数学思想方法与新题型解析

数学思想方法与新题型解析

一. 本周教学内容：

数学思想方法与新题型解析 二. 重点、难点：

数学思想反映着数学概念、原理及规律的联系和本质，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能、方法的关键。在解综合题时，尤其需要用数学思想来统帅，分析、探求解题的思路，优化解题的过程，验证所得的结论。 在初中数学中常用的数学思想有方程思想、数形结合思想、转化思想和分类讨论思想。

（一）方程思想

在初中数学中，我们学习了许多类型的方程和方程组的解法。例如，一元一次方程、一元二次方程，可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法，二元一次方程组、三元一次方程组的解法，以及二元二次方程组的解法等，所以我们如果能把实际问题或数学问题转化成解上述方程或方程组，问题就容易解决了。

所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得到解决。用方程思想分析、处理问题，思路清晰，灵活、简便。 1. 方程思想的最基本观点——几个未知数，列几个独立的方程

我们知道在一般情况下，几个未知数在几个独立的方程的制约下有确定的解。在涉及数量关系的问题中，用这一基本思想来分析、处理，能较为容易地找到解题途径。

例1. 已知：x x 12、是关于x 的方程x x m 22

20++=的两个实数根，且x x 12

22

2-=，求m 的值。

分析：本题中涉及三个未知数x x m 12、、，需列出三个方程，题目中已给出了一个关于x x 12、的方程x x 1222

2-=，那么只需再找出两个关于x x 12、和m 的方程即可。

解法1 依题意，得∆=->+=-=-=⎧⎨⎪

⎪⎪

⎩⎪⎪⎪44022212122

1222m x x x x m

x x ①

②③④

④②，得⑤

②⑤，得把代入②，得÷-=-+=-

=-=-

x x x x x 12112132

321

2

∴==

m x x 2123

4

∴=±

=±

=-

>∴=±

m m m m 32

3

2

4403

2

2又当时，为所求∆ 说明：一般地，有几个未知数，则需列几个方程。

例2. 如图，在直角三角形ABC 中，∠=︒C 90，AD 是∆ABC 的角平分线，DE//CA ，已知CD=12，BD=15，求AE 、BE 的长。

分析：题目要求AE 、BE 这两个未知数的值，由于DE//CA ，并且DC=12，BD=15，容易得到

BE EA BD DC ==

15

12

，得到关于BE 、EA 的一个方程。而题目中有两个未知数，还需要再建立一个关于BE 、EA 的方程。

由条件易知，∆ABC 和∆EBD 都是直角三角形，由AD 是角平分线和DE//CA 可以证明AE=ED ，这样就把AE 、EB 集中在Rt ∆EDB 中，用勾股定理可再列一个方程。 解： AD BC 是的角平分线∆A

∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=CAD DAB DE CA

ADE CAD ADE DAE DE AE

//

设AE 为x ，BE 为y ，那么DE x = DE CA //

∴=∴

==∠=∴∠=AE BE CD

BD x y C EDB o o

121545

19090()

∴+=+=BD DE BE x y

222

22

2252即()

解由、组成的方程组，得()()12

x y x y 1122202520

25

==⎧⎨

⎪⎩⎪=-=-⎧⎨

⎪⎩⎪（舍去） ∴==AE BE 2025，

2. 方程思想解题的核心——构造方程，沟通已知与未知的联系

用方程思想解题的核心是揭示题目中隐含的等量关系，设未知数、构造方程，沟通已知与未知的联系，从而使问题得到解决。

例 3. 已知：如图，DB 是半圆O 的直径，A 为BD 延长线上一点，AC 与半圆O 相切于点E ，CB AB ⊥，若

AD AE EC ==

2621，：：，求⊙O 半径。

分析：题目的条件给我们提供了许多等量关系。已知CB 垂直直径DB ，可知CB 是⊙O 的切线，于是有CE=CB ；由切割线定理得AE AD AB 2

=·；在Rt ABC ∆中，由勾股定理得AC AB BC 222=+。 题目又给出了两条线段的比AE EC ：：=21，则可设未知数，寻找等量关系，构造方程。

若设CE CB x ==，则根据上面的等量关系易得AE x AC x AB x ===2322，，。以AE AD AB 2

=·为等量关系构造方程：

()2262223

4626

2x x

x AB DB ==∴==·解得，

∴⊙半径为O 6

解略

问：题目要求⊙O 半径，能否直接设所求量为未知数呢？这时，应以哪个等量关系来构造易解的方程，从而求出半径的长呢？

进一步分析可以看到，由CE CB AE EC ==，：：21，可知CB AC ：：=13，即sinA =1

3

。连结OE （如图），则OE AC ⊥。

设，则OE OD m AO m ===+26 在中，Rt AEO A OE AO ∆sin =

=1

3，把它作为等量关系构造方程：

m m 2613

+=