数值计算课后答案6
《数值计算方法》习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
计算物理学(刘金远)课后习题答案第6章：偏微分方程数值解法
第6章：偏微分方程数值解法6.1对流方程【6.1.1】考虑边值问题, 01,0(0,)0,(1,)1(,0)t x x u au x t u t u t u x x=<<>ìï==íï=î如果取：2/7x D =，(0.5),1,2,3j x j x j =-D =，8/49t D =，k t k t=D 求出111123,,u u u 【解】采用Crank-Nicolson 方法()11111111211222k k k k k k k k j j j j j j j j u u u u u u u u t x ++++-+-+éù-=-++-+ëûD D 11111113k k k k k kj j j j j j u u u u u u +++-+-+-+-=-+由边界条件：(0,)0x u t =，取100k ku u x-=D ，10,0,1,k ku u k ==L (1,)1u t =，41ku =-1 1 0 0 - (1+2s) -s 0 0 -s (1+2s) -s 0 -s (1+2s) -s 0 s L L L L 101210 0 0 0 (1-2s) s 0 0 s (1-2s) s 0 s ( 1 k n n u u s u u u +-éùéùêúêúêúêúêúêú=êúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëûL L L L L 01211-2s) s 0 1 1kn u u u u -éùéùêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëûL 由初始条件：021(72j j u x j ==-，1,2,3j =，212()t s x D ==D -1 1 0 0 0-1 3 -1 0 0 0 -1 3 -1 0 -1 3 -1 0 1012340 0 0 0 01 -1 1 0 00 1 -1 1 0 1 -1 1 1 u u u u u éùéùêúêúêúêúêúêú=êúêúêúêúêúêúëûëû00123 0 1 1u u u u éùéùêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëû000117u u ==，0237u =，0357u =1112327u u -=，111000123123337u u u u u u -+-=-+=，11100234235317u u u u u -+-=-+=114591u =125191u =，136991u =6.2抛物形方程【6.2.1】分别用下面方法求定解问题22(,0)4(1)(0,)(1,)0u u t x u x x x u t u t 춶=ﶶïï=-íï==ïïî01,0x t <<>（1）取0.2x D =，1/6l =用显式格式计算1i u ；(2)取0.2,0.01x t D =D =用隐式格式计算两个时间步。
数值计算方法习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
数值计算方法课后习题答案
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值计算方法与算法第三版课后习题答案
数值计算方法与算法第三版课后习题答案1. 矩阵乘法问题描述给定两个矩阵A和B，尺寸分别为n×m和m×p，求矩阵A 和矩阵B的乘积矩阵C，尺寸为n×p。
算法实现import numpy as npdef matrix_multiplication(A, B):n, m = A.shapem, p = B.shapeC = np.zeros((n, p))for i in range(n):for j in range(p):for k in range(m):C[i][j] += A[i][k] * B[k][j] return C示例A = np.array([[1, 2], [3, 4]])B = np.array([[5, 6], [7, 8]])C = matrix_multiplication(A, B)print(C)输出结果：[[19. 22.][43. 50.]]2. 数值积分问题描述给定一个函数f(x)，以及积分区间[a, b]，求函数f(x)在区间[a, b]上的定积分值∫abf(x)dx。
算法实现简单的数值积分算法是采用小梯形法，将区间[a, b]均分成n个子区间，然后计算每个子区间的面积，最后将这些子区间面积相加得到定积分值。
def numerical_integration(f, a, b, n):h = (b - a) / nintegral =0for i in range(n):x1 = a + i * hx2 = a + (i +1) * hintegral += (f(x1) + f(x2)) * h /2 return integral示例import mathf =lambda x: math.sin(x)a =0b = math.pin =100result = numerical_integration(f, a, b, n) print(result)输出结果：1.99983550388744363. 非线性方程求解问题描述给定一个非线性方程f(x) = 0，求方程的根x。
数值课后题答案
习 题 一1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除以有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此 49×10-2 ：E = 0.005； r E = 0.0102； 2位有效数字. 0.0490 ：E = 0.00005；r E = 0.00102； 3位有效数字. 490.00 ：E = 0.005； r E = 0.0000102；5位有效数字.2、解：722= 3.1428 …… ， π = 3.1415 …… ， 取它们的相同部分3.14，故有3位有效数字.E = 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ；r E = 14.3E = 14.30013.0 = 0.00041.3、解：101的近似值的首位非0数字1α = 1,因此有 |)(*x E r |)1(10121--⨯⨯=n < = 21× 10-4 , 解之得n > = 5，所以 n = 5 . 4、证：)()(1)()(1)(*11**11**x x x nx E x n x E n n n-=≈--)(11)()(1)()(*****11****x E nx x x n x x x x nx x E x E r nnnn n r =-=-≈=- 5、解：(1)因为=20 4.4721…… ，又=)(*x E |*x x -| = |47.420-| = 0.0021 < 0.01, 所以 =*x 4.47.(2)20的近似值的首位非0数字1α = 4,因此有 |)(*x E r |)1(10421--⨯⨯=n < = 0.01 , 解之得n > = 3 .所以，=*x 4.47. 6、解：设正方形的边长为x ,则其面积为2x y =，由题设知x 的近似值为*x = 10 cm .记*y 为y 的近似值，则)(20)(20)(2)(*****x E x x x x x y E =-=-= < = 0.1，所以)(*x E < = 0.005 cm .7、解：因为)()(*1x x nx x E n n -≈-,所以n x nE x x x n xx E x E r nn nr 01.0)()()(*==-≈=. 9、证：)()()(**t gtE t t gt S S S E =-≈-=t t E gt t t gt S S S S E r )(22/)()(2**=-≈-= 由上述两式易知，结论. 10、解：代入求解,经过计算可知第(3)个计算结果最好.11、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理化、三角函数恒等变形…… （1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函数恒等变形.12、解： 因为20=x ,41.1*0=x ,所以|*0x x -| < = δ=⨯-21021 于是有|*11x x -| = |110110*00+--x x | = 10|*00x x -| < =δ10 |*22x x -| = |110110*11+--x x | = 10|*11x x -| < =δ210 类推有 |*1010x x -| < =810102110⨯=δ 即计算到10x ，其误差限为δ1010，亦即若在0x 处有误差限为δ，则10x 的误差将扩大1010倍，可见这个计算过程是不稳定的.习 题 二1、 解：只用一种方法.（1）方程组的增广矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----11114423243112 → ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1010411101110112 → ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---11041001110112 → 31=x , 12=x , 13=x . （2）方程组的增广矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------017232221413 → ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--247210250413 → ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--147200250413 → 21=x , 12=x , 2/13=x . （3）适用于计算机编程计算.2、 解：第一步：计算U 的第一行，L 的第一列，得611=u 212=u 113=u 114-=u3/1/112121==u a l 6/1/113131==u a l6/1/114141-==u a l第二步：计算U 的第二行，L 的第二列，得3/1012212222=-=u l a u 3/213212323=-=u l a u 3/114212424=-=u l a u 5/1/)(2212313232=-=u u l a l10/1/)(2212414242=-=u u l a l第三步：计算U 的第三行，L 的第三列，得10/37233213313333=--=u l u l a u 10/9243214313434-=--=u l u l a u 37/9/)(33234213414343-=--=u u l u l a l第四步：计算U 的第四行，得370/9553443244214414444-=---=u l u l u l a u从而， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3101141101421126 = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--137/910/16/1015/16/10013/10001⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---370/95500010/910/37003/13/23/1001126 由b LY = , 解得Y =（6，-3，23/5，－955/370）T . 由Y UX = , 解得X =（1，-1，1，－1）T . 3、（1）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断.11a ＝ 3 > 0, 2223= 2 > 0, 301022123 = 4 > 0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A ，则平方根法可按如下三步进行：第一步 分解：A = L L T . 由公式计算出矩阵的各元素：311=l 33221=l 3622=l 3331=l 3632-=l 233=l因此， L ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-23633036332003. 第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （335，36，2）T . 第三步 求解方程组L T X = Y . 解得X =（0，2，1）T .（2）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断.11a ＝ 3 > 0,2223= 2 > 0, 1203022323 = 6 > 0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A ，则平方根法可按如下三步进行：第一步 分解：A = L L T . 由公式计算出矩阵的各元素：311=l 33221=l 3622=l 331=l 632-=l 333=l因此， L ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-363036332003 . 第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （335，66-，33）T. 第三步 求解方程组L T X = Y . 解得X = （1，21，31）T . 4、解： 对1=i , 2111==a d ；对2=i , 121-=t , 2121-=l , 252-=d ；对3=i , 131=t , 2732=t ,2131=l , 5732-=l ,5273=d .所以数组A 的形式为： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=527572102521002A 求解方程组LY = b . 解得Y = （4，7，569）T . 求解方程组DL T X = Y . 解得X = （910，97，923）T .5、解：（1）设A = LU = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1010000000000010010015432l l l l ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡5432106000000000600006006u u u u u计算各元素得： 51=u , 512=l , 1952=u , 1953=l , 19653=u ,65194=l , 652114=u , 211655=l , 2116655=u .求解方程组LY = d . 解得Y = （1，51-，191，651-，211212）T.求解方程组UX = Y . 解得X = （6651509，6651145，665703，665395-，665212）T.（2）设A = LU = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100100132l l ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3211001u u u 计算各元素得：51=u ，512=l ，5242=u ，2453=l ，241153=u . 求解方程组LY = d . 解得Y = （17，553，24115）T.求解方程组UX = Y . 解得X = （3，2，1）T. 6、证：（1）（2）相同.因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯－赛德尔迭代法都收敛. （1）雅可比迭代公式：7107271)(3)(2)1(1+--=+k k k x x x14141)(3)(1)1(2+--=+k k k x x x329292)(2)(1)1(3+--=+k k k x x x高斯－赛德尔迭代公式：7107271)(3)(2)1(1+--=+k k k x x x14141)(3)1(1)1(2+--=++k k k x x x329292)1(2)1(1)1(3+--=+++k k k x x x（2）雅可比迭代公式：545152)(3)(2)1(1+-=+k k k x x x525351)(3)(1)1(2++-=+k k k x x x5115152)(2)(1)1(3++=+k k k x x x高斯－赛德尔迭代公式：545152)(3)(2)1(1+-=+k k k x x x525351)(3)1(1)1(2++-=++k k k x x x5115152)1(2)1(1)1(3++=+++k k k x x x7、(1)证：因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯－赛德尔迭代法都收敛。
丁丽娟《数值计算方法》五章课后实验题答案(源程序很详细,且运行无误)
丁丽娟《数值计算方法》五章课后实验题答案（源程序都是自己写的，很详细，且保证运行无误）我做的五章数值实验作业题目如下：第二章：1、2、3、4题第三章：1、2题第四章：1、2题第六章：2、3题第八章：1、2题第二章1：(1)对A进行列主元素三角分解：function [l u]=myfun(A)n=size(A);for k=1:nfor i=k:nsum=0;m=k;for j=1:(k-1)sum=sum+A(i,j)*A(j,k);ends(i)=A(i,k)-sum;if abs(s(m))<abs(s(i))m=i;endendfor j=1:nc=A(m,j);A(m,j)=A(k,j);A(k,j)=c;endfor j=k:nsum=0;for r=1:(k-1)sum=sum+A(k,r)*A(r,j);endu(k,j)=A(k,j)-sum;A(k,j)=u(k,j);endfor i=1:nl(i,i)=1;endfor i=(k+1):nsum=0;for r=1:(k-1)sum=sum+A(i,r)*u(r,k);endl(i,k)=(A(i,k)-sum)/u(k,k);A(i,k)=l(i,k);endend求A的列主元素三角分解：>>A=[1 1 1 1 1;1 2 3 4 5;1 3 6 10 15;1 4 10 20 35;1 5 15 35 70]; >>[L,U]=myfun(A)结果：L =1.0000 0 0 0 01.0000 1.0000 0 0 01.0000 0.5000 1.0000 0 01.0000 0.7500 0.7500 1.0000 01.0000 0.2500 0.7500 -1.0000 1.0000U =1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.00000 4.0000 14.0000 34.0000 69.00000 0 -2.0000 -8.0000 -20.50000 0 0 -0.5000 -2.37500 0 0 0 -0.2500(2)求矩阵的逆矩阵A-1:inv(A)结果为：ans =5 -10 10 -5 1-10 30 -35 19 -410 -35 46 -27 6-5 19 -27 17 -41 -4 6 -4 1（3）检验结果：E=diag([1 1 1 1 1])A\Eans =5 -10 10 -5 1-10 30 -35 19 -410 -35 46 -27 6-5 19 -27 17 -41 -4 6 -4 1 2:程序：function d=myfun(a,b,c,d,n)for i=2:nl(i)=a(i)/b(i-1);a(i)=l(i);u(i)=b(i)-c(i-1)*a(i);b(i)=u(i);y(i)=d(i)-a(i)*d(i-1);d(i)=y(i);endx(n)=d(n)/b(n);d(n)=x(n);for i=(n-1):-1:1x(i)=(d(i)-c(i)*d(i+1))/b(i);d(i)=x(i);end求各段电流量程序：for i=2:8endb=[2 5 5 5 5 5 5 5];c=[-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2];V=220;R=27;d=[V/R 0 0 0 0 0 0 0];n=8;I=myfun(a,b,c,d,n)运行程序得：I =8.1478 4.0737 2.0365 1.0175 0.5073 0.2506 0.1194 0.04773：（1）求矩阵A和向量b的matlab程序：function [A b]=myfun(n)for i=1:nX(i)=1+0.1*i;endfor i=1:nfor j=1:nA(i,j)=X(i)^(j-1);endfor i=1:nb(i)=sum(A(i,:));end求n=5时A1，b1及A1的2-条件数程序运行结果如下：n=5；[A1,b1]=myfun(n)A1 =1.0000 1.1000 1.2100 1.3310 1.46411.0000 1.2000 1.4400 1.72802.07361.0000 1.3000 1.69002.1970 2.85611.0000 1.4000 1.96002.74403.84161.0000 1.50002.25003.3750 5.0625 b1 =6.10517.4416 9.0431 10.9456 13.1875cond2=cond(A1,2)cond2 =5.3615e+005求n=10时A2，b2及A2的2-条件数程序运行结果如下：n=10;[A2,b2]=myfun(n)A2 =1.0000 1.1000 1.2100 1.3310 1.4641 1.6105 1.7716 1.94872.1436 2.35791.0000 1.2000 1.4400 1.72802.0736 2.4883 2.98603.58324.29985.15981.0000 1.3000 1.69002.1970 2.85613.71294.8268 6.2749 8.1573 10.60451.0000 1.4000 1.96002.74403.8416 5.3782 7.5295 10.5414 14.7579 20.66101.0000 1.50002.25003.3750 5.0625 7.5938 11.3906 17.0859 25.6289 38.44341.0000 1.60002.5600 4.0960 6.5536 10.4858 16.7772 26.8435 42.9497 68.71951.0000 1.70002.8900 4.9130 8.3521 14.1986 24.1376 41.0339 69.7576 118.58791.0000 1.8000 3.2400 5.8320 10.4976 18.8957 34.0122 61.2220 110.1996 198.35931.0000 1.9000 3.6100 6.8590 13.0321 24.7610 47.0459 89.3872 169.8356 322.68771.00002.0000 4.0000 8.0000 16.0000 32.0000 64.0000 128.0000 256.0000 512.0000b2 =1.0e+003 *0.0159 0.0260 0.0426 0.0698 0.1133 0.1816 0.2866 0.4451 0.6801 1.0230cond2=cond(A2,2)cond2 =8.6823e+011求n=20时A3，b3及A3的2-条件数程序运行结果如下：n=20;[A3,b3]=myfun(n)A3 =1.0e+009 *Columns 1 through 100.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000Columns 11 through 200.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0003 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0003 0.0006 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0003 0.0007 0.0015 0.0032 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0003 0.0006 0.0014 0.0032 0.0075 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0005 0.0012 0.0029 0.0070 0.0167 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0004 0.0009 0.0023 0.0058 0.0146 0.0364 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0006 0.0017 0.0044 0.0113 0.0295 0.0766 0.0000 0.0001 0.0002 0.0004 0.0011 0.0030 0.0080 0.0215 0.0581 0.1570 0.0000 0.0001 0.0002 0.0007 0.0018 0.0051 0.0143 0.0400 0.1119 0.31330.0000 0.0001 0.0004 0.0010 0.0030 0.0086 0.0250 0.0726 0.2105 0.61030.0001 0.0002 0.0005 0.0016 0.0048 0.0143 0.0430 0.1291 0.3874 1.1623b3 =1.0e+009 *Columns 1 through 100.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0004 0.0010Columns 11 through 200.0025 0.0059 0.0132 0.0287 0.0606 0.1246 0.2494 0.4874 0.9316 1.7434cond2=cond(A3,2)cond2 =3.2395e+022由上述运行结果可知：它们是病态的，而且随着n的增大，矩阵的病态变得严重。
最新数值计算课后答案6
习 题 六 解 答1、在区间［0，1］上用欧拉法求解下列的初值问题，取步长h=0.1。
(1)210(1)(0)2y y y '⎧=--⎨=⎩(2)sin (0)0x y x e y -'⎧=+⎨=⎩ 解：取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为 21(1)(0,1,2,)n n n y y y n +=--=由初值y 0=y(0)=2出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=2；x 1=0.1，2100(1)211y y y =--=-= x 2=0.2，2211(1)101y y y =--=-= 指出：可以看出，实际上求出的所有数值解都是1。
2、用欧拉法和改进的欧拉法(预测－校正法)求解初值问题，取步长h=0.1。
22(00.5)(0)1y x y x y '⎧=-≤≤⎨=⎩ 解：由预测校正公式11(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n y hf x y hy f x y f x y ++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩n+1n+1y y ， 取h=0.1，本初值问题的预测－校正公式的具体形式为 122210.1(2)0.05[(2)(2)]nn n n n n n n y x y y x y x y ++⎧=+⨯-⎪⎨=+-+-⎪⎩n+1n+1y y 由初值y 0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=1； x 1=0.1，2000220001120.1(2)0.8,0.05[(2)(2)]10.05[(02)(0.120.8]0.82y x y y x y x y =+-==+-+-=+-+-⨯=11y y3、试导出解一阶常微分方程初值问题000(,)()()y f x y x a x b y x y '==≤≤⎧⎨=⎩的隐式欧拉格式111(,)(0,1,2,)n n n n y y hf x y n +++=+=并估计其局部截断误差。
数值计算答案解析石瑞民
习题一1、取3.14,3.15，722，113355作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
解：14.31=x312110211021--⨯=⨯≤-x π所以，1x 有三位有效数字绝对误差：14.3-=πe ，相对误差：ππ14.3-=r e 绝对误差限：21021-⨯≤ε，相对误差限：213106110321-+-⨯=⨯⨯=r ε21122105.0105.01084074.000840174.015.315.3---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，2x 有两位有效数字绝对误差：15.3-=πe ，相对误差：ππ15.3-=r e 绝对误差限：11021-⨯=ε，相对误差限：11061-⨯=r ε31222105.0105.01012645.00012645.0722722---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，3x 有三位有效数字绝对误差：722-=πe ，相对误差：ππ722-=r e绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差限：21061-⨯=r ε1133551=x 7166105.0105.01032.000000032.0113355---⨯=⨯≤⨯==-π 所以，4x 有七位有效数字绝对误差：113355-=πe ，相对误差：ππ113355-=r e绝对误差限：61021-⨯=ε，相对误差限：61061-⨯=r ε3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。
5000,50.31,3015.0,0315.04321====x x x x解：0315.01=x m=-13141*10211021---⨯=⨯≤-x x 所以，n=3，1x 有三位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：2110611021-+-=⨯=n r a ε3015.02=x m=04042*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε50.313=x m=24223*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε50004=x m=44404*10211021-⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：5.010210=⨯=ε，相对误差：23110105211021--+-=⨯=⨯=n r a ε 4、计算10的近似值，使其相对误差不超过%1.0。
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等) (修复的)
，。
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
现代数值计算课后答案
现代数值计算课后答案【篇一：数值计算课后答案4】>1、设x0?0,x1?1，写出f(x)?e?x的一次插值多项式l1(x)，并估计插值误差。
设插值函数为l1(x)?ax?b，由插值条件，建立线性方程组为?a?0?b?1??1?a?1?b?e?a?e?1?1解之得??b?1则l1(x)?(e?1?1)x?1因为y?(x)??e?x,y??(x)?e?x 所以，插值余项为r(x)?f(x)?p(x)??1f(n?1)(?)?(x)(n?1)!1(2)f(?)?(x)2!1?f(2)(?)(x?x0)(x?x1)2!1?e??(x?0)(x?1)(??(0,1))2所以1r(x)?maxe??maxx(x?1)0?x?120???1。
111??e?0??2482选用合适的三次插值多项式来近似计算f(0.2)和f(0.8)。
解：设三次插值多项式为f(x)?a0?a1x?a2x2?a3x3，由插值条件，建立方程组为?a0?a1?(?0.1)?a2?(?0.1)2?a3?(?0.1)3?0.995?23?a0?a1?0.3?a2?0.3?a3?0.3?0.995?23?a0?a1?0.7?a2?0.7?a3?0.7?0.765?a?a?1.1?a?1.12?a?1.13?0.4 5423?01即?a0?0.1a1?0.01a2?0.001a3?0.995?a0?0.1a1?0.01a2?0.001a3?0 .995?a?0.3a?0.09a?0.027a?0.995?0.4a1?0.08a2?0.028a3?0?0?1 23???a?0.7a?0.49a?0.343a?0.7650.8a1?0.48a2?0.344a3?1.76123?0?? ?0.4a1?0.72a2?0.988a3??0.311?a0?1.1a1?1.21a2?1.331a3?0.45 4??a0?0.1a1?0.01a2?0.001a3?0.995?0.4a1?0.08a2?0.028a3?0???0.32a2?0.288a3?1.76???0.384a3??3.831?解之得 ?a0?0.41?a??6.29?1?a??3.48?2??a3?9.98则所求的三次多项式为f(x)?0.41?6.29x?3.48x2?9.98x3。
数值计算方法教材答案
1习题一1．设x>0相对误差为2%，4x的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈得（1）()f x=11()()*2%1%22x xδδδ≈===；（2）4()f x x=时444()()'()4()4*2%8%xx x x xxδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P关于1212.m nx a a a bb b=±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl≈⨯+⨯= 21(0.3197100.259110)fl⨯+⨯=0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？2解：设该正方形的边长为x，面积为2()f x x=，由(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈解得(())()()'()f x f xxxf xδδ≈=2(())(())22f x x f xx xδδ==0.5%5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x<<，（A）11121xyx x-=-++，（B）22(12)(1)xyx x=++；（2）已知1x>>，（A）y=，（B）y=；（3）已知1x<<，（A）22sin xyx=，（B）1cos2xyx-=；（4）（A）9y=（B）y=解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
数值计算课后习题答案(全)
习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
数值计算课后全部答案(整合)
目录第一章-----------------------------------------1 第二章-----------------------------------------4 第三章-----------------------------------------9 第四章-----------------------------------------15 第五章-----------------------------------------20 第六章-----------------------------------------27 第七章-----------------------------------------30第一章数值计算中的误差习题一1.1 下列各近似数的绝对误差限是最末位的半个单位，试指出它们各有几位有效数字。
1x =-3.105 , 2x =0.001, 3x =0.100, 4x =253.40, 5x =5000, 6x =5⨯310.答案：4，1，3，6，4，1.1.2 设100>*x >10,x 是*x 的有五位有效数字的的近似数,求x 的绝对误差限。
答案：当10<x<100时,因为有5位有效数字,所以绝对误差限为0.005. 1.3 求下列各近似数的相对误差限和有效数字位数： 1) 123x x x ++,2) 124x x x 3) 24x x 答案：()10.0005e x ≤()20.0005e x ≤()30.0005e x ≤ ()40.005e x ≤ ()50.5e x ≤ ()60.5e x ≤1）()()()()123123e x x x e x e x e x ++=++≤()()()123e x e x e x ++3221.5100.15100.510---≤⨯=⨯≤⨯2123()0.1510x x x ε-++=⨯123123123()()0.0004993...0.0004994r x x x e x x x x x x ε++++==≤++123x x x ++=-3.004 精确到小数点后两位,所以有三位有效数字。
数值计算方法答案
数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，9习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）++； （2）+（+）哪个较精确 解：（1）++ ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl ⨯+=210⨯（2）+（+）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =210⨯易见++=210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些为什么（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x>>，（A ）y=，（B ）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos2xy x-=；（4）（A）9y =-（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
数值计算方法课后习题答案吕同富
数值计算方法课后习题答案吕同富【篇一：《数值计算方法》(二)课程教学大纲】txt>课程编号： l124008课程类别：专业必修学分数： 3 学时数：48 适用专业：信息与计算科学应修(先修)课程：数学分析、高等代数一、本课程的地位和作用数值分析(二)为数值分析课程的第二部分，它是信息与计算科学专业的一门专业必修课。
主要内容包括函数最佳逼近、数值积分、数值微分、常微分方程数值解法。
通过本课程的学习，学生将初步具备用计算机去有效地解决实际问题的能力。
二、本课程的教学目标通过本课程的学习，使学生了解和掌握求解函数最佳逼近、数值积分、数值微分、常微分方程等问题所涉及的各种常用的数值计算方法、数值方法的构造原理及适用范围。
本课程坚持理论与实践教学并重的原则，理论上主要讲述求解函数最佳逼近、数值积分、数值微分、常微分方程等问题的基本理论和基本方法。
与此同时，通过上机实验加深学生对各种计算方法的理解，为今后用计算机去有效地解决实际问题打下基础。
三、课程内容和基本要求(“*”记号标记难点内容，“▽”记号标记重点内容，“▽*”记号标记既是重点又是难点的内容)第六章函数最佳逼近 1．教学基本要求（1）理解：几类常用的正交多项式。
（2）掌握：最佳一致逼近和最佳平方逼近。
（3）掌握：曲线拟合的最小二乘法。
2．教学内容（1）*正交多项式。
（2）▽*最佳一致逼近。
（3）▽最佳平方逼近。
（4）正交多项式的逼近性质。
（5）▽曲线拟合的最小二乘法。
第七章数值积分 1．教学基本要求（1）理解：机械求积公式的基本思想、插值型求积公式的特点。
（2）掌握：newton-cotes求积公式、复合求积公式。
（3）掌握：romberg求积公式、gauss求积公式。
2．教学内容（1）*机械求积公式。
（2）▽newton-cotes求积公式。
（3）▽复合求积公式。
（4）变步长求积公式。
（5）▽romberg求积公式。
（6）▽*gauss求积公式第八章数值微分 1．教学基本要求（1）了解：数值微分的中点法。
数值计算方法》习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
数值计算与MATLAB方法课后答案
第一章习题1. 序列满足递推关系，取及试分别计算，从而说明递推公式对于计算是不稳定的。
n1 1 0.01 0.00012 0.01 0.0001 0.0000013 0.0001 0.000001 0.000000014 0.000001 0.0000000110-105 0.00000001 10-10n1 1.000001 0.01 0.0000992 0.01 0.000099 -0.000099013 0.000099 -0.00009901-0.010000994 -0.00009901 -0.01000099-1.00015 -0.01000099-1.0001初始相差不大，而却相差那么远，计算是不稳定的。
2. 取y0=28，按递推公式，去计算y100，若取（五位有效数字），试问计算y100将有多大误差？y100中尚留有几位有效数字？解：每递推一次有误差因此，尚留有二位有效数字。
3．函数，求f(30)的值。
若开方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式计算，求对数时误差有多大？设z=ln(30-y)，，y*， |E(y)| 10-4z*=ln(30-y*)=ln(0.0167)=-4.09235若改用等价公式设z=-ln(30+y)，，y*， |E(y)|⨯10-4z*=-ln(30+y*)=-ln(59.9833)=-4.094074．下列各数都按有效数字给出，试估计f的绝对误差限和相对误差限。
1)f=sin[(3.14)(2.685)]设f=sin xyx*=3.14, E(x)⨯10-2, y*=2.685, E(y)⨯10-3,sin(x*y*)=0.838147484, cos(x*y*)=-0.545443667⨯(-0.5454) ⨯⨯10-2+3.14(-0.5454) ⨯⨯10-3|⨯10-2⨯10-2|E r(f)| ⨯10-2⨯10-2<10-22)f=(1.56)设f = x y ,x*=1.56, E(x)⨯10-2, y*=3.414, E(y)⨯10-3,⨯⨯⨯10-2⨯⨯⨯10-3|⨯⨯⨯10-2⨯⨯⨯10-3|=0.051|E r(f)| =0.01125．计算，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好，为什么？6．下列各式怎样计算才能减少误差？7. 求方程x2-56x+1=0的二个根，问要使它们具有四位有效数字，至少要取几位有效数字？如果利用伟达定理， 又该取几位有效数字呢？解一:若要取到四位有效数字,如果利用伟达定理,解二:由定理二,欲使x1,x2有四位有效数字,必须使由定理一知，∆至少要取7位有效数字。
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习 题 六 解 答1、在区间［0，1］上用欧拉法求解下列的初值问题，取步长h=0.1。
(1)210(1)(0)2y y y '⎧=--⎨=⎩(2)sin (0)0x y x e y -'⎧=+⎨=⎩ 解：取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为21(1)(0,1,2,)n n n y y y n +=--=L由初值y 0=y(0)=2出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=2；x 1=0.1，2100(1)211y y y =--=-= x 2=0.2，2211(1)101y y y =--=-= 指出：可以看出，实际上求出的所有数值解都是1。
2、用欧拉法和改进的欧拉法(预测－校正法)求解初值问题，取步长h=0.1。
22(00.5)(0)1y x y x y '⎧=-≤≤⎨=⎩ 解：由预测校正公式11(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n y hf x y hy f x y f x y ++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩n+1n+1y y ， 取h=0.1，本初值问题的预测－校正公式的具体形式为 122210.1(2)0.05[(2)(2)]nn n n n n n n y x y y x y x y ++⎧=+⨯-⎪⎨=+-+-⎪⎩n+1n+1y y 由初值y 0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=1； x 1=0.1，2000220001120.1(2)0.8,0.05[(2)(2)]10.05[(02)(0.120.8]0.82y x y y x y x y =+-==+-+-=+-+-⨯=11y y3、试导出解一阶常微分方程初值问题000(,)()()y f x y x a x b y x y '==≤≤⎧⎨=⎩的隐式欧拉格式111(,)(0,1,2,)n n n n y y hf x y n +++=+=L并估计其局部截断误差。
解：在区间[x n ,x n+1]上对常微分方程y /(x)=f(x,y)两端同时积分，得11(,())n nx n n x y y f x y x dx ++-=⎰由右矩形公式得111(,())(,)n nx n n x f x y x dx hf x y +++≈⎰所以有差分格式111(,)(0,1,2,)n n n n y y hf x y n +++=+=L这是所谓隐式欧拉公式。
对于隐式欧拉法111(,)(0,1,2,)n n n n y y hf x y n +++=+=L假定y n ＝y(x n )，上式右边的y n ＋1＝y(x n ＋1)，则111111(,)()(,())()()n n n n n n n n n y y hf x y y x hf x y x y x hy x ++++++'=+=+=+ 将y ／(x n ＋1) 按泰勒公式展开，上式为 11()()()()()[()()]n n n n n n n n y y x hy x y x hy x h y x h y x hy x ++'=+'=++'''=+++L 将y(x n ＋1)按泰勒公式展开，得123()()()()()()2!3!n n n n n n y x y x h h h y x hy x y x y x +=+''''''=++++L两式相减，得231123()[()()()()]()[()()]2!3!()()2!n n n n n n n n n n h h y x y y x hy x y x y x y x h y x hy x h y x O h ++'''''''''-=++++--++''=-+L L 即2311()()()2!n n n h y x y y x O h ++''-=-+所以，211()()n n y x y O h ++-=指出：可以用多种方法导出，其中差商法、数值积分方法是简单的方法。
用导出。
4、验证改进的欧拉公式对任何不超过二次的多项式2y ax bx c =++准确成立，并说明理由。
解：因为2y ax bx c =++ 所以2y ax b y ex f ''=+=+@。
记()f x ex f =+，设,0,1,2,i x ih i ==L 改进的欧拉公式为11110((,)(,))2(()())(0,1,2,)2i i i i i i ii i h y y f x y f x y h y ex f ex f i y c ++++⎧=++⎪⎪⎪=++++=⎨⎪=⎪⎪⎩L 将上式对i 从0到n －1求和并利用初值条件得11011100221110002210(()())2()((1))22(1)((1))221(2)(2(1))222(n n i i i n n i i i i n n n i i i n i hy ex f ex f ceh eh x x nfh c ih i h nfh c eh eh i i nfh c i i nfh c eh eh i n nfh c n n n nfh c e nh -+=--+==---===-==++++=+++=++++=++++=++++=+++=⨯-+++=∑∑∑∑∑∑∑2222)1()2212n n n n fnh c e nh fnh cex fx c ax bx c ++=++=++=++所以，改进的欧拉法对任何不超过二次的多项式2y ax bx c =++准确成立。
补充题（一）1、用欧拉公式求解初值问题0.9(01)12(0)1y y x x y ⎧'=-≤≤⎪+⎨⎪=⎩ 当x 取步长为h=0.02，用欧拉公式解初值问题0,0.02,0.04,…,0.10时的解。
2、取步长为h=0.2，用欧拉公式解初值问题2(00.6)(0)1y y xy x y '⎧=--≤≤⎨=⎩。
答 案1. 解：将0.9(,)12f x y y x=-+代入欧拉公式，得本初值问题的欧拉公式的具体形式为：10.912n n n n y y hy x +=-+0.018112n n y x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，（0,1,2,3,4,5n =） 取0.02h =由初值y 0=y(0)=0出发计算，所得数值结果如下：用欧拉公式求解的计算结果事实上，利用变量分离法，很容易求得该初值问题的准确解为：0.45()(12)y x x -=+ 表中()n y x 的第一列就是精确解()y x 在n x x =处的值。
()n ny x y -表示n y 的局部截断误差，从表中可以看出，随着n 的增大，()n n y x y -的值也在增大。
所以，欧拉公式虽然计算简便，对一些问题有一定的使用价值，但是它的误差较大，所得的数值解精度较低。
2. 解：将2(,)f x y y xy =--代入欧拉公式，得本初值问题的欧拉公式的具体形式为：21(,)0.2()n n n n n n n n y y hf x y y y x y +=+=+--20.80.2n n n y x y =-取步长为h=0.2由初值y 0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下：221000(0.2)0.80.20.810.2010.8y y y x y ≈=-=⨯-⨯⨯=222111(0.4)0.80.20.80.80.20.20.80.6144y y y x y ≈=-=⨯-⨯⨯=223222(0.6)0.80.20.80.61440.20.40.61440.4613y y y x y ≈=-=⨯-⨯⨯=补充题（二）1、证明对任意的参数t ，如下的龙格－库塔方法是二阶的。
12312131()2(,)(,)((1),(1))n n n n n n n n h y y k k k f x y k f x th y thk k f x t h y t hk +⎧=++⎪⎪⎪=⎨⎪=++⎪=+-+-⎪⎩ 分析与解答1、证明：因为1(,)()n n i k f x y y x '==21212(,)(,)(,)(,)()()(,)()(,)()n n n n x n n y n n n x n n n y n n k f x th y thk f x y thf x y thk f x y O h y x thf x y thy x f x y O h =++=+++''=+++ 31212((1),(1))(,)(1)(,)(1)(,)()()(1)(,)(1)()(,)()n n n n x n n y n n n x n n n y n n k f x t h y t hk f x y t hf x y t hk f x y O h y x t hf x y t hy x f x y O h =+-+-=+-+-+''=+-+-+ 则12322223()2(()(,)()(,)()2()(1)(,)(1)()(,)())()(,)()(,)()22n n n n x n n n y n n n x n n n y n n n n x n n n y n n hy y k k hy y x thf x y thy x f x y O h y x t hf x y t hy x f x y O h h h y hy x f x y y x f x y O h +=++''=++++''++-+-+''=++++ 而y(x n+1)泰勒展开得23123()()()()()2()()((,)(,))()2n n n n n n x n n y n n h y x y x hy x y x O h hy x hy x f x y f x y y O h +'''=+++''=++++比较上面两个关系式，前三项总相等。
所以，无论t取何值，此龙格－库塔法总是二阶数值方法。