二次函数与根的分布答案

二次函数与函数的零点

一、知识要点

1．二次函数的解析式

(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；

(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h ，k )，则其解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； (3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x 1，x 2，则其解析式为f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． a >0 a <0 图象

定义域 R

值域

⎣⎡⎭

⎫4ac －b 24a ，＋∞

⎝

⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a

单调性 在⎝

⎛⎦⎤－∞，－b

2a 上递减，在⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞上递增 在⎝

⎛⎦⎤－∞，－b

2a 上递增，在⎣⎡⎭

⎫－b 2a ，＋∞上递减 奇偶性 b ＝0时为偶函数，b ≠0既不是奇函数也不是偶函数

图象特点

①对称轴：x ＝－b 2a ；②顶点：⎝⎛⎭⎫－b 2a

，4ac －b 24a (1)定义：

使函数y ＝f (x )的值为0的实数x 称为函数y ＝f (x )的零点．

(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x 轴交点间的关系：

方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条不间断的曲线，且f (a )·f (b )<0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点．

3．函数零点具有哪些性质？

提示：对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质： (1)当它通过零点且穿过x 轴时，函数值变号； (2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

4．二次函数y ＝ax 2 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0

二次函数

y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象

与x 轴的 交点 (x 1,0)，(x 2,0)

(x 1,0) 无交点 零点个数 两个

一个

零个

在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 二、例题分析

[例1] 已知二次函数f (x )同时满足以下条件：

(1)f (1＋x )＝f (1－x )；(2)f (x )的最大值为15；(3)f (x )＝0的两根的立方和等于17. 求f (x )的解析式．

[自主解答] 依条件，设f (x )＝a (x －1)2＋15(a <0)，即f (x )＝ax 2－2ax ＋a ＋15.

令f (x )＝0，即ax 2－2ax ＋a ＋15＝0，则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝1＋15

a

.

而x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)＝23－3×2×⎝⎛⎭⎫1＋15a ＝2－90a

. 即2－90

a ＝17，则a ＝－6.故f (x )＝－6x 2＋12x ＋9.

[例2] (2014·盐城模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；

(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．

[自主解答] (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1.

又∵x ∈[－4,6]，∴函数f (x )在[－4,2]上为减函数，在[2,6]上为增函数． ∴f (x )max ＝f (－4)＝(－4－2)2－1＝35，f (x )min ＝f (2)＝－1.

(2)∵函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3的对称轴为x ＝－a ，且f (x )在[－4,6]上是单调函数， ∴－a ≥6或－a ≤－4，即a ≤－6或a ≥4.

(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，

且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，

x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，

∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．

[例3] (2013·玉林模拟)是否存在实数a ，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．

解：f (x )＝x 2－2ax ＋a ＝(x －a )2＋a －a 2.当a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧

f (－1)＝1＋3a ＝－2，f (1)＝1－a ，，解得a ＝－1(舍去)； 当－1≤a ≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧

f (a )＝a －a 2＝－2，f (1)＝1－a ＝2，解得a ＝－1.

当0

⎪⎨⎪⎧

f (a )＝a －a 2＝－2，

f (－1)＝1＋3a ＝2，a 不存在．

当a >1时，f (x )在[－1,1]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧

f (－1)＝1＋3a ＝2，

f (1)＝1－a ，

a 不存在．

综上可知a ＝－1

[例4] (1)(2013·唐山模拟)设f (x )＝e x ＋x －4，则函数f (x )的零点在(k ，k ＋1)(k ∈Z )上，则k ＝________.

(2)(2013·朝阳模拟)函数f (x )＝2x －2

x

－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是

________．

[自主解答] (1)∵f (x )＝e x ＋x －4，∴f ′(x )＝e x ＋1>0，∴函数f (x )在R 上单调递增．∵f (1)＝e ＋1－4＝e －3<0，f (2)＝e 2＋2－4＝e 2－2>0，f (1)f (2)<0.

(2)由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0

若方程x lg(x ＋2)＝1的实根在区间(k ，k ＋1)(k ∈Z )内，则k 为何值？

解：由题意知，x ≠0，则原方程即为lg(x ＋2)＝1

x

，在同一直角坐标系中作出函数y ＝lg(x

＋2)与y ＝1

x

的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，

一个在区间(1,2)上，所以k ＝－2或k ＝1. 互动探究

(3)(2012·天津高考)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．

(4)函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪

⎧

ln x －x 2＋2x (x >0)，4x ＋1(x ≤0)的零点个数为________．

[自主解答] 令f (x )＝0，即2x ＋x 3－2＝0，则2x －2＝－x 3.

在同一坐标系中分别画出y ＝2x －2和y ＝－x 3的图象，由图可知两个图象在区间(0,1)内只有一个交点，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内有一个零点．