx x ①②③④④②，得⑤②⑤，得把代入②，得÷-=-+=-=-=-x x x x x 121121323212∴==m x x 21234∴=±=±=->∴=±m m m m 3232440322又当时，为所求∆ 说明：一般地，有几个未知数，则需列几个方程。

例2. 如图，在直角三角形ABC 中，∠=︒C 90，AD 是∆ABC 的角平分线，DE//CA ，已知CD=12，BD=15，求AE 、BE 的长。

分析：题目要求AE 、BE 这两个未知数的值，由于DE//CA ，并且DC=12，BD=15，容易得到BE EA BD DC ==1512，得到关于BE 、EA 的一个方程。

而题目中有两个未知数，还需要再建立一个关于BE 、EA 的方程。

由条件易知，∆ABC 和∆EBD 都是直角三角形，由AD 是角平分线和DE//CA 可以证明AE=ED ，这样就把AE 、EB 集中在Rt ∆EDB 中，用勾股定理可再列一个方程。

解： AD BC 是的角平分线∆A∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=CAD DAB DE CAADE CAD ADE DAE DE AE//设AE 为x ，BE 为y ，那么DE x = DE CA //∴=∴==∠=∴∠=AE BE CDBD x y C EDB o o12154519090()∴+=+=BD DE BE x y222222252即()解由、组成的方程组，得()()12x y x y 112220252025==⎧⎨⎪⎩⎪=-=-⎧⎨⎪⎩⎪（舍去） ∴==AE BE 2025，2. 方程思想解题的核心——构造方程，沟通已知与未知的联系用方程思想解题的核心是揭示题目中隐含的等量关系，设未知数、构造方程，沟通已知与未知的联系，从而使问题得到解决。

例 3. 已知：如图，DB 是半圆O 的直径，A 为BD 延长线上一点，AC 与半圆O 相切于点E ，CB AB ⊥，若AD AE EC ==2621，：：，求⊙O 半径。

分析：题目的条件给我们提供了许多等量关系。

已知CB 垂直直径DB ，可知CB 是⊙O 的切线，于是有CE=CB ；由切割线定理得AE AD AB 2=·；在Rt ABC ∆中，由勾股定理得AC AB BC 222=+。

题目又给出了两条线段的比AE EC ：：=21，则可设未知数，寻找等量关系，构造方程。

若设CE CB x ==，则根据上面的等量关系易得AE x AC x AB x ===2322，，。

以AE AD AB 2=·为等量关系构造方程：()226222346262x xx AB DB ==∴==·解得，∴⊙半径为O 6解略问：题目要求⊙O 半径，能否直接设所求量为未知数呢？这时，应以哪个等量关系来构造易解的方程，从而求出半径的长呢？进一步分析可以看到，由CE CB AE EC ==，：：21，可知CB AC ：：=13，即sinA =13。

连结OE （如图），则OE AC ⊥。

设，则OE OD m AO m ===+26 在中，Rt AEO A OE AO ∆sin ==13，把它作为等量关系构造方程：m m 2613+=解得m=6，从而求出半径长为6。

说明：从本例的两种不同解法可看到，列方程的关键是寻求等量关系。

在几何计算题中，常利用几何中的定理、公式，如勾股定理、切割线定理、相交弦定理、三角函数关系式等作为等量关系来构造方程，或利用图形中某些位置关系所隐含的等量关系（线段和差、面积和差、相似三角形对应边成比例）等构造方程。

下面我们把此例的已知条件稍加变化，分析如何寻找等量关系构造方程求解。

例 4. 如图，DB 是半圆O 的直径，A 为BD 延长线上一点，AC 与半圆O 相切于点E ，CB AB ⊥。

若AE EC DE BE ：：，=+=+21422，求∆ABC 的面积。

分析：要求∆ABC 的面积，只要求出AB 、BC 的长即可。

题目中给出了线段比，可利用比值设未知数，把其它线段用此未知数表示出来，寻找等量关系，构造方程。

此题解法很多，仅举其中一种解法。

简解：可证CB 为半圆O 的切线，CE=CB 设，则CE CB x AE x ===2由勾股定理得，由切割线定理得AB x AD x ==222∴=DB x 2过作E EF AB ⊥于F ，可得EF x =23在中，····解得，，Rt DEB DE BE EF BD x BD DE BE DE BE DE BEx x x AB BC S ABC ∆∆===+=+-∴=+-=∴===22322422222323462312222222222()()()说明：此例是利用勾股定理作为等量关系构造方程的。

由以上几例可以看出，设未知数一般是所求的量是什么，就设什么为未知数。

当所求的量不易直接求出时，要根据题目的特点，选择便于把条件、结论结合起来的未知量用字母表示为未知数，这样解题比较方便。

例5. 已知：在∆ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，FE ：FD=4：3。

（1）求证：AF=DF ；（2）求∠AED 的余弦值；（3）如果BD=10，求∆ABC 的面积。

图1分析：（1）略；（2）要求∠AED 的余弦值，首先要使∠AED 为一个直角三角形的内角，所以可连DM ，构造Rt DME ∆，也可过点A 作AN BE ⊥于点N ，构造Rt ANE ∆。

无论利用哪个直角三角形，都需知该直角三角形中两条边的长。

题目给出了线段比，可利用比例设未知数，再把其它线段用此未知数表示出来。

这时就需利用几何中的定理或图形的性质为等量关系，构造方程。

本题的解法很多，仅举其中四种解法。

（3）利用BD=10，可求出所设未知数的值，易求出∆ABC 的面积。

（1）证明： AD BAC 平分∠∴∠=∠∠=∠∴∠+∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠∴=BAD DAC B CAEBAD B DAC CAE ADE BAD B ADE DAE EA EDDE C DFE AF DE是半圆的直径∴∠=︒∴=90（2）解法一：连结DM （如图2） DE C 是半圆的直径 ∴∠=︒DME 90FE FD FE x FD x：：可设，则=∴==4343由勾股定理，得DE x =5∴=====AE DE x AF FD xAF AD AM AE53，由切割线定理的推论，得··∴+=3335x x x AM x ()·∴=∴=-=-=AM x ME AE AM x x x 185518575在中Rt DME AED ME DE xx ∆cos ∠===755725图2解法二：同解法一得，在和中（如图）由勾股定理，得又解联立的方程组，得AE DE x AF DF x Rt AMD Rt EMD AD AM DE ME x x AM x ME AM ME AE xME x ====-=-∴+-=-+===532335152127522222222∆∆()()()()()()在中，解法三：如图，过点作于在中：：可设，则Rt DME AED ME DE xx A AN BE NRt DFE FEFD FE x FD x ∆∆cos ∠===⊥=∴==75572534343由勾股定理，得，··DE xAE DE x AF FD xS AD EF DE AN ADE =∴======5531212∆∴=∴(+=AD EF DE ANx x x x AN····3345)∴=∴=∴∠===AN x EN x AED EN AE xx 24575755725由勾股定理，得cos图3解法四：同解法三，得AE=DE=5x ，AF=DF=3x∠=∠∴∴=∴=∴=ADN EDF Rt ADN Rt EDFDN DF ADED DN x xxDN x ∆∆~365185∴=-=-=∴∠==∠=∠∠=∠∴EN DE DN x x x AED EN AE CAE B AEC BEA CAE ABE51857572531cos ~（）解法一：如图， ∆∆∴===AE BE CE AE xx 52512∴==BE AE DE 22∴==∴==∴==⨯==BD DE BC DEx x S S AD EF x CAE ABE ABC ADE ，，·解法二：如图，在和中325102323212187232∆∆∆∆∠=∠∠=∠∴CAE B AEC BEA CAE ABE，∆∆~∴=∴=∴(=+AE BE CE AEAE BE CEx x x22510552··)()解得x =2∴===+=+⨯=∴==⨯⨯=AN x BC BD DC S BC AN ABC 245485105221512121548572∆·说明：此例是用方程思想解几何问题的典型题目。