(完整版)中值定理与导数的应用导数、微分习题及答案

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微分中值定理与导数的应用习题解答

第三章微分中值定理与导数的应用答案§3.1 微分中值定理1．填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2．选择题（１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（C ）．A .x e x f =)( B. ||)(x x f = C.21)(x x f -= D.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点，使下式成立（ B ）．A ．),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ．ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ．211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ．211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明：令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数．设c x f =)(，又因为(1)2f π=，故)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x <<3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ，使0)(1='ξf ．同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ．又)(x f '在],[21ξξ上符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5．证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根．证明：设621)(32x x x x f +++=，则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ，使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．6．设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中是介于b a ,之间的一个实数．证明：存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明：由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ．同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ，使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=-证明：只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明. 8．证明下列不等式（１）当π<<x 0时，x xxcos sin >．证明：设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此，当π<<x 0时，x xxcos sin >．（２）当0>>b a 时，bba b a a b a -<<-ln ．证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<<因为'1()f x x =，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a bξ<<，从而bba b a a b a -<<-ln ． §3.1 洛毕达法则1．填空题（１）=→xxx 3cos 5cos lim2π35-（２）=++∞→xx x arctan )11ln(lim0 （３）)tan 11(lim 20x x x x -→=31（４）0lim (sin )xx x +→=1 ２．选择题（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ） A ．==∞→∞→nn nn n en ln limlim 11lim=∞→nn eB ．=-+→x x x x x sin sin lim0 ∞=-+→xxx cos 1cos 1lim 0C ． x x x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sin lim020-=→→不存在 D ．x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e（２）在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ．x x x sin lim 20→B ．x x x tan 0)1(lim +→C ． xx x x sin lim +∞→ D ．x nx e x +∞→lim3．求下列极限（１）nn mm a x a x a x --→lim ．解： n n m m a x a x a x --→lim =nm n m a x a nm nx mx ---→=11lim．（２）20222lim xx x x -+-→．解：20222lim xx x x -+-→=x x x x 22ln 22ln 2lim 0-→-=2)2(ln 2)2(ln 2lim 220x x x -→+=2)2(ln ．（３）30tan sin lim xxx x -→．解：30tan sin lim x x x x -→＝32030)21(lim )1(cos tan lim x x x x x x x x -⋅=-→→＝21-．（４）20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→．解：20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→＝201sin lim x x e x x --→＝212sin lim 2cos lim 00=+=-→→x e x x e x x x x ．（５）xx x x xx ln 1lim 1+--→．解： )ln 1()(x x x x x +='，x x x x xx ln 1lim 1+--→＝xx x x x 11)ln 1(1lim 1+-+-→＝22111)ln 1(limx x x x x xx x --+-→2])ln 1([lim 1221=++=++→x x x x x x ．（６）)111(lim 0--→x x e x ．解：2121lim )1(1lim )111(lim 22000==---=--→→→x xe x x e e x x x x x x x （７）x x xtan 0)1(lim +→．解：1)1(lim 202000sin limcsc 1lim cot ln limln tan lim tan 0=====+→+→+→+→+----→x xx x xxxx xx x x x x eeee x．（８）)31ln()21ln(lim xxx +++∞→．解： )31ln()21ln(lim x x x +++∞→=2ln 23ln(12)12lim ln(12)3lim 3lim1x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+++== =xx x 212lim 2ln 3++∞→=2ln 3．（９）n n n ∞→lim ．解：因为1lim 1limln 1lim ===∞→∞→∞→x x xx x x x eex ，所以n n n ∞→lim =1．§3.3 泰勒公式１．按1-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f ．解： 10)1(,64)(3='+='f x x x f ，同理得24)1(,24)1(,18)1()4(=='''=''f f f ，且0)()5(=x f ．由泰勒公式得：43)(24++=x x x f =432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+x x x x ．2．求函数x e x x f 2)(=的带有佩亚诺型余项的阶麦克劳林公式．解：因为)(!!2!112n nxx o n x x x e +++++= ，所以xe x xf 2)(==2222[1()]1!2!(2)!n n x x x x o x n --+++++-=)()!2(!2!1432n n x o n x x x x +-++++ ． 3．求一个二次多项式)(x p ，使得)()(22x x p x ο+=．解：设x x f 2)(=，则2ln 2)(x x f ='，2)2(ln 2)(x x f =''． 2)2(ln )0(,2ln )0(,1)0(=''='=f f f ，故 )(!2)2(ln !12ln 12222x x x xο+++=，则 222)2(ln 2ln 1)(x x x p ++=为所求．4．利用泰勒公式求极限)]11ln([lim 2xx x x +-∞→．解：因为 ))1((3)1(2)1(1)11ln(332xo x x x x ++-=+，所以 )11ln(2x x x +-=)])1((3)1(2)1(1[3322x o x x x x x ++--=)1(3121x o x +-，故 21)]1(3121[lim )]11ln([lim 2=+-=+-∞→∞→x o x x x x x x ． 5．设)(x f 有三阶导数,且0)1(,0)(lim 20==→f xx f x ,证明在)1,0(内存在一点,使0)(='''ξf ．证明：因为 0)(lim 20=→xx f x ，所以0)0(,0)0(,0)0(=''='=f f f ．由麦克劳林公式得：332!3)(!3)(!2)0()0()0()(x f x f x f x f f x f ξξ'''='''+''+'+=（介于0与之间），因此 !3)()1(ξf f '''=，由于0)1(=f ，故0)(='''ξf ．§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性1．填空题（１）函数)ln(422x x y -=的单调增加区间是),21()0,21(+∞-，单调减少区间)21,0()21,( --∞．（２）若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则xx f x F )()(=在+∞<<x 0上是单调增加．（３）函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则．（４）若点（1，3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a 23-，29，曲线的凹区间为)1,(-∞，凸区间为),1(∞．2．单项选择题（１）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数. A .x y -=2),(∞+-∞B .x y e =)0,(-∞ C .x y ln =),0(∞+D .x y sin =),0(π（２）设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21(内（ B ）． A .)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的 B.)(x f y = 单调减少，曲线)(x f y =为凹的 C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的Ｄ．)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的（３）)(x f 在),(+∞-∞内可导,且21,x x ∀,当21x x >时,)()(21x f x f >,则( D ) A. 任意0)(,>'x f x B. 任意0)(,≤-'x f x C. )(x f -单调增 D. )(x f --单调增（４）设函数)(x f 在]1,0[上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ） A. )0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->' C. )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2．求下列函数的单调区间（１）1--=x e y x ．解：1-='x e y ，当0>x 时，0>'y ,所以函数在区间),0[+∞为单调增加；当0<x 时，0<'y ，所以函数在区间]0,(-∞为单调减少．（２）(2y x =-解：)1(31031-='-x x y ，当1>x ，或0<x 时，0>'y ,所以函数在区间),1[]0,(+∞-∞ 为单调增加；当01x <<时，0<'y ，所以函数在区间]1,0[为单调减少．（３）)1ln(2x x y ++=解：011111222>+=++++='xxx x x y ，故函数在),(+∞-∞单调增加．3．证明下列不等式（１）证明：对任意实数和, 成立不等式||1||||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++．证明：令x x x f +=1)(，则0)1(1)(2>+='x x f ，)(x f 在) , 0 [∞+内单调增加. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即 ||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++（２）当1>x 时, 1)1(2ln +->x x x ．证明：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ，11ln )('-+=xx x f ，由于当1x >时，211()0f x x x''=->,因此)(x f '在),1[+∞单调递增, 当1x >时, 0)1()(='>'f x f , 故)(x f 在),1[+∞单调递增,当1>x 时, 有0)1()(=>f x f .故当1>x 时,0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f ,因此1)1(2ln +->x x x ．（３）当0>x 时，6sin 3x x x ->．证明：设6sin )(3x x x x f +-=,021cos )(2=+-='x x x f ，当0>x ，()sin 0f x x x ''=->，所以)(x f '在),0[+∞单调递增,当0>x 时, 0)0()(='>'f x f , 故)(x f 在),0[+∞单调递增, 从而当0>x 时, 有0)0()(=>f x f . 因此当0>x 时，6sin 3x x x ->．4．讨论方程k x x =-sin 2π(其中为常数)在)2,0(π内有几个实根．解：设()sin ,2x x x k πϕ=-- 则()x ϕ在]2,0[π连续,且k k -=-=)2(,)0(πϕϕ，由()1cos 02x x πϕ'=-=，得2arccos x π=为)2,0(π内的唯一驻点．()x ϕ在2[0,arccos ]π上单调减少，在2[arccos ,]2ππ上单调增加．故k ---=242arccos)2(arccos 2πππϕ为极小值，因此)(x ϕ在]2,0[π的最大值是,最小值是k ---242arccos2ππ．（１）当,0≥k 或242arccos2--<ππk 时,方程在)2,0(π内无实根；（２）当0242arccos2<<--k ππ时,有两个实根；（３）当242arccos2--=ππk 时，有唯一实根．5．试确定曲线d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得2-=x 处曲线有水平切线，)10,1(-为拐点，且点)44,2(-在曲线上．解：c bx ax y ++='232,b ax y 26+=''，所以2323(2)2(2)062010(2)(2)(2)44a b c a b a b c d a b c d ⎧-+-+=⎪+=⎪⎨+++=-⎪⎪-+-+-+=⎩ 解得：16,24,3,1=-=-==d c b a ．6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间（１）12-+=x xx y 解：222)1(11-+-='x x y ,323)1(62-+=''x xx y ,令0=''y ,得0=x ，当1x =±时不存在．当01<<-x 或1>x 时,0>''y ,当1-<x 或10<<x 时,0<''y ．故曲线12-+=x xx y 在)1,0()1,( --∞上是凸的, 在区间和),1()0,1(+∞- 上是凹的，曲线的拐点为)0,0(．（２）32)52(x x y -=拐点及凹或凸的区间解：y '=，y ''=．当0=x 时，y y ''',不存在；当21-=x 时，0=''y ．故曲线在)21,(--∞上是凸的, 在),21(+∞-上是凹的，)23,21(3--是曲线的拐点,7．利用凹凸性证明: 当π<<x 0时, πxx >2sin证明：令πx x x f -=2sin )(, 则π12cos 21)(-='x x f , 2sin 41)(xx f -=''．当π<<x 0时,0)(<''x f , 故函数πxx x f -=2sin )(的图形在),0(π上是凸的,从而曲线)(x f y =在线段AB （其中)(,()),0(,0(ππf B f A ）的上方，又0)()0(==πf f , 因此0)(>x f ,即πx x >2sin ．§3.5 函数的极值与最大值最小值1．填空题（１）函数x x y 2=取极小值的点是1ln 2x =-．（２）函数31232)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为322)21(=f ，最小值为(0)1f =- ．2．选择题（１）设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0x f 必是)(x f 的最大值？（C ）A ．0x x =是)(x f 的唯一驻点B ．0x x =是)(x f 的极大值点C ．)(x f ''在),(+∞-∞内恒为负D ． )(x f ''不为零（２）已知)(x f 对任意)(x f y =满足x e x f x x f x --='+''1)]([3)(2，若00()0 (0)f x x '=≠，则（B ）A. )(0x f 为)(x f 的极大值B. )(0x f 为)(x f 的极小值C. ))(,00x f x （为拐点D. )(0x f 不是极值点, ))(,00x f x （不是拐点（３）若)(x f 在至少二阶可导, 且1)()()(lim2000-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在处( Ａ ) A ．取得极大值 B ．取得极小值 C ．无极值 D ．不一定有极值 3．求下列函数的极值（１）()3/223x x x f -=．解：由13()10f x x -'=-=，得1=x ．4''31(),(1)03f x x f -''=>，所以函数在1=x 点取得极小值．（２）xx x f 1)(=．解：定义域为),0(+∞，11ln 21, (1ln )x xxy ey xx x'==-，令0y '=得驻点x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，当(,)x e ∈+∞时，0y '<．因此ee e y 1)(=为极大值．4．求14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值．解：(3)23, (4)132y y -==．由266120y x x '=+-=，得1=x ,2-=x ．而34)2(,7)1(=-=y y , 所以最大值为132，最小值为7．5．在半径为的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积最大．解：设圆锥体的高为, 底半径为,故圆锥体的体积为h r V 2 31π=，由于222)(R r R h =+-，因此)2( 31)(2h Rh h h V -=π)20(R h <<，由0)34( 31)(2=-='h Rh h V π，得34R h =，此时R r 322=．由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在)2,0(R 的内部取得. 现在0)(='h V 在)2,0(R 内只有一个根,故当34R h =, R r 322=时, 内接锥体体积的最大． 6.工厂与铁路线的垂直距离AC 为20km ,点到火车站的距离为100km .欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站与工厂间的运费最省,问点应选在何处？解:设AD x =,与间的运费为, 则)100(340052x k x k y -++= （1000≤≤x ），其中是某一正数．由0)34005(2=-+='xx k y ,得15=x .由于k y x 400|0==,k y x 380|15==, 2100511500|+==x y ,其中以k y x 380|15==为最小,因此当AD =15=x km 时,总运费为最省．7．宽为的运河垂直地流向宽为的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?解：问题转化为求过点的线段AB 的最大值. 设木料的长度为, y CB x AC ==,，木料与河岸的夹角为，则l y x =+，且t by t a x sin ,cos ==, t b t a l sin cos +=)2,0(π∈t ．则ttb t t a l 22sin cos cos sin -='，由0='l 得3tan a bt =, 此时233232)(b a l +=，故木料最长为233232)(b a l +=．§3.6函数图形的描绘１．求23)1(+=x x y 的渐近线. 解：由 -∞=+-→231)1(lim x x x ，所以1x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线．因为 2)1(lim )(lim ,1)1(lim lim 2322-=-+=-=+=∞→∞→∞→∞→x x x x y x x x y x x x x所以2-=x y 为曲线)(x f y =的斜渐近线．2．作函数23)1(22--=x x y 的图形。

3章微分中值定理与导数应用习题解答

第3章微分中值定理与导数应用习题解答1.验证中值定理的正确性（1) 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cot ξ=0. 由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈，因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.(2) 验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性.解因为y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点ξ∈(0, 1), 使001)0()1()(=--='y y y ξ. 由y '(x )=12x 2-10x +1=0得)1 ,0(12135∈±=x .因此确有)1 ,0(12135∈±=ξ, 使01)0()1()(--='y y y ξ.(3) 对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上验证柯西中值定理的正确性. 解因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上连续, 在)2 ,0(π可导, 且F '(x )=1-sin x 在)2 ,0(π内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点)2,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--. 令)0()2()0()2()()(F F f f x F x f --=''ππ, 即22sin 1cos -=-πx x .化简得14)2(8sin 2-+-=πx . 易证114)2(802<-+-<π, 所以14)2(8sin 2-+-=πx 在)2 ,0(π内有解, 即确实存在)2,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--.2. 证明题:(1)证明恒等式: 2arccos arcsin π=+x x (-1≤x ≤1).证明设f (x )= arcsin x +arccos x . 因为 01111)(22≡---='x x x f ,所以f (x )≡C , 其中C 是一常数.因此2arccos arcsin )0()(π=+==x x f x f , 即2arccos arcsin π=+x x .(2)若方程a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x =0有一个正根x 0, 证明方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0必有一个小于x 0的正根.证明设F (x )=a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x , 由于F (x )在[0, x 0]上连续, 在(0, x 0)内可导, 且F (0)=F (x 0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ∈(0, x 0), 使F '(ξ)=0, 即方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.(3)若函数f (x )在(a , b )内具有二阶导数, 且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3), 其中a <x 1<x 2<x 3<b , 证明: 在(x 1, x 3)内至少有一点ξ, 使得f ''(ξ)=0.证明由于f (x )在[x 1, x 2]上连续, 在(x 1, x 2)内可导, 且f (x 1)=f (x 2), 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ1∈(x 1, x 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在一点ξ2∈(x 2, x 3), 使f '(ξ2)=0.又由于f '(x )在[ξ1, ξ2]上连续, 在(ξ1, ξ2)内可导, 且f '(ξ1)=f '(ξ2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ ∈(ξ1, ξ2)⊂(x 1, x 3), 使f ''(ξ )=0.(4) 设a >b >0, n >1, 证明: nb n -1(a -b )<a n -b n <na n -1(a -b ) .证明设f (x )=x n , 则f (x )在[b , a ]上连续, 在(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ), 即a n -b n =n ξ n -1(a -b ). 因为 nb n -1(a -b )<n ξ n -1(a -b )< na n -1(a -b ), 所以 nb n -1(a -b )<a n -b n < na n -1(a -b ) .3. 用洛必达法则求下列极限: (1)22)2(sin ln limx x x -→ππ; (2)nn m m ax a x a x --→lim; (3)x xx 2tan ln 7tan ln lim0+→; (4)x x x 3tan tan lim 2π→;(5)2120lim x x e x →; (6)⎪⎭⎫ ⎝⎛---→1112lim 21x x x ; (7)x x xa )1(lim +∞→; (8)xx xsin 0lim +→; 解: (1)812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ.(2)nm n m n m ax nn m m ax a nm na mx nx mx a x a x -----→→===--1111limlim. (3)2000021sec 77ln tan 77tan 272tan 7lim lim lim lim 11ln tan 22tan 727sec 22tan 2x x x x x x x x x x x x x x→+→+→+→+⋅⋅====⋅⋅.(4))sin (cos 23)3sin (3cos 2lim31cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x -⋅-==⋅=→→→→ππππ 3sin 3sin 3lim cos 3cos lim22=---=-=→→x xx x x x ππ.(5)+∞====+∞→+∞→→→1lim lim 1lim lim 2101222t t t t x x xx e t e x e e x (注: 当x →0时, +∞→=21xt ). (6)2121lim 11lim 1112lim 12121-=-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→x x x x x x x x . (7)解法1 因为)1ln(lim )1(lim x ax x x x exa +∞→∞→=+, 而 221()ln(1)1lim (ln(1)limlim 11x x x aa axa x x x x x x→∞→∞→∞⋅-+++==- limlim 1x x ax aa x a →∞→∞===+ ,所以 a x ax x x x e exa ==++∞→∞→)1ln(lim )1(lim . 解法2 lim 1lim 1axxa ax x a a e x x →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦(8) 因为x x x x x e x ln sin 0sin 0lim lim +→+→=,而 00ln lim sin ln lim csc x x x x x x →+→+= 2001sin lim lim 0csc cot cos x x x x x x x x→+→+==-=-⋅ ，所以 1lim lim 0ln sin 0sin 0===+→+→e e x x x x x x .4. 验证下列各题: (1) 验证极限xxx x sin lim+∞→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 1)s i n 1(l i m s i n l i m =+=+∞→∞→x x x x x x x , 极限x xx x sin lim+∞→是存在的. 但)cos 1(lim 1cos 1lim )()sin (limx xx x x x x x +=+=''+∞→∞→∞→不存在, 不能用洛必达法则.(2) 验证极限xx x x sin 1sinlim20→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 0011sin sin lim sin 1sinlim020=⋅=⋅=→→xx x x x x x x x , 极限x x x x sin 1sinlim 20→是存在的. 但xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim )(sin )1sin (lim020-=''→→不存在, 不能用洛必达法则. 5. 将下列函数展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式(1) 求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解因为f '(x )=x -1, f ''(x )=(-1)x -2, f '''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , nn nn x n x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--;kk k k f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n +1)所以])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+=])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322n n nn x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-.(2) 求函数f (x )=xe x 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解因为f '(x )=e x +x e x ,f ''(x )=e x +e x +x e x =2e x +x e x , f '''(x )=2e x +e x +x e x =3e x +x e x , ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(x )=ne x +xe x ;f (k )(0)=k (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )(!)0( !3)0(!2)0()0()0()(32n nn xx o x n f x f x f x f f xe ++⋅⋅⋅⋅+'''+''+'+=)()!1(1!2132n n x o x n x x x +-⋅⋅⋅+++=.6. 确定下列函数的单调区间:(1) y =2x 3-6x 2-18x -7; (2)xx x y 6941023+-=; 解 (1) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1)=0, 令y '=0得驻点x 1=-1, x 2=3. 列表得可见函数在(-∞, -1]和[3, +∞)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.(2)223)694()1)(12(60x x x x x y +----=', 令y '=0得驻点211=x , x 2=1, 不可导点为x =0. 列表得可见函数在(-∞, 0), ]21 ,0(, [1, +∞)内单调减少, 在]1 ,21[上单调增加.7.证明下列不等式::(1)当x >0时, x x +>+1211;(2)当x >4时, 2x >x 2;证明 (1)设x x x f +-+=1211)(, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为x x f +-='12121)(01211>+-+=xx , 所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01211>+-+x x ,也就是 x x +>+1211.(2)设f (x )=x ln2-2ln x , 则f (x )在[4, +∞)内连续, 因为 0422ln 224ln 22ln )(=->-=-='e x x x f ,所以当x >4时, f '(x )>0, 即f (x )内单调增加.因此当x >4时, f (x )>f (4)=0, 即x ln2-2ln x >0,也就是2x >x 2.8.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1) y =x 3-5x 2+3x +5 ; (2) y =xe -x ;(3) y =(x +1)4+e x .解 (1)y '=3x 2-10x +3, y ''=6x -10. 令y ''=0, 得35=x .因为当35<x 时, y ''<0; 当35>x 时, y ''>0, 所以曲线在]35 ,(-∞内是是凸的, 在) ,35[∞+内是凹的, 拐点为)2720,35(.(2)y '=e -x -x e -x , y ''=-e -x -e -x +x e -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2).(3)y '=4(x +1)3+e x , y ''=12(x +1)2+e x .因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =(x +1)4+e x 的在(-∞, +∞)内是凹的, 无拐点.9.求函数的极值:(1) y =2x 3-6x 2-18x +7； (2) y =x -ln(1+x )； (3) y =-x 4+2x 2 .解 (1)函数的定义为(-∞, +∞), y '=6x 2-12x -18=6(x 2-2x -3)=6(x -3)(x +1), 驻点为x 1=-1, x 2=3. 列表可见函数在x =-1处取得极大值17, 在x =3处取得极小值-47.(2)函数的定义为(-1, +∞), xxx y +=+-='1111, 驻点为x =0. 因为当-1<x <0时, y '<0; 当x >0时, y '>0, 所以函数在x =0处取得极小值, 极小值为y (0)=0.(3)函数的定义为(-∞, +∞),y '=-4x 3+4x =-4x (x 2-1), y ''=-12x 2+4, 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-1, x 3=1.因为y ''(0)=4>0, y ''(-1)=-8<0, y ''(1)=-8<0, 所以y (0)=0是函数的极小值, y (-1)=1和y (1)=1是函数的极大值.10.求下列函数的最大值、最小值: (1) y =2x 3-3x 2 , -1≤x ≤4;(2) y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4).解 (1)y '=6x 2-6x =6x (x -1), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=1. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=0, y (1)=-1, y (4)=80,经比较得出函数的最小值为y (-1)=-5, 最大值为y (4)=80.(2) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1), 函数f (x )在1≤x ≤4内的驻点为x =3. 比较函数值:f (1)=-29, f (3)=-61, f (4)=-47,函数f (x )在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29.11.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m 2, 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？解设矩形高为h , 截面的周长S , 则5)2(212=⋅+πx xh , x x h 85π-=.于是xx x x h x S 10422++=++=ππ(π400<<x ), 21041xS -+='π.令S '=0, 得唯一驻点π+=440x .因为0203>=''xS , 所以π+=440x 为极小值点, 同时也是最小值点. 因此底宽为π+=440x 时所用的材料最省. 12.从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图), 问留下的扇形的中心角ϕ取多大时, 做成的漏斗的容积最大？解漏斗的底周长l 、底半径r 、高h 分别为 l =R ⋅ϕ, πϕ2R r =, 222242ϕππ-=-=Rr R h .漏斗的容积为22223242431ϕππϕπ-==R hr V (0<ϕ<2π).2222234)38(24ϕπϕπϕπ--⋅='R V ，驻点为πϕ362=. 由问题的实际意义, V 一定在(0, 2π)内取得最大值, 而V 在(0, 2π)内只有一个驻点, 所以该驻点一定也是最大值点. 因此当ϕ π362=时, 漏斗的容积最大.13.一房地产公司有50套公寓要出租. 当月租金定为1000元时, 公寓会全部租出去. 当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入？解房租定为x 元, 纯收入为R 元.当x ≤1000时, R =50x -50⨯100=50x -5000, 且当x =1000时, 得最大纯收入45000元. 当x >1000时,700072501100)]1000(5150[)]1000(5150[2-+-=⋅---⋅--=x x x x x R ,72251+-='x R . 令R '=0得(1000, +∞)内唯一驻点x =1800. 因为0251<-=''R , 所以1800为极大值点, 同时也是最大值点. 最大值为R =57800.因此, 房租定为1800元可获最大收入.。

第03章微分中值定理与导数的应用习题详解

M 12丿」I 2丿第三章微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。

可见，f(x)在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即:f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏0,—】，F'(X)H 0, ”■. f (x),F (x)满足柯西 I 2丿中值定理条件。

—12©宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续,f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。

可见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3), y ‘ = 一 23 —12x 2厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5<x<0.5，有 y(x)=兀。

「兀f f 兀、 4 .证明：显然f(x), F(x)都满足在'|0,二I 上连续，在10,二内可导L 2」 I 2丿 c oxsn ——x、、2丿F Q-F(O)12丿兀--1 2F( x) -1 sixn_c O 弓-x厂(X )_F(x) ZL"2 /兀 X ,，即 tan I - -- U--1，此时l 4 2丿 2f JI「兀X = 2 I — -arctan l — -1L 4l 2显然萨〔0,-〕，即丿」 I 2丿5.解：因为f(0) = f (1)= f (2) = f (3) =0，又因为f(x)在任一区间内都连续而且可导, 所以f (X)在任一区间 0,1 ], 1,2], [2,3]内满足罗尔中值定理的条件，所以由罗尔定理，得:3" -(0,1), "^(1,2), ©-(2,3),使得：f 徉1 )= 0 r =) &：◎(=), 30 因为6.证明：设f(x) =0的n+1个相异实根为X o V X 1 <X 2 <H( <X n则由罗尔中值定理知：存在J (i =1,2,川n):X0 <：勺1cj ■<X2 vill <-1^Xn ，使得再由罗尔中值定理至少存在So =1,2,川n-1):上11 C 巴21 V ©2 吒 W ©3 V i 11 < J n d W G n ,使得7.解：反证法，倘若 p(X)=0有两个实根，设为X^X 2，由于多项式函数 p(x)在[X 1,X 2]上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点E€(X I ,X 2),使得P 徉)=0,而这与所设p'(x)=0没有实根相矛盾，命题得证。

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第三章中值定理与导数的应用(A)1．在下列四个函数中 ,在 1,1 上满足罗尔定理条件的函数是 ()A ． y8 x 1 B ． y 4x 2 1 C ． y1D ． y sin x1 x 22．函数 f x满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( )x A ． 2,2B ．2,0C ． 1,2D ． 0,13．方程 x 5 5x 1 0 在1,1 内根的个数是 ()A ．没有实根B ．有且仅有一个实根C ．有两个相异的实根D ．有五个实根4．若对任意 x a, b ，有 f x g x ，则 ( )A ．对任意 x a,b ，有 f x g xB ．存在 x 0 a,b ，使 f x 0 g x 0C ．对任意 x a,b ，有 f x g x C 0 ( C 0 是某个常数 )D ．对任意 x a,b ，有 f xg xC (C 是任意常数 )5．函数 f x3x 5 5x 3 在 R 上有 ()A ．四个极值点；B ．三个极值点C ．二个极值点D ．一个极值点6．函数 f x 2x 3 6x 2 18x 7 的极大值是 ()A ．17B ．11C ．10D ． 97．设 f x 在闭区间1,1 上连续，在开区间1,1 上可导，且 f xM ，f 0 0 ，则必有 ()A ． f xM． f xMC ． f x MD ． f x MB8．若函数 f x 在 a, b 上连续，在 a,b 可导，则 ()A ．存在 0,1 ，有 f b f a f b a b aB ．存在0,1 ，有 f af bf ab a b aC ．存在 a, b ，有 f a f b f a bD ．存在a, b ，有 fbf afa b9．若 a 2 3b 0 ，则方程 f x x 3 ax 2 bx c0 ( )A ．无实根B ．有唯一的实根C ．有三个实根D ．有重实根．求极限 x 2 sin 1()limx时，下列各种解法正确的是10 sin xx 0A ．用洛必塔法则后，求得极限为 0B ．因为 lim 1不存在，所以上述极限不存在x 0 xx xsin 1C ．原式 lim 0x 0sin x xD ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在11．设函数 y1 2x2 ，在 ()xA ． ,单调增加B ．,单调减少C ． 1,1 单调增加，其余区间单调减少D ．1,1 单调减少，其余区间单调增加e x ()12．曲线 y1 xA ．有一个拐点B ．有二个拐点C ．有三个拐点D ．无拐点 13．指出曲线 yx的渐近线 ()3 x 2 A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线B ． x3 为其垂直渐近线，但无水平渐近线C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线D ．只有水平渐近线2x 2 114．函数 f xx 3 1 3 在区间 0,2 上最小值为 ()A ． 729B ． 0C ．1D ．无最小值4x ln 1 x 15．求 limx 2x 01 116．求 limxx 0ln 1 x17．求 lim1 2 sin xxcos3x6118．求 lim 1 x 2 xx 01ln x19．求 limarctgxx220．求函数 y x 3 3x 29x 14 的单调区间。

高数上册第三章微分中值定理和导数的应用习题答案

《高等数学教程》第三章习题答案习题3-1 (A)1. 34=ξ 2. 14-=πξ习题3-2 (A)1. (1)31 (2) 81- 1)12()11()10(1)9(31)8(21)7()6(21)5(1)4(3)3(31e e --∞习题3-2 (B)1. n a a a e e 21)8(1)7(0)6(2)5(21)4(32)3(1281)2(41)1(--2. 连续4. )(a f ''5. )0()1(g a '=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+''≠--+'='0]1)0([210]c o s )([]s i n)([)()2(2x g x x x x g x x g x x f(3) 处处连续.习题3-31. 432)4()4(11)4(37)4(2156)(-+-+-+-+-=x x x x x f2. 193045309)(23456+-+-+-=x x x x x x x f3. )40(,)(cos 3]2)()[sin sin(31tan 4523<<+++=θθθθx x x x x x x4.)10()]4(4[16!4)4(15)4(5121)4(641)4(412432<<-+---+---+=θθx x x x x x5. )10()(!)1(2132<<+-++++=θn nxx O n x x x x xe6. 645.1≈e7. 430533103.1;3090.018sin )2(1088.1;10724.330)1(--⨯<≈⨯<≈R R8. 121)3(21)2(23)1(-习题3-4 (A)1. 单调减少2. 单调增加3. .),23()23,()1(内单调下降在内单调上升；在+∞-∞.),2[]2,0()2(内单调增加在内单调减少；在+∞ .),()3(内单调增加在+∞-∞.),21()21,()4(内单调增加在内单调减少；在+∞-∞ .),[]0[)5(内单调下降在上单调上升；，在+∞n n7. (1) 凸 (2) 凹（3）内凸内凹，在在),0[]0,(+∞-∞ （4）凹 8. ），（内凹，拐点内凸，在）在（82),2[]2,(1-+∞-∞ ），（内凹，拐点内凸，在）在（222),2[]2,(2e+∞-∞ 内凹，无拐点）在（),(3+∞-∞），（），（：内凹，拐点，内凸，在），，）在（2ln 1;2ln 1]11[1[]1,(4--∞+--∞ ），（内凸，拐点内凹，在）在（3arctan 21),21[]21,(5e +∞-∞ ），（凹，拐点），、凸，在、）在（001[]0,1[]1,0[]1,(6∞+---∞ 9. 29,32=-=b a10. a = 3, b = -9, c = 811. a = 1, b = -3, c = 24, d = 16习题3-4 (B)1. .)1,21(),1()21,0()0,()1(内单调增加在内单调减少；、、在∞+-∞.]22,32[]32,2[)2(内单调下降在内单调上升；在πππππππ+++k k k k .],32[),[]32,()3(内单调下降在内单调上升；、在a a a a ∞+-∞ 2. .1)3(10)2(1)1(是有一个实根时有两个实根时无实根ea e a e a =<<>3. .)2,0(内只有一个实根在π8. .9320时及当=≤k k 9. 在）（凹，拐点凹，在2,),[],(a b b b +∞-∞ 12. 82±=k 习题3-5 (A)1. .1)2(,5)0()1(==y y 极小值极大值.0)0(,4)2()2(2==-y e y 极小值极大值.25)16(,1)4()3(==y y 极小值极大值.205101)512()4(=y 极大值.45)43()5(=y 极大值.0)0()6(=y 极小值 (7) 没有极值. .)()8(1e e e y =极大值.3)1()9(=y 极大值.0)5()1(,18881)21()10(3==-=y y y 极小值极大值2. .14)2(,11)3()1(-==y y 最小值最大值.22)2ln 21(,2)1()2(1=-+=-y e e y 最小值最大值.2ln )41(,0)1()3(-==y y 最小值最大值3. 提示：可导函数的极值点必为驻点，.在题设条件下无驻点所以可证明y '4. .29)1(-=y 最大值5. .27)3(=-y 最小值6. .3)32(,2为极大值==f a7. .21,2-=-=b a8. 长为100m ，宽为5m.9. .1:1:;22,233===h d v h v r ππ 10. .44ππππ++aa ，正方形周长为圆的周长为11. .3843a a h π时，最小体积为锥体的高为=12. .22.1.776小时时间为公里处应在公路右方13. .6000)2(1000)1(==x x14. .45060075.3元件，每天最大利润为元，进货量为定价为 15. .167080,101利润=p习题3-5 (B)1. 1,0,43,41==-==d c b a 2. x = 1为极小点，y (1) = 1为极小值3. 当c = 1时，a = 0，b = -3，当c = -1时，a = 4，b = 5.4. 296)(23++-=x x x x P5. (1) f (x ) 在x = 0处连续；(2) 当ex 1=时，f (x ) 取极小值；当 x = 0时f (x ) 取极大值. 6. 310=x 当时，三角形面积最小7. 323)2()(11)1(032=--=-l x x x x y 8. .1222-≥<b b b b 时为，当时为当 9. 400 10.bc a 2 11. c a e bd L ae bd q -+-=+-=)(4)(,)(2)1(2最大利润eqedd -=η)2( ed q 21)3(==得当η 12. 2)2()4(25)1(=-=t t x 13. 156250元14. (1) 263.01吨 (2) 19.66批/年（3）一周期为18.31天（4）22408.74元15. 2)2()111(1)()1(-+-+=e n n n n M n16. 提示：.)1()1(ln )1()(22是极小值，证明令f x x x x f ---=习题3-6 (A)1. (1) x = 0, y = 1; (2) x = -1, y = 0; (3) x = -1, x = 1, y = 0 ; (4) x = 1, x = 2, x = -3.2. 略习题3-6 (B)1. ex y e x 1,1)1(+=-=（2）x= -1,x=1,y= -2 （3）y=x, x=0 （4）y= -2, x=0 4121,21)5(-=-=x y x2. 略习题3-7 (A)1. k=22. x x k sec ,cos ==ρ3. 02sin 32t a k =4. a a k t 4,41,===ρπ 5. 233)22ln ,22(处曲率半径有最小值- 习题3-7 (B)1. 略2. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)2(),2(,332323132323131x a y y a x axyR 曲率圆心3. 8)2()3(22=++-ηξ4. 约1246 (N) [提示：作匀速圆周运动的物体所受的向心力为Rmv F 2=]5. 16125)49()410(22=-+--ηπξ 习题3-81.19.018.0<<ξ 2. 19.020.0-<<-ξ 3. 33.032.0<<ξ 4. 51.250.2<<ξ总复习题三一. (1)B (2)B (3)B (4)D (5)C (6)B (7)C (8)B (9)C (10)C] 二. 25)8(/82)7()0,1()6(3)5(63)4()22,22()3(2ln 1)2(2)1(3s cm π+--x x x xeyx y 4)1(,)1(4)10()9(2222+++=三. 9)3(0)2(3)1(,7541,6,50,40,31,221,123---e⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-''≠++-'='-0)1)0((210)1()()()()1(,82x g x x e x x g x g x x f x上连续在),()()2(+∞-∞'x f 9, 略四、证明题和应用题 6．)027.0,025.0()2(450449)1(7．)2,2(b a P8．12ln 31,2ln 3121-+ 9．%82.0%13)3(173)2(20)1(总收益增加，时，若价格上涨当=-p pp10．略。

《高等数学一》第四章-微分中值定理和导数的应用-课后习题汇总(含答案解析)

第四章微分中值定理和导数的应用[单选题]1、曲线的渐近线为（）。

A、仅有铅直渐近线B、仅有水平渐近线C、既有水平渐近线又有铅直渐近线D、无渐近线【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察渐近线计算.因为，所以y存在水平渐近线，且无铅直渐近线。

[单选题]2、在区间[0，2]上使罗尔定理成立有中值为ξ为（）A、4B、2C、3D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】，罗尔定理是满足等式f′（ξ）=0，从而2ξ-2=0，ξ=1. [单选题]3、，则待定型的类型是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于1时，lnx趋于0，ln(1-x)趋于无穷，所以是型. [单选题]4、下列极限不能使用洛必达法则的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于无穷时，cosx的极限不存在，所以不能用洛必达法则.[单选题]5、在区间[1，e]上使拉格朗日定理成立的中值为ξ=（）.A、1B、2C、eD、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察中值定理的应用。

[单选题]6、如果在内，且在连续，则在上（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在内，说明为单调递增函数，由于在连续，所以在上f(a)＜f(x)＜f(b).[单选题]7、的单调增加区间是（）.A、（0，+∞）B、（-1，+∞）C、（-∞，+∞）D、（1，+∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】,若求单调增加区间就是求的区间，也就是2x-2>0，从而x>1. [单选题]8、（）.A、-1B、0C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]9、设，则（）.A、是的最大值或最小值B、是的极值C、不是的极值D、可能是的极值【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由，我们不能判断f（0）是极值点，所以选D. [单选题]10、的凹区间是（）.A、（0，+∞）B、（-1，+∞）C、（-∞，+∞）D、（1，+∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】若求凹区间则就是求的区间，即6x+6>0，即x>-1.[单选题]11、的水平渐近线是（）.A、x=1，x=-2B、x=-1C、y=2D、y=-1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】水平渐近线就是当x趋于无穷时，y的值就是水平渐近线，x趋于无穷时，y的值是2，所以y=2是水平渐近线；当y趋于无穷时，x的值就是垂直渐近线，本题中由于分母可以分解为（x+1）（x-1），所以当x趋于1或-1时y的值趋于无穷.即x=1，x=-1都是垂直渐近线.[单选题]12、设某商品的需求量Q对价格P的函数关系为，则P=4时的边际需求为（）.A、-8B、7C、8D、-7【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】，当P=4时，Q=-8.[单选题]13、设某商品的需求函数为，其中表示商品的价格，Q为需求量，a，b为正常数，则需求量对价格的弹性（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】由弹性定义可知，[单选题]14、设函数在a处可导，，则（）.A、B、5C、2D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】因为f(x)可导，可用洛必达法则，用导数定义计算.所以[单选题]15、已知函数（其中a为常数）在点处取得极值，则a=（）.A、1B、2C、0D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在点处取得极值，[单选题]16、某商店每周购进一批商品，进价为6元/件，若零售价定位10元/件，可售出120件；当售价降低0.5元/件时，销量增加20件，问售价p定为多少时利润最大？（）.A、9.5B、9C、8.5D、7【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】设销量为Q，则Q=120+20(10-P)·2=520-40P利润此时即取得最大值.[单选题]17、若在（a,b）上，则函数y=f（x）在区间（a,b）上是（）A、增加且凹的B、减少且凹的C、增加且凸的D、减少且凸的【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]18、求极限=（）.A、2B、C、0D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数在区间上的极大值点=（）.A、0B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】令，当时，当时，当时，函数有极大值.[单选题]20、设某商品的供给函数为，其中p为商品价格，S为供给量，a,b为正常数，则该商品的供给价格弹性（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]21、某产品产量为q时总成本C(q)=1100+，则q=1200时的边际成本为() A、0B、C、1D、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】，q=1200时的边际成本为2.[单选题]22、已知函数f(x)=ax2-4x+1在x=2处取得极值，则常数a=()A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】，得到a=1.[单选题]23、极限=()A、-B、0C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】首先利用洛必达法则，分子分母分别求导，.[单选题]24、曲线y＝x3的拐点为（）．A、（0，0）B、（0，1）C、（1，0）D、（1，1）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】y＂＝6x，当y＂＝0时，x＝0，将x＝0代入原函数得y＝0，所以选择A．参见教材P108～109．（2015年4月真题）[单选题]25、曲线的水平渐近线为（）．A、y＝0B、y＝1C、y＝2D、y＝3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题因为，所以直线y＝1为曲线的水平渐近线．参见教材P110～111．（2015年4月真题）[单选题]26、函数y＝x3－3x＋5的单调减少区间为（）．A、（－∞，－1）B、（－1，1）C、（1，＋∞）D、（－∞，＋∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】y＇＝3x2－3y＇＝0时，x＝±1．在（－∞，－1）上，y＇＞0，为增函数；在（－1，1）上，y＇＜0，为减函数；在（1，＋∞）上，y＇＞0，为增函数．因此选B．参见教材P100～101．（2015年4月真题）[单选题]27、已知函数（其中a为常数）在处取得极值，则a＝（）．A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】∵在处，取得极值点，∴参见教材P102～104。

微积分习题答案第四章中值定理与导数的应用

练习4.11. 下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？若满足，请求使定理结论成立的ε值：（1） 5252)(23+--=x x x x f ， [-1，1]解：5252)(23+--=x x x x f Θ是初等函数。

在其有意义的区间),(+∞-∞内连续，∴在[-1，1]上连续。

又2106)(2--='x x x f Θ在（-1，1）内可导，内可导在)1,1()(-∴x f 而0)1()1(==-f f因此)(x f 在[-1，1]上满足罗尔定理所有条件。

故有0)153(2)(2=--='εεεf )11(<<-ε 得 )1,1(63751-∈-=ε 舍去)1,1(63752-∉+=ε 于是6375-=ε （2） )ln(sin )(x x f =，]65,6[ππ 解：)ln(sin )(x x f =Θ是初等函数，在其有定义的区间),0(π内连续，]65,6[ )(ππ在x f ∴上连续。

又)65,6(cot )(ππ在x x f =Θ内有定义21ln )65()6()65,6()(==∴ππππf f x f 内可导，而且在因此件。

上满足罗尔定理所有条在]65,6[)(ππx f 故有0cot )(==εεf )656(πεπ<<得)65,6(2πππε∈=(3) 422)(xx x f -= , [-1,1]解：点处不连续在0)(=x x f Θ条件。

上不满足罗尔定理所有在]1,1[)(-∴x f（4） ⎪⎩⎪⎨⎧=01cos )(xx x f 00=≠x x ]2,2[ππ- 解：处不可导在0)(=x x f Θ条件上不满足罗尔定理所有在]2,2[)(ππ-∴x f .2. 证明上存在一个实根在]1,0[0133=+-x x 。

证明：令上连续在则]1,0[)(,13)(3x f x x x f +-=，01)1(,01)0(<-=>=f f 且由)()1,0(11=x f x 内使零值定理知至少存在点ε。

第四讲：微分中值定理与导数的应用的练习题答案

第一讲：数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．下列极限正确的（） A ． sin lim 1x x x→∞= B ． sin limsin x x xx x →∞-+不存在C ． 1lim sin 1x x x →∞=D ． limarctan 2x x π→∞=解：011sin lim sin lim x t t x tx x t→∞→= ∴选C注：sin 1sin 10lim 0;lim 1sin 101x x xx x A B x x x→∞→∞--===++2．下列极限正确的是（）A ． 1lim 0x x e -→= B ． 10lim 0xx e +→= C ． sec 0lim(1cos )xx x e →+=D ． 1l i m (1)xx x e →∞+=解：11lim 0xx e e e --∞∞→=== ∴选A 注：:,:2,:1B C D +∞3．若()0lim x x f x →=∞，()0lim x x g x →=∞，则下列正确的是（）A ． ()()0l i m x x f x g x →+=∞⎡⎤⎣⎦B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞⎡⎤⎣⎦ C ． ()()1l i m0x x f x g x →=+D ． ()()0lim 0x x kf x k →=∞≠解：()()0lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==⋅∞∞∴选D4．若()2lim2x f x x→=，则()lim3x xf x →= （）A ．3B ．13 C ．2 D ．12解：()()002323lim lim 32x t tx x t f x f t →→= ()021211lim 23323t f t t→==⋅= ∴选B5．设()1sin (0)0(0)1sin (0)x x x x f x x a x x ⎧<⎪⎪=⎪=⎨⎪+>⎪⎪⎩且()0lim x f x →存在，则a = （）A ．-1B ．0C ．1D ．2 解：sin lim 1,x xx→== 01lim sin x x a o a x +→⎡⎤⎛⎫+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1a ∴= 选C6．当n →∞时，1k n 与1k n为等价无穷小，则k=（）A ．12B ．1C ．2D ．-2解：2211sin lim lim 1,211n n k kn n k n n →∞→∞=== 选C二、填空题（每小题4分，共24分）7．lim 1xx x x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭解：原式lim 1111lim 11x xxx x e e x →∞-∞-+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭8．2112lim 11x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭ 解：原式()()()112lim 11x x x x →∞-∞+--+ 111lim12x x →==+9．()()()3100213297lim 31x x x x →∞-+=+ 解：原式3972132lim lim 3131x x x x x x →∞→∞∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭328327⎛⎫==⎪⎝⎭10．n =解：原式n ≡有理化32n ==无穷大分裂法11．1201arcsin lim sin xx x e x x -→⎛⎫+= ⎪⎝⎭解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x x x x e e x x-→→≤=∴=又00arcsin limlim 1x x x xxx →→== 故原式=112．若()220ln 1lim0sin n x x x x→+=且0sin lim01cos n x xx→=-,则正整数n = 解：()22220ln 1limlim sin n n x x x x x x xx→→+⋅=20420,lim 02n x n x n x→<>2,4,n n ∴>< 故3n =三、计算题（每小题8分，共64分） 13．求sin 32limsin 23x x xx x→∞+-解：原式=sin 32lim sin 23x xx xx→∞+-sin 31lim0sin 31,lim 0x x x x x x →∞→∞⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭sin 21lim0sin 21,lim 0x x x x x x →∞→∞⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭∴原式022033+==-- 14．求0x →解：原式有理化x →0tan (1cos )1lim(1cos )2x x x x x →-=⋅-0tan 111limlim 222x x x x x x →∞→=⋅==15．求21lim sin cos xx x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：令1t x=，当x →∞时，0t → 原式()10lim cos sin 2t t t t →=+ []10lim 1cos 1sin 2t t t t →=+-+()0cos 1sin 2lim2t t ttee→∞-+=16．求0ln cos 2limln cos3x xx→解：原式[][]ln 1cos 21limln 1cos31x x x →--+-变形0cos 21limcos31x x x →--等价()()2021242lim 1932x x x →-=-等价注:原式02sin 2cos3limcos 23sin 3x x xx x→∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭-⨯- 49=⋯⋯=17．求02lim sin x x x e e xx x-→---解：原式002lim 1cos x x x e e x -→+-- 00000lim lim 2sin cos x x x xxx e e e e x x--→→++= 18．设()f x 1,0x e a x x x -⎧+>⎪=⎪<⎪⎩且()0lim x f x →存在，求a 的值。

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用试题库(附带答案)

>第三章微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（）是否为极值点不能断定的极值点不是　的极小值点是的极大值点是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''=3、的凸区间是 x e y x -=（）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞，4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是（）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，&8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（）．(A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000、二、填空题 1、__________________e y82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ． 4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝． 5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝． 6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为，最小值为． 7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． …8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。

厦门理工学院高数答案练习题微分中值定理与导数的应用

高等数学练习题第三章微分中值定理与导数的应用系专业班姓名学号§3.1 微分中值定理一．选择题1．在区间[]1,1-上，下列函数满足罗尔中值定理的是 [ A ](A)()2321f x x =+ （B ）()211f x x=- （C ）()f x = （D ）()2132f x x x =-+ 2．若)(x f 在),(b a 内可导,1x 、2x 是),(b a 内任意两点，且21x x <，则至少存在一点ξ，使得 [ C ] （A ）))(()()(a b f a f b f -'=-ξ （b a <<ξ）；（B ）))(()()(11x b f x f b f -'=-ξ （b x <<ξ1）；（C ）))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ （21x x <<ξ）；（D ）))(()()(22a x f a f x f -'=-ξ （2x a <<ξ）3．下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的有 [ B ] （A ）212)(xxx f +=,[1,1]- （B ）x x f =)(,[1,2]- （C ）254)(23-+-=x x x x f , [0,1] （D ）)1ln()(2x x f +=,[0,3]4．设)(x f ，)(x g 是恒大于零的可导函数，且0)()()()(<'-'x g x f x g x f ，则当b x a <<时，有 [ A ] （A ）)()()()(x g b f b g x f > （B ）)()()()(x g a f a g x f > （C ）)()()()(b g b f x g x f > （D ）)()()()(a g a f x g x f > 二．填空题1．对函数r qx px x f ++=2)(在区间],[b a 上应用拉格朗日定理时,所求的拉格朗日定理结论中的ξ 2．若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导,则至少存在一点),(b a ∈ξ,使得 =-)()(a f b f e e成立3．设()(1)(2)(3)f x x x x x =---,则()0f x '=有 3 个根,它们分别位于区间（0,1）; (1,2); (2,3) 内. 三．证明题1．当0a b <<，试证：ln b a b b ab a a--<< 证：令=)(x f x ln ，可知 )(x f 在],[b a 连续，在),(b a 上可导由拉格朗日定理可知，存在 ),(b a ∈ξ 使得 a ba b a b a b f ln ln ln )(1))(('=-=-=-ξξ 又b a <<<ξ0，所以ab 111<<ξ，且 0)(>-a b ，即ln b a b b ab a a--<<。

中值定理与导数的应用导数、微分习题及答案

第三章中值定理与导数的应用(A)1．在下列四个函数中,在[]1,1-上满足罗尔定理条件的函数是( ) A ．18+=x y B ．142+=x y C ．21xy = D ．x y sin = 2．函数()xx f 1=满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A ．[]2,2- B ． []0,2- C ．[]2,1 D ．[]1,0 3．方程0155=+-x x 在()1,1-内根的个数是 ( ) A ．没有实根 B ．有且仅有一个实根 C ．有两个相异的实根 D ．有五个实根 4．若对任意()b a x ,∈，有()()x g x f '='，则 ( ) A ．对任意()b a x ,∈，有()()x g x f = B ．存在()b a x ,0∈，使()()00x g x f =C ．对任意()b a x ,∈，有()()0C x g x f +=(0C 是某个常数)D ．对任意()b a x ,∈，有()()C x g x f +=(C 是任意常数) 5．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( )A ．四个极值点；B ．三个极值点C ．二个极值点D ．一个极值点 6．函数()7186223+--=x x x x f 的极大值是 ( ) A ．17 B ．11 C ．10 D ．97．设()x f 在闭区间[]1,1-上连续，在开区间()1,1-上可导，且()M x f ≤'，()00=f ，则必有 ( )A ．()M x f ≥B ．()M x f >C ．()M x f ≤D ．()M x f < 8．若函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,可导，则 ( ) A ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b f a f b f --'=-θ B ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b a f b f a f --+'=-θC ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f b f a f -'=-θD ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f a f b f -'=-θ9．若032<-b a ，则方程()023=+++=c bx ax x x f ( )A ．无实根B ．有唯一的实根C ．有三个实根D ．有重实根10．求极限xx x x sin 1sinlim20→时，下列各种解法正确的是 ( )A ．用洛必塔法则后，求得极限为0B ．因为xx 1lim0→不存在，所以上述极限不存在 C ．原式01sin sin lim 0=⋅=→x x x x xD ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在 11．设函数212x xy +=，在 ( ) A ．()+∞∞-,单调增加 B ．()+∞∞-,单调减少 C ．()1,1-单调增加，其余区间单调减少 D ．()1,1-单调减少，其余区间单调增加12．曲线xe y x+=1 ( )A ．有一个拐点B ．有二个拐点C ．有三个拐点D ．无拐点 13．指出曲线23x xy -=的渐近线 ( ) A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线 B ．3=x 为其垂直渐近线，但无水平渐近线 C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线 D ．只有水平渐近线14．函数()()312321--=x x x f 在区间()2,0上最小值为 ( )A ．4729B ．0C ．1D ．无最小值 15．求()201ln lim x x x x +-→16．求()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→x x x 11ln 1lim 0 17．求x xx 3cos sin 21lim6-→π18．求()xx x1201lim +→19．求xx arctgx ln 12lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→π20．求函数149323+--=x x x y 的单调区间。

高等数学3.1----微分中值定理习题带答案

37第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理一、填空题1.函数221y x x =-+在[1,1]-上满足拉格朗日中值定理的ξ=0.2.函数32()29123f x x x x =-+-的驻点为121,2x x ==.3.在曲线33(11)y x x x =--≤≤上，平行于连接曲线弧两端点的弦的切线方程为提示：曲线的两端点分别为(1,2),(1,2)--，从而切线斜率为2-，又 233y x '=-，2332x ∴-=-即33x =±，∴切点33,,33⎛⎛-⎝⎝∴切线方程为22y x y x +=+=-.二、单项选择题1.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是A .A．256,y x x=-+[2,3]B.e ,xy x -=[0,1]C.y =[0,2]D.1,51,5x x y x +<⎧=⎨≥⎩，[0,5]提示：选项C 在点1x =不连续，选项D 在点5x =不连续，选项B 中使e (1)xy x -'=-为零的点为1(0,1)∉.2.函数3y x =在[1,2]-上满足拉格朗日中值定理的ξ=B .A.0B.1C.12D.323.设1,0,()a b ab f x x<<=，则a x b <<时，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立的ξC .38A .只有一点B.只有两点C.不存在D.是否存在与,a b 取值有关三、解答题1.已知()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)1,(1)0f f ==.求证：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()()f f ξξξ'=-.证明：令()()F x xf x =，则()F x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()()00,00,F f ==()()110F f ==，即()()01F F =；由罗尔定理可得，在()0,1内至少存在一点ξ，使得()0F ξ'=；故()()0f f ξξξ'+=，即()()f f ξξξ'=-．2.证明恒等式πarctan arccot 2x x +=.证明：令()arctan arccot f x x x =+，则()2211011f x x x'=-=++，故(),f x C =()x -∞<<+∞．令0x =得π2C =，所以πarctan arccot 2x x +=．3.试用拉格朗日中值定理证明：当1x >时，不等式e e xx >成立.证明：令()e xf x =，则()f x 在区间[]1,x 上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理可得，至少存在一点(1,)x ξ∈，使得e e e (1)xx ξ-=-，由于1ξ>，所以e e ξ>，从而e e e (1)e(1)x x x ξ-=->-，即e e xx >．4.证明方程510x x +-=只有一个正实根.证明：令()51f x x x =+-，则()()01,11f f =-=；由零点定理得，函数()f x 在()0,1内至少有一个零点．故方程510x x +-=至少有一正实根．下面证明唯一性（反证法）．假设有两个正实根()1212,x x x x <，则()()120f x f x ==．又()f x 在[]12,x x 上连续，在()12,x x 内可导，由罗尔定理可得，至少存在一点()12,x x ξ∈，39使得()0f ξ'=，即4510ξ+=，不成立，从而假设不成立，所以方程510x x +-=只有一个正实根.。

高等数学微分中值定理与导数应用习题

微分中值定理与导数应用一、选择题1. 设函数()sin f x x =在[0,]π上满足罗尔中值定理的条件，则罗尔中值定理的结论中的=ξ【】 A. π B. 2π C. 3πD. 4π2. 下列函数中在闭区间],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是【】A. x lnB. x ln lnC.xln 1D. )2ln(x -3. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)('=x f 有【】A. 一个实根B. 二个实根C. 三个实根D. 无实根4. 下列命题正确的是【】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点5. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≤, 则曲线f (x ) 在I 上【】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧6. 下列命题正确的是【】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点7. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''<≥, 则曲线f (x ) 在I 上【】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧8. 下列命题正确的是【】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点9. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≥, 则曲线f (x ) 在I 上【】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 10.函数256, y x x =-+在闭区间[2,3]上满足罗尔定理，则ξ=【】A. 0B. 12C. 52D. 2 11.函数22y x x =--在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【】A. 0B. 12C. 1D. 2 12.函数21,y x =+在闭区间[2,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【】A. 0B. 12C. 1D. 2 13.方程410x x --=至少有一个根的区间是【】A.(0,1/2)B.(1/2,1)C. (2,3)D.(1,2) 14.函数(1)y x x =+.在闭区间[]1,0-上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的=ξ 【】A. 0B. 12-C. 1D. 1215.已知函数()32=+f x x x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，则拉格朗日定理成立的ξ是【】A.13±B. 13C. 13- D. 13±16.设273+=x y ，那么在区间)3,(-∞和),1(+∞内分别为【】 A.单调增加，单调增加 B.单调增加，单调减小C.单调减小，单调增加D.单调减小，单调减小二、填空题1. 曲线53)(23+-=x x x f 的拐点为_____________.2. 曲线x xe x f 2)(=的凹区间为_____________。

(整理)第三章微分中值定理与导数的应用习题详解wang1

第三章微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：（1）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，且()f x 在(1,1)-内可导。

可见，()f x 在[1,1]-上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点ξ(1,1)∈-，使得()0f ξ'=，即：22120(21)ξξ-=+ ，满足，0ξ=；（2）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，但()f x 在(1,1)-内0x =点不可导。

可见，()f x 在[1,1]-上不满足罗尔中值定理的条件，且1,0<1(), =01,1<0x f x x x <⎧⎪'=⎨⎪--<⎩不存在,因此不存在一点ξ(1,1)∈-，使得()0f ξ'=.2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件.3．解：令33arccosarccos(34)y x x x =--，2y '=，化简得0,C y y '=∴=（C 为常数），又(0.5)y π=，故当0.50.5x -≤≤，有()y x π=。

4．证明：显然(),(f x F x 都满足在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内可导()cos ,()1sin f x x F x x ''==-且对任一0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0F x '≠，(),()f x F x ∴满足柯西中值定理条件。

(0)121(0)22f f F F πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，而sin cos ()cos 242()1sin 1cos sin 242x x f x x x F x x x ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭==='-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()1()12f x F x π'='-，即t a n 1422x ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，此时2a r c t a n 142x ππ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,显然0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即2arctan 10,422πππξ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∃=--∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，使得(0)(3)2(3)(0)2f f f F F F ππ⎛⎫- ⎪'⎝⎭='⎛⎫- ⎪⎝⎭。

第四章----中值定理与导数的应用--习题及答案(1)

第四章中值定理与导数的应用一、填空1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为。

2、若21cos 1sin lim20=-→kx x x ，则k = 。

3、=a ，=b 时，点（1，3）为23bx ax y +=的拐点。

4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为。

5、函数)1ln(2x x y +-=的单调递增区间，在[-1，1]中最大值为，最小值为。

6、函数23)5()(-=x x x f 的驻点为，其极大值为，极小值为。

7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e xx x ，则=a ，=b 。

8、xx x y )11(-+=的水平渐近线为。

二、选择1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)41,21(-内)(x f 是（） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(><f f ，则)(x f 在（0，1）内（） A 、至少有两个零点 B 、有且仅有一个零点 C 、没有零点 D 、零点个数不能确定3、函数)(x f y =在0x x =处取得极大值，则必有（） A 、0)(0='x f B 、0)(0<''x fC 、0)(0='x f 且0)(0<''x fD 、0)(0='x f 或不存在 4、1ln )(2-=x xx f 的垂直渐近线为（） A 、1=x B 、1±=x C 、1±=x ，0=x D 、0=x 5、函数)(x f 有连续二阶导数，且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(-=''f ，则=-→2)(limx xx f x （） A 、-1 B 、0 Ｃ、不存在Ｄ、－２６、已知)(x f 在0=x 的某个邻域内连续，且0)0(=f ，2cos 1)(lim0=-→xx f x ，则在0=x 处)(x f （）Ａ、不可导Ｂ、可导且0)0(≠'f Ｃ、取得极大值Ｄ、取得极小值７、设在［０，１］上，0)(>''x f ，则)(x f 满足（）Ａ、)0()1()0()1(f f f f ->'>' Ｂ、)0()0()1()1(f f f f '>->' Ｃ、)0()1(')0()1(f f f f '>>- Ｄ、)0()1()0()1(f f f f '>->'８、设)()(x f x f --=对一切x 恒成立，且当),0(+∞∈x 时，有0)(>'x f ， 0)(>''x f ，则)(x f 在)0,(-∞内一定有（）Ａ、0)(<'x f ，0)(<''x f Ｂ、0)(<'x f ，0)(>''x f Ｃ、0)(>'x f ，0)(<''x f Ｄ、0)(>'x f ，0)(>''x f９、设函数)(x f 在上有定义，在开区间),(b a 内可导，则（）Ａ、当时，存在),(b a ∈ξ，使0)(=ξf B 、对任何),(b a ∈ξ，有0)]()([lim =-→ξξf x f xC 、当)()(b f a f =时，存在),(b a ∈ξ，使0)('=ξf D 、存在),(b a ∈ξ，使=-)()(a f b f ))(('a b f -ξ 10、设)1()(x x x f -=，则（） A 、0=x 是)(x f 的极值点，但（0，0）不是曲线)(x f y =的拐点 B 、0=x 不是)(x f 的极值点，但（0，0）是曲线)(x f y =的拐点 C 、0=x 是)(x f 的极值点，且（0，0）是曲线)(x f y =的拐点 D 、0=x不是)(x f 的极值点，（0，0）也不是曲线)(x f y =的拐点三、计算 1、0lim→x x x 3sin )21ln(+ 2、0lim →x )21ln(arctan 3x x x +- 3、0lim→x )tan 11(2xx x - 4、-∞→x lim )arctan 2(x x +π5、0lim →x xxex 11)1(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+ 6、0lim →x x x 12)1(+ 四、应用题1、已知函数)(x f y =，在),(+∞-∞上具有二阶连续的导数，且其一阶导函数)('x f 的图形如图所示，且8)1(=-f ，7)0(=f ，6)1(=f ，5)2(=f ，4)3(=f则（1）函数)(x f 的驻点是。

3微分中值定理与导数的应用习题解答

第三章微分中值定理与导数的应用答案§3.1 微分中值定理1．填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2．选择题（１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．A . xe xf =)( B. ||)(x x f = C. 21)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明：令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='xx x f ，所以)(x f 为一常数．设c x f =)(，又因为(1)2f π=，故 )(2c o t a r c t an ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x <<3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ，使0)(1='ξf ．同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ．又)(x f '在],[21ξξ上符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5．证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根．证明：设621)(32x x x x f +++=，则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ，使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．6．设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中c 是介于b a ,之间的一个实数．证明：存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明：由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ．同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ，使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=- 证明：只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明.8．证明下列不等式（１）当π<<x 0时，x xxcos sin >．证明：设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此，当π<<x 0时，x xxcos sin >．（２）当 0>>b a 时，bba b a a b a -<<-ln ．证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<< 因为'1()f x x=，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a b ξ<<，从而bba b a a b a -<<-ln ．§3.1 洛毕达法则1．填空题（１） =→xxx 3cos 5cos lim2π35-（２）=++∞→xx x arctan )11ln(lim0 （３）)tan 11(lim 20x x x x -→=31（４）0lim(sin )xx x +→=1２．选择题（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ） A ． ==∞→∞→nn n n n en ln limlim 11lim=∞→nn eB ． =-+→x x x x x sin sin lim0 ∞=-+→xxx cos 1cos 1lim 0C ． xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sin lim020-=→→不存在 D ． x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e（２）在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ． x x x sin lim 20→B ． x x x tan 0)1(lim +→C ． x x x x sin lim +∞→D ． x nx e x +∞→lim3．求下列极限（１）nn mm a x a x a x --→lim ．解： n n m m a x a x a x --→lim =nm n m a x a nm nx mx ---→=11lim．（２）20222lim x x x x -+-→．解： 20222lim xx x x -+-→=x x x x 22ln 22ln 2lim 0-→-=2)2(ln 2)2(ln 2lim 220x x x -→+=2)2(ln ．（３）30tan sin limxxx x -→ ．解：30tan sin lim x x x x -→＝32030)21(lim )1(cos tan lim x x x x x x x x -⋅=-→→＝21-．（４） 20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→．解：20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→＝201sin lim xx e x x --→＝212sin lim 2cos lim 00=+=-→→x e x x e x x x x ．（５）x x x x xx ln 1lim 1+--→．解： )ln 1()(x x x xx +='， x x x x xx ln 1lim1+--→＝xx x xx 11)ln 1(1lim 1+-+-→＝22111)ln 1(limx x x x x xx x --+-→2])ln 1([lim 1221=++=++→x x x x x x ．（６） )111(lim 0--→x x e x ．解：2121lim )1(1lim )111(lim 22000==---=--→→→xx e x x e e x x x xx x x（７） xx xtan 0)1(lim +→ ．解：1)1(lim 202000sin limcsc 1lim cot ln limln tan lim tan 0=====+→+→+→+→+----→x xx x xxxx x x x x x x eeeex．（８）)31ln()21ln(lim xxx +++∞→．解： )31ln()21ln(lim x x x +++∞→=2ln 23ln(12)12lim ln(12)3lim 3lim1x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+++== =xxx 212lim 2ln 3++∞→=2ln 3．（９） n n n ∞→l i m ．解：因为1lim1limln 1lim===∞→∞→∞→xxxxx x x eex ，所以nn n ∞→lim=1．§3.3 泰勒公式１．按1-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f ．解： 10)1(,64)(3='+='f x x x f ，同理得24)1(,24)1(,18)1()4(=='''=''f f f ，且0)()5(=x f ．由泰勒公式得：43)(24++=x x x f =432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+x x x x ．2．求函数xe x xf 2)(=的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式．解：因为)(!!2!112n nxx o n x x x e +++++= ，所以xe x xf 2)(==2222[1()]1!2!(2)!n n x x x x o x n --+++++-=)()!2(!2!1432n n x o n x x x x +-++++ ．3．求一个二次多项式)(x p ，使得)()(22x x p x ο+=．解：设xx f 2)(=，则2ln 2)(x x f ='，2)2(ln 2)(x x f =''． 2)2(ln )0(,2ln )0(,1)0(=''='=f f f ，故 )(!2)2(ln !12ln 12222x x x xο+++=，则 222)2(ln 2ln 1)(x x x p ++=为所求． 4．利用泰勒公式求极限)]11ln([lim 2xx x x +-∞→．解：因为 ))1((3)1(2)1(1)11ln(332xo x x x x ++-=+，所以 )11ln(2x x x +-=)])1((3)1(2)1(1[3322x o x x x x x ++--=)1(3121x o x +-，故 21)]1(3121[lim )]11ln([lim 2=+-=+-∞→∞→x o x x x x x x ．5．设)(x f 有三阶导数,且0)1(,0)(lim 2==→f x x f x ,证明在)1,0(内存在一点ξ,使0)(='''ξf ．证明：因为 0)(lim20=→x x f x ，所以0)0(,0)0(,0)0(=''='=f f f ．由麦克劳林公式得：332!3)(!3)(!2)0()0()0()(x f x f x f x f f x f ξξ'''='''+''+'+= （ξ介于0与x 之间），因此 !3)()1(ξf f '''=，由于0)1(=f ，故0)(='''ξf ．§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性1．填空题（１）函数)ln(422x x y -=的单调增加区间是),21()0,21(+∞-，单调减少区间)21,0()21,( --∞．（２）若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则xx f x F )()(=在+∞<<x 0上是单调增加．（３）函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则a 0>．（４）若点（1，3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a 23-，=b 29，曲线的凹区间为)1,(-∞，凸区间为),1(∞．2．单项选择题（１）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数. A . xy -=2),(∞+-∞ B . xy e = )0,(-∞C . x y ln = ),0(∞+D . x y sin = ),0(π（２）设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21(内（ B ）． A . )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的 B. )(x f y = 单调减少，曲线)(x f y =为凹的 C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的Ｄ．)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的（３）)(x f 在),(+∞-∞内可导, 且21,x x ∀,当 21x x >时, )()(21x f x f >,则( D ) A. 任意0)(,>'x f x B. 任意0)(,≤-'x f x C. )(x f -单调增 D. )(x f --单调增（４）设函数)(x f 在]1,0[上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ） A. )0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->' C. )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2．求下列函数的单调区间（１）1--=x e y x．解：1-='x e y ，当0>x 时，0>'y ,所以函数在区间),0[+∞为单调增加；当0<x 时，0<'y ，所以函数在区间]0,(-∞为单调减少．（２）(2y x =-解：)1(31031-='-x x y ，当1>x ，或0<x 时，0>'y ,所以函数在区间),1[]0,(+∞-∞ 为单调增加；当01x <<时，0<'y ，所以函数在区间]1,0[为单调减少．（３）)1ln(2x x y ++=解： 011111222>+=++++='xxx x x y ，故函数在),(+∞-∞单调增加．3．证明下列不等式（１）证明：对任意实数a 和b , 成立不等式||1||||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++．证明：令xxx f +=1)(，则0)1(1)(2>+='x x f ， )(x f 在) , 0 [∞+内单调增加. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++（２）当1>x 时, 1)1(2ln +->x x x ．证明：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ， 11ln )('-+=xx x f ，由于当1x >时，211()0f x x x''=->, 因此)(x f '在),1[+∞单调递增, 当 1x >时, 0)1()(='>'f x f , 故)(x f 在),1[+∞单调递增, 当 1>x 时, 有0)1()(=>f x f .故当1>x 时,0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f ,因此1)1(2ln +->x x x ．（３）当 0>x 时，6sin 3x x x ->．证明：设6sin )(3x x x x f +-=, 021cos )(2=+-='x x x f ，当0>x ，()sin 0f x x x ''=->，所以)(x f '在),0[+∞单调递增, 当 0>x 时, 0)0()(='>'f x f , 故)(x f 在),0[+∞单调递增, 从而当 0>x 时, 有0)0()(=>f x f . 因此当 0>x 时，6sin 3x x x ->．4．讨论方程k x x =-sin 2π(其中k 为常数)在)2,0(π内有几个实根．解：设()sin ,2x x x k πϕ=-- 则()x ϕ在]2,0[π连续, 且k k -=-=)2(,)0(πϕϕ，由()1cos 02x x πϕ'=-=，得2arccos x π=为)2,0(π内的唯一驻点．()x ϕ在2[0,arccos ]π上单调减少，在2[arccos ,]2ππ上单调增加．故k ---=242arccos )2(arccos 2πππϕ为极小值，因此)(x ϕ在]2,0[π的最大值是k -,最小值是k ---242arccos 2ππ．（１）当,0≥k 或242arccos 2--<ππk 时,方程在)2,0(π内无实根；（２）当0242arccos2<<--k ππ时,有两个实根；（３）当242arccos2--=ππk 时，有唯一实根．5．试确定曲线d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得2-=x 处曲线有水平切线，)10,1(-为拐点，且点)44,2(-在曲线上．解： c bx ax y ++='232,b ax y 26+=''，所以2323(2)2(2)062010(2)(2)(2)44a b c a b a b c d a b c d ⎧-+-+=⎪+=⎪⎨+++=-⎪⎪-+-+-+=⎩ 解得： 16,24,3,1=-=-==d c b a ．6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间（１）12-+=x xx y 解： 222)1(11-+-='x x y , 323)1(62-+=''x xx y ,令0=''y ,得0=x ，当1x =±时y ''不存在．当01<<-x 或1>x 时, 0>''y ,当1-<x 或10<<x 时, 0<''y ．故曲线12-+=x xx y 在)1,0()1,( --∞上是凸的, 在区间和),1()0,1(+∞- 上是凹的，曲线的拐点为)0,0(．（２）32)52(x x y -=拐点及凹或凸的区间解：y '=，y ''=．当0=x 时，y y ''',不存在；当21-=x 时，0=''y ．故曲线在)21,(--∞上是凸的, 在),21(+∞-上是凹的，)23,21(3--是曲线的拐点,7．利用凹凸性证明: 当π<<x 0时, πxx >2sin 证明：令πx x x f -=2sin )(, 则π12cos 21)(-='x x f , 2sin 41)(xx f -=''．当π<<x 0时, 0)(<''x f , 故函数πxx x f -=2sin )(的图形在),0(π上是凸的, 从而曲线)(x f y =在线段AB （其中)(,()),0(,0(ππf B f A ）的上方，又0)()0(==πf f , 因此0)(>x f ,即πx x >2sin ．§3.5 函数的极值与最大值最小值1．填空题（１）函数xx y 2=取极小值的点是1ln 2x =-．（２）函数31232)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为322)21(=f ，最小值为(0)1f =- ．2．选择题（１）设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0x f 必是)(x f 的最大值？（ C ）A ． 0x x =是)(x f 的唯一驻点B ． 0x x =是)(x f 的极大值点C ． )(x f ''在),(+∞-∞内恒为负D ． )(x f ''不为零（２）已知)(x f 对任意)(x f y =满足xex f x x f x --='+''1)]([3)(2，若00()0 (0)f x x '=≠，则（ B ）A. )(0x f 为)(x f 的极大值B. )(0x f 为)(x f 的极小值C. ))(,00x f x （为拐点D. )(0x f 不是极值点, ))(,00x f x （不是拐点（３）若)(x f 在0x 至少二阶可导, 且1)()()(lim 2000-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在0x 处( Ａ )A ．取得极大值B ．取得极小值C ．无极值D ．不一定有极值3．求下列函数的极值（１） ()3/223x x x f -=．解：由13()10f x x-'=-=，得1=x ．4''31(),(1)03f x x f -''=>，所以函数在1=x 点取得极小值．（２）xx x f 1)(=．解：定义域为),0(+∞，11ln 21, (1ln )x xxy ey xx x '==-，令0y '=得驻点x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，当(,)x e ∈+∞时，0y '<．因此ee e y 1)(=为极大值．4．求14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值．解：(3)23, (4)132y y -==．由266120y x x '=+-=，得1=x , 2-=x ．而34)2(,7)1(=-=y y , 所以最大值为132，最小值为7．5．在半径为R 的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积V 最大．解：设圆锥体的高为h , 底半径为r ,故圆锥体的体积为h r V 2 31π=，由于222)(R r R h =+-，因此)2( 31)(2h Rh h h V -=π )20(R h <<，由0)34( 31)(2=-='h Rh h V π，得34R h =，此时R r 322=．由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在)2,0(R 的内部取得. 现在0)(='h V 在)2,0(R 内只有一个根,故当34Rh =, R r 322=时, 内接锥体体积的最大．6. 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km , A 点到火车站B 的距离为100km . 欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？解: 设AD x =, B 与C 间的运费为y , 则 )100(340052x k x k y -++= （1000≤≤x ），其中k 是某一正数．由 0)34005(2=-+='xx k y , 得15=x .由于k y x 400|0==, k y x 380|15==, 2100511500|+==x y , 其中以k y x 380|15==为最小, 因此当AD =15=x km 时, 总运费为最省．7．宽为b 的运河垂直地流向宽为a 的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?解：问题转化为求过点C 的线段AB 的最大值. 设木料的长度为l , y CB x AC ==,，木料与河岸的夹角为t ，则l y x =+，且t by t a x sin ,cos ==, t b t a l sin cos += )2,0(π∈t ．则ttb t t a l 22sin cos cos sin -='，由0='l 得3tan abt =, 此时233232)(b a l +=，故木料最长为233232)(b a l +=．§3.6 函数图形的描绘１．求23)1(+=x x y 的渐近线.解：由 -∞=+-→231)1(limx x x ，所以1x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线．因为 2)1(lim )(lim ,1)1(limlim 2322-=-+=-=+=∞→∞→∞→∞→x x x x y x x x y x x x x 所以2-=x y 为曲线)(x f y =的斜渐近线．2．作函数23)1(22--=x x y 的图形。

习题详解-第4章微分中值定理与导数的应用

习题4-11．验证下列各题的正确性，并求满足结论的ξ的值： (1) 验证函数()cos 2f x x =在区间[,]44ππ-上满足罗尔定理；(2) 验证函数()f x =[4,9]上满足拉格朗日中值定理；(3) 验证函数23)(,1)(x x g x x f =+=在区间]2,1[上满足柯西中值定理. 解：(1) 显然()c o s 2f x x =在[,]44ππ-上连续，在(,)44ππ-内可导，且()()044f f ππ-==，又 ()2sin 2f x x '=-，可见在(,)44ππ-内，存在一点0ξ=使()00(2sin 2)0.f x ξ='==-=(2) ()f x =[4,9]上连续，()f x '=，即知()f x =(4,9)内可导，由(9)(4)1945f f -==-254x =，即在(4,9)内存在254ξ=使拉格朗日中值公式成立.(3) 显然函数23)(,1)(x x g x x f =+=在区间]2,1[上连续，在开区间)2,1(内可导，且 .02)(≠='x x g 于是)(),(x g x f 满足柯西中值定理的条件.由于 ,3712)11()12()1()2()1()2(233=-+-+=--g g f f ,23)()(x x g x f =''令,3723=x 得.914=x 取),2,1(914∈=ξ则等式)()()1()2()1()2(x g x f g g f f ''=-- 成立.这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间上的正确性.2．不求导数函数()(1)(2)f x x x x =++的导数, 判断方程()0f x '=有几个实根，并指出这些根的范围.解因为(2)(1)(0)0,f f f -=-==所以)(x f 在闭区间[2,1]--和[1,0]-上均满足罗尔定理的三个条件，从而，在(2,1)--内至少存在一点,1ξ使,0)(1='ξf 即1ξ是)(x f '的一个零点；又在(1,0)-内至少存在一点,2ξ使,0)(2='ξf 即2ξ是)(x f '的一个零点.又因为)(x f '为二次多项式，最多只能有两个零点，故)(x f '恰好有两个零点，分别在区间(2,1)--和(1,0)-.3．设函数)(x f 是定义在(,)-∞∞处处可导的奇函数，试证对任意正数a ，存在(,)a a ξ∈-, 使 ()()f a af ξ'=.证因()f x (,)-∞∞处处可导，则()f x 在[]a a -，上应用拉格朗日中值定理：存在()a a ξ∈-，，使()()()(())f a f a f a a ξ'--=⋅--.由)(x f 是奇函数，则上式为()()2()f a f a af ξ'+=, 故有()()f a af ξ'=.4．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：(1) 当0b a >>时,ln b a b b aa ab -->>; (2) 若1x ≠, 则xe xe >.证(1) 当0b a >>时,设()ln ,f x x =则)(x f 在[,]a b 上满足拉格朗日定理的条件.故()()()()f b f a f b a ξ'-=- (),a b ξ<< 由1(),f x x'=且111,a b ξ>>得：ln b a b b a b aa a bξ--->=>. (2) 若1x ≠,不妨设>1x ，令(),xf x e =则)(x f 在[1,]x 上满足拉格朗日定理的条件.故()(1)()(1)f x f f x ξ'-=- (1),x ξ<< 从而1x e xe e xe xe ξξ=+->>.5．应用拉格朗日中值定理的推论证明下列恒等式： (1) arcsin arccos (11)2x x x π+=-≤≤;(2) arctan 2x π+=.证(1) 设()arcsin arccos f x x x =+,],1,1[-∈x,01111)(22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-'x x x f ∴,)(C x f ≡].1,1[-∈x 又 ,220arccos 0arcsin )0(ππ=+=+=x f 即.2π=C∴.2arccos arcsin π=+x x(2)设()arctan f x x =+,因为21()01+f x x '==，所以 ()f x C ≡,C 是常数. 又(1)arctan1442f πππ=+=+=, 即.2π=C故arctan 2x π+=.6．设函数)(x f 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点)1,0(∈ξ, 使2()3[(1)(0)].f f f ξξ'=-证作辅助函数3(),g x x =则)(),(x g x f 在]1,0[上满足柯西中值定理的条件，故在)1,0(内至少存在一点,ξ使2(1)(0)().103f f f ξξ'-=-即 2()3[(1)(0)].f f f ξξ'=-习题4-21．写出函数x x x f ln )(3=在10=x 处的四阶泰勒公式. 解 x x x f ln )(3=， ,0)1(=f22()3ln ,f x x x x '=+ ,1)1(='f()6ln 5,f x x x x ''=+ (1)5,f ''= ()6ln 11,f x x '''=+ (1)11,f '''= (4)6(),f x x= ,6)1()4(=f,6)(2)5(x x f -= .6)(2)5(ξξ-=f 于是所求泰勒公式为x x ln 3)1(-=x 2)1(!25-+x 3)1(!311-+x 4)1(!46-+x ,)1(!5652--x ξ其中ξ在1与x 之间.2. 写出函数1()f x x=在01x =-处的带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式. 解 1()f x x =， (1)0,f -= 21(),f x x '=-(1)1,f '-=- 32(),f x x ''= (1)2,f ''-=-46(),f x x'''=- (1)6,f '''-=- ()1!()(1),n n n n f x x+=- ()(1)!n f n -=-于是所求的带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式为()0(1)()(1)((1))!k nk n k f f x x o x k =-=+++∑0(1)((1)).nk n k x o x ==-+++∑3．求下列函数的带皮亚诺余项的n 阶麦克劳林公式： (1)x xe x f -=)(；(2) 1()1x f x x-=+. 解 (1)因为),()!1()(!2)()(1112---+--++-+-+=n n xx o n x x x e所以312(1)()2!(1)!n n xn x x xex x o x n ---=-+-++-11(1)()(1)!k nkn k x o x k -=-=+-∑. (2) 由 )(1112n n x o x x x x+++++=- 知211(1)()1n n n x x x o x x=-+-+-++ 故 1()1x f x x -=+212111x x x--==-++22[1(1)()]1n n n x x x o x =-+-+-+-01(1)2()nk k n k x o x ==-+-⋅+∑.4. 用泰勒公式计算下列极限： (1) 2230cos limsin x x x e x x-→-；(2) 2(cos )sin x x x e x→-⋅.解 (1) x cos ),(!4!21442x o x x ++-=22x e -244211(),222!x x o x =-++⋅ ∴22cos x x e--44211()(),4!22!x o x =-+⋅ 又3sin x x 4~,x从而2230cos lim sin x x x e x x -→-44401()12lim x x o x x →-+=1.12=-(2)24661131()242!83!x x x o x =+-++⋅⋅∴22x -46611()44x x o x =-++x cos ),(!4!21442x o x x ++-=2x e ),(!211442x o x x +++=∴2cos x x e -2443(),224x x o x =--+ 又2sin x 2~,x从而22202lim (cos )sin x x x x e x →--⋅46646611()443()224x x o x x x o x -++=--+114362-==-. 5. 利用四阶泰勒公式计算下列各数的近似值，并估计误差： (1) 6ln5；(2) e .解 (1) 23111(1)ln(1)(1)23(1)(1)nn n n n x x x x x x n n x θ+-+-+=-+-+-+++ 上式中，取3n =得2344ln(1)234(1)x x x x x x θ+=-+-+).10(<<θ 以15x =代入得6ln 525111110.182752535≈-+=，(取小数点后四位) 其误差 4R 4444111()=4105454(1)5θ-=<⨯⨯+. (2) xe 12)!1(!!21+++++++=n xn x n e n x x x θ (01)θ<<. 取,1=x 5n =得 e 111111 2.7083,2!3!4!5!≈+++++=(取小数点后四位) 其误差 6R 6!e<30.0042.6!<= 习题4-31．计算下列极限：(1) 0lim sin x xx e e x-→-；(2) 2ln cos 2lim ()x xx ππ→-;(3) 02lim sin x x x e e xx x-→---；(4) 1ln(1)limarctan 2x x x π→+∞+-； (5) cot limcot 3x xxπ→；(6) 0ln lim ln cot x xx+→；(7) 20tan lim tan x x xx x→-;(8) 22301lim sin 2x x e x x x-→+-; (9) 0ln sin 3lim ln sin 2x xx+→;(10) 2lim xx x e-→+∞;(11) 2lim cot ln()2x x x ππ+→⋅-;(12) 2011lim()sin x x x x →-; (13) 11lim 1ln x x x x →⎛⎫-⎪-⎝⎭; (14) 011lim 1xx e x →⎛⎫-⎪-⎝⎭; (15) 21lim(cos 2)x x x →;(16) 11lim (ln )x x x -→+∞;(17) lim x x x x x e e e e --→+∞-+; (18) sin lim sin x x xx x→∞-+;解 (1) 00lim lim 2sin cos x x x xx x e e e e x x--→→-+==；(2) 2ln cos 2lim ()x x x ππ→-2tan 2lim 2()x xx ππ→-=-24sec 2lim 2x x π→-==-2;(3) 02limsin x x x e e xx x -→---0002lim lim lim 21cos sin cos x x x x x x x x x e e e e e e x x x ---→→→+--+====-； (4) 1ln(1)lim arctan 2x x x π→+∞+-2111lim 11x x x x →+∞-+=-+221lim11x x x x →+∞-+=-+221lim x x x x →+∞+=+=1； (5) cot lim cot 3x x x π→22csc lim 3csc 3x x x π→-=-22sin 3lim 3sin x x x π→=2sin 3cos33lim 32sin cos x x x x xπ→⋅=⋅；sin 3cos3lim lim sin cos x x x x x x ππ→→=⋅3cos3lim 1cos x x xπ→=⋅=3(6) 0ln lim ln cot x x x +→201lim csc cot x x x x +→=-201lim csc cot x x x x+→=-0sin cos lim x x x x+→=-=-1； (7) 20tan lim tan x x x x x →-30lim tan x x x x →=-2203lim sec 1x x x →=-2203lim 3tan x x x→==;(8) 22301lim sin 2x x e x x x -→+-22301lim (2)x x e x x x -→+-=23022lim 84x x xe x x -→-+=⋅2201lim 16x x e x -→-= 2021lim3216x x xe x -→==;(9) 0ln sin 3lim ln sin 2x x x +→03cot 3lim 2cot 2x x x +→=03tan 2lim 2tan 3x x x +→=032lim 123x xx+→==;(10) 2lim xx x e -→+∞2lim x x x e →+∞=22lim lim 0x x x x x e e→+∞→+∞===;(11) 2lim cot ln()2x x x ππ+→⋅-2ln()2lim tan x x x ππ+→-=2212lim sec x x x ππ+→-= 22cos lim 2x x x ππ+→=-22cos sin lim 01x x xπ+→-==;(12) 2011lim()sin x x x x →-20sin lim sin x x x x x →-=30sin lim x x xx →-=20cos 1lim 3x x x →-=0sin lim 6x x x →-=16=-; (13) 11lim 1ln x x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭1ln 1lim (1)ln x x x x x x →-+=-1ln lim 1ln x x x x x→=-+1211lim112x xx x →==+;(14) 011lim 1x x e x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭01lim x x x x e xe x →-+=-01lim 1x x x x e xe e →-=+-0lim 2x x x x e xe e →-=+12=-; (15) 2221ln cos2ln cos2limlim(cos 2)lim x x x x xx x x x ee →→→==,又20ln cos 2limx x x →002tan 2tan 2lim lim 22x x x xx x→→--===-故21lim(cos 2)x x x →=2e -;(16) 11lim (ln )x x x -→+∞=ln ln 1lim xx x e-→+∞,又11ln ln ln lim lim 011x x x x x x →+∞→+∞⋅==-, 故11lim (ln )x x x -→+∞=0e =1;(17) lim x x xx x e e e e --→+∞-+221lim 11xxx e e --→+∞-=+;(18) sin 1lim1sin 1x x x x x→∞-=+. 2. 设(0)0f =,(0)2f '=，(0)6f ''=,求20()2lim x f x xx→-. 解 20()2l i m x f x x x →-0()2l i m 2x f x x →'-=0()lim 2x f x →''=(0)32f ''==.习题4-41．判断函数xy e x =-的单调性.解 .1-='x e y 又).,(:+∞-∞D在)0,(-∞内，,0<'y ∴函数单调减少；在),0(+∞内，,0>'y ∴函数单调增加. 2．判断函数cos sin y x x x =+在区间3[,]22ππ的单调性. 解 cos y x x '=,在区间3(,)22ππ，,0<'y ∴函数单调减少.3．求下列函数的单调区间： (1) 31292)(23-+-=x x x x f ； (2) 2()2ln f x x x =-；(3) ()f x =(4) 2()1x f x x=+.解 (1) ).,(:+∞-∞D 2()61812f x x x x '=-+),2)(1(6--=x x 解方程0)(='x f 得.2,121==x x当1<<-∞x 时，,0)(>'x f ∴)(x f 在(]1,∞-上单调增加；当21<<x 时，,0)(<'x f ∴)(x f []2,1上单调减少；当+∞<<x 2时，,0)(>'x f ∴)(x f 在),2[+∞上单调增加.(2) :(0,).D +∞1()4f x x x'=-241x x -=,解方程0)(='x f 得12x =，在1(0,)2内，,0)(<'x f ∴)(x f 在1(0,)2内单调减少；在1(,)2+∞内，,0)(<'x f ∴)(x f 在1(,)2+∞单调增加.(3) ).,(:+∞-∞D y '13=令,0='y 解得14,3x =在21,x =32x =处y '不存在.在(),1-∞内，,0>'y 函数单调增加；在41,3⎛⎫⎪⎝⎭内，,0>'y 函数单调增加；故函数在4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内函数单调增加；在4,23⎛⎫⎪⎝⎭内，,0<'y 函数单调减少；在()2,+∞内，,0>'y 函数单调增加. (4) :(,1)(1,).D -∞--+∞21()111x f x x x x ==-+++,221(2)()1(1)(1)x x f x x x +'=-=++, 令,0='y 解得12,x =-20,x =在(,2)-∞-内，,0>'y 函数单调增加；在(2,1)--内，,0<'y 函数单调减少；在(1,0)-内，,0<'y 函数单调减少；在(0,)+∞内，,0>'y 函数单调增加.4．当0>x 时，应用单调性证明下列不等式成立：(1) 2x +> (2) 21ln(1)2x x x x >+>-.证 (1) 令()2f x x =+- 则()1f x '==当0>x 时,,0)(>'x f ∴)(x f 在],0[+∞上单调增加，,0)0(=f ∴当0>x 时，()(0)0,f x f >=即2x +-，故2x +>(2)设),1ln()(x x x f +-=则.1)(xx x f +=' )(x f 在],0[+∞上连续，且在),0(+∞内可导，,0)(>'x f ∴)(x f 在],0[+∞上单调增加， ,0)0(=f ∴当0>x 时，,0)1ln(>+-x x 即).1ln(x x +>又设21()ln(1),2g x x x x =+-+因为()g x 在),0[+∞上连续，在),0(+∞内可导，且1()11g x x x'=-++,12x x +=当0>x 时，()0,g x '>又(0)0.g = 故当0>x 时，()(0)0,g x g >=所以.21)1ln(2x x x ->+ 综上，当0>x 时，有21ln(1)2x x x x >+>-，证毕. 5．证明方程53210x x x ++-=有且只有一个小于1的正根. 证令53()21f x x x x =++-，因)(x f 在闭区间[0,1]连续，且)0(f 1=-,0<(1)f 30=>.根据零点定理)(x f 在(0,1)内有一个零点,即方程53210x x x ++-=至少有一个小于1的正根.在(0,1)内，)(x f '42561x x =++,0> 所以)(x f 在[0,1]内单调增加，即曲线)(x f y =在(0,1)内与x 轴至多只有一个交点.综上所述，方程53210x x x ++-=有且只有一个小于1的正根. 6．求下列曲线的凹凸区间及拐点： (1) 14334+-=x x y ；(2) 2y =-； (3) 241y x =+；(4) (y x =-解 (1)函数的定义域为),,(+∞-∞,121223x x y -='.3236⎪⎫ ⎛-=''x x y 令,0=''y 得,01=x .22=x)(2) 函数的定义域为),,(+∞-∞ y '13=- y ''=函数y 在1x =处不可导，但1x <时，,0<''y 曲线是凸的，时，,0>''y 曲线是凹的.故凹区间为[1,)+∞，凸区间为(,1]-∞，拐点为(1,2)；(3) 函数的定义域为),,(+∞-∞ y '228(1)xx =-+ , y ''223248(1)x x -=+ 令,0=''y 得1x =2x = 在(,-∞，,0>''y 曲线是凹的；在(，,0<''y 曲线是凸的；在)+∞，,0>''y 曲线是凹的. 因此凹区间为(,-∞,)+∞，凸区间为[，拐点为(,3)和.(4) 函数的定义域为),,(+∞-∞ 5233(y x x x =-=-,y '21335233x x -=-=, y ''143310299x x --=+=, 令,0=''y 得11,5x =-在20x =处y ''不存在，在1(,)5-∞-，,0<''y 曲线是凸的；在1(,0)5-，,0>''y 曲线是凹的；在(0,)+∞，,0>''y 曲线是凹的；故凹区间为1(,0]5-,[0,)+∞，凸区间为1(,]5-∞-，拐点为1(,5-. 7．利用函数的凹凸性证明：若,0,x y x y >≠，则不等式2()x yx yxe ye x y e ++>+成立.证令()tf t te =(0t >)，则所要证明的不等式改写为()()<()22f x f y x yf ++.因此问题转化为要证明()f t 在(0,)+∞内为凹.由()t t f t te e '=+，()2t tf t te e ''=+，因0t >，()0f t ''>，故()f t 在(0,)+∞内为凹，于是不等式成立.习题4-51．求下列函数的极值： (1) 32()393f x x x x =--+；(2) 2()1xf x x =+; (3) 2()2ln f x x x =-;(4) ()f x =(5) 23()(1)1f x x =--;解 (1) )3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ,令,0)(='x f 得驻点.3,121=-=x x所以, 极大值(1)8,f -=极小值(3)24f =-.(2) 2221(1)(1)()11x x x f x x x--+'==++,令,0)(='x f 得驻点121, 1.x x =-=所以, 极小值(1),2f -=-极大值(1)2f =. (3) 函数的定义域为(0,),+∞1()4f x x x '=-241x x -=，令,0)(='x f 得驻点12x =，在1(0,)2内，,0)(<'x f )(x f 在1(0,)2内单调减少；在1(,)2+∞内，,0)(<'x f )(x f 在1(,)2+∞单调增加.所以,有极小值11()ln 222f =+.(4) ).,(:+∞-∞D y '13=令,0='y 解得14,3x =在21,x =32x =处y '不存在.在(),1-∞内，,0>'y 函数单调增加；在41,3⎛⎫⎪⎝⎭内，,0>'y 函数单调增加；在4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭内，,0<'y 函数单调减少；在()2,+∞内，,0>'y 函数单调增加.因此，有极大值4()33f =极小值(2)0f =. (5) 由,0)1(6)(22=-='x x x f 得驻点,11-=x .1,032==x x ).15)(1(6)(22--=''x x x f 因(0)60,f ''=>/故)(x f 在0=x 处取得极小值，极小值为(0) 2.f =-因,0)1()1(=''=-''f f 考察一阶导数)(x f '在驻点11-=x 及13=x 左右邻近的符号: 当x 取1- 左侧邻近的值时, ;0)(<'x f 当x 取1-右侧邻近的值时, ;0)(<'x f 因)(x f '的符号没有改变，故)(x f 在1-=x 处没有极值.同理，)(x f 在1-=x 处也没有极值.2. 设3x π=是函数1()sin sin 33f x a x x =+的极值点，则a 为何值？此时的极值点是极大值点还是极小值点？并求出该值.解由()cos cos3f x a x x '=+,因3x π=是极值点，故()coscos 033f a πππ'=+=,得a =2,又()(2cos cos3)2sin 3sin3f x x x x x '''=+=--,()2sin 3sin 033f πππ''=--=,所以，3x π=是极大值点，极大值为：1()2sinsin 333f πππ=+=3. 求下列函数在指定区间的最大值与最小值：(1) 42()23f x x x =-+, 3[2]2-，;(2) ()f x x =[3,1]-;(3)()sin cos f x x x x =+,[],ππ-.解 (1)3()444(1)(1),f x x x x x x '=-=+- 解方程,0)(='x f 得1231,0, 1.x x x =-==计算357();216f -=(1)(1)2;f f -==(0)3;f =(2)11f =.比较得最大值(2)11f =,最小值(1)(1)2f f -==.(2) ()1f x '==,令,0)(='x f 得34x =，计算(3)1f -=-，35()44f =，(1)1f =.从而得最大值35()44f =,最小值(3)1f -=-.(3) ()cos f x x x '=，令,0)(='x f 在[],ππ-得驻点123,0,.22x x x ππ=-==计算()()222f f πππ-==，(0)1f =，()()1f f ππ-==-.故得到，最大值为()()222f f πππ-==，最小值为()()1f f ππ-==- .4. 求下列曲线的渐近线： (1) 1sin x y x+=; (2) 111x y e-=+.解 (1)因1sin lim0x xx →∞+=, 得水平渐近线0;y = 因01sin lim x x x→+,=∞ 得铅直渐近线.0=x (2) 因11lim(1)2x x e-→∞+=, 得水平渐近线2;y =因111lim(1)x x e +-→+=+∞, 得铅直渐近线 1.x =5. 作出下列函数的图形： (1) 3()31f x x x =-+； (2) 43()21f x x x =-+;(3) 2y =-;(4) 2()1x f x x=+.解 (略)6. 设A 、B 两个工厂共用一台变压器，其位置如右下图所示，问变压器设在输电干线的什么位置时，所需电线最短？解设变压器设在输电干线距C 点x km 处，由已知条件可得电线的总长度为()6)f x x =≤≤求导()f x '=，令()0f x '=，在[0,6]内，得 2.4x =为唯一驻点,容易判断，此时，函数有最小值，故变压器设在输电干线距C 点2.4 km 处，所需电线最短.习题4-61．某钟表厂生产某类型手表日产量为Q 件的总成本为21()200100040C =++Q Q Q (元)， (1) 日产量为100件的总成本和平均成本为多少？ (2) 求最低平均成本及相应的产量；(3) 若每件手表要以400元售出，要使利润最大，日产量应为多少？并求最大利润及相应的平均成本？解 (1) 日产量为100件的总成本为2100(100)20010010002125040C =+⨯+=(元)平均成本为21250(100)212.5100C ==(元).(2) 日产量为Q 件的平均成本为()1000()20040C C ==++Q Q Q Q Q， 211000()40C '=-Q Q，令()0C '=Q ，因0>Q ，故得唯一驻点为200=Q .D又20031000(200)0C =''=>Q Q ，故200=Q 是()C Q 的极小值点，即当日产量为200件时，平均成本最低，最低平均成本为1000()20021040200200200C =++= (元).(3) 若每件手表要以400元售出，此时利润为()L Q 21400()400200100040C ==---Q -Q Q Q Q 21200100040=-+-Q Q ， 1()20020L '=-+Q Q ，令()0L '=Q ，得唯一驻点为400=Q ，此时，1()020L ''=-<Q ，因此，要使利润最大，日产量应为400件，此时的最大利润为21()200100075 00040400400400L =-⋅+⨯-=(元) 相应的平均成本为1000()200212.540400400400C =++=(元).2．设大型超市通过测算，已知某种手巾的销量Q (条)与其成本C 的关系为23()100060.003(0.01)C =+-+Q Q Q Q (元),现每条手巾的定价为6元, 求使利润最大的销量.解利润函数为()L Q 236()10000.003(0.01)C ==-+-Q -Q Q Q ，求导2()0.0060.03(0.01)L '=-Q Q Q ，令()0L '=Q ，因0>Q ，故得唯一驻点为2000=Q ，此时，22000()0.0060.03(0.0120.00602000)L =''=-⨯⨯=-<Q Q ，因此，要使利润最大，销量应为2000条，此时的最大利润为23()10000.003(0.013000200020002000)L =-+⨯-⨯=(元).3. 设某种商品的需求函数为1000100P =-Q , 求当需求量300=Q 时的总收入, 平均收入和边际收入，并解释其经济意义.解设需求量Q 件价格为P 的产品收入为(),R P =⋅Q Q由需求函数1000100P =-Q 得100.01P =-Q 代入得总收入函数2()(100.01)100.01.R =-⋅=-Q Q Q Q Q平均收入函数为 ()()100.01.R R ==-Q Q Q Q边际收入函数为2()(100.01)100.02.R ''=-=-Q Q Q Q 当300=Q 时的总收入为 ,210030001.030010)300(2=⨯-⨯=R 平均收入为 ,730001.010)300(=⨯-=R边际收入为 (300)100.02300R '=-⨯=，其经济意义是：当需求量为300件时，每增加1个单位商品的需求，将增加4元的收入.4．设某工艺品的需求函数为800.1P =-Q (P 是价格，单位：元, Q 是需求量，单位：件), 成本函数为 500020C =+Q (元).(1) 求边际利润函数()L 'Q , 并分别求200=Q 和400=Q 时的边际利润，并解释其经济意义.(2) 要使利润最大，需求量Q 应为多少?解 (1)已知800.1P =-Q ，500020C =+Q ，则有2()(800.1)800.1,R P =⋅=-=-Q Q Q Q Q Q 2()()()(800.1)(500020)L R C =-=--+Q Q Q Q Q Q边际利润函数为2()(0.1605000)0.260,L ''=-+-=-+Q Q Q Q当200=Q 时的边际利润为(200)0.22006020.L '=-⨯+=当400=Q 时的边际利润为.20604002.0)400(-=+⨯-='L可见销售第201个产品，利润会增加20元，而销售第401个产品后利润将减少20元. (2) 令()0,L '=Q 得,300=x02.0)300(<-=''L故要使利润最大，需求量300=Q 件，此时最大利润为 4000)300(=L (元).5．设某商品的需求量Q 与价格P 的关系为16004P=Q (1) 求需求弹性)(P η，并解释其经济含义;(2) 当商品的价格10=P (元)时, 若价格降低1%, 则该商品需求量变化情况如何？解 (1) 需求弹性为)()()(P Q P Q P P '=η1600416004P PP'⎛⎫ ⎪⎝⎭=1600ln 4416004P P P -=⋅ ln 4P =-⋅P )2ln 2(-=.39.1P -≈需求弹性为负, 说明商品价格P 上涨1%时, 商品需求量Q 将减少1.39P %.(2) 当商品价格10=P (元)时, ,9.131039.1)10(=⨯-≈η 这表示价格10=P (元)时,价格上涨1%, 商品的需求量将减少13.9%. 若价格降低1%, 商品的需求量将增加13.9%.6．某商品的需求函数为3P e -=Q (Q 是需求量，P 是价格)，求：(1) 需求弹性)(P η； (2) 当商品的价格2,34P =，时的需求弹性, 并解释其经济意义. 解 (1) 需求弹性为33()()3P Pe P P P e η--'==-； (2) 2(2)13η=<,说明当2P =时，价格上涨1%, 需求减少0.67 %；(3)1η=，说明当3P =时，价格与需求变动幅度相同；4(4)>13η=,说明当4P =时，价格上涨1%, 需求减少1.33 %.7．已知某商品的需求函数为275P =-Q (Q 是需求量，单位：件，P 是价格，单位：元).(1) 求5P =时的边际需求, 并解释其经济含义. (2) 求5P =时的需求弹性, 并解释其经济含义.(3) 当5P =时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少? (4) 当6=P 时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少? 解设,75)(2P P f Q -==需求弹性)(0P P =)()(|0000P f P P f P P ⋅'==η 刻划了当商品价格变动时需求变动的强弱. (1) 当5P =时的边际需求5(5)210P f P='=-=-它说明当价格P 为5元,每上涨1元, 则需求量下降10件. (2) 当5P =时的需求弹性225(5)(5)(10)175755P f P η'=⋅=-⨯=---它说明当5P =时, 价格上涨1%, 需求减少1%.(3) 由 ()(1)R f P η'=⋅+. 又 ()R P P f P =⋅=⋅Q ,于是()()1()()ER P R P R P EP R P f P η''=⋅==+ 由(5)1η=-，得5110P EREP==-= 所以当5P =时,价格上涨1%,总收益不变，此时总收益取得最大值.(4) 由,753P P PQ R -==(6)234,R =(6)R '2675333,P P ==-=-66(6)0.85(6)P ER R EP R ='=⋅≈- 所以当6=P 时,价格上涨1%,总收益将减少0.85%.复习题4（A ）1．设函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，12a x x b <<<，则下式中不一定成立的是A . ()()()()f b f a f b a ξ'-=-()a b ξ<<； B . ()()()()f a f b f a b ξ'-=- ()a b ξ<<；C . ()()()()f b f a f b a ξ'-=- (12x x ξ<<)；D . 2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- (12x x ξ<<).答：C 2．当x =4π时，函数1()cos cos 44f x a x x =-取得极值，则a =A ．-2 B． CD ．2答：B3．若在区间I 上，()0f x '>，()0f x ''<，则曲线)(x f y =在I 是 A ．单调减少且为凹弧； B ．单调减少且为凸弧； C ．单调增加且为凹弧； D ．单调增加且为凸弧.答：D4．曲线y =322(1)x x -A ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线；B ．只有水平渐近线；C ．有垂直渐近线x =1；D ．没有渐近线.答：C5．用中值定理证明下列各题：(1) 设函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，()()0f a f b ==，且在(a , b )内()0f x ≠，试证：对任意实数k , 存在),(b a <<ξξ使得()()f k f ξξ'=. (2) 设函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，()()1f a f b ==，试证：存在,(,)a b ξη∈，使得[()()]1e f f ξηξξ-'+=证 (1) 对任意实数k ，设()()kxF x e f x -=，()()()kx kx F x ke f x e f x --''=-+，显然()F x 在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，且()()0F a F b ==，故在[a , b ] 应用罗尔定理，存在),(b a <<ξξ使()0F ξ'=，即()()()0k k F ke f e f ξξξξξ--''=-+=，整理得()()0kf f ξξ'-+=，即()()f k f ξξ'=. (2)设()()x F x e f x =，()()()x xF x e f x e f x ''=+，在闭区间[a , b ]上应用拉格朗日中值定理()()()b a e f b e f a F b aξ-'=-，(,)a b ξ∈即[()()]b a e e e f f b aξξξ-'+=-令()xG x e =，()[()()]b a e e G e e f f b aηξηξξ-''===+-，,(,)a b ξη∈ 故有 [()()]1e f f ξηξξ-'+=，,(,)a b ξη∈.6．求函数1()3f x x=-的1n +麦克劳林公式.解 1()3f x x =-=13(1)3x =-01()33k n nk k x o x ==+∑10()3k nn k k x o x +==+∑ 7. 计算下列极限：(1) lim(arctan )2x x π-；(2) 011lim()1x x e x→--; (3) 1ln 0lim(cot )xx x +→；(4) 110(1)lim xxx x e →⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解 (1) lim(arctan )2x x π-arctan 2lim 1x x π→+∞-=211lim11x x →+∞+=22lim 01x x →+∞=-=+； (2) 011lim 1x x e x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭01lim x x x x e xe x →-+=-01lim 1x x x x e xe e →-=+- 0lim 2x x x x e xe e →-=+12=-； (3) 1ln 0lim(cot )xx x +→ln cot ln cot lim ln ln 00lim x xxxx x e e+→+→==而0ln cot lim ln x x x+→20csc cot lim 1x xx x +→-=20csc lim cot x x x x +→-= 20csc lim cot x x x x +→-=0lim 1cos sin x x x x +→-==-，所以原式=1e -；(4) 110(1)lim xxx x e→⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1ln(1)10lim x x xx e ++-→= 01ln(1)1lim x x x x→+-20ln(1)lim x x x x →+-=0111lim 2x x x →-+= 01lim 2(1)x x →-=+12=- 所以原式=12e-.8．问,,a b c 为何值时，点(-1,1)是曲线32y x ax bx c =+++的拐点，且是驻点？解 32y x ax bx c =+++，232y x ax b '=++，62y x a ''=+，由已知(1)620y a ''-=-+=，得3a =，2(1)3(1)23(1)0y b '-=-+⨯-+=，得3b =，点(-1,1)代入曲线方程：32(1)3(1)3(1)1c -+-+-+=，得2c =9. 证明方程 1ln -=e xx 在区间),0(+∞内有两个实根. 证令()ln 1x f x x e =-+，11()f x x e '=-e xex-=，（1）当0x e <<时，()0f x '>，即函数单调增加，而()ln 110ef e e e=-+=>，0lim ()x f x +→=-∞，例如11121()ln 10e f e e e e---=-+=-<，因此，函数在(0,)e 内有且只有一个零点，即方程1ln -=exx 在(0,)e 内有且只有一个根；（2）当x e >时，()0f x '<，即函数单调减少，()()f x f e <又()ln 110e f e e e =-+=>，即()ln 11xf x x e =-+<于是ln xx e<，因此lim ()x f x →+∞=-∞，所以函数在(,)e +∞内有且只有一个零点，即方程1ln -=exx 在(,)e +∞内有且只有一个根；综上，即证方程 1ln -=e xx 在区间),0(+∞内有两个实根..10．确定函数32()231210f x x x x =+-+的单调区间，并求其在区间[3,3]-的极值与最值.解 2()66126(1)(2)f x x x x x '=+-=-+,令,0)(='x f 得驻点122, 1.x x =-=所以, 函数在(],2-∞-，[1,)+∞单调增加，在[]2,1-单调减少，极小值(1)3f =，极小值(2)30f -=；又(3)55f =，(3)18f -=，因此得最大值(3)55f =,最小值(1)3f =.（B ）1. 设00()()0f x f x '''==，0()0f x ''<，则有（） A ．0()f x 是()f x 极大值； B ．0()f x 是()f x 极小值；C ．0()f x '是()f x '的极值；D ．点00(())x f x ，是曲线)(x f y =的拐点.答： D2. 设()(1)f x x x =-，则（）A ．0x =是()f x 极值点，但(0, 0)不是曲线)(x f y =的拐点；B ．0x =是()f x 极值点，且(0, 0)不是曲线)(x f y =的拐点；C ．0x =不是()f x 极值点，但(0, 0)是曲线)(x f y =的拐点；D ．0x =不是()f x 极值点，且(0, 0)也不是曲线)(x f y =的拐点.答：B3. 设120ea ->>，证明方程ax x ae =有且只有一个小于1a -的正根.证：因120ea ->>，则12e a ->，即21a e <令()ax f x x ae =-，显然()f x 在1[0,]a -连续，由(0)0f a =-<，1112()(1)0f a a ae a a e ---=-=->，所以方程axx ae =在1(0,)a -内至少有一实根，又2()1ax f x a e '=-，在1(0,)a -内0ax e e <<，所以220ax a e a e <<，于是2()10axf x a e '=->，即函数()ax f x x ae =-在1(0,)a -单调增加，至多与x 轴有一个交点；因此，方程axx ae =有且只有一个小于1a -的正根.4. 设(0)0f =,()0f x ''<，证明对任意120,0x x >>，恒有1212()()()f x x f x f x +<+.证由()0f x ''<，知)(x f '单调减少，对任意120,0x x >>，在1[0,]x 上应用拉氏定理知,11(0,),x ξ∃∈使11111()()(0)()0f x f x f f x x ξ-'==- 在112[,]x x x +上应用拉氏定理知，2112(,),x x x ξ∃∈+使12212221122()()()()()()f x x f x f x x f x f x x x x ξ+-+-'==+-)(x f '单调减少,∴)()(21ξξf f '>' ⇒122111()()()f x x f x f x x x +-<所以1212()()()f x x f x f x +<+. 证毕.5. 当10x >>时，证明不等式212xx +<成立.证令2()12xf x x =+-，当10x >>时，(0)(1)0f f ==,()22ln 2x f x x '=-,又2()22ln 2>0x f x ''=-,(10x >>)，故()f x '在(0,1)单调增加，由(0)ln 2<0f '=-，(1)22ln 2>0f '=-，故()f x '在(0,1)有且只有一个零点，设为k .易知在(0,)k 内()<0f x '，在(,1)k 内()>0f x ', 因此点x =k 必为()f x 的极小值点. 从而在(0,)k 内，()f x 单调减少，即有0k x >>时，()<(0)0f x f =，于是有212x x +<(0k x >>)在(,1)k 内，()f x 单调增加，即有1x k >>时，()<(1)0f x f =，于是有212x x +<(1x k >>)因在(0,)k 和(,1)k 内()<0f x ，()f k 是函数()f x 的极小值，所以()<0f k .综上即得，在(0,1)内()<0f x ，于是，当10x >>时，不等式212xx +<成立. 证毕. 6. 已知0a b <<，函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，证明在(a , b )内至少存在,ξη使得2()()f f abηηξ''=.证 )(x f y =在区间[a , b ]上应用拉氏定理知，在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ使得- 21 - ()()()f b f a f b a ξ-'=-，又()f x ，1x在[a , b ]上满足柯西中值定理的条件，故在(a , b )内至少存在一点η，使 2()()().111f b f a f b a ηη'-=--整理得：2()()()f b f a f b a ab ηη'-=-.因此得到，在(a , b )内至少存在,ξη使得2()()f f ab ηηξ''=.证毕.。

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21．求函数x x e e y -+=2的极值。

22．若0≠x ，证明x e x +>1/23．设0>x ，证明()x x x x <+<-1ln 22。

24．求函数xxy 2ln =的单调区间与极值。

25．当a 为何值时，x x a y 3sin 31sin +=在3π=x 处有极值？求此极值，并说明是极大值还是极小值。

26．求内接于椭圆12222=+by a x ，而面积最大的矩形的边长。

27．函数d cx bx ax y +++=23()0>a 的系数满足什么关系时，这个函数没有极值。

28．试证x x y sin =的拐点在曲线22244x x y +=上。

29．试证明曲线112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上。

30．试决定()223-=x k y 中的k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。

(B)1．函数()328x x x f -=，则 ( )A ．在任意闭区间[]b a ,上罗尔定理一定成立B ．在[]8,0上罗尔定理不成立C ．在[]8,0上罗尔定理成立D ．在任意闭区间上，罗尔定理都不成立2．下列函数中在[]e ,1上满足拉格朗日定理条件的是( ) A ．()x ln ln B ．x ln C ．xln 1D ．()x -2ln 3．若()x f 为可导函数，ξ为开区间()b a ,内一定点，而且有()0>ξf ，()()0≥'-x f x ξ，则在闭区间[]b a ,上必有 ( )A ．()0<x fB ． ()0≤x fC ．()0≥x fD ． ()0>x f 4．若()x f 在开区间()b a ,内可导，且对()b a ,内任意两点1x ，2x 恒有()()()21212x x x f x f -≤-则必有( )A ．()0≠'x fB ．()x x f ='C ．()x x f =D ．()C x f =(常数) 5．设()()x g x f x x 0lim→为未定型，则()()x g x f x x ''→0lim 存在是()()x g x f x x 0lim →也存在的 ( )A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件6．已知()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且当()b a x ,∈时，有()0>'x f ，又已知()0<a f ，则 ( )A ．()x f 在[]b a ,上单调增加，且()0>b fB ．()x f 在[]b a ,上单调减少，且()0<b fC ．()x f 在[]b a ,上单调增加，且()0<b fD ．()x f 在[]b a ,上单调增加，但()b f 正负号无法确定 7．函数xarctgx y =的图形，在 ( )A ．()+∞∞-,处处是凸的B ．()+∞∞-,处处是凹的C ．()0,∞-为凸的，在()+∞,0为凹的D ．()0,∞-为凹的，在()+∞,0为凸的8．若在区间()b a ,内，函数()x f 的一阶导数()0>'x f ，二阶导数()0<''x f ，则函数()x f 在此区间内是( )A ．单调减少，曲线上凹B ．单调增加，曲线上凹C ．单调减少，曲线下凹D ．单调增加，曲线下凹 9．曲线()2535+-=x y ( )A ．有极值点5=x ，但无拐点B ．有拐点()2,5，但无极值点C ．5=x 有极值点且()2,5是拐点D ．既无极值点，又无拐点 10．设函数()x f 在a x =的某个邻域内连续，且()a f 为其极大值，则存在0>δ，当()δδ+-∈a a x ,时，必有( )A ．()()()[]0≥--a f x f a xB ．()()()[]0≤--a f x f a xC ．()()()0lim2≥--→x t x f t f at ()a x ≠ D ．()()()0lim2≤--→x t x f t f at ()a x ≠11．抛物线342+-=x x y 在顶点处的曲率及曲率半径为多少？正确的答案是 ( )A ．顶点()1,2-处的曲率为21，曲率半径为2 B ．顶点()1,2-处的曲率为2，曲率半径为21C ．顶点()2,1-处的曲率为1，曲率半径为1D ．顶点()2,1-处的曲率为21，曲率半径为2 12．设函数()x f y =在0x x =处有()00='x f ，在1x x =处()1x f '不存在，则 ( )A ．0x x =及1x x =一定都是极值点B ．只有0x x =是极值点C ．0x x =与1x x =都可能不是极值点D ．0x x =与1x x =至少有一个点是极值点 13．求极限x x x +→0lim 。

14．求xx e e xx x sin lim sin 0--→15．求111111lim+-+-∞→n n n arctg n arctgn 16．试证当01>++b a 时，()12-++=x bax x x f 取得极值。

17．求由y 轴上的一个给定点()b ,0到抛物线y x 42=上的点的最短距离。

18．设()x f 在[]1,0上可导，且()10<<x f ，对于任何()1,0∈x ，都有()1≠'x f ，试证：在()1,0内，有且仅有一个数x ，使()x x f =。

19．设()x f 在[]2,1上具有二阶导数()x f ''，且()()012==f f ，如果()()()x f x x F 1-=，证明至少存在一点()2,1∈ξ，使()0=''ξF 。

20．设()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内二阶可导且()()0==b f a f ，且存在点()b a c ,∈，使得()0>c f ，试证至少存在一点()b a ,∈ξ，使得()0<''ξf 。

(C)1．函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+≤≤-=311111ln 2x xx ex x f 当当它在⎪⎭⎫⎝⎛3,1e 内 ( )A ．不满足拉格朗日中值定理的条件B ．满足拉格朗日中值定理的条件，且ee 539-=ξ C ．满足中值定理条件，但无法求出ξ的表达式 D ．不满足中值定理条件，但有ee 539-=ξ满足中值定理结论 2．若()x f 在区间[)+∞,a 上二次可微，且()0>=A a f ，()0<'a f ，()0≤''x f (a x >)，则方程()0=x f 在[)+∞,a 上 ( )A ．没有实根B ．有重实根C ．有无穷多个实根D ．有且仅有一个实根 3．设()x f 有二阶连续导数，且()00='f ，()1lim=''→xx f x 则 ( ) A ．()0f 是()x f 的极大值 B ．()0f 是()x f 的极小值 C ．()()0,0f 是曲线()x f y =的拐点D ．()0f 不是()x f 的极值，()()0,0f 也不是曲线()x f y =的拐点4．求()()()3231112sin lim----→x x x xx x5．求()xex xx -+→101lim6．设函数()x f 二次可微，有()0>''x f ，()00=f ，证明函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,x f x xx f x F 是单调增函数。