三角形与四边形类比探究题(中考专题)

类比探究

解决类比探究问题的一般方法：

1、根据题设条件，结合各问条件，先解决第一问；

2、用解决第一问的方法类比解决下一问，如果不能，两问综合进行分析，找出不能类比的原因和不变特征，依据不变的特征，探索新的方法。

类比探究：图形结构类似、问题类似、常含探究、类比等关键词。

类比探究解题方法和思路

1、找特征（中点、特殊角、折叠等），找模型：相似（母子型、A型、非A型、X型、非X型）三线合一、面积、全等三角形等；

2、借助几问之间的联系，寻找条件和思路。

3、照搬上一问的方法思路，解决问题，照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等。

4、找结构：寻找不变的结构，利用不变结构的特征解决问题。

常见不变结构及方法：

①直角：作横平竖直的线，找全等或相似；

②中点：作倍长、通过全等转移边和角；

③平行：找相似、转比例。

5、哪些是不变的，哪些是变化的。哪些条件没有用，如何进

行转化，寻找能够

类比的方法和思路。

1．如图所示，在正方形上连接等腰直角三角形和正方形，无限重复同一过程，第一个正方形的边长为1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二

个等腰直角三角形的面积和为S2，…，第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为S n．

（1）计算S1、S2、S3、S4．

（2）总结出S n与S n﹣1的关系，并猜想出S1+S2+S3+S4+…+S n与n的关系．

2．（）分别以▱ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．

（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF 与EF的关系（只写结论，不需证明）；

（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

3．将两个用钢丝设计成的能够完全重合的直角三角形模型ABC和直角三角形DEF按如图所示的位置摆放，使点B、F、C、D在同一条直线上，且AB和DE、EF分别相交于点P、M，AC和DE相交于点N．

（1）试判断线段AB和DE的位置关系，并说明理由；

（2）若PD=AC，线段PE和BF有什么数量关系，请说明你的理由．

4．如图，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=90°，点B、E、F按逆时针排列），点P为DE的中点，连PC，PF

（1）如图①，点E在BC上，则线段PC、PF的数量关系为________，位置关系为_________（不证明）．

（2）如图②，将△BEF绕点B顺时针旋转a（O＜a＜45°），则线段PC，PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论，并证明．

（3）如图③，△AEF为等腰直角三角形，且∠AEF=90°，△AEF绕点A逆时针旋转过程中，能使点F落在BC上，且AB平分EF，直接写出AE的值是_________ ．

5．如图，在△ABC中，AB=AC，点E为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点E作射线EF交AC于点F，使∠AEF=∠B．

（1）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；

（2）请你探索：当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．

6．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE 为斜边作等腰直角△CDE，连接AD，

（1）当点E运动过程中∠BCE与∠ACD的关系是________．

（2）AD与BC有什么位置关系？说明理由．

（3）四边形ABCD的面积是否有最大值？如果有，最大值是多少？如果没有，说明理由．

7．直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，点P是三角形ABC一点，且满足

∠PAB=∠PBC=∠PCA，

（1）判断PC与PB的位置关系，并对你的判断加以说明．

（2）△ABP与△APC的面积比．

8．（江）如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．

9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B 作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）证明：△BDF是等腰直角三角形．

（2）猜想线段AD与CF之间的关系并证明．

10．如图，等腰直角三角形ABC中，AC=BC，将△ABC绕斜边AB的中点O旋转至△DEF 的位置，DF交AB于点P，DE交BC于点Q．请猜想OQ与OP有怎样的数量关系？并证明你的结论．

11．（1）如图甲，直角三角形ABC中，∠C=90°，分别以AB，AC，BC为边作正方形ABEF，ACMN，BCGH，面积分别设为S，P，Q，则S，P，Q满足怎样的等量关系？（直接写出结果，不需证明）

（2）如图乙，直角三角形ABC中，∠C=90°，分别以AB，AC，BC为边作等边三角形ABE，ACM，BCH，面积分别设为S，P，Q，则S，P，Q满足怎样的等量关系？并证明；

（3）如图丙，锐角三角形ABC中，分别以AC，BC为边作任意平行四边形ACMN，BCGH，面积分别设为P，Q，NM和HG的延长线相交于点D，连接CD，在AB外侧作平行四边形

ABEF，使得BE，AF平行且等于CD，面积设为S，则S，P，Q满足怎样的等量关系？并证明．

12．如图所示，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=90°，点B、E、F按逆时针顺序），P为DE的中点，连接PC、PF．

（1）如图（1），E点在边BC上，则线段PC、PF的数量关系为________，位置关系为_________（不需要证明）．

（2）如图（2），将△BEF绕B点顺时针旋转α°（0＜α＜45），则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论并证明．

（3）如图（3），E点旋转到图中的位置，其它条件不变，完成图（3），则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？直接写出你的结论，不需要证明．

13．（富宁县）将两个全等的直角三角形ABC和DBE如图①方式摆放，其中

∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．

（1）求证：AF+EF=DE；

（2）若将图①中的直角三角形ABC绕点B顺时针方向旋转，且∠ABD=30°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的直角三角形DBE绕点B顺时针方向旋转，且∠ABD=65°，其它条件不变，如图③，你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．