无穷极数中的几个典型反例
无穷极数中的几个典型反例
无穷极数中的几个典型反例一、正项级数中比值判别法和根值判别法的反例（1） 比值差别法：例1：1(1)3nn ∞=+-∑级数1(1)3nn ∞=+-∑发散，但极限1limn n nu u +→∞并不存在因为级数13n ∞=∑发散而级数1(1)3nn ∞=-∑收敛。
所以级数1(1)3nn ∞=+-∑发散。
而11(1)n n nu u +++-=11(1)limlimn n n n nu u ++→∞→∞+-=并不存在。
当然，p-级数∑∞=11n np也是一个典型的反例, 1limn n nu u +→∞=1,但当p>1时收敛;1≤p 时,发散。
（2） 根值判别法：例2：1(1)3nnn ∞=⎤-⎥⎣⎦∑级数13nn ∞=⎣⎦∑收敛，但lim lim3n n →∞→∞=并不存在。
(1)21033nnn⎡⎤⎛⎫+-≤≤ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭而113nn ∞=⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭∑收敛（公比小于1的等比级数）。
由比较判别法，1(1)3nnn ∞=⎤+-⎥⎣⎦∑(1)3n-=是摆动数列。
故(1)limlim3nn n →∞→∞-=不存在。
注：在正项级数的敛散性判别中,比值判别法和根值判别法使用起来非常方便,但是它成立的条件是充分而非必要的。
二、 交错级数中使用莱布尼兹差别法的反例在交错级数的敛散性判别中,莱布尼兹判别法使用起来非常方便,但是有些情况下的交错级数不满足条件。
例3：2(1)nn ∞=-∑1n u =显而易见满足lim 0n n u →∞=，而不满足。
1(1,2,)n n u u n +≥= ， 但作为任意项级数(1)(1)1(1)111n nnn n u n n n ⎤---⎣⎦===-----由级数21n n ∞=-∑收敛，而级数211n n ∞=-∑发散知，级数2nn ∞=∑发散。
例4： nn nn )1(1)1(2-+-∑∞=nn nn )1(1)1(2-+-∑∞==111)1(1))1(()1(222----=----n n n n n nnn，根据莱布尼兹判别法易知交错级数∑∞=--221)1(n nn n 收敛，而∑∞=-2211n n 收敛，所以原级数nn nn )1(1)1(2-+-∑∞=是收敛的。
高等数学反例集
g(x) = x −[x] + cos x 却不是周期函数。
3. 有界函数与无界函数之积未必无界。
例 1：f (x) = 0, g(x) = x ，在区间 (−∞, +∞) 内 f (x) 有界，g(x) 无界，而 f (x)g(x) = 0 却在区间 (−∞, +∞) 内有界。 例 2： f (x) = e−x , g(x) = x ，在区间 (0, +∞) 内 f (x) < 1, 而 g(x) 是无界的， f (x)g(x) = xe−x ，因为 lim xe−x = 0 ，从而易见 f (x)g(x) 在区间 (0, +∞) 内是有界的。
⎤ ⎥ ⎦
，使得
f
(xn )
=
a
{ } 显然，对于数列
xn
有
lim
n→∞
xn
=
0, 且 lim n→∞
f
(xn )
=
a,
1)
满足
lim
n→∞
xn
≠ ∞ 的无界数列。
例： xn = [1 + (−1)n ]n 。
对任意正数 M，只要取 N= log 2 M ，当 n = 2k > N 时，就有
xn = [1 + (−1)2k ]2k = 22k > 2log2 M = M ，所以数列 xn 无界。但对 n=2k+1,k=1,2,……
但是 lim f (x) = sin 0 = 0 ≠ 1。 x → x0
上面说明极限的定义是很严谨的，要想掌握好极限概念，有对其定义逐字推敲的必要。
无穷级数的比较判别法的反例
无穷级数的比较判别法的反例无穷级数是数学中一个重要的概念，它包含了无限多个数相加或相乘的结果。
在研究无穷级数时，比较判别法是一种常用的判别方法，用于确定级数的敛散性。
然而，有时候比较判别法并不能给出准确的结论，存在一些反例。
在介绍比较判别法的反例之前，让我们先回顾一下比较判别法的基本原理。
比较判别法是通过将要研究的级数与已知敛散的级数进行比较，从而判断其敛散性。
如果待研究的级数绝对值的部分可以被一个已知敛散级数的绝对值部分控制住，那么待研究的级数就具有相同的敛散性。
然而，对于某些特殊的级数，比较判别法并不能给出正确的结论。
下面，我们将通过一个具体的反例来说明这一点。
考虑级数 S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...这个级数是一个调和级数，调和级数是指级数的每一项都是调和数列的一项。
调和数列是指数值为倒数的数列，即第 n 项为 1/n。
调和级数在研究无穷级数时经常出现。
为了比较判别级数 S 的敛散性，我们可以考虑与另一个级数 T 进行比较。
取级数 T = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 它是一个几何级数，每一项是1/2 的幂。
几何级数在数学中有着广泛的应用。
比较级数 S 和 T 的敛散性时，我们可以发现 T 的每一项都大于 S 的对应项，因为对于任意正整数 n，1/n > 1/(2^n)。
根据比较判别法，我们可以得出结论，如果 T 收敛，那么 S 也应该收敛。
然而，事实却是相反的。
我们知道，几何级数 T 的和为 2，即 T = 2。
而调和级数 S 是一个发散的级数，它的和无穷大。
这与比较判别法的结论相矛盾。
这个反例表明，比较判别法并不是万能的，它并不能适用于所有情况。
对于特殊的级数，比较判别法的结论可能是错误的。
因此，在研究无穷级数时，我们需要综合运用不同的判别法，结合特定的级数性质进行分析。
在实际应用中，我们需要根据具体问题来选择适用的方法和工具，不能仅仅依赖于单一的判别法。
高等数学中的一些反例
高等数学中的一些反例1 高等数学中的反例在高等数学中，反例就是指一些能够证明一个命题不成立的具体实例。
因此，反例在数学领域中具有重要的作用。
在这篇文章中，我们将会探讨一些高等数学中的反例。
2 无理数的乘积是有理数首先，我们考虑一个看似显然的命题，即两个无理数的乘积一定是一个有理数。
这个命题的错误之处在于，我们无法保证这两个无理数是代数无关的。
下面给出一个反例：假设x = √2，y = 1 / √2，那么显然 x、y 都是无理数。
但是它们的乘积为：xy = (√2) (1 / √2) = 1因此，这个反例表明了两个无理数的乘积并不一定是一个有理数。
3 常数项级数收敛的级数和绝对收敛接下来，我们来思考一下另一个命题：如果一个常数项级数收敛，那么它的级数和一定是有限的。
而这个命题也是错误的。
我们可以通过下面这个反例来证明：考虑级数：1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...显然，这个序列的部分和为：S_n ={ 1 (n 为奇数 ){ 0 (n 为偶数 )因此，该序列的极限不存在。
但是，如果我们对该序列取绝对值，那么它会变成一个常项级数，即：1 + 1 + 1 + 1 + ...该级数显然是发散的。
因此，这个反例说明了一个常数项级数收敛不一定意味着它的级数和是有限的，也不意味着它的级数和绝对收敛。
4 现代几何的反例在现代几何中，我们经常会面临一些看似正确的命题，但是它们在特殊情况下并不成立。
例如，如果一个三角形的两条边长一样，那么这个三角形一定是等腰三角形。
这个命题在大多数情况下是正确的，但存在以下反例：考虑一个由两个直角三角形组成的三角形。
其中直角边分别为2和1，斜边长度为√5，这个三角形显然不是等腰三角形。
这个例子说明了即使在看似简单的几何命题中，也可能存在反例。
5 常微分方程的反例最后，我们来看一个常微分方程的例子，来说明反例在应用数学中的重要性。
考虑一个简单的一阶常微分方程：y' = y^2 - 1这个方程可以通过分离变量得到解：2arctanh(y) = x + C其中，arctanh(y) 表示双曲正切的反函数。
数学分析课程中的几个反例-FudanUniversity
数学分析课程中的几个反例1．处处连续处处不可导的函数在数学分析的发展历史上，数学家们一直猜测：连续函数在其定义区间中，至多除去可列个点外都是可导的。
也就是说，连续函数的不可导点至多是可列集。
虽然这一猜测是错误的，但数学家在很长一段时期一直没能找到反例，原因是在当时函数的表示手段有限，而仅仅从初等函数或从分段初等函数表示的角度出发去考虑，是找不到反例的。
但是随着级数理论的发展，函数表示的手段扩展了，数学家可以通过函数项级数来表示更广泛的函数类。
Weierstrass 是一位研究级数理论的大师，他于1872年利用函数项级数第一个构造出了一个处处连续而处处不可导的函数，为上述猜测做了一个否定的终结：(0()sin n n n )f x a b ∞==∑x ，b a <<<10， 。
1>ab 下面叙述的反例在证明上要相对简易些，它是由荷兰数学家Van Der Waerden 于1930年给出的。
设(x )表示x 与最邻近的整数之间的距离，例如当x = 1.26，则(x ) = 0.26；当x = 3.67，则ϕϕϕ(x ) = 0.33。
显然ϕ(x )是周期为1的连续函数，且。
2/1)(≤ϕx 注意 当y x ,21,[+∈k k 或]1,21[++k k 时，成立|||)()(|y x y x −=−ϕϕ。
Van Der Waerden 给出的例子是：)(x f = ∑∞=ϕ010)10(n nn x 。
由n n x 10)10(ϕ≤n1021⋅，及∑∞=⋅01021n n 的收敛性，根据Weierstrass 判别法，上述函数项级数关于),(+∞−∞∈x 一致收敛。
所以在连续。
)(x f ),(+∞−∞现考虑在任意一点x 的可导性。
由于的周期性，不妨设，并将x 表示成无限小数)(x f )(x f 10<≤x x = 0.a 1a 2…a n …。
若x 是有限小数时，则在后面添上无穷多个0。
无穷级数-任意项级数审敛法
n =1
∑ v n 发散
∞
2 条件收敛性 n 递减、趋于零 分析 需判定 un = n + 10
n 令 x un = ( x > 0) = f (n), f ( x ) = n + 10 x + 10
1 Q f ′( x ) = 2 x ( x + 10 ) ( x + 10 )2 x
o
10 x = 2 x ( x + 10)2
2 关系
n =1
∑ un 发散 ∑ un 发散 （一般地）
n =1
n =1 ∞
∑ un 收敛 ∑ un收敛 √
n =1 ∞理 设任意项级数 ∑ un满足
n =1
∞
un + 1 lim = ρ>1 n → ∞ un
∞ ∞ n =1 n =1
(或 lim
n
n→ ∞
un = ρ > 1)
2 + (1)n 反例：对于 ∑ (1)n1 ， n 2 n =1
2 + (1)n un = >0 n 2
虽然 {un }不单调， 事实上，
3 2 u2k1 = 2k1 = < u2k = 2k , 2k 2 2 2 3 1 u2k = 2k > u2k+1 = 2k+1 2 2
∞
1
2 + (1)n un = 2n
n1 ∞
2. 证明 ∑
∞
∞
sin nα n
4
n=1
绝对收敛 . 绝对收敛 .
n→ ∞
3. 证明 ∑ (1)
n=1
n2 n e
n
4. 设un ≠ 0 (n = 1, 2, 3,L), 且 lim n = 1,
既收敛又发散的无穷级数笑话
有一天，一位数学老师正在给同学们讲解无穷级数的问题。
他说：“如果一个无穷级数既收敛又发散，那就像是一道笑话一样。
”
这时，一个调皮的同学举手问道：“老师，那为什么它像笑话呢？”
老师笑了笑，说：“因为它既符合数学规律，又违反了数学逻辑。
”
于是，老师开始解释收敛和发散的概念。
他说：“收敛意味着级数中的每一项都在逐渐减小，最终会变成一个有限的数值。
而发散则意味着级数中的每一项都在不断地增大，永远无法收敛到任何确定的数值。
”
当老师讲完之后，那个调皮的同学又问道：“那么，如果一个无穷级数既收敛又发散，那它岂不是既符合数学规律又违反了数学逻辑吗？”
老师点了点头，说：“对，你说的很对。
这个无穷级数就像是一道既美味又难以消化的美食一样，吃进去可以享受它的美味，但是消化起来却非常困难。
”
于是，同学们都笑了，觉得这个比喻很有趣。
接着，老师又告诉同学们一个例子，他说：“其实，收敛和发散的问题就像是我们生活中遇到的许多矛盾一样。
比如，有些人的性格很开朗，很容易交到朋友；而有些人则比较内向，很难融入新的圈子。
这两种性格看似矛盾，但其实都是人的不同表现形式。
”
这时，另一个同学问道：“老师，那我们遇到既收敛又发散的无穷级数时该怎么办呢？”
老师笑了笑，说：“遇到这种情况时，最重要的是要认真思考和总结。
这个无穷级数之所以既收敛又发散，是因为它背后可能蕴含着更深层次的意义。
所以，我们要尽可能地去挖掘它的本质。
”
听完老师的讲解，同学们都受益匪浅。
这个无穷级数的笑话也成了他们在数学课堂上经常讨论的话题，大家都不约而同地笑了起来。
无穷级数及其收敛性
无穷级数及其收敛性无穷级数是数学中一个非常基础的概念，它在各种分析领域和应用中都有着重要的地位。
在这篇文章中，我们将探讨无穷级数的概念、性质和收敛性，希望读者通过本文的介绍，能够更加深入地理解这一重要的数学概念。
一、无穷级数的概念无穷级数是由无数个数相加而成的一种数列。
它的表示形式为$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$其中，$a_n$表示第$n$个数，而$\sum$则表示将每一个$a_n$相加得到的总和。
例如，下面这个无穷级数：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{4} +\frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots$$就是由所有$\dfrac{1}{n^2}$相加而成的一种数列。
无穷级数的和可能是一个有限的数或者无限大。
当无穷级数的和为有限数时，我们称其为收敛，反之则称其为发散。
二、无穷级数的性质无穷级数有很多有趣的性质，下面我们将就一些常见的性质进行简单介绍。
1. 级数的项数可以改变，但不会改变级数的收敛性。
例如，下面这个无穷级数$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$虽然由无限个有理数相加而成，但对其进行有限次部分求和得到的都是有理数，因此它是收敛的。
2. 级数可以重新排列，但不会改变级数的收敛性。
这个性质看似简单，但并非总是成立。
事实上，当级数的各项并非绝对收敛时，该性质不成立。
一个常见的反例就是下面这个级数：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} = 1 - \frac{1}{2} +\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$$这个级数是发散的，但如果将其项随意交换，则可以得到另一个级数$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = -1 + \frac{1}{2} -\frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \cdots$$这个级数却是收敛的。
数学分析中反例
数学分析中反例
数学分析中的反例是指能够证明某个命题或定理不成立的
具体例子。
下面给出几个常见的数学分析中的反例：
1. 极限的反例：对于函数
$f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)$，当$x$趋于0时，$f(x)$的极限不存在。
这个反例说明了对于一些函数，即
使在某个点附近的取值趋近于某个数，但并不意味着函数
在该点处有极限。
2. 连续性的反例：考虑函数$f(x)=\frac{1}{x}$。
在定义
域中除了$x=0$外，$f(x)$是连续的。
然而，$f(x)$在
$x=0$处不连续，因为在该点处没有定义。
这个反例说明了
函数在某个点处连续并不意味着函数在整个定义域上都连续。
3. 一致收敛的反例：对于函数序列$f_n(x)=x^n$，当
$x\in[0,1)$时，序列逐点收敛于0。
然而，这个序列在该
区间上不一致收敛，因为对于任意的$\varepsilon>0$，存
在某个$x\in[0,1)$，使得$|f_n(x)-
0|=|x^n|>\varepsilon$对于所有的$n$都成立。
这个反例
说明了逐点收敛并不意味着一致收敛。
4. 可导性的反例：考虑函数$f(x)=|x|$。
在$x=0$处，
$f(x)$不可导，因为在该点处左导数和右导数不相等。
这
个反例说明了函数在某个点处可导并不意味着函数在整个
定义域上都可导。
这些反例帮助我们更好地理解数学分析中的概念和定理，并且指出了一些常见的误区和陷阱。
无穷极数中的几个典型反例
无穷极数中的几个典型反例一、正项级数中比值判别法和根值判别法的反例（1） 比值差别法：例1：1(1)3nn ∞=+-∑级数1(1)3nn ∞=+-∑发散，但极限1limn n nu u +→∞并不存在因为级数13n ∞=∑发散而级数1(1)3nn ∞=-∑收敛。
所以级数1(1)3nn ∞=+-∑发散。
而11(1)n n nu u +++-=11(1)limlimn n n n nu u ++→∞→∞+-=并不存在。
当然，p-级数∑∞=11n np也是一个典型的反例, 1limn n nu u +→∞=1,但当p>1时收敛;1≤p 时,发散。
（2） 根值判别法：例2：1(1)3nnn ∞=⎤-⎥⎣⎦∑级数13nn ∞=⎣⎦∑收敛，但lim lim3n n →∞→∞=并不存在。
(1)21033nnn⎡⎤⎛⎫+-≤≤ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭而113nn ∞=⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭∑收敛（公比小于1的等比级数）。
由比较判别法，1(1)3nnn ∞=⎤+-⎥⎣⎦∑(1)3n-=是摆动数列。
故(1)limlim3nn n →∞→∞-=不存在。
注：在正项级数的敛散性判别中,比值判别法和根值判别法使用起来非常方便,但是它成立的条件是充分而非必要的。
二、 交错级数中使用莱布尼兹差别法的反例在交错级数的敛散性判别中,莱布尼兹判别法使用起来非常方便,但是有些情况下的交错级数不满足条件。
例3：2(1)nn ∞=-∑1n u =显而易见满足lim 0n n u →∞=，而不满足。
1(1,2,)n n u u n +≥= ， 但作为任意项级数(1)(1)1(1)111n nnn n u n n n ⎤---⎣⎦===-----由级数21n n ∞=-∑收敛，而级数211n n ∞=-∑发散知，级数2nn ∞=∑发散。
例4： nn nn )1(1)1(2-+-∑∞=nn nn )1(1)1(2-+-∑∞==111)1(1))1(()1(222----=----n n n n n nnn，根据莱布尼兹判别法易知交错级数∑∞=--221)1(n nn n 收敛，而∑∞=-2211n n 收敛，所以原级数nn nn )1(1)1(2-+-∑∞=是收敛的。
数学分析判断题36个经典反例
数学分析判断题36个经典反例本文介绍了数学分析中的36个经典反例，这些反例可以帮助读者更好地理解和掌握分析性数学的相关概念和方法。
反例一：可导不连续函数在某点可导不一定在该点连续，例如函数$f(x)=|x|$在$x=0$处可导，但在该点不连续。
反例二：微积分基本公式不成立微积分基本公式$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$在一些情况下不成立，例如函数$f(x)=x\sin\frac{1}{x}$在$[0,1]$上积分不满足基本公式。
反例三：连续不可导函数在某点连续不一定可导，例如函数$f(x)=|x|$在$x=0$处连续但在该点不可导。
反例四：一致连续性函数一致连续和点连续不等价，有些点连续的函数不一定一致连续，例如函数$f(x)=\sqrt{x}$在$[0,1]$上连续但不一致连续。
反例五：级数收敛性与函数可积性不等价级数收敛的函数不一定可积，例如函数$f(x)=\frac{\sinx}{x}$在$[0,\infty)$上级数收敛但不可积。
反例六：积分换序对于一些函数，交换积分次序会导致结果错误，例如函数$f(x,y)=\frac{xy}{(x^2+y^2)^2}$，交换积分次序后结果不同。
反例七：泰勒级数不收敛某些函数在某点的泰勒级数不收敛，例如函数$f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$在$x=0$处泰勒级数不收敛。
反例八：函数可导与偏导数存在不等价当函数的偏导数存在且连续时，函数不一定可导，例如函数$f(x,y)=xy\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$在原点处偏导数存在但不可导。
反例九：连续与闭集不等价一个连续函数的原像不一定为闭集，例如函数$f(x)=\arctanx$在$(-\infty,\infty)$上连续但原像不是闭集。
反例十：一致收敛不保持函数类如果$f_n(x)$是$[0,1]$上的可积函数，$f_n(x)$在$[0,1]$上一致收敛于$f(x)$，则$f(x)$不一定可积。
数分期末反例总结
数分期末反例总结01. 闭区间内有原函数则一定可积反例：f x=x2sin1xf(0)=0 此函数的导函数在包含0的闭区间内是不可积的02. 闭区间内可积的函数一定有原函数反例：sgn(x)= 1 x>00 x=0−1 x<0Riemann(x)=1， x=01q，x=pq(p,q互素)0，x∈Q C03. 闭区间内无穷多个断点且任意子区间内不单调的函数不可积反例： Riemann(x)=1， x=01q，x=pq(p,q互素)0，x∈Q C，205页例题也可参考04. f,g在闭区间内可积，则f(g)可积反例：f x=0，x=01，x≠0g x=Riemann(x)=1， x=01q，x=pq(p,q互素)0，x∈Q C则g x=Dirichlet x=1，x∈Q0，x∈Q C不可积05. f,g在闭区间内不可积，则f(g)不可积反例：f x=g x=Dirichlet x=1，x∈Q0，x∈Q C，但f(g)=1可积06.有界函数必可积反例：f x=Dirichlet x=1，x∈Q 0，x∈Q C07. f,g 为R上的凸函数，则f·g也为R上的凸函数反例：f(x)=-1 g x=x2，但f·g=−x2显然是R上的上凸函数08. f,g 为R上的凸函数，f(g) 也为R上的凸函数（f,g可复合）反例：f(x)= -x g x=x2，但f(g)=−x2显然是R上的上凸函数09. f(x)在x0处可导，且f′x0=0,则f(x)在点x0处取极值反例：f x=x3在x=0处情况10. f在x0处取极值，则必有f′x0=0反例：f x=x在x=0处得极小值，但不可导11,12看一下155页的习题5.4的第一题的两个例子。
高数无穷级数总结
高数无穷级数总结高等数学中的无穷级数是一项非常重要且有趣的概念。
在学习高等数学的过程中，我们不可避免地要接触无穷级数的各种性质和计算方法。
今天我将通过总结无穷级数的相关概念和性质，为大家提供一个关于高数无穷级数的综合知识点总结。
首先，我们来回顾无穷级数的定义。
无穷级数是由一列实数或复数按照一定规则排列形成的数列。
一般地，如果数列的部分和存在有限极限L，那么我们称这个无穷级数收敛到L。
反之，如果数列的部分和不存在有限极限，那么我们称这个无穷级数发散。
接下来，我们来看一些常见的收敛判定定理。
首先是比较判别法，其基本思想是通过比较给定级数的部分和与一些已知性质的级数的部分和大小关系来判断级数的收敛性。
比较判别法包括了比较判别法、极限判别法和积分判别法。
通过这些判别法，我们可以轻松地判断一些无穷级数的收敛性。
另一个重要的概念是级数的绝对收敛和条件收敛。
如果一个级数收敛，同时其所有项的绝对值组成的级数也收敛，那么我们称这个级数绝对收敛；如果一个级数收敛，但其所有项的绝对值组成的级数发散，那么我们称这个级数条件收敛。
可以证明，绝对收敛的级数一定是收敛的，而条件收敛的级数则不一定收敛。
无穷级数的运算也是我们需要掌握的一个重要内容。
对于收敛的无穷级数，我们可以进行四则运算，并且结果仍然是一个收敛的无穷级数。
此外，我们还可以通过级数的逐项求导、求积分以及其他形式的操作来得到一个新的级数。
在实际应用中，无穷级数在各个领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，泰勒级数是一种特殊的无穷级数，可以将一个函数表示为无穷级数的形式。
这种表达方式在数值计算和近似计算中起着重要的作用。
此外，在概率论中，无穷级数可以用来表示随机变量的分布函数，从而提供了一种分析概率分布的方法。
最后，我想提醒大家在学习无穷级数的过程中要注意一些常见的陷阱和注意事项。
首先是级数的收敛半径问题，即一个幂级数在哪些点上收敛。
此外，无穷级数在进行运算时要注意收敛性的保持，避免出现无意义的结果。
两个与无穷级数有关的悖论
两个与无穷级数有关的悖论我们想要计算无穷级数Σ(1/n)*(-1)^(n+1) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 ...。
首先我们需要说明，这个无穷级数是收敛的。
注意到，从1的后面开始，每减去一个数后紧接着都会加上一个比它小的数，因此不管你加到哪儿，它的和始终不会超过1；另外，从1-1/2之后开始，每加一个数紧接着都会减去一个比它小的数，因此无论加到什么位置，整个和始终大于1/2。
这说明，这个级数是收敛的，并且它收敛到1/2和1之间的某个数（事实上这个数是ln(2) ）。
好了，令这个无穷级数为S，现在对S进行这样的变换：S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ...= (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...) - (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...)= (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...) - (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...) + (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...) - (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...)= (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...) - 2 * (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...)= (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...) - (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)= 0但刚才不是说了S是大于1/2的么？这怎么可能呢？刚看到这个问题后，立即想起Eagle Fantasy也提到过一个类似的问题。
同样令S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + ... ①①式两边同时乘以1/2，有S/2 = 1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 + 1/10 - ... ②①式和②式相加有：(3/2)*S = 1 + 1/3 - 1/2 + 1/5 + 1/7 - 1/4 + 1/9 + 1/11 - 1/6 + ... ③比较①式和③式，它们的项竟是完全相同的，①中的所有项在③里都有，③里的每一个项也在①中出现过。
无穷
经常有人发贴问一些关于无穷的问题，这些问题看似简单，却是比较难弄懂的。
然而每个人都有各自的观点，无论是高深、肤浅、对的还是错的，都在帖子里面讨论，对于一些基础不扎实的吧友来说，很难从这些高低对错的纷乱讨论中保持清醒，得到一些启发，更毋庸谈初学者进来找答案了。
于是，为了避免一些弯路和错误，帮助初学者，这里就有必要总结，澄清一些观点，供大家参考。
好了，废话不多说，进入主题----无论是问问题还是解决问题，首要的是要把对象先弄明白，那么概念就很重要了（无论哪门学科）。
别小瞧，问题的入口就在这里。
一旦概念不清晰，很容易弄错，并且还毫不察觉。
一个很明显的例子就是那个贝特朗的著名的概率悖论（关键是“平均（等概率）”的含义如何解释）。
1.无穷&极限“无穷”其实在众人眼里是个很普通的名词，不就是一直运动下去，没有尽头的意思吗？对的，那是第一印象，很直观。
但这仅仅是在日常口头语言或者学文学书面上的应用而已，到了理科尤其是数学这样以严谨著称的地方，就不再那么简单了。
其实问题的关键在于“无穷”这个概念隐含着两种意思：一是“潜无穷”，即把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的过程。
它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在；二是“实无穷”，即把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。
例如全体自然数在实无穷观点中认为是存在的（自然集）。
而在潜无穷观中，不存在这样一个整体（自然数集、合），因为无论多大的数，我总可以构造比它更大的，因而这个集.合永远都在构造之中。
（不过以上两种定义跟数学中集.合、平面、直线等概念的定义情况一样，不是严格的数学上的定义，只是一种描述性的定义。
）这两种无穷观在古代早就有争论，缘起于芝诺的几著名的个悖论（其实质就是争论承认何种无穷观）。
芝诺本人摇摆不定，总是为难你，当你承认潜无穷观，就拿出潜无穷悖论来反驳；如果你承认是无穷观，就拿出相应的悖论反驳。
一直以来，这两种无穷观造成不可调和的矛盾一直困扰着数学家们（哲学家也不例外）。
数学分析中的反例问题
数学分析是一门非常重要的基础课程,反例对理解数学分析有关定义和定理的内涵和外延有着不可替代的作用,反例的地位在数学的学习中占有很重要的地位,对培养我们的逆向思维至关重要,恰当的运用反例对我们数学能力的提高起着事半功倍的效果,我们希望定理中的条件是最简的,在我们一步步削弱条件的时候,反例的作用就越来越明显,一个特列不能说明一个命题是对的,但一个反例完全可以证明一个命题是错的.反例的作用和构造也越来越受到重视.本文介绍了数列,函数,导数,积分,无穷积分,级数等中的一些典型问题的反例,对一些逆命题的成立及否通过反例做了简单的论证,通过反例把一些看似相关性很大的定义和定理的区别又做了进一步的比较和分析,对一些反例的构造过程和思路做了详细介绍,回答了为什么这样构造的问题,可以让读者在错综复杂的关系里得到清晰的逻辑和思路.关键词：命题;反例;构造;数学分析;体现Mathematical analysis is a very important basic course, counterexample has an irreplaceable role in understanding mathematical analysis about definition and theorem of connotation and denotation , counter example role has a extremely important position in learning mathematics occupies,it is very important to educate our reverse thinking, appropriate mathematical ability for us to use counterexample improve play a extremely important position, we hope that the conditions of the theorem is one of the most simple, when we weaken conditions step by step, the counter example of the role is more and more obvious, a special example does not justify a question is right, but a counter example can prove that a theorem is wrong. counterexample and structure is becoming more and more important. According to the general mathematical analysis teaching material order, this paper introduces the sequence, function, derivative,and series of a reverse case of some typical problems, such as, for some of the establishment of the converse proposition, seemingly through counterexamples correlation definition theorem of great difference and do a further comparison and analysis of the construction process of some counter example ,it also made a detailed introduction, why and how structure counterexample get a answer in this paper, reader can get a clear logic in this paper.Key words:proposition; counter example;structure;mathematical analysis; reflect目 录1.引言 ............................................................. 12.反例在加深理解定义及相关概念中的体现 ............................. 1 2.1周期函数 ...................................................... 1 2.2复合函数 ...................................................... 1 2.3极值 .......................................................... 2 2.4一致连续 ...................................................... 2 2.5导数 .......................................................... 33.反例在掌握定理的内涵及外延中的体现 ............................... 3 3.1柯西收敛准则 .................................................. 3 3.2 STOLZ 公式 ...................................................... 4 3.3 比式判别法 .................................................... 5 3.4 比较原则 ...................................................... 5 3.5 阿贝尔判别法 .................................................. 6 3.6 莱布尼茨判别法 ................................................ 64.反例在辨析重要结论的逆命题中的体现 ............................... 75.反例在论证辩证关系中的体现 ....................................... 9 5.1 lim ()x f x →+∞和'lim ()x f x →+∞的关系 (9)5.2 原函数及可积函数之间的关系 ................................... 10 5.3 ()a f x dx +∞⎰收敛及lim ()x f x →+∞=0的关系 (10)5.4 可积和绝对可积以及平方可积之间的关系 ......................... 116.结论 ............................................................ 13 参 考 文 献 ....................................................... 13 致 谢 .............................................. 错误!未定义书签。
抽象代数反例八则
抽象代数反例八则抽象代数是一门深奥抽象的数学课程，反例亦是其中重要的组成部分。
反例可以帮助我们更好地理解概念，从而能够从反面来分析其他结论，从而达成最优解。
下面介绍抽象代数反例八则，希望能够帮助大家理解抽象代数。
一、无穷的反例无穷的反例是抽象代数中常见的反例，它表明一个关系性不成立。
比如，无穷多的正数之和不能是负数，因此无穷多的正数之和等于负数是一个反例。
此外，可以得出无穷多的正数之积也不能是负数，因此无穷多的正数之积等于负数也是一个反例。
二、一次反例一次反例是抽象代数中最基本的反例，它表明两个已知量之间的关系不成立。
比如，若x+y=5，那么x+y=6便是一个反例，因为知道x+y=5，就不能知道x+y=6。
三、无穷的反例的特例无穷的反例的特例是抽象代数中相对比较复杂的反例，它表明一个无穷的反例可以分解成若干特例，这些特例满足这个关系。
比如，无穷多的正数之和不能是负数，便可分解为不同的特例：1+1+1++1不能是负数，2+2+2++2不能是负数，……等等，这些特例都用来证明这个反例。
四、渐近反例渐近反例是抽象代数中比较高级的反例，它表明某种关系在一定条件下是成立的，但随着变量的增加而不成立。
比如，若x+y≤10，那么当x和y的值都较小时，x+y的值显然小于10，有x+y≤10；但随着x的值越来越大，y的增加就不能保证x+y的值仍小于10，这就是一个渐近反例。
五、数学归纳反例数学归纳反例是抽象代数中优化复杂问题的重要工具。
它可以用来证明一般问题的结论，并且可以帮助我们更好地分析问题，从而得出最优解。
举个例子，比如要证明1/1+1/2++1/n=n(1/n1/n+1)，我们可以用归纳法来证明这一结论，从而得出该结论的反例，即1/1+1/2++1/n≠n(1/n1/n+1)。
六、元素的反例元素的反例是抽象代数中比较复杂的反例，它表明某个集合中的元素使某个关系不成立。
比如，如果集合A={1, 2, 3, 4}，那么2+2≠4就是一个反例，这是因为A中的元素（1、2、3、4）使2+2≠4成为一个反例。
序列极限与级数收敛的反例
序列极限与级数收敛的反例序列极限和级数收敛是数学分析中的基本概念，对于深入理解和应用数学具有重要作用。
然而，在某些情况下，序列的极限可能不存在，级数也可能不收敛。
本文将通过提供一些反例来说明序列和级数在特定条件下的特殊行为。
1. 序列极限的反例序列极限是指随着序列中的项趋向无穷大，其极限是否存在。
下面我们将通过一些反例来阐述序列极限的特殊情况。
1.1 例子一：从左边趋向极限考虑序列{(-1)^n}，即{1,-1,1,-1,...}。
该序列在每个奇数位置上取值为1，在每个偶数位置上取值为-1。
显然，当n趋向无穷大时，该序列没有一个确定的极限，因为它在1和-1之间不断变化。
1.2 例子二：振荡序列考虑序列{sin(nπ)}，即{0,0,0,...}。
这个序列的值一直都是0，所以它的极限为0。
然而，该序列并没有接近0的趋势，因为它在每个π的倍数位置上振荡。
2. 级数收敛的反例级数收敛是指将无限多个数值相加所得到的和是否有限。
在级数收敛的背后，隐藏着一些特殊情况，下面我们将通过一些反例来说明级数收敛的特殊情况。
2.1 例子三：调和级数的发散考虑级数∑(1/n)，即1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...。
这个级数被称为调和级数。
根据数学定理，调和级数是发散的，也就是说，无论加上多少项，其和都会趋向无穷大。
尽管级数中的每一项都是有限的，但是多项相加之后，和却趋向于无穷大。
2.2 例子四：条件收敛级数考虑级数∑((-1)^(n+1)/n)，即1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...。
这个级数被称为莱布尼茨级数。
虽然该级数的各项趋于0，但是级数的和却不是一个有限值。
根据莱布尼茨判别法，这个级数是一个条件收敛级数，也就是说，当项的次序改变时，级数的和会发生变化。
综上所述，序列极限和级数收敛并非总是存在或者收敛的。
通过以上反例，我们可以看到在某些特殊情况下，数学中的常规规律并不适用。
在研究数学问题时，我们需要保持警惕，不仅仅考虑一般情况下的结果，还需留意特殊情况下的异常行为。
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无穷极数中的几个典型反例
一、正项级数中比值判别法和根值判别法的反例
（1） 比值差别法：
例1：
1(1)3
n n ∞=+-
级数1(1)3n n ∞=+-发散，但极限1lim n n n
u u +→∞并不存在
因为级数13n ∞=发散而级数1(1)3n n ∞=-∑
收敛。
所以级数1
(1)3n n ∞=+-发散。
而11n n n u u ++=
是摆动数列，故11lim n n n n n
u u ++→∞=并不存在。
当然，p-级数∑∞
=11n n p 也是一个典型的反例, 1lim n n n
u u +→∞=1,但当p>1时收敛; 1≤p 时,发散。
（2） 根值判别法：
例2：
1(1)3n n n ∞
=⎤-⎥⎣⎦∑
级数1(1)3n
n n ∞=⎤-⎥⎣⎦∑
收敛，但(1)lim 3n n n →∞-=并不存在。
2(1)210
33n n n ⎡⎤⎛⎫-≤≤ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝
⎭ 而1
13n n ∞=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∑收敛（公比小于1的等比级数）。
由比较判别法，1(1)3n n n ∞=⎤-⎥⎣⎦
∑
(1)3n -=是摆动数列。
故(1)lim 3
n n n →∞-=不存在。
注：在正项级数的敛散性判别中,比值判别法和根值判别法使用起来非常方便,但是它成立的条件是充分而非必要的。
二、 交错级数中使用莱布尼兹差别法的反例
在交错级数的敛散性判别中,莱布尼兹判别法使用起来非常方便,但是有些情况下的交错级数不满足条件。
例3：
n n ∞=
n u =， 显而易见满足lim 0n n u →∞
=，而不满足。
1(1,2,)n n u u n +≥= ， 但作为任意项级数
(1)(1)1(1)111n n n n n u n n n ⎤--⎣⎦===-----
由级数2(1)1n n ∞=--∑ 收敛，而级数211n n ∞=-∑
发散知，级数n n ∞=发散。
例4： n
n n
n )1(1)1(2-+-∑∞
= n n n
n )1(1)1(2-+-∑∞==111)1(1))1(()1(222----=----n n n n n n n n ， 根据莱布尼兹判别法易知交错级数∑∞
=--221)1(n n n n 收敛，而∑∞=-2211n n 收敛，所以原级数
n n n
n )
1(1)1(2-+-∑∞=是收敛的。
注：例3与例4都是不满足n n u u <+1的情况，不能使用莱布尼兹判别法直接判定。
三、 幂级数中的反例
有些同学认为，如果幂级数∑∞=0n n n x a
的收敛半径R ≠0，那么一定有
n n n a a 1lim +∞→=L=1/R ，这是不对的，因为有可能n
n n a a 1lim +∞→不存在。
例5： 求幂级数∑∞=-+1
2)1(2n n n n
x 的收敛半径
同例1，可知n
n n a a 1lim +∞→不存在，而∑∞=-+12)1(2n n n n
x =∑∞=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+112)1(21n n n n
n n x x ，显然∑∑∞
=∞=--1112)1(21n n n n n n n x x 与的收敛半径均为2，所以，幂级数∑∞=-+12)1(2n n n n x 的收敛半径R=2。
四、 泰勒级数中的反例
只要一个函数在某点处存在任意阶导数,在此点处的泰勒级数一定存在,但泰勒级数作为幂级数,它在收敛域内是否收敛于函数本身？
例6： 讨论f (x) =⎪⎩⎪⎨⎧=≠0
,00,12x x e n 在点x = 0处的泰勒级数是否在收敛域内收敛于函数f (x)
本身。
可以证明f (x) 在x = 0点任意阶可导,且=)0()(n f = 0 ( n = 0, 1, 2, …)
∴f (x) 在点x = 0处的泰勒级数为∑∞=⨯00n n x
，
该级数在( - ∞, + ∞) 内的和函数s (x) = 0.
可见,除x = 0外, f (x) 在点x = 0处的泰勒级数处处不收敛于f (x) .
另外一个例子是高数课本中的例子
例7：幂级数11(1)n n x n n +∞
=+∑,1n
n x n ∞=∑，0n n x ∞=∑它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域分
别是[ - 1, 1 ], [ - 1, 1) , ( - 1, 1) .
五、任意项级数中的反例
例8：（2000年考研题）设级数1n n u
∞=∑是收敛,则必收敛的级数为( ) (A) 1(1)n
n n u n ∞
=-∑ (B) 21n n u ∞=∑ (C) 2121()n n n u u ∞-=-∑ (D) 11()n n n u u ∞+=-∑ 解 应用级数的性质,收敛级数1n n u
∞=∑与11n n u ∞+=∑逐项相加后的级数仍收敛,故(D) 成立. 其
它3种情况不成立列举反例如下:
(A) 1(1)ln n
n u n =-，则11(1)ln n n n ∞=-∑是收敛的,而1(1)n n n u n ∞=-∑=11ln n n n ∞=∑是发散的;
(B) (1)n n u =-
则1(1)n n ∞=-∑是收敛的,而21n n u ∞=∑=11n n
∞=∑是发散的; (C) 1
1(1)n n u n -=--,则11(1)n n n ∞=--∑是收敛的,而2121()n n n u u ∞-=-∑=1412(21)n n n n ∞=--∑是 发散的.
参考文献
[ 1 ] 刘红卫,于力. 关于无穷多个无穷小的乘积的注记[ J ]1高等数学研究, 2002, 5 (3). 27.
[ 2 ]B. R. 盖尔鲍姆J. M. H. 奥姆斯特德. 分析中的反例[M ]. 上海:上海科学技术出版社, 1980. 72.
[ 3 ] 同济大学数学教研室. 高等数学[M ]. 北京:高等教育出版社, 2002. 09.
PS ：补充完毕。