八年级一次函数教案

变量与函数(1)

知识技能目标

1. 掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念；

2. 了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系

过程性目标

1. 通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；

2. 引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式•

教学过程

一、创设情境

在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题.

问题1如图是某地一天内的气温变化图.

看图回答：

(1) 这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温.

(2) 这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？

(3) 这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？解(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为一1C、2C、5C；

(2) 这一天中，最高气温是5C.最低气温是—4C；

(3) 这一天中，3时〜14时的气温在逐渐升高.0时〜3时和14时〜24时的气温在逐渐降低.

从图中我们可以看到，随着时间t (时)的变化，相应地气温T「C)也随之变化.那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？二、探究归纳

问题2银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行

为“整存整取”的存款方式规定的年利率：

观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的. 解随着存期x的增长，相应的年利率y也随着增长.

问题3收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的•下面是一些 对应的数值：

观察上表回答：

(1) 波长I 和频率f 数值之间有什么关系？

⑵波长I 越大，频率f 就 ____________ •

解(1) I 与f 的乘积是一个定值，即

If = 300 000 ,

问题4圆的面积随着半径的增大而增大•如果用 r 表示圆的半径，S 表示圆的面积则S 与r 之间满足下列关系：S= _______________ .

利用这个关系式，试求出半径为 1 cm 、1.5 cm 、2 cm 、2.6 cm 、3.2 cm 时圆的面积，并将结 果填入下表：

由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就 __________ :

解 S = n 2.

圆的半径越大，它的面积就越大.

在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律•这里出现了 各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题 1中，刻画气 温变化规律的量是时间t 和气温T ,气温T 随着时间t 的变化而变化，它们都会取不同的数 值.像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做 变量(variable ).

上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关.一般地，如果在一个 变化过程中，有两个变量，例如x 和y ,对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，我们 就说 x 是自变量(independent variable )，y 是因变量(dependent variable )，此时也称 y 是x 的函数

(function ).表示函数关系的方法通常有三种：

(1) 解析法，如问题3中的f 300000，问题4中的S =冗r 2,这些表达式称为函数的关系式. I

⑵

列表法，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率关系表.

⑶图象法，如问题1中的气温曲线. 问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量(co nsta nt)， 如问题3中的300 000，问题4中的n 等.

三、实践应用

例1下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高

或者说 ⑵波长I 越大，频率f 就越小 300000

I

(1) 从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗

(2) 该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加？

(3) 上表反映了哪些变量之间的关系？其中哪个是自变量？哪个是因变量？解⑴平均身高是146.1cm；

(2) 约从14岁开始身高增加特别迅速；

(3) 反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量.

例2写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：

(1) 圆的周长C与半径r的关系式；

⑵火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s (千米)和所用时间t (时)的关系式;

(3) n边形的内角和S与边数n的关系式.

解⑴0= 2n r ，2n是常量，r、C是变量；

(2) s= 60t，60是常量，t、s是变量；

(3) S= (n —2) x 180，2、180是常量，n、S是变量.

四、交流反思

1. 函数概念包含：

(1) 两个变量；

(2) 两个变量之间的对应关系.

2. 在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量.例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量.

3. 函数关系三种表示方法：

(1) 解析法；

⑵列表法；

(3) 图象法.

五、检测反馈

1. 举3个日常生活中遇到的函数关系的例子.

2. 分别指出下列各关系式中的变量与常量：

2 5

(1) 三角形的一边长5cm它的面积S(cm)与这边上的高h(cm)的关系式是S - h ；

2

⑵若直角三角形中的一个锐角的度数为a则另一个锐角K度)与a间的关系式是 A 90 —a ；

(3)若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y (元)与x间的关系是：y = ax.

3. 写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：

(1) 每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额丫(元)与学生数n (个)的关系；

(2) 计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n (个)与单价a (元)的关系.

4. 填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑.若用x表示涂黑的格子横向的乘数，y表示纵向的乘数，试写出y关于x的函数关系式.