9.1 相空间 刘维尔定理

(q1 , q f ; p1 , d p f ;t) dt dt
这里 d
i i q p dt t pi i qi
9.1.5 全微分
现在要证明
d 0 dt
§9.1 相空间 刘维尔定理
1) 考虑相空间中一个固定的体积元
§9.1 相空间 刘维尔定理
一、相空间 1、如何描述系统的微观（力学）运动状态 ？ 说明： 1）当粒子间的相互作用不能忽略时，应把系统当作 一个整体考虑; 2）本节主要讨论经典描述
假设系统由N 个全同粒子组成，粒子的自由度为r 则：系统的自由度为f = Nr 如果系统包含多种粒子，第i 种粒子的自由度 为ri ，粒子数为Ni ，则系统的自由度为：
2、刘维尔定理
d 0 dt
ρdΩ表示时刻t，运动状 态在dΩ内的代表点数
如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道 在相空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时 间改变的常数。
§9.1 小结
二、刘维尔定理 (Liouville’s theorem)
1、设想大量结构完全相同的系统，各自从其初态 出发独立地沿着正则方程(9.1.1)所规定的轨道运动.
H H i i q p i 1,2,, f （9.1.1） pi qi 这些系统的运动状态的代表点将在相空间中形 成一个分布．
d dq1dq2 dqf dp1dp2 dpf
边界是2f 对平面
qi , qi dqi pi , pi dpi
(i 1,2, f )
时刻t, dΩ内的代表点数 d
时刻t + dt, dΩ内的代表点数 dt d t
经dt 时间后， dΩ内代表点数的增加 dtd t
( qi ) ( pi ) qi pi 0 t pi pi i qi i qi t
d i i q p dt t pi i qi
9.1.7
( q i ) ( p i ) 0 t pi i qi
§9.1 相空间 刘维尔定理
i p i q 2H 2H 0 qi pi qi pi pi qi
H H i i q ,p pi qi
Z1 l e l
l
N p ln Z1 V S Nk (ln Z1 ln Z1 )
S k ln
S Nk (ln Z1 ln Z1 ) k ln N!
F NkT ln Z1
满足经典极限条件 的玻色和费米系统
F NkT ln Z1 kT ln N!
§9.1 相空间 刘维尔定理
[证明] 现在考虑代表点密度ρ 随时间t 的变化． 当时间由t 变到t + dt 时，
在 (qi , pi ) 处的代表点将运动到 (qi q i dt, pi p i dt)
(q1 q1dt , , q f q f dt; p1 p1dt , , p f p f dt , t dt )
轨道的运动方向完全由(qi和pi)决定 b)哈密顿量和它的微商是单值函数 经过相空间任何一点轨迹只能有一条
c)系统从某一初态出发，代表点在相空间的轨道或者 是一条封闭曲线，或者是一条自身永不相交的曲线。 d)当系统从不同的初态出发，代表点沿相空间中不 同的轨道运动时，不同的轨道也互不相交。
§9.1 相空间 刘维尔定理
3)能量曲面:
由于孤立系统的能量E 不随时间改变，系统的广 义坐标和动量必然满足条件：
H (q1, q2 ,q f ; p1, p2 , p f ) E
构成相空间中的一个曲面，称为能量曲面。
孤立系统的运动状态的代表点位于能量曲面之上.
§9.1 相空间 刘维尔定理
二、刘维尔定理 (Liouville’s theorem)
系统在某一时刻的运动状态：q1, q2 ,q f ; p1, p2 , p f
可用相空间中的一点表示，称为系统运动状态的代表点。
§9.1 相空间 刘维尔定理
3、系统的运动状态随时间的演化 1)系统的运动状态随时间而变，遵从哈密顿正则方程
H i q pi
H i p qi
i 1,2,, f （9.1.1）
它是 q1, q2 ,q f ; p1, p2 , p f 的函数,存在外场时 还是外场参量的函数, 不是时间t 的显函数。
§9.1 相空间 刘维尔定理
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2)系统在相空间中的运动轨迹 a)当系统的运动状态随时间变化时，代表点相应地在 相空间中移动，其轨道由式(9.1.1)确定． H H i i q i 1,2,, f （9.1.1） p pi qi
§9.1 相空间 刘维尔定理
3、系统的运动状态随时间的演化 1)系统的运动状态随时间而变，遵从哈密顿正则方程
H i q pi
H i p qi
i 1,2,, f
H T V
---------哈密顿量
孤立系统: 哈密顿量就是它的能量，包括 a) 粒子的动能; b) 粒子相互作用的势能; c) 粒子在保守力场中的势能
§9.1 小结
§9.1相空间 刘维尔定理小结 一、相空间
1、相空间（Γ 空间） 若系统包含多种粒子，第i 种粒子的自由度 为ri ，粒子数为Ni ，则系统的自由度为：
f Ni ri
i
以 q1 , q2 ,q f ; p1, p2 , p f 共2f个变量为坐标构成一个2f 维空间, 称为相空间(Γ空间) 系统在某一时刻的运动状态： q1 , q2 ,q f ; p1, p2 , p f
可用相空间中的一点表示，称为系统运动状态的代表点。 2、系统的运动状态随时间的演化 系统的运动状态随时间而变，遵从哈密顿正则方程
当系统的运动状态随时间变化时，代表点相应地在 相空间中移动，其轨道由式(9.1.1)确定．
H i q pi
i p
H qi
i 1,2,, f （9.1.1）
9.1.7
§9.1 相空间 刘维尔定理
代表点需要通过2f 对边界平面才能进入或走出体积元dΩ 2) 现在计算通过平面qi进入dΩ的代表点数 dΩ在平面qi上的边界面积
dA dq1 dqi 1dqi 1 dqf dp1 dpf
在dt 时间内通过dA 进入dΩ 的代表点必须位于以dA为 i dt 为高的柱体内． 底、以 q
f Ni ri
i
§9.1 相空间 刘维尔定理
2、相空间（Γ 空间） 系统在任一时刻的的微观运动状态 ： f 个广义坐标 q1, q2 ,q f f 个广义动量 p1, p2 , p f
f Ni ri
i
以 q1, q2 ,q f ; p1, p2 , p f 共2f个变量为直角坐标 构成一个2f 维空间, 称为相空间(Γ空间)
(q1, q2 ,q f ; p1, p2 , p f ; t )d
§9.1 相空间 刘维尔定理
所设想的系统的总数 N
(q , q , q
1 2
f
; p1 , p2 , p f ; t )d Ν
2 、刘维尔定理
d 0 dt
如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道在相 空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时间改 变的常数。
S k (ln ln ln )
k (ln N U )
S k ln
J U TS N kT ln
§9.1 相空间 刘维尔定理
Chap.9 系综理论
回顾：近独立粒子
平衡态统计物理的普遍理论—系综理论 应用系综理论可以研究互作用粒子组成的系统． §9.1 相空间 刘维尔定理 如何描述系统的微观（力学）运动状态 ？
1、设想大量结构完全相同的系统，各自从其初态 出发独立地沿着正则方程(9.1.1)所规定的轨道运动.
H i q pi
H i p qi
i 1,2,, f （9.1.1）
这些系统的运动状态的代表点将在相空间中形 成一个分布． 相空间中的一个体积元 d dq1dq2 dqf dp1dp2 dpf 时刻t，运动状态在dΩ内的代表点数：
9.1.5
……刘维尔定理 d 0 Liouville’s theorem
dt
§9.1 相空间 刘维尔定理
4)刘维尔定理 的另一形式
i i 0 q p t pi i qi
H H i i q ,p pi qi
H H t pi qi i qi pi
§9.1 相空间 刘维尔定理
5)说明:
a）
i i 0 q p t 对于 pi t → i qi
-t保持不变
……刘维尔定理是可逆的 b)刘维尔定理完全是力学规律的结果，其中未引 入任何统计的概念； c) 根据量子力学也可以证明刘维尔定理。
i )q dtdA 柱体内的代表点数是 ( q
i
在dt 时间内通过平面qi +d qi走出dΩ的代表点数
i ) ( q i ) qi dqi dtdA ( q i ) qi ( q dqi dtdA qi
§9.1 相空间 刘维尔定理
3)通过这对平面净进入dΩ 的代表点数是： i )qi dtdA 走进 ( q
i ) ( q i ) qi dqi dtdA ( q i ) qi ( q dqi dtdA 走出 qi
( qi ) ( qi ) dqi dtdA dtd qi qi
类似的讨论可得，在dt 时间内通过一对平面 pi和pi +d pi净进入dΩ的代表点数为
知识回顾：玻色和费米系统的巨配分函数和热力学公式
Bose 系统
l [1 e
l l l l
Fermi系统
]
l [1 e
l l l l
]
N
ln
U ln Y 1 1 ln p ln y V
热力学〃统计物理
回顾
Chap.7 玻尔兹曼统计 Chap.8 玻色统计和费米统计 Chap.9 系综理论 §9.1 相空间 刘维尔定理
新课
知识回顾: Chap.7 玻尔兹曼统计
N e
U e

e
l l
l l
l
e Z1
N ln Z1


e
l
l
i ) ( p dtd pi
§9.1 相空间 刘维尔定理
i ) ( q dtd qi
i ) ( p dtd pi
在dt 时间内通过dΩ 边界进入dΩ 内的代表点数为
( q i ) ( p i ) dtd dtd pi i qi t